第40期 正态分布-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册同步学案（人教A版2019）

高中数学人教A版选择性必修第三册第37~40期 数理招 答案详解 2024~2025学年高中数学人教A版选择性必修第三册第37~40期(2025年4月) 6.由题意得X的所有可能取值为0,1,2， 第37期2版 则P(X≤I)=P(X=0)+P(X=I) 专项小练 1.B2D:3ABD4号：5号 -是号号号 7.因为X的分布列服从两点分布， 6.解：显然X服从两点分布. 所以P(X=0)+P(X=1)=1. P(X=0)== 因为P(X=0)=3-4P(X=1)=a, 所以P(X=0)=3-4[1-P(X=0)], PX=)=1-G 8 所以P(X=0)=子，所以a=号 1 所以X的分布列为 8.因为a1,a2,…,a5构成等差数列， 0 1 所以a1+a2+a3+a4+as 8 =(a1+a5）+(a2+a)+a 11 11 =5a3=1, 第37期3,4版 解得a,=号，所以4+a=24,=子， 离散型随机变量及其分布列同步核心素养测评 易知a1≥0，a5≥0， 一、单项选择题 1 ~4 CABB 5~8 CADA 所以a4≤（色）= 提示： 当且仅当4=4=时，等号成立 1.(A)(B)(D)中的随机变量X的可能取值都可以按一定 次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量：(C)中的X无 所以a,·a的最大值为25 法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量，故选(C) 二、多项选择题 2.由题意得 9.ABC;10.AC;11.ABC. P(X=0)+P(X=1)=6P(X=1)=1, 提示： 则P0X=）=石 9.由题可得a+b+c=1, 且a,b,c∈[0,1] ① 3.由题意得0.36+1-2g+g=1, 又因为a,b,c成等差数列， 解得9=0.2或9=1.8（舍去） 所以2b=a+c, ② 4.由题意得P(X<5) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) 联立①②得b= 3,a+c= 3 14 =3=元 所以0≤e≤员 解得n=12. 所以e可以为方，立5 113 5.由题可得P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3, P(X<1)=0.4,P(X<2)=0.7, 故选(A)(B)(C). 则当P(X<a)=0.7时， 10.记未使用过的乒乓球为M,已使用过的为N,任取3个 实数a的取值范围是(1,2]. 球的所有可能结果是1个M球和2个N球，2个M球和1个N 高中数学人教A版选择性必修第三册第37~40期 球，3个M球 除3余1的有1,4,7,10： M球使用后成为V球， 除3余2的有2,5,8,11， 故X的所有可能取值是3,4,5，故(A)正确： 取出的3个球的标号之和被3除余2的情况有： 又P(X=3)= CC C =7故(C)正确： ①2个标号被3除余数为1的球和1个标号被3整除的球， 有C2C=24(种)： 9=今故D腿： P(X=4)= ②1个标号被3除余数为1的球和2个标号被3除余数为 2的球，有CC=24(种)： 是 ③1个标号被3除余数为2的球和2个标号被3整除的球， 有CC=24(种)， 所以X最有可能的取值是4，故(B)错误. 故选(A)(C) 则PX=2》).24+%24=袋 220 11.由题可得X的可能取值为0,1,2， 四、解答题 若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶 15.解：随机变量X2的可能取值为0,1,4,9， 点的棱有3条，所以P(X=O)=总=立， P(K=0)=P(X=0)=石 若两条棱平行，它们的距离为1或2，而距离为万的共有 P(2=1)=P(X=-1)+P(X=1) 111 6对，所以万)·总品 1 =3+6=2 故K=)=1-x=0-Px=月=1音品=合 P(X=4)=P(X=-2)+P(X=2) X的分布列为 0 P(X=9)=P(X=3)=1 4 11 所以2的分布列为 故选(A)(B)(C). 0 9 三，填空题 12 2甲腐输两雨或甲乙平局次：&子： 55 16.解：(1)易知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1. 提示： 所以m=0.3. 12.由已知得3=0+0+3=1+1+1， 由X的分布列可知n=|X-11的可能取值为0,1,2,3， 故X=3!表示的可能结果为甲赢一局输两局或甲、乙平 P(n=0)=P(X=1)=0.I, 局三次 P(m=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3, 13.令X=k表示前k个球为白球， P(7=2)=P(X=3)=0.3, 第k+1个球为红球， P(n=3)=P(X=4)=0.3, 此时P(X=0)=2 1 = 所以)=1X一11的分布列为 6 3 7 0 1 2 3 4 P 0.1 0.30.30.3 4321 P(X=2)=6××年=5， (2)由1<2X+1<9,解得0<X<4, 故P(1<2X+1<9) 则P(X≤2) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =P(X=0)+PX=1)+P(X=2) =0.1+0.1+0.3=0.5. 141 =3+5+5 17.解：(1)部件1,2都不需要调整的概率为(1-0.1)× 4 (1-0.2)=0.72,则部件1,2中至少有1个需要调整的概率为 5 P=1-0.72=0.28. 14.从12个球中任取3个球有C2=220(种)不同的方法， (2)由题意X的所有可能取值为0,1,2,3， 1到12中能被3整除的有3,6,9,12： P(X=0)=0.9×0.8×0.8=0.576. 高中数学人教A版选择性必修第三册第37~40期 P(X=1)=0.1×0.8×0.8+0.9×0.2×0.8+0.9×0.8 可得M的末位是0或5， ×0.2=0.352, 即x,只能是0或5， P(X=2)=0.1×0.2×0.8+0.1×0.8×0.2+0.9×0.2 又M=125a1+25a2+5a5 ×0.2=0.068, =10(12a1+2a2)+5(a:+a3+a3), P(X=3)=0.1×0.2×0.2=0.004. 当a1+a+a为奇数时，5=5， X 0 3 当a1+a2+a1为偶数时，x=0, P0.5760.3520.0680.004 下面计算a+a2+a:为奇数时，aa2a,的个数， 18.解：(1)由题可得X的所有可能取值为2,3,4. ①a1,2,a,均为奇数时，5=125（个）， P(X=2)=5×4=0 1 ②a1,a2,a一奇两偶时，C×5×52=375(个)， 共有125+375=500（个）， P(=3)=号x子x分+号x子x+ 5 4 所以P(,=5)=500=↓ 10=2 P(5=0)=1-P(x=5)=1-2=2 1 P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)= 5 因此动态校验码x的分布列为 所以X的分布列为 X 2 3 2 P 3 10 5 第38期2版 (2)先摸球的一方获胜，包含以下几种情况： ①双方共摸3次球，出现黑白黑，白黑黑，白白白这三种情 专项小练一 形，即《=3)=高 1.C:2B:3.A6408:5写 ②双方共摸4次球，出现的恰好是三白一黑且前三次必定 6.解：(1)设甲，乙分别解出此题的事件为A,B, 出现一次照球的情形， 则P(A)=0.6 其概率为号x子×号x+号×子x号x 3 由1-P(A·B)=1-0.4·P(B)=0.92, 解得P(B)=0.2,所以P(B)=0.8. (2)X的可能取值为0,1,2，则 所以先损球的一力获胜的概率为品+高= 3 P(X=0)=P(A)·P(B)=0.4×0.2=0.08, P(X=1)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.44, 因为号>了，所以这场游戏不公平 P(X=2)=P(A)·P(B)=06×0.8=0.48 所以X的分布列为 19.