第43期 平均数-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 答案详解 　　　　　　　２０２４～２０２５学年　初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期　　　　　　　 ４０期２版 １９．２菱形 １９．２．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．２０；　３．７０°；　４．（槡２＋２，槡２）． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又因为ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＰＡ＝ＰＣ． ７．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＡＤＢ．因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＡＥ＝ＡＤ．所以∠Ｅ＝∠ＡＤＥ．所 以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＥ ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． ８．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＨ， 所以ＤＨ＝ＡＣ·ＢＤ２ＡＢ ＝ ２４ ５ｃｍ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＡＨ＝ ２∠ＯＡＢ．因为 ＯＨ＝ １２ＢＤ，所以 ＯＨ＝ＯＢ．所以 ∠ＯＨＢ＝ ∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝１８０°－２∠ＯＢＨ．因为 ∠ＯＡＢ＝９０°－ ∠ＯＢＨ，所以∠ＤＡＨ＝１８０°－２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． 能力提高　９．槡１７． １９．２．２菱形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．答案不惟一，如ＡＥ＝ＡＦ； ４．（２，槡２２）或（２，－ 槡２２）． ５．在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中，因为ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝ＡＣ，ＢＣ＝ ＤＣ，所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．因 为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱 形． ６．（１）因为 ＡＥ∥ ＣＦ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ＝ ∠ＣＦＤ．因为ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以四边 形ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＢＤ⊥ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是 菱形． （２）因为四边形 ＡＥＣＦ是菱形，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝２．在 Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２＋（２＋ ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 能力提高　７．（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，所 以ＦＤ＝ＥＤ，ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ．因为ＥＧ∥ＡＦ，所以 ∠ＥＧＤ＝∠ＦＤＧ．所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ．所以ＥＤ＝ＥＧ．所以 ＦＤ＝ＥＤ＝ＦＧ＝ＥＧ．所以四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２）连结ＦＣ，ＥＣ，图略．因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋ ∠Ｂ＝１８０°．所以ＡＦ∥ＣＢ．因为ＡＦ＝ＢＣ＝８，所以四边形ＡＢＣＦ 是平行四边形．所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０．根据轴对称的性质，得ＣＥ＝ ＣＦ＝１０．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＣＥ２－ＢＣ槡 ２ ＝６．所以ＡＥ＝ ＡＢ－ＢＥ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，根据勾股定理，得ＡＥ２＋ＡＤ２ ＝ ＤＥ２，即４２＋（８－ＤＦ）２＝ＤＦ２．解得ＤＦ＝５．所以Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ ·ＡＥ＝２０． ４０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ 二、９．６０°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．２４； １２．１６． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＢＣＦＥ是平行四边形， ∠ＥＭＢ＝∠ＣＢＤ．所以ＢＥ＝ＣＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以ＢＥ＝ ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １４．因为∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ，所以∠ＢＡＦ－∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ－ ∠ＥＡＦ，即∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ∠Ｂ＝∠Ｄ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＡＣ⊥ＥＦ，                                                         所以 —１— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝ＯＤ＝４．因为ＢＥ ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＥ２＝ＯＡ２ ＋ＯＥ２ ＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０．所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２．所 以△ＡＤＥ是直角三角形． １６．（１）连结ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＤ＝１８０°－ ∠Ｂ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以 ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°，所以∠ＦＥＣ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以∠ＦＥＣ＝∠ＣＦＥ．所以ＥＣ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝１２ＢＣ， 所以ＣＦ＝ １２ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． （２）连结ＡＣ，图略．因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＤ－∠ＡＣＢ＝ ６０°＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ＝∠ＥＡＦ－ ∠ＥＡＣ，即∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ．所以△ＡＢＥ≌△ＡＣＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所 以 ＡＥ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边三角形．所以∠ＡＥＦ＝６０°．因 为 ∠ＡＥＦ ＋∠ＦＥＣ ＝ ∠Ｂ ＋∠ＢＡＥ， 所 以 ∠ＦＥＣ ＝ ∠ＢＡＥ＝２０°． 附加题　１．（１）因为Ｅ为ＡＢ的中点，所以 ＡＢ＝２ＡＥ＝ ２ＢＥ．因为ＡＢ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ．因为ＡＥ∥ＣＤ，所以四边 形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为 ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＡＣ．因为ＡＢ∥ＣＤ，所以 ∠ＤＣＡ＝∠ＥＡＣ．所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＤＣＡ．所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝∠Ｄ＝１２０°．