第41期 正方形-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 答案详解 　　　　　　　２０２４～２０２５学年　初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期　　　　　　　 ４０期２版 １９．２菱形 １９．２．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．２０；　３．７０°；　４．（槡２＋２，槡２）． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又因为ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＰＡ＝ＰＣ． ７．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ ＝∠ＡＤＢ．因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＡＥ＝ＡＤ．所以∠Ｅ＝∠ＡＤＥ．所 以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＥ ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． ８．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＨ， 所以ＤＨ＝ＡＣ·ＢＤ２ＡＢ ＝ ２４ ５ｃｍ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＡＨ＝ ２∠ＯＡＢ．因为 ＯＨ＝ １２ＢＤ，所以 ＯＨ＝ＯＢ．所以 ∠ＯＨＢ＝ ∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝１８０°－２∠ＯＢＨ．因为 ∠ＯＡＢ＝９０°－ ∠ＯＢＨ，所以∠ＤＡＨ＝１８０°－２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． 能力提高　９．槡１７． １９．２．２菱形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．答案不惟一，如ＡＥ＝ＡＦ； ４．（２，槡２２）或（２，－ 槡２２）． ５．在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中，因为ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝ＡＣ，ＢＣ＝ ＤＣ，所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．因 为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱 形． ６．（１）因为 ＡＥ∥ ＣＦ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ＝ ∠ＣＦＤ．因为ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以四边 形ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＢＤ⊥ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是 菱形． （２）因为四边形 ＡＥＣＦ是菱形，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝２．在 Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２＋（２＋ ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 能力提高　７．（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，所 以ＦＤ＝ＥＤ，ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ．因为ＥＧ∥ＡＦ，所以 ∠ＥＧＤ＝∠ＦＤＧ．所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ．所以ＥＤ＝ＥＧ．所以 ＦＤ＝ＥＤ＝ＦＧ＝ＥＧ．所以四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２）连结ＦＣ，ＥＣ，图略．因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋ ∠Ｂ＝１８０°．所以ＡＦ∥ＣＢ．因为ＡＦ＝ＢＣ＝８，所以四边形ＡＢＣＦ 是平行四边形．所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０．根据轴对称的性质，得ＣＥ＝ ＣＦ＝１０．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＣＥ２－ＢＣ槡 ２ ＝６．所以ＡＥ＝ ＡＢ－ＢＥ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，根据勾股定理，得ＡＥ２＋ＡＤ２ ＝ ＤＥ２，即４２＋（８－ＤＦ）２＝ＤＦ２．解得ＤＦ＝５．所以Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ ·ＡＥ＝２０． ４０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ 二、９．６０°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．２４； １２．１６． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＢＣＦＥ是平行四边形， ∠ＥＭＢ＝∠ＣＢＤ．所以ＢＥ＝ＣＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以ＢＥ＝ ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １４．