解：(1)由题意可知静态密码为202，动态校验码x,=4, 若s=1,则M=2×13+0×12+2×1=4, 0 得x1=4,符合题意， 0.080.440.48 若s=2,则M=2×23+0×22+2×2=20, 所以E(X)=0×0.08+1×0.44+2×0.48=1.4. 得x=0,不符合题意， 专项小练二 若s=3,则M=2×3+0×32+2×3=60, 1.C2BCD:3B418:54l 得x1=0,不符合题意， 若s=4,则M=2×43+0×42+2×4=136. 6.解：根据题意X的可能取值为2,4,6. 得x4=6,不符合题意， P(X=2)=0.6×0.6=0.36, 若s=5,则M=2×53+0×52+2×5=260. P(X=4)=0.4×0.6×2=0.48. P(X=6)=0.4×0.4=0.16. 得x5=0,不符合题意。 综上，s=1. 所以X的分布列为 (2)对于三位静态密码aa2a, 2 4 6 由M=a1·53+a·52+a·5=5(a1·52+4·5+a) 0.36 0.480.16 一3 高中数学人教A版选择性必修第三册第37~40期 E(X)=2×0.36+4×0.48+6×0.16=3.6. 得()=子 D(X)=(2-3.6)2×0.36+(4-3.6)2×0.48+(6 3.6)2×0.16=1.92. 则标准差v0打=产 第38期3,4版 7.随机变量x的期望E)=0×号+a×号+1x了 离散型随机变量的均值与方差同步核心素养测评 一、单项选择题 0=[(0-)+(a-)°+1 1 ~4 DAAB 5 -8 BCDD 门×分=c-a+)=号(a-)+石 提示： 1.设成功的概率为p, 当a∈(0，）时，D()单调递减， 所以E(X)=0×(1-p)+1×p=P=0.6 2E(0=-1×分+0×号+1×石 1 =-3 当ae(宁，1）时，D()单调递增，故选(D). 因为y=aX+3, &依葛意得P《=）=PX=2).即之-名，解得A 所以E0=aE(0+3=ax(-+3=子 2.所以PX=)=六，所以P=0)-品e2=PX 解得a=4. ==六2=子，P(X=2》=分2=子则两周共销皆 2 3.因为随机变量X服从两点分布， 所以D(X)=0.7×(1-07)=0.21, 又Y=2x-1, 2件的概率P=c··+G()= 所以D(Y)=D(2X-1)=22D(X) 二、多项选择题 =4×0.21=0.84 9.ABD;10.BCD;11.BD. 提示： a+b+ 4.由题意得 立=1，解得 9.由已知有1-(1-p)2=0.51,解得=03，故(A)正确： -2a+b+1=1, P(X=0)=1-P(X≥1)=1-0.51=0.49，故(B)正确： P(X=1)=2p(1-P)=2×0.3×0.7=0.42,故(C)错误； 所以DX0=(-2-1)2×6+(1-1)×3+(2-1) P(X=2)=p2=0.09, *分2 从而D(X)=E(X)-(E(X))尸 =(0.42×12+0.09×22)-(0.42×1+0.09×2) 5.由题意得X的所有可能取值为1,2,3， =0.42,故(D)正确 P(X=1)=p,P(X=2)=(1-P)p, 故选(A)(B)(D). P(X=3)=1-p-(1-p)p=(1-P)2, 10.由分布列的性质得m+n+m=2m+n=1, 所以E(X) P(X=1)=n,P(X≠1)=2m. =1×p+2×(1-p)p+3×(1-p) =p2-3p+3, 当m=子a=方时， 令E(X)=p2-3p+3>1.39. P(X=1)=P(X≠1)，故(A)错误： 解得p<0.7或p>2.3, 因为E(X)=n+2m=1,故(B)正确： 又因为0<p<1, 因为m,n均为正数，所以1=n+2m≥2√2mn, 所以0<p<0.7, 即p的取值范围是(0,0.7). 即mn≤名，当且仅当a=2m=子时， 6.设P(X=1)=p, 等号成立，故(C)正确： 则P=2)=专-， 由a=1-2m>0,得0<m<分又E()=1, 由0=p+2×(侍-p） 所以D(X+1)=D(X)=m+m=2m<1,故(D)正确. 故选(B)(C)(D), 解得p= 子.则由公式D()=[-B], 1L元件A为正品的概米约为0+品+8-专，故(A)错误： 100 高中数学人教A版选择性必修第三册 第37~40期 元件B为正品的概率约为0+调6：子，故（®）正确： 100 P(X=0)=分=9 随机变量X的所有取值为90,45,30，-15，故(C)错误； P(X=0)=号x子= =学子 1 PX45)=5×子=0 33 2 4×1-1 P(X=30)=方×4=5 所以0=0×号+1×号+2x=8 PX=-15)=方x=六 1 0=(0-8)广x号+-8)广x号+2-) -26 所以随机变量X的分布列为 9=8 X 90 45 30 -15 16.解：(1)第三甲当裁判的概率为 3 3 1 5 20 5 20 3 (2)X的所有可能取值为0,1,2 E(X)=90× 3 5 +45× 20 =66, +30×5+(-15)×20 当X=0时，前三局乙均胜， 故(D)正确. 故选(B)(D). 故PX=0)=方×（号）广=云 三、填空题 由题意知参赛人不能连续两局当裁判，第一局由甲当裁 2岩B子4甲 判，故乙只能是第二、四局当裁判， 故乙在第一局中输掉，在第三局中也输掉的概率 提示： P=2)=x×号x2= 1 2因为E(0=子，D(0=語 2118 由D(X)=E(X2)-(E(X)2, 所以P(X=1)=1-方-方=5 得E(X)=D(X)+(E(X))2 则X的分布列为 =語+()°-器 0 2 2 8 13.由题意可得a+b=1(0≤a≤1,0≤b≤1)， 25 E(X)=a+2b=1+b, 8 8 则D(X) E(X)=2 +5×2=器 =[1-(1+6)]2×a+[2-(1+b)]2×6 17.解：(1)从这30天中任取2天，样本点总数n=C。, =-8+6=-(6-22+ 这2天的日需求量均为40个包含的样本点个数m=C。, 4 当6=子时，D()有最大值好 所以这2天的日雷求量均为0个的概半P:兰=司 (2)由题意得Y的可能取值为-20,60,140,180， 14.由题意可得E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4 +130×0.1+135×0.2=125, PY=-20=右，PY=60)=3 E(y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+ PY=140)=号，P(Y=180)=石 145×0.2=125, D(X)=01×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125 所以Y的分布列为 -125)2+01×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50, -20 60140 180 D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125 6 6 -125)2+01×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165, 由于E(X)=E(Y),而D(X)<D(Y),故甲厂的材料稳定 =-20×+60×分+140×号+180×-9 31 性较好. 因为该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的 四、解答题 15.解：由题意得X的可能取值为0,1,2， 期望为受元，且学<学，所以此建议不该被果纳 -5 高中数学人教A版选择性必修第三册第37~40期 18.