第42期《矩形、菱形与正方形》章节检测卷-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 答案详解 　　　　　　　２０２４～２０２５学年　初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期　　　　　　　 ４０期２版 １９．２菱形 １９．２．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．２０；　３．７０°；　４．（槡２＋２，槡２）． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又因为ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＰＡ＝ＰＣ． ７．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＡＤＢ．因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＡＥ＝ＡＤ．所以∠Ｅ＝∠ＡＤＥ．所 以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＥ ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． ８．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＨ， 所以ＤＨ＝ＡＣ·ＢＤ２ＡＢ ＝ ２４ ５ｃｍ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＡＨ＝ ２∠ＯＡＢ．因为 ＯＨ＝ １２ＢＤ，所以 ＯＨ＝ＯＢ．所以 ∠ＯＨＢ＝ ∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝１８０°－２∠ＯＢＨ．因为 ∠ＯＡＢ＝９０°－ ∠ＯＢＨ，所以∠ＤＡＨ＝１８０°－２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． 能力提高　９．槡１７． １９．２．２菱形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．答案不惟一，如ＡＥ＝ＡＦ； ４．（２，槡２２）或（２，－ 槡２２）． ５．在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中，因为ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝ＡＣ，ＢＣ＝ ＤＣ，所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．因 为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱 形． ６．（１）因为 ＡＥ∥ ＣＦ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ＝ ∠ＣＦＤ．因为ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以四边 形ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＢＤ⊥ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是 菱形． （２）因为四边形 ＡＥＣＦ是菱形，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝２．在 Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２＋（２＋ ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 能力提高　７．（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，所 以ＦＤ＝ＥＤ，ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ．因为ＥＧ∥ＡＦ，所以 ∠ＥＧＤ＝∠ＦＤＧ．所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ．所以ＥＤ＝ＥＧ．所以 ＦＤ＝ＥＤ＝ＦＧ＝ＥＧ．所以四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２）连结ＦＣ，ＥＣ，图略．因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋ ∠Ｂ＝１８０°．所以ＡＦ∥ＣＢ．因为ＡＦ＝ＢＣ＝８，所以四边形ＡＢＣＦ 是平行四边形．所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０．根据轴对称的性质，得ＣＥ＝ ＣＦ＝１０．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＣＥ２－ＢＣ槡 ２ ＝６．所以ＡＥ＝ ＡＢ－ＢＥ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，根据勾股定理，得ＡＥ２＋ＡＤ２ ＝ ＤＥ２，即４２＋（８－ＤＦ）２＝ＤＦ２．解得ＤＦ＝５．所以Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ ·ＡＥ＝２０． ４０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ 二、９．６０°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．２４； １２．１６． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＢＣＦＥ是平行四边形， ∠ＥＭＢ＝∠ＣＢＤ．