因为∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ，所以∠ＢＡＦ－∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ－ ∠ＥＡＦ，即∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ∠Ｂ＝∠Ｄ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以△ＡＢＥ≌△ＡＤＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＡＣ⊥ＥＦ，                                                         所以 —１— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝ＯＤ＝４．因为ＢＥ ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＥ２＝ＯＡ２ ＋ＯＥ２ ＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０．所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２．所 以△ＡＤＥ是直角三角形． １６．（１）连结ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＤ＝１８０°－ ∠Ｂ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以 ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°，所以∠ＦＥＣ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以∠ＦＥＣ＝∠ＣＦＥ．所以ＥＣ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝１２ＢＣ， 所以ＣＦ＝ １２ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． （２）连结ＡＣ，图略．因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ＡＢ＝ ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＤ－∠ＡＣＢ＝ ６０°＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ＝∠ＥＡＦ－ ∠ＥＡＣ，即∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ．所以△ＡＢＥ≌△ＡＣＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所 以 ＡＥ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边三角形．所以∠ＡＥＦ＝６０°．因 为 ∠ＡＥＦ ＋∠ＦＥＣ ＝ ∠Ｂ ＋∠ＢＡＥ， 所 以 ∠ＦＥＣ ＝ ∠ＢＡＥ＝２０°． 附加题　１．（１）因为Ｅ为ＡＢ的中点，所以 ＡＢ＝２ＡＥ＝ ２ＢＥ．因为ＡＢ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ．因为ＡＥ∥ＣＤ，所以四边 形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为 ＡＣ平分 ∠ＤＡＢ，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＥＡＣ．因为ＡＢ∥ＣＤ，所以 ∠ＤＣＡ＝∠ＥＡＣ．所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＤＣＡ．所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝∠Ｄ＝１２０°．所以ＣＥ＝ＢＥ， ∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝６０°．所以∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ＝３０°， △ＣＥＢ是等边三角形．所以ＢＣ＝２，∠ＥＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＢ ＝∠ＡＣＥ ＋∠ＥＣＢ ＝９０°．根据勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ 槡２３． ２．（１）连结ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ为菱形，∠ＢＡＤ＝ １２０°，所以ＡＢ＝ＢＣ，∠ＢＡＣ＝６０°，即∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＣ＝６０°． 所以△ＡＢＣ是等边三角形．所以ＡＢ＝ＡＣ．因为△ＡＥＦ是等边 三角形，所以 ＡＥ＝ＡＦ，∠ＥＡＦ＝６０°，即 ∠ＣＡＦ＋∠ＥＡＣ＝ ６０°．所 以 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＦ． 在 △ＡＢＥ和 △ＡＣＦ中， ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ， ＡＥ＝ＡＦ { ， 所以 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＢＥ＝ＣＦ． （２）四边形ＡＥＣＦ的面积不变，△ＣＥＦ的周长发生变化． 由（１），得 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ．所以 Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＡＣＦ．所以 Ｓ四边形ＡＥＣＦ ＝Ｓ△ＡＥＣ ＋Ｓ△ＡＣＦ ＝Ｓ△ＡＥＣ ＋Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＡＢＣ，即四边形 ＡＥＣＦ的面积不变．