解：(1)设事件A为“甲投资股市且盈利”， P(X=3)= 事件B为“乙购买基金且盈利”， 事件C为“一年后甲、乙中至少有一人盈利”， 9 则C=(AB)U(AB)U(AB),其中A,B相互独立， 由题表知P(面=方，P氏(A)= 则X的分布列为 2 3 4 P(B)=m,P(B)=1-m, 所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB) 40 品品 =21-m)+m+ 9 E(X)=1× +2× +3× +4× 3 40 20 20 4 =1+m), 第39期2版 由1+m)>号解得m>子 专项小练一 1.C;2.C:3.BD.4.0.291:5.0.0837. 因为m+3+n=1且0≤m≤1,0≤n≤1， 6,解：易知X~8(6,）,所以E()=6x分=3， 所以0≤m≤子，放号<m≤ 2 (0=6×分×-）号 (2)选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期 专项小练二 望较大，理由如下： 假设此人选择“投资股市”，记一年后的投资收益为X万元， 1.D:2.A;3.B. 4号；5号 则X的分布列为 6.解：由题意可知X服从N=12,M=4,n=4的超几何 0-2 分布，故P(X=)= CC -(k=0,1.2,3,4) C 2 8 所以P(X=0)= 1 3 则E(X)=4×+0×8-2× 5 8= 4 cc 假设此人选择“购买基金”，记一年后的投资收益为Y万元， P(X=1)= -24 495 则Y的分布列为 P(X=2)= C_168.56 0 C 495 =165 P(X=3)= CC =32 C Γ495 则E()=2×+0×号 -1× 6 5 P(X=4)= 1 6 C =495 因为E(X)>E(Y), 因此X的分布列为 所以选择“投资股市”可使得一年后的投资收益的数学期 F 0 1 2 3 4 望较大 P 14 224 56 32 1 19.解：(1)(1)记“数组2的数据之和为8”为事件M, 99 495 165 495 495 则P)=忘子 1 第39期3,4版 (ⅱ)记“数组22的数据含有3且数据之和大于8”为事件N, 二项分布与超几何分布同步核心素养测评 期P(N)=1-总= 2 2 一、单项选择题 1~4 BAAC 5~8 DCDC (2)依题意X的可能取值为1,2,3,4， 提示： 1,11 P(X=1)= 1.由题可得Px=)=G×宁×()=品 P(X=2)= C1,1C3 2由题可得X-4,） 6 高中数学人教A版选择性必修第三册 第37~40期 所以EC)=于 二、多项选择题 9.ACD:10.BD:11.ABD. 3.电灯泡使用时长在1000小时以上的概率为0.8， 提示： 1个灯泡在使用1000小时内坏了的概率为 1-0.8=0.2, 9.将一枚硬币连抛3次，每次正面向上的概率均为2 则3个灯泡在使用1000小时内恰好坏了一个的概率为 所以正面向上的次数服从二项分布， C×0.2×0.82=0.384. 即X~B3,宁)故(A)正确： 4.由题知X服从N=8,M=3,n=2的超几何分布， 所以E0=兴.2袋2=是 从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生 8 干部，记选出女生的人数为X,X服从超几何分布，故(B)错误： 5.由题可得 某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的 PX=0)=G×(1-p)=号， 次数为X,X服从两点分布，故(C)正确； 盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回， 解得p=或p=子（舍 记首次摸出黑球时的总次数为X, 则X不服从超几何分布，故(D)正确。 所以y~ 4,） 故选(A)(C)(D). 所以D()=4×号×(1-行）=号 R=Cx子x-)广=嘉 6.由题意知X服从超几何分布， B=c心×（号）x(1-子)=是 且N=10,M=3,n=2, X的分布列为P(X=k)= ck=012, P<P,故(A)错误，(B)正确： C。 A=1,故1©)错误： 放P(X=0)=忌= 由二项分布概率公式可得P。=西 P(X=1)= Cie A=嘉A=0A=9 4 160 于是P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) A=器A=第n=离 64 7 7 14 =5+5= 最大值为P,故(D)正确， 7.设高一年级上交了n篇文章， 故选(B)(D). 则高二年级上交了(9-n)篇文章 设“这4篇优秀文章恰有3篇是高一年级上交的”为事件A, 1取出白球和取出黑球的概率分别为号和高 则P-G.20 符合二项分布，故(A)正确： 631 一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列 解得n=5. P(Y=k)= CC 8.由n=100,p=0.01, 一，符合超几何分布，故(B)正确： 泊松分布可作为二项分布的近似， 一次性地摸取4个球，则取到2个白球的概率为P(Y=2) 知A=100×0.01=1, 所以P=)=e S=号故(0)储误： 取出的白球为3和4，所求概率P=P(Y=3)+P(Y=4) 放P(X=0)== e g,兰=最故(D正确 + P(X=1)= e 故选(A)(B)(D). rX=2)==六 三、填空题 23:13号；14.15或16 正品率大于97%的概率，即抽检100个该种元件，抽到次 品的数量小于3的概竿，则所求概半P=P(X=0)+P(X=1) 提示： 12.记取到白球为X,设口袋中白球的个数为M, +P(X=2)= 1+上+=92% e +2e e 显然X服从超几何分布，且N=7,n=2, 高中数学人教A版选择性必修第三册第37~40期 由题可得E0==2X业=乡，解得1=3 7 P=0)=cG(兮)'（告）'=离 13.随机变量X~B(6,P), Px=)=Gx5×(÷)°=器 由E()≤2，得0<p≤2解得0<p≤子， Px2)=G(传)广x号=品 D0=6p(1-pm）=-6p-72+2 则当p=号时，0()取得最大值， Px=3)=G(兮)广（告）”=声 X的分布列为 所以D()的最大值为6×寸x号=于 4 0 2 3 14设击中目标的子弹数为X,则X~(9,专)， 3 有P《=)=×()x(传) 所以X的期塑为()=3×行=子 17.解：(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A, k∈N,k≤19， 则P(A)=P(X=0)+P(X=1) 依题意设P(X=)最大， Cc9.CC215-1 显然P(X=0),P(X=19)都不是最大的， = 即有1≤k≤18， 于是PX=月≥P(X=6+). 即取出的产品中次品不超过1件的概率是宁 P(X=k)≥P(X=k-1). (2由题意知f(a)=P氏X=3)=CC」 rx()x(5)“≥×(》“x(传). f(n+1)= CC。s ×()×兮)“≥出×(”x(“ 若a+山.C=a+》8-=m>1. 191 19! 9-≥4(k+)118- f(n)cC-(n-2)(20-m) 则(n+1)(13-n)>(n-2)(20-n), 4·1 19 19! (19-k1≥(k-1)1(20-kT 解得n<5.3, 整理得1≥(19-)解得15≤6≤16. 故当n<5.3时f(n+1)>f(n); l4(20-)≥k, 当n>5.3时，f(n+1)<f(n), 即当n=6时，f(n)取得最大值. 所以击中目标的子弹数最可能是15或16. 18.解：(1)设该校报考飞行员的总人数为m, 四、解答题 前3个小组的频*率分别为，2P,则由条件可得 15.解：(1)设甲班的学生人数为M, 哈宁 P:2p, 42 =3p1, 即-M-6=0,解得M=3或M=-2(舍去). P1+P2+3+(0.037+0.013)×5=1, 所以7名学生中甲班的学生共有3人 解得P1=0.125,P3=0.25,P3=0.375, (2)由题意可知X服从超几何分布. 又因为乃=0.25=2，所以m=48. m 所以P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2) (2)由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为 g 1 5 = C 7+7= p=A+(0.037+0.013)×5=冬 16.