所以ＣＥ＝ＢＥ， ∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝６０°．所以∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ＝３０°， △ＣＥＢ是等边三角形．所以ＢＣ＝２，∠ＥＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＢ ＝∠ＡＣＥ ＋∠ＥＣＢ ＝９０°．根据勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ 槡２３． ２．（１）连结ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ为菱形，∠ＢＡＤ＝ １２０°，所以ＡＢ＝ＢＣ，∠ＢＡＣ＝６０°，即∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＣ＝６０°． 所以△ＡＢＣ是等边三角形．所以ＡＢ＝ＡＣ．因为△ＡＥＦ是等边 三角形，所以 ＡＥ＝ＡＦ，∠ＥＡＦ＝６０°，即 ∠ＣＡＦ＋∠ＥＡＣ＝ ６０°．所 以 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＦ． 在 △ＡＢＥ和 △ＡＣＦ中， ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ， ＡＥ＝ＡＦ { ， 所以 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＢＥ＝ＣＦ． （２）四边形ＡＥＣＦ的面积不变，△ＣＥＦ的周长发生变化． 由（１），得 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ．所以 Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＡＣＦ．所以 Ｓ四边形ＡＥＣＦ ＝Ｓ△ＡＥＣ ＋Ｓ△ＡＣＦ ＝Ｓ△ＡＥＣ ＋Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＡＢＣ，即四边形 ＡＥＣＦ的面积不变．因为△ＣＥＦ的周长为：ＣＥ＋ＣＦ＋ＥＦ＝ＣＥ ＋ＢＥ＋ＥＦ＝ＢＣ＋ＥＦ＝ＢＣ＋ＡＥ，所以△ＣＥＦ的周长发生变 化．过点Ａ作ＡＧ⊥ ＢＣ于点 Ｇ，图略．当点 Ｅ滑动到点 Ｇ时， △ＣＥＦ的周长最小．此时ＢＧ＝１２ＢＣ＝１．根据勾股定理，得ＡＧ ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２ ＝槡３．所以Ｓ四边形ＡＥＣＦ ＝Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＡＧ＝ １ ２×２×槡３＝槡３，△ＣＥＦ的周长的最小值为：ＢＣ＋ＡＧ＝２＋槡３． ４１期２版 １９．３正方形 １９．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．在△ＢＣＥ和△ＤＣＦ中，因为ＢＥ＝ＤＦ，∠Ｂ＝∠Ｄ， ＢＣ＝ＤＣ，所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为 点Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ＣＤ ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股定 理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． 能力提高　６．槡２． ７．连结 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．在 △ＡＤＥ和 △ＡＢＦ中，因为 ＡＤ ＝ＡＢ，∠ＥＡＤ ＝ ∠ＦＡＢ，ＡＥ＝ＡＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＡＢＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＤＥ＝ ＢＦ＝２，∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝４５°．所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ ＝９０°．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １９．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以 ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为 ＢＥ ⊥ＥＦ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°．因为 ∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＥ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠                                                                      ＣＥＢ＋ —２— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．在 △ＡＢＤ和△ＣＢＤ中，因为 ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，ＢＤ＝ ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． ７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形．所以 ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，所以 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ． 所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ４１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ 二、９．槡６；　１０．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ；　１１．槡７； １２．槡６１． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ ＝４５°．因为 ＢＥ＝ＢＤ，所以 ∠ＢＤＥ＝∠Ｅ＝ １２（１８０°－ ∠ＥＢＤ）＝６７．５°．所以∠ＥＤＡ＝∠ＢＤＥ－∠ＡＤＢ＝２２．５°． １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以 ∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＡＥ中，因为∠Ｂ＝∠ＥＡＤ，∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ，ＡＦ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ 是正方形． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中，因为ＡＤ＝ＣＢ，∠ＤＡＥ ＝∠ＢＣＦ，ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ ＯＦ．所以四边形ＢＥＤＦ为菱形． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和 ＣＥＦＧ都是正方形，所以 ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ． 所以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连结ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ２ ＝１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得 ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝ ４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． 附加题　１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ ＝９０°．所以∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°．所以平行四边形 ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略．因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边 形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ．所以ＤＣ∥ＧＦ． 所以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ．因为Ｐ是线段ＤＦ的 中点，所以ＤＰ＝ＦＰ．在 △ＤＨＰ和 △ＦＧＰ中，因为 ∠ＤＨＰ＝ ∠ＦＧＰ，∠ＨＤＰ ＝ ∠ＧＦＰ，ＤＰ ＝ ＦＰ， 所 以 △ＤＨＰ ≌ △ＦＧＰ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＨＰ＝ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ．当 ∠ＣＰＧ＝９０° 时，ＰＧ⊥ＰＣ．所以ＣＨ＝ＣＧ．所以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ ＝ＢＧ．