精品解析：2025年山西省运城市名校联考（二）二模数学试题

2025年山西省中考名校联考（二） 数 学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数与l的和为0的是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查是绝对值的含义，化简双重符合，有理数的加法运算，分别计算各选项数据与的和即可得到答案． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选：C 2. 十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼做过一个实验，他安放一块较宽的金属薄片，在上面均匀地撒上沙子．然后开始拉动弓弦，结果这些细沙自动排列成不同的美丽图案，并随着弓弦拉出的节奏的不断增加，图案也不断变幻和越趋复杂——这就是著名的克拉尼图形，下列四幅克拉尼图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别．根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解． 【详解】解：A、原图既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； B、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、原图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、原图既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 3. 2025年2月20日，中国石油超万米科探井——深地塔科1井在地下万米钻探出亿年前的岩石标本，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值即可． 【详解】解： 亿， 故选：B． 4. 欹（）器，它是中国最早最神奇的实物座右铭，是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器和它的主视图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由几何体判断三视图，从左边看到的图形是左视图，注意能看到的线用实线画，看不到的线用虚线画．根据左视图是从左边看到的图形解答即可． 【详解】解：由题意可得：其左视图为： 故选：C 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，积的乘方运算，合并同类项，根据以上运算法则逐一分析即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B 6. 如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C 7. 每年的3月14日为国际数学日（简称），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．某班级计划从以下3个数学元素：①（圆周率）；②黄金分割比；③勾股定理中随机选取2个设计一幅制作展板，则（圆周率）和勾股定理被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及（圆周率）和勾股定理被同时选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将圆周率，黄金分割比，勾股定理分别记为A，B，C，用表格列出所有可能的结果： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中2种符合题意． （两人抽到相同卡片）． 故选：B 8. 如图，点P为的直径延长线上一点，分别以点O和点P为圆心，和的长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点C，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，等腰三角形的性质，由圆周角定理可得，再结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 9. 如图，图①~④分别表示甲、乙两辆汽车在同—条路上匀速行驶过程中，路程与时间的关系． 下列对4个图汽车运动的情况描述正确的是（ ） A. 图①：乙的速度是甲的2倍 B. 图②：乙的速度是甲的4倍 C. 图③：乙的速度是甲的4倍 D. 图④：甲的速度是乙的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，分别计算每个图象中的甲、乙的速度，再判断即可． 【详解】解：A、图①：，， ∴乙的速度是甲的2倍，故符合题意； B、图②：，， 甲，乙的速度相同，故不符合题意； C、图③：，， ∴甲的速度是乙的4倍，故不符合题意； D、图④：，， ∴乙的速度是甲的，故不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与x轴的交点为M，过点作轴于点N，先证明，得到，设，，根据题意，得，，解得，得到即，利用三角函数解答即可． 【详解】解：∵坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，点C的坐标， ∴，， ∵以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F． ∴，， 设与x轴的交点为M，过点作轴于点N， ∵， ∴， ∴， 设，， 根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______5（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式比较大小的方法是解决问题的关键．由，可得即可得到答案． 【详解】解：， ，即， 故答案为：． 12. 春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转速，已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，n为转速（转/分针），U为电源电压（），k为常数，为电枢磁通（）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数，若一台直流电动机的空载转数为300转/分钟，则在的电压下该电动机的空载转速为______转/分钟． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的应用，根据一台12V直流电动机的空载转数为300转/分钟，可得，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵一台12V直流电动机的空载转数为300转/分钟，且， ∴， ∴， 当时， ∴， 故答案为： 13. 如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意，得，结合，证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：7． 14. 如图，是等边三角形，经过点A的与边相切于点H，与，相交于点D，E．若，的半径是，则图中阴影区域的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，，，结合题意可得，，，，，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵经过点A的与边相切于点H，是等边三角形， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∵的半径是，为直径， ∴，，，， ∴， ∴，，， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，圆周角定理的应用，切线的性质，三角函数的应用，求解扇形的面积，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15. 如图，四边形中，，，连接并过点D作对角线的垂线交于点E，交于点F，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点D作于点M，过点D作，交的延长线于点N，证明四边形是正方形，再利用，勾股定理列式解答即可． 【详解】解：连接，过点D作于点M，过点D作，交的延长线于点N，由， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握性质，函数的应用和定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简求值； （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算，有括号先计算括号内的运算； （2）先通分化为同分母的分式，再计算加法运算，得到化简的结果，最后把，代入计算即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当，时， 原式； 17. 为巩固农业供给结构性改革成效，保障国家粮食安全．国家对实际种粮农民进行一次性补贴，同时开展农机购置与应用补贴．某县农机局统计全县实际种粮农民计划购买某种型号的耕整地机械和种植施肥机械共计50台．其中每台耕整地机械国家最高补贴万元，每台种植施肥机械国家最高补贴万元，若全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，则最多可购买种植施肥机械类农机多少台？ 【答案】最多可购买种植施肥机械类农机台 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，设最多可购买种植施肥机械类农机台，则购买某种型号的耕整地机械台，根据全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，再建立不等式求解即可． 【详解】解：设购买种植施肥机械类农机台，则购买某种型号的耕整地机械台， ， 解得：． ∴最多可购买种植施肥机械类农机台 18. 【研究课题】膳食中维生素含量调查研究 【课题背景】维生素是人体代谢中必不可少的有机化合物．主要来源于新鲜蔬菜水果、全谷类、肉类和鱼类等食物，均衡饮食是摄取各类维生素的最佳方式．某小组研究某些蔬菜中维生素C的含量． 【数据调查与收集】该小组选取西兰花和苦瓜样本各50份（每份均以可食部计），分别研究其中维生素C的含量，整理数据并绘制了两种蔬菜样本维生素C含量的频数分布直方图（每组含最小值，不包含最大值），如下： 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图；这批西兰花样品中维生素C含量的中位数出现在______组，苦瓜样品中维生素C含量的中位数出现在______组； （2）将每组数据取中间值，即组取42，组取46，……，可按如下方法求出这批西兰花样品中维生素C每的平均含量：．请按照这一方法求这批苦瓜样品中维生素C每的平均含量，结合两种统计量对两种蔬菜维生素C含量情况作出比较． 【答案】（1）画图见解析，，； （2）这批苦瓜样品中维生素C每的平均含量大于这批西兰花样品中维生素C每的平均含量． 【解析】 【分析】本题考查的是补全条形统计图，求解平均数； （1）先分别求解每个图中未知的频数，再补全图形，结合中位数的含义可得中位数落在哪个小组，从而可得答案； （2）根据题干平均数的计算方法求解这批苦瓜样品中维生素C每的平均含量，再比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ， 补全图形如下： ∴这批西兰花样品中维生素C含量的中位数出现在组，苦瓜样品中维生素C含量的中位数出现在组； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， ∴； 即这批苦瓜样品中维生素C每的平均含量大于这批西兰花样品中维生素C每的平均含量． 19. 口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 【答案】建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】解：设建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； ∴， 答：建设一个社区型口袋公园的平均占地面积为公顷，则建设街角型口袋公园的平均占地面积为公顷． 20. 在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米） （1）本次海道测量，海平面距离海底的深度是多少米？ （2）试求海底山丘CE的坡度是多少？ 