解：(1)年销售额超过40万元的门店有4个， 则所求华P.C之CE:号 由题意知X服从二项分布，即X~B(2,冬) 2- (2)由样本估计总体，从全国随机抽取1个销售门店， Px=)=cG×()×()k=01,2. 春季新款的年销售额超过40万元的概率是分=子 所以随机变量X的分布列为 X 01 2 则随机变量X~B(3,) 9 15 25 64 32 6 -8 高中数学人教A版选择性必修第三册第37~40期 E(X)=nm=2× 5 8 99.7%,从而得出适合身高在150~180cm范围内学生穿的服 41 装大约套数是1000×99.7%=997（套）. 19.解：(1)P(专=4)=Cg×0.9×0.1 6.因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2)， =0.32805≈0.33 所以正态曲线关于直线x=3对称， (2)P(5=10)=C0×0.9°×0.1-0， 又P(X<4)=0.78, 由题意有 所以P(X≥4)=P(X≤2)=1-0.78=0.22， rC×0.9×0.1-0≥C2×0.9°×0.1n-9, 则P(2<X<4)=1-2×0.22=0.56, G×0.90×0.0≥C×0.9×0.1-", 则0.9(n-9)≥1， 所以P(2<X<3)=P2<X<4) 2 l0.9(n-10)≤1.1， =7×056=028 解得号≤a≤19 7.由随机变量X~N(5,1)知，4=5,0=1， 由于n为整数，故n=11 所以P(4≤X≤6)s0.683,P(3≤X≤7)=0.955， (3)E-B(n,0.9),则E()=0.9n,D(E)=0.09n 所以P(6<X≤7)=[P(3≤X≤7)-P(4≤X<6] 由题意0.85<左<0.95， n ≈7×(0.955-0.683)=0136 即0.85n<E<0.95n,-0.05n<专-0.9n<0.05n, 即1专-0.9nl<0.05n 8.由题意知μ=98,0=10. 由切比雪夫不等式， 因为学生的数学成绩X近似服从正态分布N(98,100), 所以P(X>108) 有P(I5-E()1<0.05n)≥1- 0.09n (0.05n)7 =1-P(8≤X≤108刃 从而1 (0.05m)≥09，解得n≥360. 0.09n =1-Pu-o≤X≤a+o月 故估计n的最小值为360. 第40期2版 ≈7×(1-0.6827)=015865. 所以0.15865×9455=1500. 专项小练 二、多项选择题 1.A:2.D:3.C.4.0.8:5.0.2 9.AD:10.AC:11.BCD. 6.解：因为灯泡的使用寿命X~N(1000,30), 提示： 故X在(1000-3×30,1000+3×30)内的概*为9.7%， 9.根据正态曲线关于直线x=u对称，且以越大，图象越靠 即X在(910,1090)内取值的概率为99.7%. 近右边，所以41<2=4，故(B),(C)错误： 所以灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上， 又σ较小时，蜂值高，曲线“瘦高”，所以σ1=σ2<3，放 第40期3,4版 (A),(D)正确. 故选(A)(D) 正态分布同步核心素养测评 10.随机变量X服从正态分布N(0,1), 一、单项选择题 所以正态曲线关于直线x=0对称， 1~4 BABA 5~8 DCBA 因为f(x)=P(X≤x)(x>0), 提示： 所以根据正态曲线的对称性可得f(-x)=P(X>x)=1 1,由题可得g=10. -f代x),故(A)正确； 2.甲、乙、丙三科的均值相同，甲学科的方差最小，故选(A). f2x)=P(X≤2x),2fx)=2P(X≤x),故(B)错误： 3.由题可得a-3+2a+2=2×3,解得a=了 7 P(IXI≤x)=P(-x≤X≤x)=1-2f-x)=1-2[口 4.因为随机变量X=N(4,9),且P(X<1)=P(X>7), -fx)门=2fx)-1,故(C)正确； 所以=9,4=十7=4，所以E(X0=4,D(X)=9. P(I XI>x)=P(X>xX<-x)=1-f(x)+f(-x) 2 =1-f(x)+1-f八x）=2-2fx),故(D)错误. 5.学生的身高（单位：cm)服从正态分布N(165,52),即服 故选(A)(C). 从均值为165cm,方差为25的正态分布，因为适合身高在150 11.当g=5时，P(90<X<100)≈0.68，又P(95-g< ~180cm范围内取值即在(4-3σ，4+3σ）内取值，其概率为 X<95+σ)≈0.68为定值，所以σ越大，学生数学成绩在(90， —9 高中数学人教A版选择性必修第三册第37~40期 100)内的概率就越小，故(A)错误： 18.解：(1)μ=(47.5+72.5)×0.004×5+(52.5+67.5) 当a=20时，P(75<X<135) ×0.026×5+(57.5+62.5)×0.07×5=60. =P(75<X<115)+P(55<X<135) σ2=[(47.5-60)2+(72.5-60)2]×0.02+[(52.5- 2 60)2+(67.5-60)2]×0.13+[(57.5-60)2+(62.5-60)2] =Q68+0.95=0.815,故(B)正确： ×0.35≈25. 2 由正态曲线关于直线x=95对称可知学生的数学成绩大 (2)由题图可得从全校学生中随机抽取1名学生， 于95的概率为0.5，与σ的值无关，故(C)正确； 其体重在[55,65)的概率为0.7. 由正态曲线关于直线x=95对称可知学生的数学成绩小 随机抽取3人，相当于3重伯努利试验， 随机变量X服从二项分布B(3,0.7), 于75与大于115的概率相等，与σ的值无关，故(D)正确. 故选(B)(C)(D). P(X=0)=C×0.7°×0.33=0.027. 三填空题 P(X=1)=C×0.7×0.32=0.189, 12.0.4:13.0.14:14.4. P(X=2)=C×0.72×0.3=0.441, 提示： P(X=3)=C×0.73×0.3°=0.343， 12.若随机变量X服从正态分布N(μ，σ)，则P(X<4)= 所以X的分布列为 0.5.故可知4=0.4且在x=4时取得最大值，所以x=0.4. 0 1 2 3 13.因为X~N(2,σ2)， P0.0270.1890.4410.343 所以P(X<2)=P(X>2)=0.5, E(X)=3×0.7=2.1. 因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5) (3)由题意知Y服从正态分布N(60,25), =0.5-0.36=0.14. 则P(u-2g≤Y≤u+2o)=P(50≤Y≤70) 14.由于随机变量X-N(4,o2), =0.96>0.9545. 满足P(X≤3)=0.3，P(3<X<5)=0.4, 所以该校学生的体重是正常的 因此P(X≥5)=1-0.3-0.4=0.3=P(X≤3)， 19.解：(1)设考生的成绩为X,则X~N(180,σ2). 根据正态曲线的对称性可知4=3十5=4. 2 令y=X-180,则y-N(0,1). 0 四、解答题 由360分及以上的高分考生有30名， 15.解：据已知得u=120,0=10,由于正态总体N(u,2) 3 在区间(4-2o,4+2σ)内取值的概率约为0.955， 得P(X≥360)=200， 放140分以上的所占概率为-0955=0.0225. 所以P(X<360)=1- 3 200 =0.985. 2 故相应的考生人数为2000×0.0225=45（人）， 即P(y<360-180 =0.985,则360-180=2.17， 16解：因为X~N(25,0.22),所以4=25，σ=0.2 所以P(24.8≤X≤25.4)=P(4-σ≤X≤4+2o）= 所以g≈83，所以X-N(180,832). 设最低录用分数为， 7×(0.6827+0.9545)=034135+0.4725=0.8186. 期Px≥)=P(≥5)=0=易 解：体温X服从正态分布N(369,0巴）。 