所以ＢＧ＝ＦＧ．所以平行四边形ＢＥＦＧ是菱形．由（１）知 四边形ＢＥＦＧ是矩形．所以四边形ＢＥＦＧ是正方形． ２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形ＥＦＧＨ为菱形，所 以∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＨＧ＝ＨＥ．在Ｒｔ△ＡＨＥ和Ｒｔ△ＤＧＨ中，因 为ＥＨ＝ＨＧ，ＡＨ＝ＤＧ，所以Ｒｔ△ＡＨＥ≌Ｒｔ△ＤＧＨ（Ｈ．Ｌ．）．所 以∠ＡＥＨ＝∠ＤＨＧ．因为∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ＝９０°，所以∠ＡＨＥ ＋∠ＤＨＧ＝９０°．所以∠ＥＨＧ＝９０°．所以四边形ＥＦＧＨ为正方 形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ－ ＡＨ＝４，ＣＧ＝ＤＣ－ＤＧ＝５．由勾股定理，得ＨＧ２＝ＤＧ２＋ＤＨ２ ＝２０．因为四边形 ＥＦＧＨ是正方形，所以 ＦＧ２ ＝２０，∠ＥＦＧ＝ ９０°．所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°．由勾股定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５． ４２期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 二、１３．２０；　１４．７０°；　１５．ＢＤ＝ＡＣ且ＢＤ⊥ＡＣ； １６．４．８． 三、１７．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｄ＝９０°，ＣＤ＝ ＡＢ＝４，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＣＢＥ．因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ， 所以∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ．所以                                                                      ＡＥ＝ＡＢ＝ —３— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ４．因为ＡＤ＝７，所以ＥＤ＝ＡＤ－ＡＥ＝３．根据勾股定理，得ＥＣ ＝ ＥＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝５． １８．因为 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＯ ＝∠ＣＢＯ，∠ＤＡＯ ＝ ∠ＢＣＯ．因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ ＣＢ．在 △ＡＤＯ和 △ＣＢＯ中，因为 ∠ＡＤＯ＝∠ＣＢＯ，∠ＤＡＯ＝ ∠ＢＣＯ，ＯＡ＝ＯＣ，所以△ＡＤＯ≌△ＣＢＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＤ＝ ＣＢ．所以ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝ＣＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １９．连结ＧＥ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ为正方形，所以ＡＢ∥ ＣＤ．所以∠ＣＧＥ＝∠ＡＥＧ．因为四边形ＥＦＧＨ为菱形，所以ＧＦ ∥ＨＥ．所以∠ＨＥＧ＝∠ＦＧＥ．所以∠ＡＥＧ－∠ＨＥＧ＝∠ＣＧＥ－ ∠ＦＧＥ，即∠ＨＥＡ＝∠ＣＧＦ． ２０．（１）过点Ｇ作ＧＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，图略．因为ＧＥ⊥ＢＣ，ＧＦ ⊥ＡＣ，所以∠ＣＥＧ＝∠ＣＦＧ＝９０°．因为∠Ｃ＝９０°，所以四边 形ＧＥＣＦ是矩形．因为∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ的平分线交于点Ｇ，所以 ＥＧ＝ＤＧ＝ＦＧ．所以四边形ＧＥＣＦ是正方形． （２）连结ＣＧ，图略．因为ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，∠ＡＣＢ＝９０°，由 勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝５．因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＧ ＋ Ｓ△ＡＣＧ ＋Ｓ△ＢＣＧ，所以 １ ２×３×４＝ １ ２×５ＥＧ＋ １ ２×４ＥＧ＋ １ ２× ３ＥＧ．解得ＥＧ＝１．所以四边形ＧＥＣＦ的面积为：ＥＧ２ ＝１． ２１．（１）１． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ＝２ＯＡ，ＢＤ ＝ ２ＯＢ，ＡＢ＝ＢＣ．因为∠ＡＢＣ＝６０°，所以△ＡＢＣ是等边三角形． 所以 ＡＢ＝２ＯＡ．根据勾股定理，得 ＯＢ＝ ＡＢ２－ＯＡ槡 ２ ＝ 槡３ＯＡ．所以菱形ＡＢＣＤ的“接近度”为： ｍ ｎ ＝ 槡２３ＯＡ ２ＯＡ ＝槡３． （３）因为菱形ＡＢＣＤ的“接近度”是２，所以ＢＤ＝２ＡＣ．所 以ＯＢ＝２ＯＡ．因为菱形ＡＢＣＤ的边长为５，所以ＯＡ２＋ＯＢ２ ＝ ５ＯＡ２ ＝２５．解得ＯＡ＝槡５．所以ＢＤ＝ 槡４５． ２２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＯＡ＝ＯＣ＝１２ＡＣ， ＯＢ＝ＯＤ＝ １２ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．在 △ＢＥＯ和△ＣＥＯ中，因为ＢＥ＝ＣＥ，ＯＥ＝ＯＥ，ＯＢ＝ＯＣ，所以 △ＢＥＯ≌△ＣＥＯ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ＝ ９０°，ＡＢ＝ＤＣ．在Ｒｔ△ＢＡＥ和Ｒｔ△ＣＤＥ中，因为ＢＥ＝ＣＥ，ＡＢ＝ ＤＣ，所以Ｒｔ△ＢＡＥ≌Ｒｔ△ＣＤＥ（Ｈ．Ｌ．）．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ， ＡＥ＝ＤＥ．因为ＯＡ＝ＯＤ，所以∠ＯＥＡ＝∠ＯＥＤ＝９０°，∠ＤＡＯ ＝∠ＡＤＯ．所以ＡＢ∥ＯＥ∥ＤＣ．所以Ｓ△ＡＥＯ ＝Ｓ△ＢＥＯ，Ｓ△ＤＥＯ ＝ Ｓ△ＣＥＯ．所以Ｓ△ＡＥＯ －Ｓ△ＥＦＯ ＝Ｓ△ＢＥＯ －Ｓ△ＥＦＯ，即Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＢＦＯ， Ｓ△ＤＥＯ －Ｓ△ＥＨＯ ＝Ｓ△ＣＥＯ －Ｓ△ＥＨＯ，即Ｓ△ＤＥＨ ＝Ｓ△ＣＨＯ．在△ＡＥＦ和 △ＤＥＨ中，因为∠ＥＡＦ＝∠ＥＤＨ，ＡＥ＝ＤＥ，∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＨ， 所以△ＡＥＦ≌△ＤＥＨ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＤＥＨ．因为ＤＧ ∥ ＡＣ，所以 ∠Ｇ＝∠ＡＦＥ，∠ＧＤＥ＝∠ＦＡＥ．在 △ＡＥＦ和 △ＤＥＧ中，因为∠ＡＦＥ＝∠Ｇ，∠ＦＡＥ＝∠ＧＤＥ，ＡＥ＝ＤＥ，所以 △ＡＥＦ≌△ＤＥＧ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＤＥＧ．所以△ＤＥＨ， △ＣＨＯ，△ＤＥＧ，△ＢＦＯ的面积都与△ＡＥＦ的面积相等． ４３期２版 ２０．１平均数 ２０．１．１平均数的意义 基础训练　１．Ｃ；　２．１；　３．１０ｍ＋２３ｎ３３ ． ４．这２０户家庭的月平均用水量是：１２０×（４×２＋５×３＋ ６×７＋８×５＋９×２＋１１×１）＝６．７（吨）． 能力提高　５．Ｄ． ２０．１．２用计算器求平均数 基础训练　１．Ｄ． ２．（１）１；　（２）－１３．７５；　（３）８６．５． ２０．１．３加权平均数 基础训练　１．Ｃ；　２．２９． ３．（１）甲的平均成绩为：８０＋８７＋８２３ ＝８３（分）； 乙的平均成绩为： ８０＋９６＋７６ ３ ＝８４（分）． 因为８４＞８３，所以应该录取乙． （２）甲的综合成绩为：８０×２０％＋８７×２０％＋８２×６０％ ＝ ８２．６（分）； 乙的综合成绩为：８０×２０％ ＋９６×２０％ ＋７６×６０％ ＝ ８０．８（分）． 因为８２．６＞８０．８，所以应该录取甲． ２０．２数据的集中趋势 ２０．２．１中位数和众数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．８１；　５．１４分． ６．（１）５．５，４； （２）这１００名学生平均每人植树：１１００×（４×３０＋５×２０＋ ６×２５＋８×１５＋１０×１０）＝５．９（棵）． ２０．２．２平均数、中位数和众数的选用 基础训练　１．（１）表中依次填１，１，２，３，４，５，３，１，年平均 收入为１．６； （２）１．２，１．３； （３）众数． ２．（１）这 １５名工人该天加工零件的平均数为： １８×１＋１６×１＋１０×２＋８×６＋７×３＋６×２ １５ ＝９（件）． （２）这１５名工人该天加工零件的中位数是８件，                                                                      众数是 —４— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ８件． （３）不会．理由如下： ９件是平均数，但表中数据显示，每日能完成９件的只有 ４人，还有１１人不能达到此定额，将每名工人的日加工零件任 务数定为９件不利于调动多数工人的生产积极性． ４３期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 二、９．２３．５；　１０．５；　１１．２．８；　１２．１９或２０． 三、１３．