所以ＢＥ＝ＣＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以ＢＥ＝ ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １４．因为∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ，所以∠ＢＡＦ－∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ－ ∠ＥＡＦ，即∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ∠Ｂ＝∠Ｄ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＡＣ⊥ＥＦ，                                                         所以 —１— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝ＯＤ＝４．因为ＢＥ ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＥ２＝ＯＡ２ ＋ＯＥ２ ＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０．所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２．所 以△ＡＤＥ是直角三角形． １６．（１）连结ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＤ＝１８０°－ ∠Ｂ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以 ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°，所以∠ＦＥＣ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以∠ＦＥＣ＝∠ＣＦＥ．所以ＥＣ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝１２ＢＣ， 所以ＣＦ＝ １２ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． （２）连结ＡＣ，图略．因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＤ－∠ＡＣＢ＝ ６０°＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ＝∠ＥＡＦ－ ∠ＥＡＣ，即∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ．所以△ＡＢＥ≌△ＡＣＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所 以 ＡＥ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边三角形．所以∠ＡＥＦ＝６０°．因 为 ∠ＡＥＦ ＋∠ＦＥＣ ＝ ∠Ｂ ＋∠ＢＡＥ， 所 以 ∠ＦＥＣ ＝ ∠ＢＡＥ＝２０°． 附加题　１．（１）因为Ｅ为ＡＢ的中点，所以 ＡＢ＝２ＡＥ＝ ２ＢＥ．因为ＡＢ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ．因为ＡＥ∥ＣＤ，所以四边 形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为 ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＡＣ．因为ＡＢ∥ＣＤ，所以 ∠ＤＣＡ＝∠ＥＡＣ．所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＤＣＡ．所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝∠Ｄ＝１２０°．所以ＣＥ＝ＢＥ， ∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝６０°．所以∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ＝３０°， △ＣＥＢ是等边三角形．所以ＢＣ＝２，∠ＥＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＢ ＝∠ＡＣＥ ＋∠ＥＣＢ ＝９０°．根据勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ 槡２３． ２．（１）连结ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ为菱形，∠ＢＡＤ＝ １２０°，所以ＡＢ＝ＢＣ，∠ＢＡＣ＝６０°，即∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＣ＝６０°． 所以△ＡＢＣ是等边三角形．所以ＡＢ＝ＡＣ．因为△ＡＥＦ是等边 三角形，所以 ＡＥ＝ＡＦ，∠ＥＡＦ＝６０°，即 ∠ＣＡＦ＋∠ＥＡＣ＝ ６０°．所 以 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＦ． 在 △ＡＢＥ和 △ＡＣＦ中， ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ， ＡＥ＝ＡＦ { ， 所以 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＢＥ＝ＣＦ． （２）四边形ＡＥＣＦ的面积不变，△ＣＥＦ的周长发生变化． 由（１），得 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ．所以 Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＡＣＦ．所以 Ｓ四边形ＡＥＣＦ ＝Ｓ△ＡＥＣ ＋Ｓ△ＡＣＦ ＝Ｓ△ＡＥＣ ＋Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＡＢＣ，即四边形 ＡＥＣＦ的面积不变．因为△ＣＥＦ的周长为：ＣＥ＋ＣＦ＋ＥＦ＝ＣＥ ＋ＢＥ＋ＥＦ＝ＢＣ＋ＥＦ＝ＢＣ＋ＡＥ，所以△ＣＥＦ的周长发生变 化．过点Ａ作ＡＧ⊥ ＢＣ于点 Ｇ，图略．当点 Ｅ滑动到点 Ｇ时， △ＣＥＦ的周长最小．此时ＢＧ＝１２ＢＣ＝１．根据勾股定理，得ＡＧ ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２ ＝槡３．所以Ｓ四边形ＡＥＣＦ ＝Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＡＧ＝ １ ２×２×槡３＝槡３，△ＣＥＦ的周长的最小值为：ＢＣ＋ＡＧ＝２＋槡３． ４１期２版 １９．３正方形 １９．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．在△ＢＣＥ和△ＤＣＦ中，因为ＢＥ＝ＤＦ，∠Ｂ＝∠Ｄ， ＢＣ＝ＤＣ，所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为 点Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ＣＤ ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股定 理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． 能力提高　６．槡２． ７．连结 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．在 △ＡＤＥ和 △ＡＢＦ中，因为 ＡＤ ＝ＡＢ，∠ＥＡＤ ＝ ∠ＦＡＢ，ＡＥ＝ＡＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＡＢＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＤＥ＝ ＢＦ＝２，∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝４５°．所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ ＝９０°．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １９．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以 ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为 ＢＥ ⊥ＥＦ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°．因为 ∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＥ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠                                                                      ＣＥＢ＋ —２— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．在 △ＡＢＤ和△ＣＢＤ中，因为 ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，ＢＤ＝ ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． ７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形．所以 ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，所以 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ． 所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ４１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ 二、９．槡６；　１０．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ；　１１．槡７； １２．槡６１． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ ＝４５°．因为 ＢＥ＝ＢＤ，所以 ∠ＢＤＥ＝∠Ｅ＝ １２（１８０°－ ∠ＥＢＤ）＝６７．５°．所以∠ＥＤＡ＝∠ＢＤＥ－∠ＡＤＢ＝２２．５°． １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以 ∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＡＥ中，因为∠Ｂ＝∠ＥＡＤ，∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ，ＡＦ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ 是正方形． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中，因为ＡＤ＝ＣＢ，∠ＤＡＥ ＝∠ＢＣＦ，ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ ＯＦ．所以四边形ＢＥＤＦ为菱形． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和 ＣＥＦＧ都是正方形，所以 ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ． 所以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连结ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ２ ＝１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得 ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝ ４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． 附加题　１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ ＝９０°．所以∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°．所以平行四边形 ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略．因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边 形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ．所以ＤＣ∥ＧＦ． 所以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ．因为Ｐ是线段ＤＦ的 中点，所以ＤＰ＝ＦＰ．在 △ＤＨＰ和 △ＦＧＰ中，因为 ∠ＤＨＰ＝ ∠ＦＧＰ，∠ＨＤＰ ＝ ∠ＧＦＰ，ＤＰ ＝ ＦＰ， 所 以 △ＤＨＰ ≌ △ＦＧＰ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＨＰ＝ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ．当 ∠ＣＰＧ＝９０° 时，ＰＧ⊥ＰＣ．所以ＣＨ＝ＣＧ．所以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ ＝ＢＧ．所以ＢＧ＝ＦＧ．所以平行四边形ＢＥＦＧ是菱形．由（１）知 四边形ＢＥＦＧ是矩形．所以四边形ＢＥＦＧ是正方形． ２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形ＥＦＧＨ为菱形，所 以∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＨＧ＝ＨＥ．在Ｒｔ△ＡＨＥ和Ｒｔ△ＤＧＨ中，因 为ＥＨ＝ＨＧ，ＡＨ＝ＤＧ，所以Ｒｔ△ＡＨＥ≌Ｒｔ△ＤＧＨ（Ｈ．Ｌ．）．所 以∠ＡＥＨ＝∠ＤＨＧ．因为∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ＝９０°，所以∠ＡＨＥ ＋∠ＤＨＧ＝９０°．所以∠ＥＨＧ＝９０°．所以四边形ＥＦＧＨ为正方 形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ－ ＡＨ＝４，ＣＧ＝ＤＣ－ＤＧ＝５．由勾股定理，得ＨＧ２＝ＤＧ２＋ＤＨ２ ＝２０．因为四边形 ＥＦＧＨ是正方形，所以 ＦＧ２ ＝２０，∠ＥＦＧ＝ ９０°．所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°．由勾股定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５． ４２期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 二、１３．２０；　１４．７０°；　１５．ＢＤ＝ＡＣ且ＢＤ⊥ＡＣ； １６．４．８． 三、１７．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｄ＝９０°，ＣＤ＝ ＡＢ＝４，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＣＢＥ．因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ， 所以∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ．所以                                                                      ＡＥ＝ＡＢ＝ —３— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ４．因为ＡＤ＝７，所以ＥＤ＝ＡＤ－ＡＥ＝３．根据勾股定理，得ＥＣ ＝ ＥＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝５． １８．因为 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＯ ＝∠ＣＢＯ，∠ＤＡＯ ＝ ∠ＢＣＯ．因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ ＣＢ．在 △ＡＤＯ和 △ＣＢＯ中，因为 ∠ＡＤＯ＝∠ＣＢＯ，∠ＤＡＯ＝ ∠ＢＣＯ，ＯＡ＝ＯＣ，所以△ＡＤＯ≌△ＣＢＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＤ＝ ＣＢ．所以ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝ＣＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １９．连结ＧＥ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ为正方形，所以ＡＢ∥ ＣＤ．