83 即P(y<-180 83 =1品 =0.85, 所以4=36.9,02=0.05 n 即。180 因为X的值落在(36.6,37.2)内的概率约为0.9973， 83 ≈1.04，所以x0≈267 且P(1X-4I<3o)≈0.9973， 所以此次招聘中的最低录用分数为267. 所以P(366<X<37.2)=P(36.9-0.3<X<36.9+0.3) (2)因为286>267，所以甲能被录用. =P(369-30<X<36.9+3o), 易得PX<2%)=P(<g）-PV<128 所以30=0.3，解得0=0.1， 所以00=0.01，解得n=5. =0.9,所以不低于甲的成绩的人数约为2000×(1-0.9)= 200,所以甲大约排在第200名，所以甲能获得高薪职位 -10书书书 １７． （１５ 分 ） 红 外 体 温 计 的 工 作 原 理 是 通 过 人 体 发 出 的 红 外 热 辐 射 来 测 量 体 温 ，有 一 定 误 差 ． 现 用 一 款 红 外 体 温 计 测 量 一 个 体 温 为 ３６．９ ℃ 的 人 时 ，体 温 计 所 显 示 的 体 温 Ｘ （ 单 位 ：℃ ） 服 从 正 态 分 布 ( Ｎ３６９ ， ００５) ｎ ，若 Ｘ 的 值 落 在 （３６．６ ，３７．２ ） 内 的 概 率 约 为 ０．９９７ ３ ， 求 ｎ 的 值 ． 参 考 数 据 ： 若 Ｘ ～ Ｎ （μ ，σ ２） ， 则 Ｐ （｜ Ｘ － μ ｜ ＜ ３σ ） ≈ ０．９９７ ３． １８． （１７ 分 ） 某 学 校 为 了 解 全 校 学 生 的 体 重 情 况 ， 从 全 校 学 生 中 随 机 抽 取 了 １００ 人 的 体 重 数 据 ，得 到 如 图 ３ 的 频 率 分 布 直 方 图 ，以 样 本 的 频 率 作 为 总 体 的 概 率 ． （１ ） 估 计 这 １００ 人 体 重 数 据 的 平 均 值 μ 和 方 差 σ ２； （ 结 果 取 整 数 ， 同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表 ） （２ ） 从 全 校 学 生 中 随 机 抽 取 ３ 名 学 生 ，记 Ｘ 为 体 重 在 ［５５ ，６５ ） 的 人 数 ，求 Ｘ 的 分 布 列 和 数 学 期 望 ； （３ ） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 以 认 为 ， 该 校 学 生 的 体 重 Ｙ 近 似 服 从 正 态 分 布 Ｎ （μ ，σ ２） ，若 Ｐ （μ － ２σ ≤ Ｙ ≤ μ ＋ ２σ ） ＞ ０．９５４ ５ ，则 认 为 该 校 学 生 的 体 重 是 正 常 的 ， 试 判 断 该 校 学 生 的 体 重 是 否 正 常 ， 并 说 明 理 由 ． １９． （１７ 分 ） 公 平 正 义 是 社 会 主 义 和 谐 社 会 的 重 要 特 征 ， 是 社 会 主 义 法 治 观 念 的 价 值 追 求 ．考 试 作 为 一 种 公 平 公 正 选 拔 人 才 的 有 效 途 径 正 被 广 泛 采 用 ． 某 企 业 准 备 通 过 考 试 （ 按 照 高 分 优 先 录 取 的 原 则 ） 录 用 ３００ 名 应 聘 人 员 ，其 中 ２７５ 个 高 薪 职 位 ，２５ 个 普 薪 职 位 ．已 知 此 次 招 聘 中 ，实 际 报 名 人 数 为 ２ ０００ ，考 试 满 分 为 ４００ 分 ，考 试 成 绩 的 部 分 统 计 结 果 如 下 ：考 试 平 均 成 绩 是 １８０ 分 ，３６０ 分 及 以 上 的 高 分 考 生 有 ３０ 名 （ 一 般 地 ， 对 于 一 次 成 功 的 考 试 来 说 ， 考 试 成 绩 应 服 从 正 态 分 布 ）．（１） 求 此 次 招 聘 中 的 最 低 录 用 分 数 （ 结 果 保 留 整 数 ） ； （２ ） 已 知 考 生 甲 的 成 绩 为 ２８６ 分 ，试 判 断 甲 能 否 被 录 用 ，若 被 录 用 ，进 一 步 判 断 其 能 否 获 得 高 薪 职 位 ． 参 考 数 据 ：① 当 Ｘ ～ Ｎ （μ ，σ ２） 时 ， 令 Ｙ ＝ Ｘ － μ σ ， 则 Ｙ ～ Ｎ （０ ， １ ） ；② 当 Ｙ ～ Ｎ （０ ，１ ） 时 ，Ｐ （Ｙ ＜ ２．１７ ） ≈ ０．９８５ ，Ｐ （Ｙ ＜ １．２８ ） ≈ ０９ ，Ｐ （Ｙ ＜ １．０９ ） ≈ ０．８６３ ，Ｐ （Ｙ ＜ １．０４ ） ≈ ０．８５． !"#$%&'()*+,-./0 ! 12!"#$%&'( !"3$4&'(5*+,-678 ! 92!")$%&'( : ; < = > ? @ ! " " # " " $ # $ " % # % " ! " # $ % & # & # % # & # ' $ # & # # ! ' ( ) * ! ! ( 书 综观近几年高考数学试题，正态分布这一 部分内容在高考中的比重不大，所以同学们在 学习中必须要掌握好正态分布的定义和图象、 正态曲线的性质以及３σ原则等知识． 例１某物理量的测量结果服从正态分布 Ｎ（１０，σ２），下列结论中不正确的是 （　　） （Ａ）σ越小，该物理量在一次测量中落在 （９．９，１０．１）内的概率越大 （Ｂ）σ越小，该物理量在一次测量中大于１０ 的概率为０．５ （Ｃ）σ越小，该物理量在一次测量中小于 ９９９的概率和大于１０．０１的概率相等 （Ｄ）σ越小，该物理量在一次测量中落在 （９９，１０２）内的概率和落在（１０，１０３）内的概 率相等 解析：对于（Ａ），σ２为数据的方差，所以 σ 越小，数据在μ＝１０附近越集中，所以测量结果 落在（９９，１０１）内的概率越大，故（Ａ）正确； 对于（Ｂ），由正态分布密度曲线的对称性可 知该物理量在一次测量中大于 １０的概率为 ０５，故（Ｂ）正确； 对于（Ｃ），由正态分布密度曲线的对称性可 知该物理量在一次测量中小于９９９的概率和大 于１００１的概率相等，故（Ｃ）正确； 对于（Ｄ），因为该物理量在一次测量中落在 （９９，１００）的概率与落在（１０２，１０３）的概率 不同，所以该物理量在一次测量中落在（９．９， １０２）内的概率和落在（１０，１０３）内的概率不 同，故（Ｄ）错误． 故选（Ｄ）． 例２已知某批零件的长度误差（单位：毫 米）服从正态分布 Ｎ（０，２２），从中随机取一件， 其长度误差落在区间（２，４）内的概率为（　　） （附：若随机变量 Ｘ服从正态分布 Ｎ（μ， σ２），则Ｐ（μ－σ＜Ｘ＜μ＋σ）≈０６８２７，Ｐ（μ －２σ＜Ｘ＜μ＋２σ）≈０９５４５．） （Ａ）００４５６　　　　（Ｂ）０１３５９ （Ｃ）０２７１８ （Ｄ）０３１７４ 解析：由正态分布的概率公式知Ｐ（－２＜Ｘ ＜２）≈０．６８２７，Ｐ（－４＜Ｘ＜４）≈０．９５４５，故 Ｐ（２＜Ｘ＜４） ＝Ｐ（－４＜Ｘ＜４）－Ｐ（－２＜Ｘ＜２）２ ＝０．９５４５－０．６８２７２ ＝０．１３５９． 例３为了监控某种零件的一条生产线的生 产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取１６ 个零件，并测量其尺寸（单位：ｃｍ）．根据长期生 产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产 的零件的尺寸服从正态分布Ｎ（μ，σ２）． （１）假设生产状态正常，记Ｘ表示一天内抽 取的１６个零件中其尺寸在（μ－３σ，μ＋３σ）之 外的零件数，求Ｐ（Ｘ≥１）及Ｘ的数学期望； （２）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 （μ－３σ，μ＋３σ）之外的零件，就认为这条生产 线在这一天的生产过程可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的１６个零件 的尺寸： ９．９５ １０．１２ ９．９６ ９．９６ １０．０１ ９．９２ ９．９８ １０．０４ １０．２６ ９．９１ １０．１３ １０．０２ ９．２２ １０．０４ １０．０５ ９．９５ 经计 算 得 ｘ ＝ １１６∑ １６ ｉ＝１ ｘｉ ＝ ９．９７，ｓ＝ １ １６∑ １６ ｉ＝１ （ｘｉ－ｘ）槡 ２ ＝ １１６（∑ １６ ｉ＝１ ｘ２ｉ－１６ｘ ２ 槡 ） ≈ ０．