【答案】（1）海平面距离海底的深度是米； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解坡度概念是关键． （1）先求解，结合，再进一步可得答案； （2）如图，过作于，连接，结合题意可得：，，求解，结合，进一步求解，，从而可得答案． 小问1详解】 解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴（米）； ∴海平面距离海底的深度是米； 【小问2详解】 解：如图，过作于，连接，结合题意可得： ，， ∵，， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴海底山丘CE的坡度是． 21. 下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“相似扇形”的研究报告 先锋小组 研究对象：相似扇形 研究思路：类比研究相似三角形，按“概念—性质—判定—应用”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究内容： 【概念理解】圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，其半径的比叫做相似比，如图1，分别以线段AB，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为①______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为②______． …… 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形．为说明这一结论正确，分析如下： 如图2，已知扇形与扇形，，只要说明， 即可判断扇形与扇形是相似扇形． …… 任务： （1）补全材料中“性质探索”中空缺的部分：①______；②______； （2）根据材料中“判定探索”的分析思路，写出推理过程； （3）如图3，已知扇形，点P是上的一点，扇形与扇形相似，且点P在的垂直平分线上，若的长为l，则的长为______．（用含l的代数式表示） 【答案】（1），； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据两个相似扇形的性质可得答案； （2）由，再代入弧长公式即可得到结论； （3）先证明，，可得，设，，可得，再进一步解答即可 【小问1详解】 解：类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为； 关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∴扇形与扇形是相似扇形． 【小问3详解】 解：∵扇形与扇形相似， ∴， ∵，， ∴， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∵的长为l， ∴, ∴； 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，弧长，扇形面积的计算，一元二次方程的解法，理解题意是关键. 22. 学科实践 驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的商楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳．太原市某中学为了减缓同学们的视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． 研究步骤：1．如图2是花园大门的截面图，兴趣小组测得大门的宽米，，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米． 2．根据设计要求，要在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面的距离相等．同时做好花园大门的加固工作． 问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要给大门加固，如图3，线段，可看成是加固时所用的钢筋（不考虑接口处所需钢筋长度），则给大门加固需要的钢筋长度为______米，若连接，则______°； （2）如图3，因为要悬挂灯笼，考虑到安全因素，工人师傅要用钢筋对大门进行二次加固，若保证二次加固的钢筋与第一次加固的钢筋垂直，即于点P，于点Q（，为二次加固的钢筋）．请你通过计算，确定二次加固时大门一侧所需钢筋的最大长度（不考虑其他因素，结果保留根号）． 【答案】（1），45 （2） 【解析】 【分析】（1）过点C作于点G，交于点D，证明四边形是矩形，四边形都是矩形，后利用等腰三角形的性质解答即可． （2）过点F作交于点I，交于点H，以M为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立坐标系，根据题意，得，，设抛物线解析式为，确定解析式，设直线的解析式为，确定直线的解析式．设点，则，则，求得有最大值为，再利用三角函数解答即可． 【小问1详解】 解：过点C作于点G，交于点D， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证，四边形都矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米，米， 故米， 故答案为：，45． 【小问2详解】 解：过点F作交于点I，交于点H， 以M为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立坐标系， 根据题意，得，， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设点，则， 则， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，构造二次函数求最值，三角函数的应用，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值，三角函数的应用是解题的关键． 23 综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师要求同学们利用一副直角三角板和一张边长为10的正方形纸片，以“探究图形的性质”为主题开展数学活动，下面是同学们对相关问题的研究． 