所以∠ＣＧＥ＝∠ＡＥＧ．因为四边形ＥＦＧＨ为菱形，所以ＧＦ ∥ＨＥ．所以∠ＨＥＧ＝∠ＦＧＥ．所以∠ＡＥＧ－∠ＨＥＧ＝∠ＣＧＥ－ ∠ＦＧＥ，即∠ＨＥＡ＝∠ＣＧＦ． ２０．（１）过点Ｇ作ＧＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，图略．因为ＧＥ⊥ＢＣ，ＧＦ ⊥ＡＣ，所以∠ＣＥＧ＝∠ＣＦＧ＝９０°．因为∠Ｃ＝９０°，所以四边 形ＧＥＣＦ是矩形．因为∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ的平分线交于点Ｇ，所以 ＥＧ＝ＤＧ＝ＦＧ．所以四边形ＧＥＣＦ是正方形． （２）连结ＣＧ，图略．因为ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，∠ＡＣＢ＝９０°，由 勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝５．因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＧ ＋ Ｓ△ＡＣＧ ＋Ｓ△ＢＣＧ，所以 １ ２×３×４＝ １ ２×５ＥＧ＋ １ ２×４ＥＧ＋ １ ２× ３ＥＧ．解得ＥＧ＝１．所以四边形ＧＥＣＦ的面积为：ＥＧ２ ＝１． ２１．（１）１． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ＝２ＯＡ，ＢＤ ＝ ２ＯＢ，ＡＢ＝ＢＣ．因为∠ＡＢＣ＝６０°，所以△ＡＢＣ是等边三角形． 所以 ＡＢ＝２ＯＡ．根据勾股定理，得 ＯＢ＝ ＡＢ２－ＯＡ槡 ２ ＝ 槡３ＯＡ．所以菱形ＡＢＣＤ的“接近度”为： ｍ ｎ ＝ 槡２３ＯＡ ２ＯＡ ＝槡３． （３）因为菱形ＡＢＣＤ的“接近度”是２，所以ＢＤ＝２ＡＣ．所 以ＯＢ＝２ＯＡ．因为菱形ＡＢＣＤ的边长为５，所以ＯＡ２＋ＯＢ２ ＝ ５ＯＡ２ ＝２５．解得ＯＡ＝槡５．所以ＢＤ＝ 槡４５． ２２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＯＡ＝ＯＣ＝１２ＡＣ， ＯＢ＝ＯＤ＝ １２ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．在 △ＢＥＯ和△ＣＥＯ中，因为ＢＥ＝ＣＥ，ＯＥ＝ＯＥ，ＯＢ＝ＯＣ，所以 △ＢＥＯ≌△ＣＥＯ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ＝ ９０°，ＡＢ＝ＤＣ．在Ｒｔ△ＢＡＥ和Ｒｔ△ＣＤＥ中，因为ＢＥ＝ＣＥ，ＡＢ＝ ＤＣ，所以Ｒｔ△ＢＡＥ≌Ｒｔ△ＣＤＥ（Ｈ．Ｌ．）．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ， ＡＥ＝ＤＥ．因为ＯＡ＝ＯＤ，所以∠ＯＥＡ＝∠ＯＥＤ＝９０°，∠ＤＡＯ ＝∠ＡＤＯ．所以ＡＢ∥ＯＥ∥ＤＣ．所以Ｓ△ＡＥＯ ＝Ｓ△ＢＥＯ，Ｓ△ＤＥＯ ＝ Ｓ△ＣＥＯ．所以Ｓ△ＡＥＯ －Ｓ△ＥＦＯ ＝Ｓ△ＢＥＯ －Ｓ△ＥＦＯ，即Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＢＦＯ， Ｓ△ＤＥＯ －Ｓ△ＥＨＯ ＝Ｓ△ＣＥＯ －Ｓ△ＥＨＯ，即Ｓ△ＤＥＨ ＝Ｓ△ＣＨＯ．在△ＡＥＦ和 △ＤＥＨ中，因为∠ＥＡＦ＝∠ＥＤＨ，ＡＥ＝ＤＥ，∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＨ， 所以△ＡＥＦ≌△ＤＥＨ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＤＥＨ．因为ＤＧ ∥ ＡＣ，所以 ∠Ｇ＝∠ＡＦＥ，∠ＧＤＥ＝∠ＦＡＥ．在 △ＡＥＦ和 △ＤＥＧ中，因为∠ＡＦＥ＝∠Ｇ，∠ＦＡＥ＝∠ＧＤＥ，ＡＥ＝ＤＥ，所以 △ＡＥＦ≌△ＤＥＧ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＤＥＧ．所以△ＤＥＨ， △ＣＨＯ，△ＤＥＧ，△ＢＦＯ的面积都与△ＡＥＦ的面积相等． ４３期２版 ２０．１平均数 ２０．１．１平均数的意义 基础训练　１．Ｃ；　２．１；　３．１０ｍ＋２３ｎ３３ ． ４．这２０户家庭的月平均用水量是：１２０×（４×２＋５×３＋ ６×７＋８×５＋９×２＋１１×１）＝６．７（吨）． 能力提高　５．Ｄ． ２０．１．２用计算器求平均数 基础训练　１．Ｄ． ２．（１）１；　（２）－１３．７５；　（３）８６．５． ２０．１．３加权平均数 基础训练　１．Ｃ；　２．２９． ３．（１）甲的平均成绩为：８０＋８７＋８２３ ＝８３（分）； 乙的平均成绩为： ８０＋９６＋７６ ３ ＝８４（分）． 因为８４＞８３，所以应该录取乙． （２）甲的综合成绩为：８０×２０％＋８７×２０％＋８２×６０％ ＝ ８２．６（分）； 乙的综合成绩为：８０×２０％ ＋９６×２０％ ＋７６×６０％ ＝ ８０．８（分）． 因为８２．６＞８０．８，所以应该录取甲． ２０．２数据的集中趋势 ２０．２．１中位数和众数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．８１；　５．１４分． ６．（１）５．５，４； （２）这１００名学生平均每人植树：１１００×（４×３０＋５×２０＋ ６×２５＋８×１５＋１０×１０）＝５．９（棵）． ２０．２．２平均数、中位数和众数的选用 基础训练　１．（１）表中依次填１，１，２，３，４，５，３，１，年平均 收入为１．６； （２）１．２，１．３； （３）众数． ２．（１）这 １５名工人该天加工零件的平均数为： １８×１＋１６×１＋１０×２＋８×６＋７×３＋６×２ １５ ＝９（件）． （２）这１５名工人该天加工零件的中位数是８件，                                                                      众数是 —４— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ８件． （３）不会．