２１２，其中ｘｉ为抽取的第ｉ个零件的尺寸，ｉ＝ １，２，…，１６． 用样本平均数ｘ作为μ的估计值 μ^，用样本 标准差ｓ作为σ的估计值 σ^，利用估计值判断是 否需对当天的生产过程进行检查？剔除（μ^－３σ^， μ^＋３σ^）之外的数据，用剩下的数据估计 μ和 σ（精确到０．０１）． 附：若随机变量Ｚ服从正态分布Ｎ（μ，σ２）， 则Ｐ（μ－３σ＜Ｚ＜μ＋３σ）≈０．９９７３， ０．９９７３１６≈０．９５７７， ０．槡 ００８≈０．０９． 解析：（１）抽取的一个零件的尺寸在（μ－ ３σ，μ＋３σ）之内的概率为０．９９７３，从而零件的 尺寸在（μ－３σ，μ＋３σ）之外的概率为０．００２７， 故Ｘ～Ｂ（１６，０．００２７）． 因此Ｐ（Ｘ≥１）＝１－Ｐ（Ｘ＝０） ＝１－０．９９７３１６≈０．０４２３． Ｘ的数学期望为 Ｅ（Ｘ）＝１６×０．００２７＝００４３２． （２）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺 寸在（μ－３σ，μ＋３σ）之外的概率只有０．００２７， 一天内抽取的 １６个零件中，出现尺寸在（μ－ ３σ，μ＋３σ）之外的零件的概率只有０．０４２３，发 生的概率很小． 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况， 需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产 过程的方法是合理的． （下转第２版） 书 正态分布的知识教材中已经给出了详细介 绍，下面举例分析，供同学们参考． 例１下图是三个正态分布 Ｎ（μ，σ２１），Ｎ（μ， σ２２），Ｎ（μ，σ ２ ３）对应的曲线，则有 （　　） （Ａ）σ１ ＞σ２ ＞σ３ （Ｂ）σ３ ＞σ２ ＞σ１ （Ｃ）σ１ ＞σ３ ＞σ２ （Ｄ）σ２ ＞σ１ ＞σ３ 解析：因为题中三个正态分布的 μ值一样， 所以正态曲线的形状由 σ确定，σ越小，曲线越 “瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”．观察图象可得 σ１ ＞σ２ ＞σ３．故选（Ａ）． 例２若一个正态分布的概率密度函数是一 个偶函数，且该函数的最大值等于 １ ２２槡π ，求该 正态分布的概率密度函数的解析式． 解析：由于该正态分布的概率密度函数是 一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于ｙ轴对 称，即μ＝０． 而正态密度函数的最大值是 １ ２２槡π ， 所以σ＝２， 故正态分布的概率密度函数的解析式为 ｆ（ｘ）＝ １ ２２槡π ｅ－ ｘ２ ８，ｘ∈（－∞，＋∞）． 例３某年级的一次信息技术测验成绩近似服 从正态分布Ｎ（８０，１０２），如果规定低于６０分为不及 格，求成绩不及格的学生的概率约为多少？ 解析：设学生的得分为随机变量Ｘ， Ｘ～Ｎ（８０，１０２），则μ＝８０，σ＝１０． 成绩在６０～１００间的学生的概率约为 Ｐ（８０－２０＜Ｘ≤８０＋２０）＝０．９５４５， 所以不及格的学生的概率约为 Ｐ＝１２（１－０．９５４５）＝０．０２２７５． 例４设在一次数学考试中，某班学生的分数 Ｙ～Ｎ（１１０，２０２），且知满分为１５０分．这个班的学 生共有５４人，求这个班在这次数学考试中及格（不 小于９０分）的人数和１３０分以上的人数． 解析：因为Ｙ～Ｎ（１１０，２０２）， 所以μ＝１１０，σ＝２０， Ｐ（１１０－２０＜Ｙ≤１１０＋２０）＝０６８２７， 所以Ｙ＞１３０的概率为 １ ２（１－０６８２７）＝０１５８６５， Ｙ≥９０的概率为 ０６８２７＋０１５８６５＝０８４１３５． 所以及格的人数约为 ５４×０８４１３５≈４５（人）， １３０分以上的人数约为 ５４×０１５８６５≈９（人）． !" !!"## $%$& $ '% $(&'(#) * # !" !"#$ %& ) +,-./*01 ABCDE$FG ABCE8HIJKLMNFO 3PQRSTU9 VWXYZ[ \]^_`aU9bcX"#$%&'()()*d+e fghcX,%',-. 23456789:; <=6>?@ABCD8 #("*+"'%*'$, <=EF?GAHCD8 #("*+"'%*!"# !"#$ %&'()* +,-./ +,-. /012 3456789:;< =>?@ABCCDEF GHIJKLM2NO PQ?@3456RS LTUVWX Y1278Z[\ ]N ^_`abcF@ dLefghiN @j f345678Lkl mnopqrstuvw xyz{|}N+,-~ €‚ƒ. F„…† ‡ˆ‰Š‹Œuv k. Ž/@Lqr s‘’“”•–—˜™ *šL›œNžŸ78  ¡¢£E ¤¥¦§“ ¨©ª«¬X ­®¯°±²³L +,-E ´Yµ¶L· ¸?G¹[º»¼@½ ŒE ¾¿“ÀÁÂÃL ŒÄ¯°ÅÆN ®‹Ç ÈR3456RSÉÊ QËÌÍÎ{ YAÏÐ ­?NFÑÒÓÔÕÖ> ×ØÙÚN ÛÜ®QÝ ÞßàmnáâN ßã ¡äå*,àŸæN çè YéêëìЭíî ã{ +,-ïðYmn ñòó“ôõ¤öN  ¾÷Y@øñ®ù27 8úû{Y@øüýñN Fþÿ“o?@ù2f @øG!L"#‘’ '(&!-‰ñt L$åNG %L&'œ(“)k *åN +,-.’“? @ù2LÌ%g/01 +,-CDGb2 LÌøv345“AÏ 6@L¢7N FLË8 9:;N ïð<=“b 2L>?N @gAA– –Lù2>ßZ<=“ ?@3456BCDF >LEFN +ù2Y® ,>56LGHN IJ “KL¢7gHM¢7 Y6ãNOLŽ?PL Q5R FÒ/SBTL UVN WX`/SY^ fYZg[\HN ¡] D^_`aD:;N®Ì J?bKLLc½de "#b2L%»1 ! Ai j k "#! " ( " ' " * $ " ! ! lm n o 书 专项小练一 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．ＢＤ．　４．０．２９１；　５．００８３７． ６．解：易知Ｘ～Ｂ６，( )１２ ，所以Ｅ（Ｘ）＝６× １ ２ ＝３， Ｄ（Ｘ）＝６×１２× １－( )１２ ＝ ３ ２． 专项小练二 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ｂ．　４．３７；　５． １ ７． ６．解：由题意可知Ｘ服从Ｎ＝１２，Ｍ＝４，ｎ＝４的超几 何分布，故Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ Ｃｋ４Ｃ ４－ｋ ８ Ｃ４１２ （ｋ＝０，１，２，３，４）． 所以Ｐ（Ｘ＝０）＝ Ｃ０４Ｃ ４ ８ Ｃ４１２ ＝７０４９５＝ １４ ９９， Ｐ（Ｘ＝１）＝ Ｃ１４Ｃ ３ ８ Ｃ４１２ ＝２２４４９５， Ｐ（Ｘ＝２）＝ Ｃ２４Ｃ ２ ８ Ｃ４１２ ＝１６８４９５＝ ５６ １６５， Ｐ（Ｘ＝３）＝ Ｃ３４Ｃ １ ８ Ｃ４１２ ＝３２４９５， Ｐ（Ｘ＝４）＝ Ｃ４４Ｃ ０ ８ Ｃ４１２ ＝ １４９５． 因此Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ １４９９ ２２４ ４９５ ５６ １６５ ３２ ４９５ １ ４９５ 一、单项选择题 １～４　ＢＡＡＣ　５～８　ＤＣＤＣ 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＢＤ；　１１．ＡＢＤ． 三、填空题 １２．３；　１３．４３；　１４．１５或１６． 四、解答题 １５．解：（１）设甲班的学生人数为Ｍ， 则 Ｃ２Ｍ Ｃ２７ ＝Ｍ（Ｍ－１）４２ ＝ １ ７， 即Ｍ２－Ｍ－６＝０，解得Ｍ ＝３或Ｍ ＝－２（舍去）． 所以７名学生中甲班的学生共有３人． （２）由题意可知Ｘ服从超几何分布． 所以Ｐ（Ｘ≥１）＝Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝２） ＝ Ｃ１３Ｃ １ ４ Ｃ２７ ＋ Ｃ２３Ｃ ０ ４ Ｃ２７ ＝ ４７＋ １ ７ ＝ ５ ７． １６．