因为△ＣＥＦ的周长为：ＣＥ＋ＣＦ＋ＥＦ＝ＣＥ ＋ＢＥ＋ＥＦ＝ＢＣ＋ＥＦ＝ＢＣ＋ＡＥ，所以△ＣＥＦ的周长发生变 化．过点Ａ作ＡＧ⊥ ＢＣ于点 Ｇ，图略．当点 Ｅ滑动到点 Ｇ时， △ＣＥＦ的周长最小．此时ＢＧ＝１２ＢＣ＝１．根据勾股定理，得ＡＧ ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２ ＝槡３．所以Ｓ四边形ＡＥＣＦ ＝Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＡＧ＝ １ ２×２×槡３＝槡３，△ＣＥＦ的周长的最小值为：ＢＣ＋ＡＧ＝２＋槡３． ４１期２版 １９．３正方形 １９．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．在△ＢＣＥ和△ＤＣＦ中，因为ＢＥ＝ＤＦ，∠Ｂ＝∠Ｄ， ＢＣ＝ＤＣ，所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为 点Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ＣＤ ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为 ＡＥ平分 ∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股定 理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． 能力提高　６．槡２． ７．连结 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．在 △ＡＤＥ和 △ＡＢＦ中，因为 ＡＤ ＝ＡＢ，∠ＥＡＤ ＝ ∠ＦＡＢ，ＡＥ＝ＡＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＡＢＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＤＥ＝ ＢＦ＝２，∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝４５°．所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ ＝９０°．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １９．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以 ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为 ＢＥ ⊥ＥＦ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°．因为 ∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＥ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠                                                                      ＣＥＢ＋ —２— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为 ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．在 △ＡＢＤ和△ＣＢＤ中，因为 ＡＢ＝ＣＢ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ，ＢＤ＝ ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． ７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形．所以 ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，所以 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ． 所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ４１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ 二、９．槡６；　１０．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ；　１１．槡７； １２．槡６１． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ ＝４５°．因为 ＢＥ＝ＢＤ，所以 ∠ＢＤＥ＝∠Ｅ＝ １２（１８０°－ ∠ＥＢＤ）＝６７．５°．所以∠ＥＤＡ＝∠ＢＤＥ－∠ＡＤＢ＝２２．５°． １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以 ∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．在 △ＡＢＦ和 △ＤＡＥ中，因为∠Ｂ＝∠ＥＡＤ，∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ，ＡＦ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ 是正方形． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中，因为ＡＤ＝ＣＢ，∠ＤＡＥ ＝∠ＢＣＦ，ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ ＯＦ．所以四边形ＢＥＤＦ为菱形． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和 ＣＥＦＧ都是正方形，所以 ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ． 