理由如下： ９件是平均数，但表中数据显示，每日能完成９件的只有 ４人，还有１１人不能达到此定额，将每名工人的日加工零件任 务数定为９件不利于调动多数工人的生产积极性． ４３期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 二、９．２３．５；　１０．５；　１１．２．８；　１２．１９或２０． 三、１３．（１）１６，１７． （２）这１０位居民一周内使用共享单车的平均次数是：１１０ ×（０＋７＋９＋１２＋１５＋１７×３＋２０＋２６）＝１４（次）． １４．（１）该员工本年度平时表现的平均成绩为：１４×（１０６ ＋１０２＋１１４＋１１０）＝１０８（分）． （２）该员工本年度的综合考评成绩为：１０８×１０％ ＋１１０× ２０％ ＋１０７×７０％ ＝１０７．７（分）． １５．（１）这１０名工人该月生产零件的平均个数为：１１０× （６００＋４８０＋２２０×３＋１８０×４＋１２０）＝２５８（个）． （２）因为共有１０名工人，所以中位数为：（２２０＋１８０）÷２ ＝２００（个），众数为１８０个． 从平均数看，当月生产目标定为２５８个时，有２名工人获得 奖励，不利于调动工人的积极性； 从中位数看，当月生产目标定为２００个时，有５名工人获得 奖励，不利于调动工人的积极性； 从众数看，当月生产目标定为１８０个时，有９名工人获得奖 励，有利于调动工人的积极性． 综上所述，当月生产目标定为１８０个时，有利于调动大多 数工人的积极性． １６．（１）一班Ｃ等级的学生有：２５－６－１２－５＝２（名）．补 图略． （２）一班的平均数为：ａ＝１２５×（６×１００＋１２×８５＋２× ７５＋５×６０）＝８２．８（分）； 一班的中位数为：ｂ＝８５（分）； 二班的众数为：ｃ＝１００（分）． （３）①从平均数、众数方面来比较，二班的成绩更好． ②一班Ｂ级以上（包括Ｂ级）的同学有：６＋１２＝１８（名）； 二班 Ｂ级以上（包括 Ｂ级）的同学有：２５×（４４％ ＋４％）＝ １２（名）． 因为１８＞１２，所以从Ｂ级以上（包括Ｂ级）的人数方面来 比较，一班的成绩更好． 附加题　１．（１）１５，１５． （２）１５，５．５． （３）用“平均数”这个数据指标不能较好反映人群年龄特 征的是乙群游客．理由如下： 乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，平均 数高于大部分成员的年龄． ２．（１）Ｃ等级的同学有５人，成绩分别为：７７，７３，７２，７９，７８． 所以３月份体育测试成绩为Ｃ等级的同学的平均成绩为：１５× （７７＋７３＋７２＋７９＋７８）＝７５．８（分）． （２）由表中数据可知，３０名同学中，Ａ等级的有１０人，Ｂ等 级的有１１人，Ｃ等级的有５人，Ｄ等级的有４人．所以强化训练 后该班同学平均成绩所提高的分数为： １ ３０×（０．９×１０＋５×１１ ＋１０×５＋１５×４）＝５．８（分）． ４４期２版 ２０．３数据的离散程度 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．２；　４．（１）４，（２）＞． ５．教练应该选择甲选手参加射击比赛．理由如下： 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ甲 ＝ ８＋８＋７＋８＋９ ５ ＝８（环）， 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２甲 ＝ （８－８）２×３＋（７－８）２＋（９－８）２ ５ ＝０．４； 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ乙 ＝ ５＋９＋７＋１０＋９ ５ ＝８（环）， 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２乙 ＝ （５－８）２＋（７－８）２＋（９－８）２×２＋（１０－８）２ ５ ＝３．２． 因为甲、乙的平均成绩相同，但甲成绩的方差小于乙成绩 的方差，所以教练应该选择甲选手参加射击比赛． 专题　数据的分析 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．８７． ４．（１）表格第一行填入７，８；第二行从左到右依次填入８；８． （２）李雷射击成绩的方差为：１１０×［２×（５－７） ２＋（６－７）２＋ ３×（７－７）２＋３×（８－７）２＋（９－７）２］＝１．６； 林涛射击成绩的方差为： １ １０×［（３－７） ２＋（４－７）２＋（５ －７）２＋（６－７）２＋３×（８－７）２＋２×（９－７）２＋（１０－７）２                                                                      ］ —５— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ＝５． （３）李雷的射击成绩更好．理由如下： 李雷和林涛的射击成绩的平均数一样，但是李雷的方差更 小，波动更小，成绩更稳定（答案不惟一，合理即可）． ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ 二、１３．甲；　１４．９．５分；　１５．平均数； １６．－３或７或１３４． 三、１７．李大爷这３天的平均步数是：１３×（６２００＋５５００＋ ７２００）＝６３００（步）． １８．本学期王刚的数学总成绩为：８５×１＋９０×２＋９５×２１＋２＋２ ＝９１（分）． 因为９１＞９０，总成绩大于９０分为优秀，所以本学期王刚的 数学成绩是优秀． １９．（１）８次，８．５次． （２）乙成绩的平均数为：５＋６＋８＋９＋１０＋１０６ ＝８（次）， 方差为： １ ６×［（５－８） ２＋（６－８）２＋（８－８）２＋（９－８）２ ＋２×（１０－８）２］＝１１３． 因为１＜１１３，所以甲引体向上的成绩更稳定． ２０．（１）根据题意，得 １１５×（５×３＋２×８＋１×７＋４×４＋ ３×９）＝５．４（万元）． 答：这个公司平均每人所创年利润是５．