（１）１６，１７． （２）这１０位居民一周内使用共享单车的平均次数是：１１０ ×（０＋７＋９＋１２＋１５＋１７×３＋２０＋２６）＝１４（次）． １４．（１）该员工本年度平时表现的平均成绩为：１４×（１０６ ＋１０２＋１１４＋１１０）＝１０８（分）． （２）该员工本年度的综合考评成绩为：１０８×１０％ ＋１１０× ２０％ ＋１０７×７０％ ＝１０７．７（分）． １５．（１）这１０名工人该月生产零件的平均个数为：１１０× （６００＋４８０＋２２０×３＋１８０×４＋１２０）＝２５８（个）． （２）因为共有１０名工人，所以中位数为：（２２０＋１８０）÷２ ＝２００（个），众数为１８０个． 从平均数看，当月生产目标定为２５８个时，有２名工人获得 奖励，不利于调动工人的积极性； 从中位数看，当月生产目标定为２００个时，有５名工人获得 奖励，不利于调动工人的积极性； 从众数看，当月生产目标定为１８０个时，有９名工人获得奖 励，有利于调动工人的积极性． 综上所述，当月生产目标定为１８０个时，有利于调动大多 数工人的积极性． １６．（１）一班Ｃ等级的学生有：２５－６－１２－５＝２（名）．补 图略． （２）一班的平均数为：ａ＝１２５×（６×１００＋１２×８５＋２× ７５＋５×６０）＝８２．８（分）； 一班的中位数为：ｂ＝８５（分）； 二班的众数为：ｃ＝１００（分）． （３）①从平均数、众数方面来比较，二班的成绩更好． ②一班Ｂ级以上（包括Ｂ级）的同学有：６＋１２＝１８（名）； 二班 Ｂ级以上（包括 Ｂ级）的同学有：２５×（４４％ ＋４％）＝ １２（名）． 因为１８＞１２，所以从Ｂ级以上（包括Ｂ级）的人数方面来 比较，一班的成绩更好． 附加题　１．（１）１５，１５． （２）１５，５．５． （３）用“平均数”这个数据指标不能较好反映人群年龄特 征的是乙群游客．理由如下： 乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，平均 数高于大部分成员的年龄． ２．（１）Ｃ等级的同学有５人，成绩分别为：７７，７３，７２，７９，７８． 所以３月份体育测试成绩为Ｃ等级的同学的平均成绩为：１５× （７７＋７３＋７２＋７９＋７８）＝７５．８（分）． （２）由表中数据可知，３０名同学中，Ａ等级的有１０人，Ｂ等 级的有１１人，Ｃ等级的有５人，Ｄ等级的有４人．所以强化训练 后该班同学平均成绩所提高的分数为： １ ３０×（０．９×１０＋５×１１ ＋１０×５＋１５×４）＝５．８（分）． ４４期２版 ２０．３数据的离散程度 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．２；　４．（１）４，（２）＞． ５．教练应该选择甲选手参加射击比赛．理由如下： 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ甲 ＝ ８＋８＋７＋８＋９ ５ ＝８（环）， 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２甲 ＝ （８－８）２×３＋（７－８）２＋（９－８）２ ５ ＝０．４； 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ乙 ＝ ５＋９＋７＋１０＋９ ５ ＝８（环）， 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２乙 ＝ （５－８）２＋（７－８）２＋（９－８）２×２＋（１０－８）２ ５ ＝３．２． 因为甲、乙的平均成绩相同，但甲成绩的方差小于乙成绩 的方差，所以教练应该选择甲选手参加射击比赛． 专题　数据的分析 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．８７． ４．（１）表格第一行填入７，８；第二行从左到右依次填入８；８． （２）李雷射击成绩的方差为：１１０×［２×（５－７） ２＋（６－７）２＋ ３×（７－７）２＋３×（８－７）２＋（９－７）２］＝１．６； 林涛射击成绩的方差为： １ １０×［（３－７） ２＋（４－７）２＋（５ －７）２＋（６－７）２＋３×（８－７）２＋２×（９－７）２＋（１０－７）２                                                                      ］ —５— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ＝５． （３）李雷的射击成绩更好．理由如下： 李雷和林涛的射击成绩的平均数一样，但是李雷的方差更 小，波动更小，成绩更稳定（答案不惟一，合理即可）． ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ 二、１３．甲；　１４．９．５分；　１５．平均数； １６．－３或７或１３４． 三、１７．李大爷这３天的平均步数是：１３×（６２００＋５５００＋ ７２００）＝６３００（步）． １８．本学期王刚的数学总成绩为：８５×１＋９０×２＋９５×２１＋２＋２ ＝９１（分）． 因为９１＞９０，总成绩大于９０分为优秀，所以本学期王刚的 数学成绩是优秀． １９．（１）８次，８．５次． （２）乙成绩的平均数为：５＋６＋８＋９＋１０＋１０６ ＝８（次）， 方差为： １ ６×［（５－８） ２＋（６－８）２＋（８－８）２＋（９－８）２ ＋２×（１０－８）２］＝１１３． 因为１＜１１３，所以甲引体向上的成绩更稳定． ２０．（１）根据题意，得 １１５×（５×３＋２×８＋１×７＋４×４＋ ３×９）＝５．４（万元）． 答：这个公司平均每人所创年利润是５．４万元． （２）Ｄ部门的员工不能获奖．理由如下： 获奖人数为：１５×４０％ ＝６（名）． 个人所创年利润由高到低分别为：Ｅ部门３名，Ｂ部门２名， Ｃ部门１名，共６名．所以Ｄ部门的员工不能获奖． ２１．（１）ａ＝ １５×（７＋１０＋１０＋７．５＋８）＝８．５． 把甲班成绩按从小到大的顺序排列，最中间的数是８．５， 则ｂ＝８．５． 乙班成绩中１０分出现的次数最多，则ｃ＝１０． ｄ＝ １５×［（８．５－８．５） ２×２＋（７．５－８．５）２＋（８－８．５）２ ＋（１０－８．５）２］＝０．７． （２）从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定（答 案不惟一，合理即可）． （３）因为乙班成绩的中位数是８分，所以小明的成绩是 ８分．所以小明是５号选手． ２２．（１）１４４．乙车间４月份工资为５千元的有：１０－５－２－ １＝２（名）．补图略． （２）由扇形统计图，得甲车间员工工资为４千元、５千元、 ６千元、７千元、８千元的员工分别有１名、２名、４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平均工资为： １ １０×（４×１＋５×２＋６× ４＋７×２＋８×１）＝６（千元），方差为：１１０×［（４－６） ２＋２× （５－６）２＋４×（６－６）２＋２×（７－６）２＋（８－６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６，所以甲车间员工的工资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工工资的中位数为：６＋６２ ＝６（千元）． 因为甲车间员工工资低于６千元的有３名，不低于６千元 的有７名，所以新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位 数，所以ｎ的最小值为：７－３＝４． 所以当这４名员工工资低于６千元，且是较高工资时，这 ４名员工的工资和取得最大值． 所以这４名员工的工资分别为４千元、４千元、５千元、５千元． 所以这４名员工的工资和的最大值为：４＋４＋５＋５＝ １８（千元）                                                      ． —６— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 书 在具体问题中，权往往有多种表现形式，所以计算加 权平均数的关键是又快又准地找出隐含在问题中的权． 一、以个数的形式出现 例１　小明在一次射击训练中，连续１０次的成绩为 １次１０环，３次９环，６次８环，则小明这１０次射击的平均 成绩为 环． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：根据题目中的数据和加权平均数的计算方法 求解即可． 小 明 这 １０ 次 射 击 的 平 均 成 绩 为： １０×１＋９×３＋８×６ １０ ＝８．５（环）．故填８．５． 二、以百分数的形式出现 例２　希望中学规定学生的学期体育成绩满分为 １００分，其中体育课外活动占 ２０％，期中考试成绩占 ３０％，期末考试成绩占５０％．若小强的三项成绩（百分 制，单位：分）依次是９５，９０，９１，则小强这学期的体育成 绩是 （　　） Ａ．９２分 Ｂ．９１．５分 Ｃ．９１分 Ｄ．９０分 解析：根据加权平均数的计算公式计算即可． 小强这学期的体育成绩是：９５×２０％ ＋９０×３０％ ＋ ９１×５０％ ＝９１．５（分）．故选Ｂ． 三、以比的形式出现 例３　某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人 进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为１００分， 根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表 所示： 候选人 通识知识 专业知识 实践能力 甲 ８０ ９０ ８５ 乙 ８０ ８５ ９０ 根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践 能力三项测试得分按２∶５∶３的比例确定每人的最终成 绩，最终将被录用的是 （填“甲”或“乙”）． 解析：要确定谁将被录用，需比较甲、乙两人各自的 最终成绩谁的高，这就要计算两人在通识知识、专业知 识和实践能力这三项上的加权平均数，２，５，３分别是它 们的权． 甲的最终成绩为： ８０×２＋９０×５＋８５×３ ２＋５＋３ ＝ ８６．５（分）；乙的最终成绩为：８０×２＋８５×５＋９０×３２＋５＋３ ＝ ８５．