解：（１）年销售额超过４０万元的门店有４个， 则所求概率Ｐ＝ Ｃ２４Ｃ １ １６＋Ｃ ３ ４Ｃ ０ １６ Ｃ３２０ ＝ ５５７． （２）由样本估计总体，从全国随机抽取１个销售门店， 春季新款的年销售额超过４０万元的概率是 ４２０＝ １ ５， 则随机变量 (Ｘ～Ｂ ３， )１５ ， Ｐ（Ｘ＝０）＝Ｃ (０３ )１５ ( ０ )４５ ３ ＝６４１２５， Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１３× １ ５ (× )４５ ２ ＝４８１２５， Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ (２３ )１５ ２ ×４５ ＝ １２ １２５， Ｐ（Ｘ＝３）＝Ｃ (３３ )１５ ( ３ )４５ ０ ＝ １１２５， Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ６４１２５ ４８ １２５ １２ １２５ １ １２５ 所以Ｘ的期望为Ｅ（Ｘ）＝３×１５ ＝ ３ ５． １７．解：（１）记“取出的产品中次品不超过１件”为事件Ａ， 则Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ｘ＝０）＋Ｐ（Ｘ＝１） ＝ Ｃ０３Ｃ １０ １７ Ｃ１０２０ ＋ Ｃ１３Ｃ ９ １７ Ｃ１０２０ ＝ ２１９＋ １５ ３８＝ １ ２， 即取出的产品中次品不超过１件的概率是 １２． （２）由题意知ｆ（ｎ）＝Ｐ（Ｘ＝３）＝ Ｃ３ｎＣ ７ ２０－ｎ Ｃ１０２０ ， ｆ（ｎ＋１）＝ Ｃ３ｎ＋１Ｃ ７ １９－ｎ Ｃ１０２０ ． 若 ｆ（ｎ＋１） ｆ（ｎ） ＝ Ｃ３ｎ＋１Ｃ ７ １９－ｎ Ｃ３ｎＣ ７ ２０－ｎ ＝（ｎ＋１）（１３－ｎ） （ｎ－２）（２０－ｎ）＞１， 则（ｎ＋１）（１３－ｎ）＞（ｎ－２）（２０－ｎ）， 解得ｎ＜５３， 故当ｎ＜５３时，ｆ（ｎ＋１）＞ｆ（ｎ）； 当ｎ＞５３时，ｆ（ｎ＋１）＜ｆ（ｎ）， 即当ｎ＝６时，ｆ（ｎ）取得最大值． １８．解：（１）设该校报考飞行员的总人数为ｍ， 前３个小组的频率分别为ｐ１，ｐ２，ｐ３，则由条件可得 ｐ２ ＝２ｐ１， ｐ３ ＝３ｐ１， ｐ１＋ｐ２＋ｐ３＋（０．０３７＋０．０１３）×５＝１ { ， 解得ｐ１ ＝０．１２５，ｐ２ ＝０．２５，ｐ３ ＝０．３７５， 又因为ｐ２ ＝０．２５＝ １２ ｍ，所以ｍ＝４８． （２）由（１）可得， 一个报考学生体重超过６０公斤的概率为 ｐ＝ｐ３＋（０．０３７＋０．０１３）×５＝ ５ ８， 由题意知Ｘ服从二项分布，即 (Ｘ～Ｂ ２， )５８ ． Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ２×( )５８ ｋ ×( )３８ ２－ｋ （ｋ＝０，１，２）， 所以随机变量Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ９６４ １５ ３２ ２５ ６４ Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ＝２×５８ ＝ ５ ４． １９．解：（１）Ｐ（ξ＝４）＝Ｃ４５×０９ ４×０１ ＝０３２８０５≈０３３． （２）Ｐ（ξ＝１０）＝Ｃ１０ｎ ×０９ １０×０１ｎ－１０， 由题意有 Ｃ１０ｎ ×０９ １０×０１ｎ－１０≥Ｃ９ｎ×０９ ９×０１ｎ－９， Ｃ１０ｎ ×０９ １０×０１ｎ－１０≥Ｃ１１ｎ ×０９ １１×０１ｎ－１１{ ，， 则 ０９（ｎ－９）≥１， ０９（ｎ－１０）≤１１{ ， 解得 ９１ ９≤ｎ≤ １０１ ９， 由于ｎ为整数，故ｎ＝１１． （３）ξ～Ｂ（ｎ，０９），则Ｅ（ξ）＝０９ｎ，Ｄ（ξ）＝００９ｎ． 由题意０８５＜ ξｎ ＜０９５， 即０８５ｎ＜ξ＜０９５ｎ，－００５ｎ＜ξ－０９ｎ＜００５ｎ， 即｜ξ－０９ｎ｜＜００５ｎ． 由切比雪夫不等式， 有Ｐ（｜ξ－Ｅ（ξ）｜＜００５ｎ）≥１－ ００９ｎ （００５ｎ）２ ， 从而１－ ００９ｎ （００５ｎ）２ ≥０９， 解得ｎ≥３６０， 故估计ｎ的最小值为３６０． 书 专项小练　正态分布 １．随机变量Ｘ～Ｎ（１０，４），则标准差为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）２ （Ｂ）４ （Ｃ）１０ （Ｄ）１４ ２．设随机变量Ｘ～Ｎ（μ，σ２），若Ｐ（Ｘ≤１）＝ Ｐ（Ｘ≥５），则μ＝ （　　） （Ａ）２ （Ｂ）９ （Ｃ）－３ （Ｄ）３ ３．正态总体Ｎ（０，１）在区间（－３，－２）和（２， ３）上取值的概率分别为Ｐ１，Ｐ２，则 （　　） （Ａ）Ｐ１ ＞Ｐ２ （Ｂ）Ｐ１ ＜Ｐ２ （Ｃ）Ｐ１ ＝Ｐ２ （Ｄ）不确定 ４．在某项测量中，已知测量结果 Ｘ～Ｎ（２， σ２）．若Ｘ在（０，２）内取值的概率为０．４，则Ｘ在（０， ４）内取值的概率为 ． ５．已知随机变量Ｘ～Ｎ（０，σ２），且Ｐ（－２≤Ｘ ≤２）＝０．６，则 Ｐ（Ｘ＞２）的值为 ． ６．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为 Ｘ，已知 Ｘ ～Ｎ（１０００，３０２）．要使灯泡的平均寿命为１０００小 时的概率为９９．７％，问灯泡的最低寿命应控制在 多少小时？ 书 （上接第１版） （ⅱ）由ｘ＝９．９７，ｓ≈０．２１２，得μ的估计值 为 μ^＝９．９７，σ的估计值为 σ^＝０．２１２，由样本数 据可以看出有一个零件的尺寸在（μ^－３σ^，μ^＋ ３σ^）之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除（μ^－３σ^，μ^＋３σ^）之外的数据９．２２，剩下 数据的平均数为 １ １５（１６×９．９７－９．２２）＝１０．０２， 因此μ的估计值为１０．０２． ∑ １６ ｉ＝１ ｘ２ｉ ＝１６×０．２１２ ２＋１６×９．９７２ ≈１５９１．１３４， 剔除（μ^－３σ^，μ^＋３σ^）之外的数据９．２２，剩 下数据的样本方差为 １ １５（１５９１．１３４－９．２２ ２－１５ ×１０．０２２）≈０．００８，因此σ的估计值为 ０．槡 ００８ ≈０．０９． !" !" !"#$%#& '()*+,- ! ./012 !!"3435 !6;<=5 !>?@AB9$%#!&#'(!'#) !!"CD9EFGHIJKLMNOP '$' QRS;"TUVW"X>?@ !YZ>[9$%$$$) !J\@]"^_9$%#!!#'(!')* !##%))%)++(̀ abcQd !]e9fg!"J\@DhijklmYnopd !YZ]e^_9!!!+# !qrst]uv]wx] ! ! " y j k l G`J d z { | } ~ " ! ! "  E F € D  ‚ ƒ „ … †oH I J ‡ ˆ ‰ M Š ‹ Œ d   Ž  ƒ   ‘ ’ “ $ Ž f g ! " J \ @ D h ” • ,-./011'2%* –[—˜A™)* 书书书 正 态 分 布 同 步 核 心 素 养 测 评 ◎ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 若 随 机 变 量 Ｘ ～ Ｎ （ μ， σ２ ） ， 其 分 布 密 度 函 数 为 φ（ ｘ） ＝ １ １０ ２ 槡 π ｅ－ （ ｘ－ １） ２ ２０ ０ （ ｘ ∈ Ｒ ） ，则 σ 的 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） １ （ Ｂ） １０ （ Ｃ） ４ （ Ｄ ） ８ ２． 某 市 期 末 教 学 质 量 检 测 ， 甲 、 乙 、 丙 三 科 考 试 成 绩 近 似 服 从 正 态 分 布 ， 则 由 如 图 １ 曲 线 可 得 下 列 说 法 中 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 甲 学 科 总 体 的 方 差 最 小 （ Ｂ） 丙 学 科 总 体 的 均 值 最 小 （ Ｃ） 乙 学 科 总 体 的 方 差 及 均 值 都 居 中 （ Ｄ ） 甲 、乙 、丙 的 总 体 的 均 值 不 相 同 ３． 设 随 机 变 量 Ｘ 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ ３， ４） ，若 Ｐ（ Ｘ ＜ ａ － ３） ＝ Ｐ（ Ｘ ＞ ２ａ ＋ ２） ，则 ａ 的 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ５ ３ （ Ｂ） ７ ３ （ Ｃ） ３ （ Ｄ ） ５ ４ ． 