所以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连结ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ２ ＝１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得 ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝ ４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． 附加题　１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ ＝９０°．所以∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°．所以平行四边形 ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略．因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边 形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ．所以ＤＣ∥ＧＦ． 所以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ．因为Ｐ是线段ＤＦ的 中点，所以ＤＰ＝ＦＰ．在 △ＤＨＰ和 △ＦＧＰ中，因为 ∠ＤＨＰ＝ ∠ＦＧＰ，∠ＨＤＰ ＝ ∠ＧＦＰ，ＤＰ ＝ ＦＰ， 所 以 △ＤＨＰ ≌ △ＦＧＰ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＨＰ＝ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ．当 ∠ＣＰＧ＝９０° 时，ＰＧ⊥ＰＣ．所以ＣＨ＝ＣＧ．所以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ ＝ＢＧ．所以ＢＧ＝ＦＧ．所以平行四边形ＢＥＦＧ是菱形．由（１）知 四边形ＢＥＦＧ是矩形．所以四边形ＢＥＦＧ是正方形． ２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形ＥＦＧＨ为菱形，所 以∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＨＧ＝ＨＥ．在Ｒｔ△ＡＨＥ和Ｒｔ△ＤＧＨ中，因 为ＥＨ＝ＨＧ，ＡＨ＝ＤＧ，所以Ｒｔ△ＡＨＥ≌Ｒｔ△ＤＧＨ（Ｈ．Ｌ．）．所 以∠ＡＥＨ＝∠ＤＨＧ．因为∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ＝９０°，所以∠ＡＨＥ ＋∠ＤＨＧ＝９０°．所以∠ＥＨＧ＝９０°．所以四边形ＥＦＧＨ为正方 形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ－ ＡＨ＝４，ＣＧ＝ＤＣ－ＤＧ＝５．由勾股定理，得ＨＧ２＝ＤＧ２＋ＤＨ２ ＝２０．因为四边形 ＥＦＧＨ是正方形，所以 ＦＧ２ ＝２０，∠ＥＦＧ＝ ９０°．所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°．由勾股定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５． ４２期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 二、１３．２０；　１４．７０°；　１５．ＢＤ＝ＡＣ且ＢＤ⊥ＡＣ； １６．４．８． 三、１７．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｄ＝９０°，ＣＤ＝ ＡＢ＝４，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＣＢＥ．因为ＢＥ平分∠ＡＢＣ， 所以∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ．所以                                                                      ＡＥ＝ＡＢ＝ —３— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ４．因为ＡＤ＝７，所以ＥＤ＝ＡＤ－ＡＥ＝３．根据勾股定理，得ＥＣ ＝ ＥＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝５． １８．因为 ＡＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＯ ＝∠ＣＢＯ，∠ＤＡＯ ＝ ∠ＢＣＯ．因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ ＣＢ．在 △ＡＤＯ和 △ＣＢＯ中，因为 ∠ＡＤＯ＝∠ＣＢＯ，∠ＤＡＯ＝ ∠ＢＣＯ，ＯＡ＝ＯＣ，所以△ＡＤＯ≌△ＣＢＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＤ＝ ＣＢ．所以ＡＤ＝ＣＤ＝ＡＢ＝ＣＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １９．连结ＧＥ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ为正方形，所以ＡＢ∥ ＣＤ．所以∠ＣＧＥ＝∠ＡＥＧ．因为四边形ＥＦＧＨ为菱形，所以ＧＦ ∥ＨＥ．所以∠ＨＥＧ＝∠ＦＧＥ．所以∠ＡＥＧ－∠ＨＥＧ＝∠ＣＧＥ－ ∠ＦＧＥ，即∠ＨＥＡ＝∠ＣＧＦ． ２０．（１）过点Ｇ作ＧＤ⊥ＡＢ于点Ｄ，图略．因为ＧＥ⊥ＢＣ，ＧＦ ⊥ＡＣ，所以∠ＣＥＧ＝∠ＣＦＧ＝９０°．因为∠Ｃ＝９０°，所以四边 形ＧＥＣＦ是矩形．因为∠ＢＡＣ，∠ＡＢＣ的平分线交于点Ｇ，所以 ＥＧ＝ＤＧ＝ＦＧ．所以四边形ＧＥＣＦ是正方形． （２）连结ＣＧ，图略．因为ＡＣ＝４，ＢＣ＝３，∠ＡＣＢ＝９０°，由 勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝５．因为 Ｓ△ＡＢＣ ＝Ｓ△ＡＢＧ ＋ Ｓ△ＡＣＧ ＋Ｓ△ＢＣＧ，所以 １ ２×３×４＝ １ ２×５ＥＧ＋ １ ２×４ＥＧ＋ １ ２× ３ＥＧ．解得ＥＧ＝１．所以四边形ＧＥＣＦ的面积为：ＥＧ２ ＝１． ２１．（１）１． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ＝２ＯＡ，ＢＤ ＝ ２ＯＢ，ＡＢ＝ＢＣ．