５（分）．因为８６．５＞８５．５，所以甲将被录用．故填甲． 书 一、对权视而不见 例１　某次舞蹈比赛的评分规则为：将六名裁判的 成绩，先去掉一个最高成绩和一个最低成绩后，再计算 平均成绩，这个平均成绩就是选手的最终得分．小荆跳 完后，六名裁判给出的成绩（单位：分）如下： 成绩 ９４ ９６ ９７ 人数 ２ ３ １ 根据评分规则，小荆的最终得分是 分． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 错解：小 荆 的 最 终 得 分 是： ９４＋９６＋９７ ３ ＝ ２８７ ３（分）．故填 ２８７ ３． 剖析：错解忽视了三种分数的人数（权）的不同，故 应计算它们去掉一个最高成绩和一个最低成绩后的加 权平均数． 正解： ． 二、将数据与次数混淆 例２　现有５０个苹果的重量（单位：ｇ）如下表： 质量 １００ １２０ １４０ １６０ 数量 １０ １５ １７ ８ 则这组数据的众数和中位数分别是 （　　） Ａ．１４０，１３０ Ｂ．１４０，１２０ Ｃ．１７，１６ Ｄ．１７，１３０ 错解：因为１４０出现了１７次，次数最多，所以众数是 １７；中位数是第２５和第２６个数的平均数，所以中位数是 １３０．故选Ｄ． 剖析：众数是一组数据中出现最多的数据，错解认 为是出现最多的次数． 正解： ． 三、误认为众数惟一 例３　一组数据８，７，３，８，１２，７，１５，９的众数是 （　　） Ａ．７ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．７和８ 错解：发现数据８出现了２次，出现的次数最多，所 以众数是８．故选Ｂ． 剖析：数据８和７都出现了２次，其他数据只出现了 １次，所以众数是７和８． 正解： ． 四、求中位数不排序 例４　某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高 的７名运动员的成绩（单位：ｍ）如下：１．２０，１．２５，１．１０， １．１５，１．３５，１．３０，１．３０，则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 ． 错解：在 １．２０，１．２５，１．１０，１．１５，１．３５，１．３０，１．３０， 排在最中间的数据是１．１５，所以这组数据的中位数是 １．１５．故填１．１５． 剖析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列， 位于最中间的一个数（或两个数的平均数）即为这组数 据的中位数，错解忽视了确定中位数要先排序． 正解： ． 温馨提示：求一组数据的中位数，具体地说，把ｎ个 数排好序后，有两种情况：①如果ｎ为奇数，则这组数据 的中位数就是最中间的那个数；② 如果 ｎ为偶数，则这 组数据的中位数就是最中间两个数的平均数． 五、混淆中位数与众数 例５　某校为举行“体育艺术节”，在各班征集了艺 术作品．现从九年级７个班收集到的作品数量（单位： 件）分别为：３８，４１，４０，３６，４２，４１，３９．这组数据的中位数 是 （　　） Ａ．３８ Ｂ．３９ Ｃ．４０ Ｄ．４１ 错解：在３８，４１，４０，３６，４２，４１，３９中，出现次数最多 的数据是４１，所以这组数据的中位数是４１．故选Ｄ． 剖析：出现次数最多的数据是众数，而中位数是把 数据按从小到大的顺序排列后位于最中间的一个数（或 两个数的平均数），错解把中位数与众数混淆了． 正解： ． 温馨提示：要注意中位数与众数的区别，中位数是 就位置而言，而众数是要看出现次数． !"#$%&'( ) *+%&,-./01' !"#$%#&'$&() *+23,-./01' *"#$+#&'$!"# !!"#$#% !&,-.% !/0123*-"#.+#&'.&#( !!"45*6789:;<=>?@A &-&BCD,"EFGH"IJKGL/01 !MN/O*-"---( !;P1Q"RS*-"#.$#&'.&(/ .##"(("())'TUVWBX !QY*Z[!";P15\]^_`aMbTcX !MNQYRS*...)# !defgQhiQjkQ ! ! 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" ; P 1 5 \ ‡ ˆ 67‰ŠEL‹Œ 67‰EnŽ‘’“‹” GH"I/0.% I•*–—˜ _™š›œ.%žB*!"#$%&'()(*T+X MŸ B*,-.,)/ 书 （上接４版参考答案） ２．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ为 矩 形，四 边 形 ＥＦＧＨ为菱形，所以∠Ｄ＝ ∠Ａ＝９０°，ＨＧ＝ＨＥ．在 Ｒｔ△ＡＨＥ和 Ｒｔ△ＤＧＨ中， 因为ＥＨ＝ＨＧ，ＡＨ＝ＤＧ， 所 以 Ｒｔ△ＡＨＥ ≌ Ｒｔ△ＤＧＨ（Ｈ．Ｌ．）． 所 以 ∠ＡＥＨ ＝ ∠ＤＨＧ．因 为 ∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ＝９０°，所 以∠ＡＨＥ＋∠ＤＨＧ＝９０°． 所以∠ＥＨＧ＝９０°．所以四 边形ＥＦＧＨ为正方形． （２）因为 ＡＤ＝６，ＤＣ ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以 ＤＨ＝ＡＤ－ＡＨ＝４，ＣＧ＝ ＤＣ－ＤＧ＝５．由勾股定理， 得ＨＧ２＝ＤＧ２＋ＤＨ２＝２０． 因为四边形 ＥＦＧＨ是正方 形，所以ＦＧ２ ＝２０，∠ＥＦＧ ＝９０°．所以∠ＣＦＧ＝１８０° －∠ＥＦＧ＝９０°．由勾股定 理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５． 上期检测卷 一、１．Ａ；　２．Ｂ； ３．Ｂ；　４．Ｃ；　５．Ｄ； ６．Ｂ；　７．Ａ；　８．Ｄ； ９．Ｃ；　１０．Ｄ； １１．Ａ；　１２．Ｂ． 二、１３．２０；　１４．７０°； １５．ＢＤ＝ＡＣ且ＢＤ⊥ ＡＣ； １６．４．８． 三、１７．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝ ９０°，ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＡＤ∥ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＣＢＥ． 因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＣＢＥ．所 以 ∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ．所以 ＡＥ ＝ＡＢ＝４．因为ＡＤ＝７，所 以ＥＤ＝ＡＤ－ＡＥ＝３．根据 勾 股 定 理， 得 ＥＣ ＝ ＥＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝５． １８．因为 ＡＤ∥ ＢＣ，所 以 ∠ＡＤＯ ＝ ∠ＣＢＯ， ∠ＤＡＯ＝∠ＢＣＯ．因为ＢＤ 垂直平分 ＡＣ，所以 ＯＡ＝ ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ＣＢ．在 △ＡＤＯ和 △ＣＢＯ中，因为 ∠ＡＤＯ ＝ ∠ＣＢＯ，∠ＤＡＯ ＝∠ＢＣＯ，ＯＡ＝ＯＣ，所以 △ＡＤＯ≌△ＣＢＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＡＤ＝ＣＢ．所以ＡＤ＝ ＣＤ＝ＡＢ＝ＣＢ．所以四边 形ＡＢＣＤ是菱形． １９．连结 ＧＥ，图略．因 为四边形ＡＢＣＤ为正方形， 所以ＡＢ∥ＣＤ．所以∠ＣＧＥ ＝∠ＡＥＧ．因为四边形 ＥＦＧＨ为菱形，所以 ＧＦ∥ ＨＥ． 所 以 ∠ＨＥＧ ＝ ∠ＦＧＥ． 所 以 ∠ＡＥＧ － ∠ＨＥＧ＝∠ＣＧＥ－∠ＦＧＥ， 即∠ＨＥＡ＝∠ＣＧＦ． ２０．（１）过点 Ｇ作 ＧＤ ⊥ＡＢ于点 Ｄ，图略．因为 ＧＥ⊥ＢＣ，ＧＦ⊥ＡＣ，所以 （下转２，３版中缝） 书 ４１期２版 １９．３正方形 １９．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．在△ＢＣＥ和△ＤＣＦ中，因为ＢＥ＝ＤＦ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＣ ＝ＤＣ，所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为点 Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ＣＤ＝ １，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股定 理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． 能力提高　６．槡２． ７．连结 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ ＝ ∠ＦＡＢ．在△ＡＤＥ和△ＡＢＦ中，因为ＡＤ＝ＡＢ，∠ＥＡＤ＝∠ＦＡＢ， ＡＥ＝ＡＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＡＢＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＤＥ＝ＢＦ＝２， ∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝４５°．所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ＝９０°． 根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １９．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以ＯＢ＝１．因为ＡＢ ＝槡２，所以ＯＡ２＋ＯＢ２ ＝ＡＢ２．所以 ∠ＡＯＢ＝９０°．所以 ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＥ⊥ ＥＦ，所以∠ＢＥＦ＝９０°．