４万元． （２）Ｄ部门的员工不能获奖．理由如下： 获奖人数为：１５×４０％ ＝６（名）． 个人所创年利润由高到低分别为：Ｅ部门３名，Ｂ部门２名， Ｃ部门１名，共６名．所以Ｄ部门的员工不能获奖． ２１．（１）ａ＝ １５×（７＋１０＋１０＋７．５＋８）＝８．５． 把甲班成绩按从小到大的顺序排列，最中间的数是８．５， 则ｂ＝８．５． 乙班成绩中１０分出现的次数最多，则ｃ＝１０． ｄ＝ １５×［（８．５－８．５） ２×２＋（７．５－８．５）２＋（８－８．５）２ ＋（１０－８．５）２］＝０．７． （２）从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定（答 案不惟一，合理即可）． （３）因为乙班成绩的中位数是８分，所以小明的成绩是 ８分．所以小明是５号选手． ２２．（１）１４４．乙车间４月份工资为５千元的有：１０－５－２－ １＝２（名）．补图略． （２）由扇形统计图，得甲车间员工工资为４千元、５千元、 ６千元、７千元、８千元的员工分别有１名、２名、４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平均工资为： １ １０×（４×１＋５×２＋６× ４＋７×２＋８×１）＝６（千元），方差为：１１０×［（４－６） ２＋２× （５－６）２＋４×（６－６）２＋２×（７－６）２＋（８－６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６，所以甲车间员工的工资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工工资的中位数为：６＋６２ ＝６（千元）． 因为甲车间员工工资低于６千元的有３名，不低于６千元 的有７名，所以新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位 数，所以ｎ的最小值为：７－３＝４． 所以当这４名员工工资低于６千元，且是较高工资时，这 ４名员工的工资和取得最大值． 所以这４名员工的工资分别为４千元、４千元、５千元、５千元． 所以这４名员工的工资和的最大值为：４＋４＋５＋５＝ １８（千元）                                                      ． —６— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ! " # ! ! ! " # " $ " % ! " $ % & ' & # ' ( ) ( !!!!!!!!!!!!!!!! ! ! """""""""""""""" " " ################ # # $$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ !!!!!!!!!!!!!!!! ! ! """""""""""""""" " " ################ # # $$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ %%%%%%%%%%%%%%%% % % &&&&&&&&&&&&&&&& & & '''''''''''''''' ' ' ! " # ! $ % & ' ( ) * + , - . ! $ / & ' ( ) * + - 0 1 2 3 4 5 6 7 ! 8 9 : ; < = > ? @ A ( ! " # $ % & ' & ' ( B ) C ! > ? & ' ( D E F G ! G H I J K L ! M N O A I * + , * & - 书 《矩形、菱形与正方形》章节检测卷 ◆ 数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间９０分钟，满分１２０分）　 题　号 一 二 三 总　分 得　分 一、精心选一选（本大题共１２小题，每小题４分，共４８分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＤＡＣ＝１５°，则∠ＤＡＢ的度数是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．３５° Ｃ．４０° Ｄ．４５° ２．如图２，点Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ上．若ＥＢ＝１，ＥＣ＝２，则正方形ＡＢＣＤ的面积为 （　　） 槡 槡Ａ．３ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．５ ３．如图３，平行四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，△ＡＯＤ是正三角形，则四边形 ＡＢＣＤ是 （　　） Ａ．平行四边形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．正方形 ４．如图４，四边形ＡＢＣＤ是菱形，顶点Ａ，Ｃ的坐标分别是（０，２），（８，２），点Ｄ在ｘ轴上，则顶 点Ｂ的坐标是 （　　） Ａ．（４，２） Ｂ．（５，２） Ｃ．（４，４） Ｄ．（５，４） ５．如图５，矩形ＡＢＣＤ为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与ＣＤ的交点为Ｅ．当水杯 底面ＢＣ与水平面的夹角为２７°时，∠ＡＥＤ的大小为 （　　） Ａ．２７° Ｂ．５３° Ｃ．５７° Ｄ．６３° 书 ＝２ＥＤ，∠Ａ＝∠Ｆ，△ＢＣＥ的面积为８，则菱形ＣＥＦＧ的面积是 （　　） Ａ．６４３ Ｂ．２２ Ｃ．２０ Ｄ．无法确定 １２．如图１１，在边长为１５的正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＢ上的点，连结ＤＥ，ＤＦ，ＥＦ，满 足∠ＤＥＦ＝∠ＤＥＣ．若ＡＦ＝３，则ＥＦ的长为 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１３ Ｃ．