操作发现：如图1，点O为正方形内边的垂直平分线上一点，巧手小组将含有的直角三角板中角的顶点与O重合，角的两边与边交于M，N两点，调整三角板使得． （1）①判断的形状，并说明理由； ②如图2，善思小组将图1的三角板沿方向平移，点M，N，O的对应点分别为，，．当点与B重合时，若，直接写出平移的距离； 类比探究： （2）缜密小组将等腰直角三角板如图3放置，其中斜边的中点与正方形的顶点B重合，点F，G分别在边，上，点E在边的延长线上．将正方形纸片从图3的位置开始，绕点B逆时针方向旋转角度． ①在旋转过程中，当点F在正方形内部时，如图4，请判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； ②已知，在旋转过程中，当时，过点A作的高交所在直线于点Q，请直接写出的长． 【答案】（1）①等边三角形，见解析；②4；（2）①线段，的数量关系和位置关系分为，；②2或10 【解析】 【分析】（1）①连接，，得到，结合，判定是等边三角形． ②根据，，计算得到，结合是等边三角形，得到，从而得到，故平移的距离为4． （2）①延长交于点Q，交于点M，证明，再利用垂直的定义证明，即可得到． ②过点F作于点Q，根据题意，得四边形是矩形，过点F作于点T，根据题意，得四边形是矩形，分两种情况，利用勾股定理建立方程解答即可． 【详解】（1）①解：是等边三角形，理由如下： 连接， ∵点O为正方形内边的垂直平分线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ②解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故平移的距离为4． （2）①解：线段，的数量关系和位置关系分为，．理由如下： 延长交于点Q，交于点M， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵等腰直角三角板，其中斜边的中点与正方形的顶点B重合，点F，G分别在边，上，点E在边的延长线上． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②解：过点F作于点Q，根据题意，得四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴； 过点F作于点T，根据题意，得四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或10． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平移与旋转，等腰直角三角形的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山西省中考名校联考（二） 数 学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数与l的和为0的是（ ） A. 1 B. C. D. 2. 十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼做过一个实验，他安放一块较宽的金属薄片，在上面均匀地撒上沙子．然后开始拉动弓弦，结果这些细沙自动排列成不同的美丽图案，并随着弓弦拉出的节奏的不断增加，图案也不断变幻和越趋复杂——这就是著名的克拉尼图形，下列四幅克拉尼图形是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年2月20日，中国石油超万米科探井——深地塔科1井在地下万米钻探出亿年前的岩石标本，数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 欹（）器，它是中国最早最神奇的实物座右铭，是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器和它的主视图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（ ） A. B. C. D. 7. 每年的3月14日为国际数学日（简称），是由国际数学联盟发起的一项全球性的庆祝活动．2025年国际数学日主题：数学、艺术和创造力．某班级计划从以下3个数学元素：①（圆周率）；②黄金分割比；③勾股定理中随机选取2个设计一幅制作展板，则（圆周率）和勾股定理被同时选中的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P为的直径延长线上一点，分别以点O和点P为圆心，和的长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点C，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，图①~④分别表示甲、乙两辆汽车在同—条路上匀速行驶过程中，路程与时间的关系． 下列对4个图汽车运动情况描述正确的是（ ） A. 图①：乙的速度是甲的2倍 B. 图②：乙的速度是甲的4倍 C. 图③：乙的速度是甲的4倍 D. 图④：甲的速度是乙的 10. 如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形的两条对称轴，边，分别与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形绕点E顺时针旋转，使的对应边且经过点F．若点C的坐标，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______5（填“”“”或“”）． 12. 春晚机器人扭秧歌转手帕，实力出圈，其实是在用电机控制手帕转速，已知直流电动机在空载状态下的转速计算公式为（其中，n为转速（转/分针），U为电源电压（），k为常数，为电枢磁通（）．当直流电动机的k值与值一定时，转数n是电压U的正比例函数，若一台直流电动机的空载转数为300转/分钟，则在的电压下该电动机的空载转速为______转/分钟． 13. 如图，为某数学综合实践活动小组利用太阳光下的影子测物体高度的示意图．上午9点测得树的影长为米，下午14点测得该树的影长为2米．若两次测量太阳光线形成的夹角刚好为，则这棵树的高度约是______米． 14. 如图，是等边三角形，经过点A的与边相切于点H，与，相交于点D，E．若，的半径是，则图中阴影区域的面积为______． 15. 如图，四边形中，，，连接并过点D作对角线的垂线交于点E，交于点F，若，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 为巩固农业供给结构性改革成效，保障国家粮食安全．