因为∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以∠ＣＥＢ ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０°－（∠ＣＥＦ ＋∠ＡＢＥ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ）＝ ４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ＢＣ．所以四 边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＣＢＤ．在 △ＡＢＤ和△ＣＢＤ中，因为ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，ＢＤ＝ＢＤ， 所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行四 边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以 ∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以 ＰＭ ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． ７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形．所以ＡＤ ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因为 ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为ＡＤ∥ ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，所以 ∠ＦＢＥ ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ．所以 ∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ４１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ 二、９．槡６；　１０．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ；　１１．槡７；　１２．槡６１． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ ＝４５°．因为ＢＥ＝ＢＤ，所以∠ＢＤＥ＝∠Ｅ＝１２（１８０°－∠ＥＢＤ） ＝６７．５°．所以∠ＥＤＡ＝∠ＢＤＥ－∠ＡＤＢ＝２２．５°． １４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝∠ＢＡＦ ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以∠ＡＤＥ ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．在△ＡＢＦ和△ＤＡＥ中， 因为∠Ｂ＝∠ＥＡＤ，∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ，ＡＦ＝ＤＥ，所以△ＡＢＦ≌ △ＤＡＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中，因为ＡＤ＝ＣＢ，∠ＤＡＥ ＝∠ＢＣＦ，ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ ＯＦ．所以四边形ＢＥＤＦ为菱形． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和ＣＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ＝ ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ＥＦ ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以 ∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ． 所以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连结ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ２＝１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得ＫＥ ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝４． 所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． 附加题　１．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ∠ＡＢＣ ＝９０°．所以∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°．所以平行四边形 ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略．因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边 形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ．所以ＤＣ∥ＧＦ．所 以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ．因为Ｐ是线段 ＤＦ的中 点，所以 ＤＰ＝ＦＰ．在 △ＤＨＰ和 △ＦＧＰ中，因为 ∠ＤＨＰ＝ ∠ＦＧＰ，∠ＨＤＰ ＝ ∠ＧＦＰ，ＤＰ ＝ ＦＰ， 所 以 △ＤＨＰ ≌ △ＦＧＰ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＨＰ＝ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ．当∠ＣＰＧ＝９０°时， ＰＧ⊥ＰＣ．所以ＣＨ＝ＣＧ．所以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ＝ＢＧ． 所以ＢＧ＝ＦＧ．所以平行四边形ＢＥＦＧ是菱形．由（１）知四边形 ＢＥＦＧ是矩形．所以四边形ＢＥＦＧ是正方形． （下转１，４版中缝） 书 （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）公园里有甲、乙两群游客，年龄（单位：岁） 如下表所示： 甲群 １３ １３ １４ １５ １５ １５ １５ １６ １７ １７ 乙群 ３ ４ ４ ５ ５ ６ ６ ６ ５４ ５７ （１）甲群游客的平均年龄是 岁，众数是 岁； （２）乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁； （３）这两群游客里，用“平均数”这个数据指标不能 较好反映人群年龄特征的是哪群游客？请说明理由． ２．（１２分）为了解同学的体能情况，乐乐将全班同 学３月份的体育测试成绩（单位：分）绘制成下表： ６６ ６９ ７７ ７３ ７２ ６２ ７９ ７８ ６６ ８２ ８６ ８４ ８３ ８４ ８６ ８７ ８９ ８５ ８６ ８８ ９６ ９７ ９１ ９８ ９０ ９５ ９６ ９３ ９２ ９９ 设测试成绩为ｘ分，当ｘ≥９０时记为Ａ等级，８０≤ｘ ＜９０时记为Ｂ等级，７０≤ｘ＜８０时记为Ｃ等级，ｘ＜７０ 时记为Ｄ等级．请根据表格信息，解答下列问题： （１）试求出３月份体育测试成绩为Ｃ等级的同学的 平均成绩； （２）全班同学积极响应学校号召，经过一个多月的 强化训练，并参加对比式体育测试．乐乐再次统计成绩 后，发现Ｄ等级的同学平均成绩提高１５分，Ｃ等级的同 学平均成绩提高１０分，Ｂ等级的同学平均成绩提高５分， Ａ等级的同学平均成绩提高０．９分．请求出强化训练后 该班同学平均成绩所提高的分数． """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""# " " $ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%$ " " $ ¡† ! !"¢†£ T¤¥¦§¨©'X & ª« ¬­® ¤¥¦§*¯./#,#°¯&0°¯"1° ¯2.3&#°¯#4, T±²³ "%X 书 一、用平均数决策 例１　张华与王强两名学生期末６科考试成绩如下： 科目 政治 语文 英语 数学 物理 化学 张华 ８８ ８４ ９１ ９６ ７６ ８１ 王强 ８３ ９５ ８９ ９３ ８９ ６７ 现要从中选一名同学参加除政治外其他五科竞 赛，应选谁去？ 解析：分别计算两人除政治外其他五科的平均成绩． 张华除政治外其他五科的平均成绩为：（８４＋９１＋ ９６＋７６＋８１）÷５＝８５．６（分）； 王强除政治外其他五科的平均成绩为：（９５＋８９＋ ９３＋８９＋６７）÷５＝８６．６（分）． 因为８５．６＜８６．６，所以应选王强去． 二、用中位数决策 例２　在某学校“我的中国梦”演讲比赛中，有 ７名学生参加决赛，它们决赛的最终成绩各不相同，其 中一名学生想知道自己能否进入前３名，不仅要知道自 己的成绩，还要了解这７名学生成绩的 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．平均数 Ｂ．中位数 Ｃ．众数 Ｄ．方差 解析：根据中位数的意义，将自己的成绩与中位数 比较，若大于中位数，进入前３名；若小于中位数，就进 入不了前３名． 将７人的成绩从小到大排列后，处在第４名学生的 成绩就是这组数据的中位数，在知道自己成绩的同时， 若再知道中位数，比较自己的成绩与中位数的大小，就 可以知道自己是否进入前３名． 故选Ｂ． 三、用众数决策 例３　小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利 用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销售数 量进行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进 某种型号的服装，此时小明应重点考虑 （　　） Ａ．