１４ Ｄ．１５ 二、细心填一填（本大题共４小题，每小题４分，共１６分） １３．菱形的边长为５，则它的周长是 ． １４．如图１２，ＡＣ，ＢＤ是矩形ＡＢＣＤ的对角线，∠ＡＯＢ＝４０°，则∠ＡＣＤ的度数为 ． １５．如图１３，ＥＨ＝ＦＧ＝１２ＢＤ，ＨＧ＝ＥＦ＝ １ ２ＡＣ．要使四边形ＥＦＧＨ是正方形，ＢＤ，ＡＣ应 满足的条件是 ． １６．如图１４，菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，ＢＥ∥ＡＣ，ＡＥ∥ＢＤ，ＯＥ与ＡＢ交于点 Ｆ．若ＯＥ＝５，ＡＣ＝８，则菱形ＡＢＣＤ的高为 ． 三、耐心解一解（本大题共６小题，共５６分） １７．（６分）如图１５，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝７，ＢＥ平分∠ＡＢＣ，求ＥＣ的长． 书 ６．如图６，正方形ＡＢＣＤ和ＡＥＦＣ，点Ｂ在ＥＦ边上，则正方形ＡＢＣＤ的面积Ｓ１和ＡＥＦＣ 的面积Ｓ２的大小关系是 （　　） Ａ．Ｓ１ ＞Ｓ２ Ｂ．Ｓ１ ＝Ｓ２ Ｃ．Ｓ１ ＜Ｓ２ Ｄ．无法确定 ７．如图７，点Ｏ是矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ的中点，菱形ＡＢＥＯ的边长为１，则ＢＣ＝ （　　） 槡 槡 槡Ａ．３ Ｂ．２ Ｃ．５ Ｄ．６ ８．要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是 （　　） Ａ．度量四个内角是否相等 Ｂ．测量两条对角线是否相等 Ｃ．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 Ｄ．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合 ９．如图８，点Ｅ，Ｆ分别是正方形ＡＢＣＤ内部、外部一点，四边形ＡＤＦＥ与四边形ＢＣＦＥ均为菱 形，则∠ＣＢＥ的度数是 （　　） Ａ．１５° Ｂ．２０° Ｃ．３０° Ｄ．４０° １０．如图９是由７个全等的小菱形（有一个内角为６０°）组成的网格，每个小菱形的顶点称为 格点．顺次连结图中的４个格点，所构成的图形是矩形的方法共有 （　　） Ａ．６种 Ｂ．８种 Ｃ．９种 Ｄ．１０种 １１．如图１０，四边形ＡＢＣＤ，ＣＥＦＧ均为菱形，点Ｅ在边ＡＤ上，点Ｇ在ＡＤ的延长线上．若ＡＥ ! " # $ ! # ! % $ " # # * ! * ! . ! " & $ # ' #& " ! $ ( ! / ! 0 1'! " % # $ ! ) " # $ ! % ! - ! ' ! % $ & " # ! 2 ! $ % " # ) ! 3 " * # ) % ! $ ! +& ! ++ " % ! ) # $ ! +1 " # & $ ! ! +/ % ! ) $ & # " " * + $ # ) % ! ! +. " #% ! $ ! +0 ! ! " # $ % & ' ! ( ) * + , ! - . / 0 1 2 ! " # $ % # & ' $ & # ( ! 3 4 5 6 2 ) " # $ ! # & ' $ & ( * ! 7 4 8 9 2 : ; < = > ? @ A B C D E & ) & F G H ) 4 I J K L 4 M - $ / ! N O # P 2 ) " ) ) ) ( ! 7 4 U : ; * 9 V W X Y Z [ \ = > ? ] ^ _ B ` a b c d V e f 6 书 ２２．（１２分）已知矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ是边ＡＤ上一点，连结ＢＥ， ＣＥ，ＯＥ，且ＢＥ＝ＣＥ． （１）如图２０，求证：△ＢＥＯ≌△ＣＥＯ； （２）如图２１，设ＢＥ与ＡＣ相交于点Ｆ，ＣＥ与ＢＤ相交于点Ｈ，过点Ｄ作ＡＣ的平行线交ＢＥ 的延长线于点Ｇ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图２１中的四个三角形（△ＡＥＦ除 外），使写出的每个三角形的面积都与△ＡＥＦ的面积相等． 书 １８．（８分）如图１６，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＢＤ垂直平分对角线ＡＣ，垂足为点 Ｏ．求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形． １９．（８分）如图１７，菱形ＥＦＧＨ的三个顶点Ｅ，Ｇ，Ｈ分别在正方形ＡＢＣＤ的边ＡＢ，ＣＤ，ＤＡ上． 求证：∠ＨＥＡ＝∠ＣＧＦ． 书 ２０．（１０分）如图１８，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ的平分线交于点Ｇ，ＧＥ⊥ＢＣ于 点Ｅ，ＧＦ⊥ＡＣ于点Ｆ． （１）求证：四边形ＧＥＣＦ是正方形； （２）若ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，求四边形ＧＥＣＦ的面积． ２１．（１２分）我们知道菱形与正方形的形状有差异，可以将菱形与正方形的接近程度称为菱 形的“接近度”．如图１９，已知菱形ＡＢＣＤ的边长为５，设菱形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ，ＡＣ的长分别为 ｍ，ｎ（ｍ≥ｎ），我们将菱形的“接近度”定义为ｍｎ，即“接近度”＝ ｍ ｎ． （１）当菱形ＡＢＣＤ的“接近度”＝ 时，菱形ＡＢＣＤ就是正方形； （２）在菱形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝６０°，求此菱形ＡＢＣＤ的“接近度”； （３）若菱形ＡＢＣＤ的“接近度”是２，求ＢＤ的长． \ghijklQm ! " # $ % ! $( & % ' $ ( ! ) " ! $' ! & $ ' ) % ! $, ! " # $ % ! -* " ! # ' $ % ! &! " ! # ' $ % ! &- ( & )