国家对实际种粮农民进行一次性补贴，同时开展农机购置与应用补贴．某县农机局统计全县实际种粮农民计划购买某种型号耕整地机械和种植施肥机械共计50台．其中每台耕整地机械国家最高补贴万元，每台种植施肥机械国家最高补贴万元，若全县购买这两种农机的国家补贴总价不能超过145万元，则最多可购买种植施肥机械类农机多少台？ 18. 【研究课题】膳食中维生素含量调查研究 【课题背景】维生素是人体代谢中必不可少的有机化合物．主要来源于新鲜蔬菜水果、全谷类、肉类和鱼类等食物，均衡饮食是摄取各类维生素的最佳方式．某小组研究某些蔬菜中维生素C的含量． 【数据调查与收集】该小组选取西兰花和苦瓜样本各50份（每份均以可食部计），分别研究其中维生素C的含量，整理数据并绘制了两种蔬菜样本维生素C含量的频数分布直方图（每组含最小值，不包含最大值），如下： 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图；这批西兰花样品中维生素C含量的中位数出现在______组，苦瓜样品中维生素C含量的中位数出现在______组； （2）将每组数据取中间值，即组取42，组取46，……，可按如下方法求出这批西兰花样品中维生素C每的平均含量：．请按照这一方法求这批苦瓜样品中维生素C每的平均含量，结合两种统计量对两种蔬菜维生素C含量情况作出比较． 19. 口袋公园是城市微更新的一项重要举措，近年太原市充分利用城市的边角地、闲置地“见缝插绿”，让口袋公园成为附近居民休闲的好去处．2024年太原全市范围内（含古交）以新建“街角型和社区型”两种口袋公园为主，其中建设的街角型口袋公园的数量比社区型的数量多13个，一个街角型口袋公园的平均占地面积是一个社区型口袋公园的．已知2024年建设的街角型和社区型口袋公园占地总面积分别是12公顷和公顷，分别求建设一个街角型和一个社区型口袋公园的平均占地面积． 20. 在广袤的海洋中，航海者依赖海图来寻找航道．我国大型远洋综合测量船“海巡08”轮的建成交付和使用，有效填补了我国在深远海海事测量船舶领域的空白．如图为“海巡08”轮某次海道测量示意图，其吃水深度米，测得海底山丘C与E两点到船底探测器的声音往返所用时间分别为秒和秒，声音在海水中传播的速度约为1500米/秒，若两次声波发出的角度，，，，点B、C、D三点在一条直线上．（图中点A，M，B，C，D，E在同一平面内，参考数据：，，结果精确到1米） （1）本次海道测量，海平面距离海底深度是多少米？ （2）试求海底山丘CE坡度是多少？ 21. 下面是先锋小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“相似扇形”的研究报告 先锋小组 研究对象：相似扇形 研究思路：类比研究相似三角形，按“概念—性质—判定—应用”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究内容： 【概念理解】圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，其半径的比叫做相似比，如图1，分别以线段AB，为直径作半圆O与半圆，即可得到一对相似扇形，其相似比为． 【性质探索】可以类比相似三角形的性质，得到相似扇形的性质，如下： 关于弧长：两个相似扇形的相似比为k，则弧长之比为①______； 关于面积：两个相似扇形的相似比为k，则面积之比为②______． …… 【判定探索】根据定义，探索相似扇形的判定，得到如下结论： 半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形．为说明这一结论正确，分析如下： 如图2，已知扇形与扇形，，只要说明， 即可判断扇形与扇形是相似扇形． …… 任务： （1）补全材料中“性质探索”中空缺的部分：①______；②______； （2）根据材料中“判定探索”的分析思路，写出推理过程； （3）如图3，已知扇形，点P是上的一点，扇形与扇形相似，且点P在的垂直平分线上，若的长为l，则的长为______．（用含l的代数式表示） 22. 学科实践 驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的商楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳．太原市某中学为了减缓同学们的视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． 研究步骤：1．如图2是花园大门的截面图，兴趣小组测得大门的宽米，，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米． 2．根据设计要求，要在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面的距离相等．同时做好花园大门的加固工作． 问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要给大门加固，如图3，线段，可看成是加固时所用的钢筋（不考虑接口处所需钢筋长度），则给大门加固需要的钢筋长度为______米，若连接，则______°； （2）如图3，因为要悬挂灯笼，考虑到安全因素，工人师傅要用钢筋对大门进行二次加固，若保证二次加固的钢筋与第一次加固的钢筋垂直，即于点P，于点Q（，为二次加固的钢筋）．请你通过计算，确定二次加固时大门一侧所需钢筋的最大长度（不考虑其他因素，结果保留根号）． 23 综合与实践 问题情境：在综合实践课上，老师要求同学们利用一副直角三角板和一张边长为10的正方形纸片，以“探究图形的性质”为主题开展数学活动，下面是同学们对相关问题的研究． 操作发现：如图1，点O为正方形内边的垂直平分线上一点，巧手小组将含有的直角三角板中角的顶点与O重合，角的两边与边交于M，N两点，调整三角板使得． （1）①判断的形状，并说明理由； ②如图2，善思小组将图1的三角板沿方向平移，点M，N，O的对应点分别为，，．当点与B重合时，若，直接写出平移的距离； 类比探究： （2）缜密小组将等腰直角三角板如图3放置，其中斜边的中点与正方形的顶点B重合，点F，G分别在边，上，点E在边的延长线上．将正方形纸片从图3的位置开始，绕点B逆时针方向旋转角度． ①在旋转过程中，当点F在正方形内部时，如图4，请判断线段，的数量关系和位置关系，并说明理由； ②已知，在旋转过程中，当时，过点A作的高交所在直线于点Q，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$