中位数 Ｂ．平均数 Ｃ．加权平均数 Ｄ．众数 解析：决定在这个月的进货中多进某种型号的服 装，应考虑各种型号服装的销售数量，选销售量大的， 即参考众数分析即可． 由于众数是数据中出现次数最多的数，因此应重 点考虑众数． 故选Ｄ． 书 统计图条件下的“三数”问题在近几年的中考中屡 见不鲜．解题的关键在于从题中所给出的统计图中捕捉 有关的数据信息，然后确定“三数”，从而解决问题． 一、条形统计图中的“三数” 例 １　 某中学九 年级举办中华优秀传 统文化知识竞赛，用简 单随机抽样的方法，从 该年级全体 ６００名学 生中抽取 ２０名，其竞 赛成绩如图１所示： （１）求这２０名学生成绩的众数、中位数和平均数； （２）若规定成绩大于或等于９０分为优秀等级，试估 计该年级获优秀等级的学生人数． 分析：（１）从条形统计图上可以得到这２０名学生的 成绩，根据这些信息可以求出众数、中位数和平均数； （２）利用样本估计总体的思想求解即可． 解：（１）众数为９０分，中位数为９０分，平均数为： ８０×２＋８５×３＋９０×８＋９５×５＋１００×２ ２０ ＝９０．５（分）． （２）该年级获优秀等级的 学生人数为：６００×８＋５＋２２０ ＝ ４５０（人）． 二、折线统计图中的“三数” 例２　５月１日至７日，我市 每日最高气温如图２所示，则下 列说法错误的是 （　　） Ａ．中位数是３３℃ Ｂ．众数是３３℃ Ｃ．平均数是１９７７ ℃ Ｄ．４日至５日最高气温下降幅度较大 分析：根据中位数、众数、平均数的概念及折线统计图 所体现的信息分析求解． 解：由题意，得共有７个数据，从小到大排列后为 ２３，２５，２６，２７，３０，３３，３３．位于中间位置的数据是２７，所 以中位数是２７℃，故选项Ａ符合题意；出现次数最多的 数据是３３，所以众数是３３℃，故选项 Ｂ不符合题意；平 均数为： ２３＋２５＋２６＋２７＋３０＋３３＋３３ ７ ＝ １９７ ７（℃）， 故选项 Ｃ不符合题意；从统计图可看出 ４日气温为 ３３℃，５日气温为２３℃，所以４日至５日最高气温下降 幅度较大，故选项Ｄ不符合题意． 故选Ａ． 三、扇形统计图中的“三数” 例３　某快餐店某天销售３种盒 饭的有关数据如图３所示，则３种盒 饭的价格平均数是 元． 分析：根据扇形统计图中的数据 和加权平均数的定义列式计算即可． 解：３种盒饭的价格平均数是：６×２５％＋８×１５％＋ １０×６０％ ＝８．７（元）． 故填８．７． %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % ! " .!! (!5 (! &#5 )! $#5 & 6´ µ¶· & #¸ ¬¹º & »¼ ½¾¿ "# #$ $"% '"&' ()*+, ! & &'()6% "# "- &# &- $# $- # - $ & " 2 # ( ' """" &( &" &' &# "- -.!/ )- )# /- /# $-- ) ' ( # 2 " & $ - 01 ! $ 456 &-&#728&"9 : 5 !" ;: !!"#5 ! ! !"#$ JKGLÀÁ´‰EÂÃm³ %0 ' !"#$%&'" ()*+,-'. &-,$ÄÅG LÆÇÈ*234567189:;<=>?1 @A45671, É­ÊË*B<5ACDE6718FG, &-,&GÌ͒KÎÏ LÆÇÈ*$,<=>?1@8HI1JK1, &,LM*+,NO1@A671PHI1J K1, É­ÊË*QR671PHI1JK1S TUVAWXJYZ, "#$% %&'()*+ 书 ２０．１平均数 ２０．１．１平均数的意义 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．某中学积极响应党的号召，大力开展各项有益 于德智体美劳全面发展的活动．小明同学在某学期德 智体美劳的评价得分如下表所示： 科目 德育 智育 体育 美育 劳育 分数 １０ ９ ８ ９ ９ 则小明同学这五项评价的平均得分为 （　　） Ａ．７分 Ｂ．８分 Ｃ．９分 Ｄ．１０分 ２．已知一组数据２，４，３，５，ａ，３的平均数是３，则 ａ 的值为 ． ３．ｘ１，ｘ２，…，ｘ２０的平均数为 ｍ，ｘ２１，ｘ２２，…，ｘ６６的平 均数为ｎ，则ｘ１，ｘ２，…，ｘ６６的平均数为 ． ４．下表是某居民小区五月份的用水情况： 月用水量 ／吨 ４ ５ ６ ８ ９ １１ 户数 ２ ３ ７ ５ ２ １ 这２０户家庭的月平均用水量是多少吨？ ５．在数据４，５，６，５中去掉ｎ（ｎ＞０）个数据．若平 均数没有发生变化，则ｎ的值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．１或２ ２０．１．２用计算器求平均数 １．某同学使用计算器求３０个数据的平均数时，错 将其中的一个数据１０５输入为１５，那么由此求出的平均 数与实际平均数的差是 （　　） Ａ．－３．５ Ｂ．３ Ｃ．０．５ Ｄ．－３ ２．试用计算器算出以下各组数据的平均数： （１）０．５，０．５，０．５，０．５，１．０，１．０，１．０，１．５，１．５，２．０； （２）－１２，－１０，－１０，－１０，－１１，－１８，－１９，－２０； （３）９０．１，８５．３，８３．４，８８．６，７２．７，８４．９，９１．５，９５．５． ２０．１．３加权平均数 １．已知一组数据４，１３，２４所占的权分别是 １６， １ ３， １ ２，则这组数据的加权平均数是 （　　） Ａ．１５ Ｂ．１６ Ｃ．１７ Ｄ．１８ ２．为了满足顾客的需求，某商场将５ｋｇ奶糖、３ｋｇ 酥心糖和２ｋｇ水果糖混合成什锦糖出售．已知奶糖的 售价为每千克４０元，酥心糖的售价为每千克２０元，水 果糖的售价为每千克１５元，混合后什锦糖的售价应为 每千克 元． ３．某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人 担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、 组织能力的测试，根据综合成绩择优录取．他们的各项 成绩（单项满分１００分）如下表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 ８０ ８７ ８２ 乙 ８０ ９６ ７６ （１）如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该 录取谁？ （２）如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文 化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照２０％， ２０％，６０％的比例计入综合成绩，应该录取谁？ ２０．２数据的集中趋势 ２０．２．１中位数和众数 １．某次数学趣味竞赛共有１０组题目，某班的得分 情况如下表所示： 人数 ２ ５ １３ １０ ７ ３ 成绩 ５０ ６０ ７０ ８０ ９０ １００ 则全班４０名学生成绩的众数是 （　　） Ａ．７５分 Ｂ．７０分 Ｃ．８０分 Ｄ．９０分 ２．某同学一周中每天体育运动所花的时间（单位： 分钟）分别为：３５，３９，４５，４０，５５，４８，４５，则这组数据的 中位数是 （　　） Ａ．３５ Ｂ．４０ Ｃ．４５ Ｄ．５５ ３．一组数据８，３，ｘ，６，７，８，７的众数是８，则这组数 据的中位数是 （　　） Ａ．７ Ｂ．７．５ Ｃ．６ Ｄ．８ ４．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到１０天 的数据如下：６１，７５，８１，５６，８１，９１，９２，９１，７５，８１，则这组 数据的众数是 ． ５．在篮球比赛中，某队员连续１０场比赛中每场的 得分情况如下表所示： 场次 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 得分 １３ ４ １３ １６ ６ １９ ４ ４ ７ ３８ 则这１０场比赛中他得分的中位数与众数的和是 ． ６．某高校在“爱护地球，绿化祖国”的创建活动中， 组织学生开展植树活动．为了解全校学生的植树情况， 学校随机抽查了１００名学生的植树情况，将调查数据绘 制成如图所示的统计图． （１）这组数据的中位数是 ，众数是 ； （２）求这１００名学生平均每人植树多少棵． ２０．２．２平均数、中位数和众数的选用 １．某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的 ２０个家庭的年收人情况，并绘制了如图所示的统计图， 请你根据统计图给出的信息回答： （１）填写下表： 年收入 ／万元 ０．６０．９１．０１．１１．２１．３１．４９．７ 户数 这２０个家庭的年平均收入为 万元； （２）样本中的中位数是 万元，众数是 万元； （３）在平均数、众数两数中， 更能反映这 个地区家庭的年收入水平． ２．某企业生产部统计了１５名工人某天加工的零件 （单位：件）如下表所示： 每人加工的零件 １８ １６ １０ ８ ７ ６ 人数 １ １ ２ ６ ３ ２ （１）求出这１５名工人该天加工零件的平均数； （２）写出这１５名工人该天加工零件的中位数和众 数； （３）若你是这个企业生产部的领导，为了调动多数 工人的积极性，会将每名工人的日加工零件任务数定 为９件吗？请说明理由 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．某班五个兴趣小组人数如下：６，６，８，７，８，则这组 数据的中位数是 （　　） Ａ．６ Ｂ．６．５ Ｃ．７ Ｄ．８ ２．为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生 一周内平均每天的睡眠时间，统计结果如图１所示．在 这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数是（　　） Ａ．１６ Ｂ．１４ Ｃ．９ Ｄ．８ ３．某４Ｓ店今年１～５月新能源汽车的销量（辆数） 分别如下：２５，３３，３６，３１，４０，这组数据的平均数是 （　　） Ａ．３４ Ｂ．３３ Ｃ．３２．５ Ｄ．３１ ４．