设 随 机 变 量 Ｘ ～ Ｎ （ μ， ９） ，若 Ｐ（ Ｘ ＜ １） ＝ Ｐ（ Ｘ ＞ ７） ，则 （ 　 　 ） （ Ａ ） Ｅ（ Ｘ） ＝ ４， Ｄ （ Ｘ） ＝ ９ （ Ｂ） Ｅ（ Ｘ） ＝ ３， Ｄ （ Ｘ） ＝ ３ （ Ｃ） Ｅ（ Ｘ） ＝ ４， Ｄ （ Ｘ） ＝ ３ （ Ｄ ） Ｅ（ Ｘ） ＝ ３， Ｄ （ Ｘ） ＝ ９ ５． 已 知 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ μ， σ２ ） 的 随 机 变 量 在 区 间 （ μ － σ ， μ ＋ σ ） ，（ μ － ２ σ ， μ ＋ ２ σ ） 和 （ μ － ３ σ ， μ ＋ ３ σ ） 内 取 值 的 概 率 分 别 为 ６８ ．３ ％ ，９ ５． ５％ 和 ９９ ．７ ％ ．某 校 为 高 一 年 级 １ ００ ０ 名 新 生 每 人 定 制 一 套 校 服 ，经 统 计 ，学 生 的 身 高 （ 单 位 ： ｃｍ ） 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ １６ ５， ５２ ） ， 则 身 高 在 １５ ０ ～ １８ ０ ｃｍ 范 围 内 的 校 服 大 约 要 定 制 （ 　 　 ） （ Ａ ） ６８ ３ 套 （ Ｂ） ９５ ５ 套 （ Ｃ） ９７ ２ 套 （ Ｄ ） ９９ ７ 套 ６． 已 知 随 机 变 量 Ｘ 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ ３， σ２ ） ， 且 Ｐ（ Ｘ ＜ ４） ＝ ０． ７８ ，则 Ｐ（ ２ ＜ Ｘ ＜ ３） ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ０． ２ （ Ｂ） ０． ２４ （ Ｃ） ０． ２８ （ Ｄ ） ０． ３２ ７ ． 已 知 随 机 变 量 Ｘ ～ Ｎ （ ５， １） ， 且 Ｐ（ μ － σ ≤ Ｘ ≤ μ ＋ σ ） ≈ ０ ６８ ３， Ｐ（ μ － ２ σ ≤ Ｘ ≤ μ ＋ ２ σ ） ≈ ０ ９５ ５， 则 Ｐ（ ６ ＜ Ｘ ≤ ７） ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ０ １３ ５ （ Ｂ） ０ １３ ６ （ Ｃ） ０ ２７ ２ （ Ｄ ） ０ ２７ １ ８． 在 某 市 高 三 质 量 检 测 考 试 中 ， 学 生 的 数 学 成 绩 Ｘ 近 似 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ ９８ ，１ ００ ） ．已 知 参 加 本 次 考 试 的 全 市 学 生 有 ９ ４５ ５ 人 ，如 果 某 学 生 在 这 次 考 试 中 的 数 学 成 绩 是 １０ ８ 分 ， 那 么 他 的 数 学 成 绩 大 约 排 在 全 市 第 （ 　 　 ） （ Ａ ） １ ５０ ０ 名 （ Ｂ） １ ７０ ０ 名 （ Ｃ） ４ ５０ ０ 名 （ Ｄ ） ８ ００ ０ 名 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ． ９． 已 知 三 个 随 机 变 量 的 正 态 密 度 函 数 ｆ ｉ（ ｘ） ＝ １ σ ｉ ２ 槡 π · ｅ－ （ ｘ－ μ ｉ ） ２ ２ σ ２ ｉ （ ｘ ∈ Ｒ ，ｉ ＝ １， ２， ３） 的 图 象 如 图 ２ 所 示 ，则 （ 　 　 ） （ Ａ ） σ １ ＝ σ ２ （ Ｂ） μ １ ＞ μ ３ （ Ｃ） μ １ ＝ μ ２ （ Ｄ ） σ ２ ＜ σ ３ １０ ．设 随 机 变 量 Ｘ ～ Ｎ （ ０， １） ，ｆ （ ｘ） ＝ Ｐ（ Ｘ ≤ ｘ） ，其 中 ｘ ＞ ０， 则 下 列 等 式 成 立 的 有 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｆ（ － ｘ） ＝ １ － ｆ（ ｘ） （ Ｂ） ｆ（ ２ｘ ） ＝ ２ｆ （ ｘ） （ Ｃ） Ｐ（ ｜ Ｘ ｜ ≤ ｘ） ＝ ２ｆ （ ｘ） － １ （ Ｄ ） Ｐ（ ｜ Ｘ ｜ ＞ ｘ） ＝ ２ － ｆ（ ｘ） １１ ．已 知 某 校 高 三 理 科 学 生 参 加 “ 成 都 一 诊 ” 考 试 的 数 学 成 绩 Ｘ（ 单 位 ： 分 ） 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ ９５ ， σ ２ ） ，则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 （ 　 　 ） 附 ： 若 Ｘ ～ Ｎ （ μ， σ２ ） ， 则 Ｐ（ μ － σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ σ ） ≈ ０． ６８ ， Ｐ（ μ － ２ σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ ２ σ ） ≈ ０． ９５ ， Ｐ（ μ － ３ σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ ３ σ ） ≈ ０． ９９ ． （ Ａ ） σ 越 大 ，学 生 的 数 学 成 绩 在 （ ９０ ， １０ ０） 内 的 概 率 就 越 大 （ Ｂ） 当 σ ＝ ２０ 时 ，Ｐ （ ７５ ＜ Ｘ ＜ １３ ５） ≈ ０． ８１ ５ （ Ｃ） 无 论 σ 为 何 值 ，学 生 的 数 学 成 绩 大 于 ９５ 的 概 率 为 ０． ５ （ Ｄ ） 无 论 σ 为 何 值 ，学 生 的 数 学 成 绩 小 于 ７５ 与 大 于 １１ ５ 的 概 率 相 等 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．已 知 正 态 总 体 落 在 区 间 （ ０． ４， ＋ ∞ ） 上 的 概 率 是 ０． ５， 那 么 相 应 的 正 态 曲 线 ｆ（ ｘ） 在 ｘ ＝ 时 ，达 到 最 高 点 ． １３ ．已 知 随 机 变 量 Ｘ 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ ２， σ２ ） ， 且 Ｐ（ ２ ＜ Ｘ ≤ ２ ５） ＝ ０ ３６ ，则 Ｐ（ Ｘ ＞ ２ ５） ＝ ． １４ ．设 随 机 变 量 Ｘ ～ Ｎ （ μ， σ２ ） ，若 Ｐ（ Ｘ ≤ ３） ＝ ０． ３， Ｐ（ ３ ＜ Ｘ ＜ ５） ＝ ０． ４， 则 μ ＝ ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ． １５ ．（ １３ 分 ） 某 中 学 ２ ００ ０ 名 考 生 的 高 考 数 学 成 绩 近 似 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ １２ ０， １０ ０） ，求 此 校 数 学 成 绩 在 １４ ０ 分 以 上 的 考 生 人 数 ． （ 注 ： 正 态 总 体 Ｎ （ μ， σ２ ） 在 区 间 （ μ － ２ σ ， μ ＋ ２ σ ） 内 取 值 的 概 率 约 为 ０． ９５ ５） １６ ．（ １５ 分 ） 某 超 市 经 营 的 某 种 包 装 优 质 东 北 大 米 的 质 量 Ｘ（ 单 位 ： ｋｇ ） 服 从 正 态 分 布 Ｎ （ ２５ ，０ ．０ ４） ，任 意 选 取 一 袋 这 种 大 米 ，求 质 量 在 ２４ ．８ ～ ２５ ４ ｋｇ 的 概 率 ． （ 附 ： 若 Ｚ ～ Ｎ （ μ， σ２ ） ， 则 Ｐ（ ｜ Ｚ － μ ｜ ＜ σ ） ≈ ０ ６８ ２７ ， Ｐ（ ｜ Ｚ － μ ｜ ＜ ２ σ ） ≈ ０ ９ ５ ４ ５， Ｐ（ ｜ Ｚ － μ ｜ ＜ ３ σ ） ≈ ０ ９９ ７ ３） š › V œ 0  ž Ÿ   ¡ ¢ € £ ¤ ¥ { ! 5 ¦ ! 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