已知一组数据２，３，ｘ，５，７的平均数是４，则这组数 据的众数为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ５．学生经常玩手机游戏会影响学习和生活，某校调 查了１０名同学某一周玩手机游戏的次数，调查结果如下 表所示，那么这１０名同学这一周玩手机游戏次数的平均 数为 （　　） 次数 ２ ４ ５ 人数 ２ ３ ５ Ａ．４ Ｂ．３．５ Ｃ．５ Ｄ．４．１ ６．为了提升学生的人文素养，某校开展了朗诵经典 文学作品的活动，来自不同年级的３０名参赛同学的得分 情况如图２所示，则这些成绩的中位数和众数分别是 （　　） Ａ．９６分，９６分 Ｂ．９４分，９６分 Ｃ．９２分，９６分 Ｄ．９６分，１００分 ７．某人统计九年级一个班３５人的身高时，算出平均 数与中位数都是１５８厘米，但后来发现其中一位同学的 身高记录错误，将１６０厘米写成了１６６厘米，经重新计算 后，正确的中位数是ａ厘米，那么中位数ａ应 （　　） Ａ．大于１５８ Ｂ．小于１５８ Ｃ．等于１５８ Ｄ．无法判断 ８．若一组数据１，ｘ，７，７，９，１０的众数与平均数相等， 那么这组数据的中位数为 （　　） Ａ．７ Ｂ．７．５ Ｃ．８ Ｄ．无法确定 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋３０双，各 种尺码的销售量如下表所示： 尺码 ／ｃｍ ２２ ２２．５ ２３ ２３．５ ２４ ２４．５ ２５ 销售量 ／双 １ ２ ５ １１ ７ ３ １ 则这３０双女鞋尺码的众数是 ｃｍ． １０．一组数据４，５，６，ａ，ｂ的平均数为５，则 ａ，ｂ的平 均数为 ． １１．某班举行美食比赛，除参赛 成员外，其他同学作为美食评委，分 别给每一盘菜肴进行打分，成绩分为 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个等级，其中相应等级的 得分依次记为４分，３分，２分，１分，评 委甲将参赛成员的成绩整理并绘制 成如图３所示的统计图，由图可知，参赛成员的平均得 分为 分． １２．一组数据２，２ｘ，ｙ，１２中，惟一的众数是１２，平均 数是１０，则ｘ＋ｙ的值是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）随着移动互联网的快速发展，基于互联 网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单 车的情况，某研究小组随机采访该小区的１０位居民，得 到这１０位居民一周内使用共享单车的次数分别为：１７， １２，１５，２０，１７，０，７，２６，１７，９． （１）这组数据的中位数是 ，众数是 ； （２）计算这１０位居民一周内使用共享单车的平均 次数． １４．（１２分）某公司的年度综合考评由平时表现、年 中、年末三部分考核组成，某员工的考核情况（单位：分） 如下表所示： 考核 平时表现 年中 年末 类别 第１季度 第２季度 第３季度 第４季度 成绩 １０６ １０２ １１４ １１０ １１０ １０７ （１）请计算该员工本年度平时表现的平均成绩； （２）如果本年度的综合考评成绩是根据如图４所示 的比例计算的，请计算出该员工本年度的综合考评成绩． １５．（１４分）某车间有工人１０名，某月他们生产的零 件个数统计如下表： 生产零件的个数 ６００ ４８０ ２２０ １８０ １２０ 工人人数 １ １ ３ ４ １ （１）求这１０名工人该月生产零件的平均个数； （２）为了调动工人的积极性，决定实行目标化管 理，对完成目标的工人进行适当的奖励．如果想让一半 左右的工人都能获得奖励，请你从平均数、中位数、众数 的角度进行分析，该如何确定月生产目标？ １６．（１６分）某中学九年级组织了一场数学计算比 赛，每班选２５名同学参加比赛，成绩分为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个 等级，其中Ａ等级得分为１００分，Ｂ等级得分为８５分，Ｃ等 级得分为７５分，Ｄ等级得分为６０分，数学教研组将九年级 一班和二班的成绩整理并绘制成如图５所示的统计图，请 根据提供的信息解答下列问题． （１）请把一班比赛成绩统计图补充完整； （２）求出下表中ａ，ｂ，ｃ的值； 平均数 中位数 众数 一班 ａ ｂ ８５ 二班 ８４ ７５ ｃ （３）请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的 结果进行分析： ①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩； ②从Ｂ级以上（包括Ｂ级）的人数方面来比较一班 和二班的成绩                                                                                                                                                                 ． !"#$%&!"#$%!"#!' 书 （上接１，４版中缝） ∠ＣＥＧ＝∠ＣＦＧ＝９０°．因 为∠Ｃ＝９０°，所以四边形 ＧＥＣＦ 是 矩 形． 因 为 ∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ的平分线交 于点 Ｇ，所以 ＥＧ＝ＤＧ＝ ＦＧ．所以四边形 ＧＥＣＦ是 正方形． （２）连结ＣＧ，图略．因 为ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，∠ＡＣＢ ＝９０°，由勾股定理，得 ＡＢ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝５．因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＧ ＋Ｓ△ＡＣＧ ＋ Ｓ△ＢＣＧ，所以 １ ２ ×３×４＝ １ ２×５ＥＧ＋ １ ２×４ＥＧ＋ １ ２ ×３ＥＧ．解得ＥＧ＝１．所以 四边形 ＧＥＣＦ的面积为： ＥＧ２ ＝１． ２１．（１）１． （２） 因 为 四 边 形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ＝ ２ＯＡ，ＢＤ＝２ＯＢ，ＡＢ＝ＢＣ． 因为 ∠ＡＢＣ＝６０°，所以 △ＡＢＣ是等边三角形．所 以ＡＢ＝２ＯＡ．根据勾股定 理，得 ＯＢ＝ ＡＢ２－ＯＡ槡 ２ ＝槡３ＯＡ．所以菱形 ＡＢＣＤ 的“接近度”为： ｍ ｎ ＝ 槡２３ＯＡ ２ＯＡ ＝槡３． （３）因为菱形 ＡＢＣＤ 的“接近度”是２，所以 ＢＤ ＝２ＡＣ．所以ＯＢ＝２ＯＡ．因 为菱形 ＡＢＣＤ的边长为５， 所以ＯＡ２＋ＯＢ２＝５ＯＡ２＝ ２５．解得ＯＡ＝槡５．所以ＢＤ ＝ 槡４５． ２２．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＯＡ＝ ＯＣ＝ １２ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ＝ １ ２ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ．所以 ＯＡ ＝ＯＢ ＝ＯＣ ＝ＯＤ．在 △ＢＥＯ和 △ＣＥＯ中，因为 ＢＥ＝ＣＥ，ＯＥ＝ＯＥ，ＯＢ＝ ＯＣ， 所 以 △ＢＥＯ ≌ △ＣＥＯ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． （２） 因 为 四 边 形 ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＢＡＤ ＝∠ＣＤＡ＝９０°，ＡＢ＝ＤＣ． 在 Ｒｔ△ＢＡＥ和 Ｒｔ△ＣＤＥ 中，因为 ＢＥ＝ＣＥ，ＡＢ＝ ＤＣ， 所 以 Ｒｔ△ＢＡＥ ≌ Ｒｔ△ＣＤＥ（Ｈ．Ｌ．）． 所 以 ∠ＡＥＢ ＝ ∠ＤＥＣ，ＡＥ ＝ ＤＥ．因为 ＯＡ＝ＯＤ，所以 ∠ＯＥＡ＝∠ＯＥＤ ＝９０°， ∠ＤＡＯ＝∠ＡＤＯ．所以 ＡＢ ∥ＯＥ∥ＤＣ．所以Ｓ△ＡＥＯ ＝ Ｓ△ＢＥＯ，Ｓ△ＤＥＯ ＝Ｓ△ＣＥＯ．所 以Ｓ△ＡＥＯ－Ｓ△ＥＦＯ ＝Ｓ△ＢＥＯ － Ｓ△ＥＦＯ， 即 Ｓ△ＡＥＦ ＝ Ｓ△ＢＦＯ，Ｓ△ＤＥＯ －Ｓ△ＥＨＯ ＝ Ｓ△ＣＥＯ －Ｓ△ＥＨＯ，即 Ｓ△ＤＥＨ ＝ Ｓ△ＣＨＯ．在 △ＡＥＦ和 △ＤＥＨ中，因为 ∠ＥＡＦ＝ ∠ＥＤＨ，ＡＥ ＝ ＤＥ，∠ＡＥＦ ＝∠ＤＥＨ，所以 △ＡＥＦ≌ △ＤＥＨ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． 所 以 Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＤＥＨ．因为ＤＧ∥ ＡＣ，所以 ∠Ｇ ＝∠ＡＦＥ， ∠ＧＤＥ＝∠ＦＡＥ．在△ＡＥＦ 和 △ＤＥＧ中，因为 ∠ＡＦＥ ＝∠Ｇ，∠ＦＡＥ＝∠ＧＤＥ， ＡＥ＝ＤＥ，所以 △ＡＥＦ≌ △ＤＥＧ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所 以 Ｓ△ＡＥＦ ＝ Ｓ△ＤＥＧ． 所 以 △ＤＥＨ，△ＣＨＯ，△ＤＥＧ， △ＢＦＯ的面积都与 △ＡＥＦ 的面积相等． （全文完） !" ! ! !"#$ ! " %&'( ()*+,-./01234 !" 5 ()*+,-./01234 !" 5 6784 !9: !"#$!%& '()* !" $& $" & $' $( ) * * + , $" " " " " " ! $ ! ) -+ !". /+ $&. 0+ )". 1+ )&. ,-./01234 5* 6+ 0 1 - / $! $" + ' ( ! " ' $! & " " " " " " " 7-.801234 1+ (. 0+ ((. /+ $'. -+ )'. ! & ! ( 9&:; $". <= !". <> *". ! ! 01!? 5* $! $" + ' ( ! " +( ++ ,! ,' $"" " " " " " " ;< !=>?<@ 6ABCDE75: ( & ' )& )" !& !" $& $" & " + $" @AB* )* <CD!EF "#' "#, $#" $#$ $#! $#) $#( ,#* & $" $& !" !& GHI*. !. "