因为∠ＡＢＣ＝６０°，所以△ＡＢＣ是等边三角形． 所以 ＡＢ＝２ＯＡ．根据勾股定理，得 ＯＢ＝ ＡＢ２－ＯＡ槡 ２ ＝ 槡３ＯＡ．所以菱形ＡＢＣＤ的“接近度”为： ｍ ｎ ＝ 槡２３ＯＡ ２ＯＡ ＝槡３． （３）因为菱形ＡＢＣＤ的“接近度”是２，所以ＢＤ＝２ＡＣ．所 以ＯＢ＝２ＯＡ．因为菱形ＡＢＣＤ的边长为５，所以ＯＡ２＋ＯＢ２ ＝ ５ＯＡ２ ＝２５．解得ＯＡ＝槡５．所以ＢＤ＝ 槡４５． ２２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＯＡ＝ＯＣ＝１２ＡＣ， ＯＢ＝ＯＤ＝ １２ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．在 △ＢＥＯ和△ＣＥＯ中，因为ＢＥ＝ＣＥ，ＯＥ＝ＯＥ，ＯＢ＝ＯＣ，所以 △ＢＥＯ≌△ＣＥＯ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝∠ＣＤＡ＝ ９０°，ＡＢ＝ＤＣ．在Ｒｔ△ＢＡＥ和Ｒｔ△ＣＤＥ中，因为ＢＥ＝ＣＥ，ＡＢ＝ ＤＣ，所以Ｒｔ△ＢＡＥ≌Ｒｔ△ＣＤＥ（Ｈ．Ｌ．）．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ， ＡＥ＝ＤＥ．因为ＯＡ＝ＯＤ，所以∠ＯＥＡ＝∠ＯＥＤ＝９０°，∠ＤＡＯ ＝∠ＡＤＯ．所以ＡＢ∥ＯＥ∥ＤＣ．所以Ｓ△ＡＥＯ ＝Ｓ△ＢＥＯ，Ｓ△ＤＥＯ ＝ Ｓ△ＣＥＯ．所以Ｓ△ＡＥＯ －Ｓ△ＥＦＯ ＝Ｓ△ＢＥＯ －Ｓ△ＥＦＯ，即Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＢＦＯ， Ｓ△ＤＥＯ －Ｓ△ＥＨＯ ＝Ｓ△ＣＥＯ －Ｓ△ＥＨＯ，即Ｓ△ＤＥＨ ＝Ｓ△ＣＨＯ．在△ＡＥＦ和 △ＤＥＨ中，因为∠ＥＡＦ＝∠ＥＤＨ，ＡＥ＝ＤＥ，∠ＡＥＦ＝∠ＤＥＨ， 所以△ＡＥＦ≌△ＤＥＨ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＤＥＨ．因为ＤＧ ∥ ＡＣ，所以 ∠Ｇ＝∠ＡＦＥ，∠ＧＤＥ＝∠ＦＡＥ．在 △ＡＥＦ和 △ＤＥＧ中，因为∠ＡＦＥ＝∠Ｇ，∠ＦＡＥ＝∠ＧＤＥ，ＡＥ＝ＤＥ，所以 △ＡＥＦ≌△ＤＥＧ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以Ｓ△ＡＥＦ ＝Ｓ△ＤＥＧ．所以△ＤＥＨ， △ＣＨＯ，△ＤＥＧ，△ＢＦＯ的面积都与△ＡＥＦ的面积相等． ４３期２版 ２０．１平均数 ２０．１．１平均数的意义 基础训练　１．Ｃ；　２．１；　３．１０ｍ＋２３ｎ３３ ． ４．这２０户家庭的月平均用水量是：１２０×（４×２＋５×３＋ ６×７＋８×５＋９×２＋１１×１）＝６．７（吨）． 能力提高　５．Ｄ． ２０．１．２用计算器求平均数 基础训练　１．Ｄ． ２．（１）１；　（２）－１３．７５；　（３）８６．５． ２０．１．３加权平均数 基础训练　１．Ｃ；　２．２９． ３．（１）甲的平均成绩为：８０＋８７＋８２３ ＝８３（分）； 乙的平均成绩为： ８０＋９６＋７６ ３ ＝８４（分）． 因为８４＞８３，所以应该录取乙． （２）甲的综合成绩为：８０×２０％＋８７×２０％＋８２×６０％ ＝ ８２．６（分）； 乙的综合成绩为：８０×２０％ ＋９６×２０％ ＋７６×６０％ ＝ ８０．８（分）． 因为８２．６＞８０．８，所以应该录取甲． ２０．２数据的集中趋势 ２０．２．１中位数和众数 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ａ；　４．８１；　５．１４分． ６．（１）５．５，４； （２）这１００名学生平均每人植树：１１００×（４×３０＋５×２０＋ ６×２５＋８×１５＋１０×１０）＝５．９（棵）． ２０．２．２平均数、中位数和众数的选用 基础训练　１．（１）表中依次填１，１，２，３，４，５，３，１，年平均 收入为１．６； （２）１．２，１．３； （３）众数． ２．（１）这 １５名工人该天加工零件的平均数为： １８×１＋１６×１＋１０×２＋８×６＋７×３＋６×２ １５ ＝９（件）． （２）这１５名工人该天加工零件的中位数是８件，                                                                      众数是 —４— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ８件． （３）不会．理由如下： ９件是平均数，但表中数据显示，每日能完成９件的只有 ４人，还有１１人不能达到此定额，将每名工人的日加工零件任 务数定为９件不利于调动多数工人的生产积极性． ４３期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ 二、９．２３．５；　１０．５；　１１．２．８；　１２．１９或２０． 三、１３．（１）１６，１７． （２）这１０位居民一周内使用共享单车的平均次数是：１１０ ×（０＋７＋９＋１２＋１５＋１７×３＋２０＋２６）＝１４（次）． １４．（１）该员工本年度平时表现的平均成绩为：１４×（１０６ ＋１０２＋１１４＋１１０）＝１０８（分）． （２）该员工本年度的综合考评成绩为：１０８×１０％ ＋１１０× ２０％ ＋１０７×７０％ ＝１０７．７（分）． １５．（１）这１０名工人该月生产零件的平均个数为：１１０× （６００＋４８０＋２２０×３＋１８０×４＋１２０）＝２５８（个）． （２）因为共有１０名工人，所以中位数为：（２２０＋１８０）÷２ ＝２００（个），众数为１８０个． 从平均数看，当月生产目标定为２５８个时，有２名工人获得 奖励，不利于调动工人的积极性； 从中位数看，当月生产目标定为２００个时，有５名工人获得 奖励，不利于调动工人的积极性； 从众数看，当月生产目标定为１８０个时，有９名工人获得奖 励，有利于调动工人的积极性． 综上所述，当月生产目标定为１８０个时，有利于调动大多 数工人的积极性． １６．（１）一班Ｃ等级的学生有：２５－６－１２－５＝２（名）．补 图略． （２）一班的平均数为：ａ＝１２５×（６×１００＋１２×８５＋２× ７５＋５×６０）＝８２．８（分）； 一班的中位数为：ｂ＝８５（分）； 二班的众数为：ｃ＝１００（分）． （３）①从平均数、众数方面来比较，二班的成绩更好． ②一班Ｂ级以上（包括Ｂ级）的同学有：６＋１２＝１８（名）； 二班 Ｂ级以上（包括 Ｂ级）的同学有：２５×（４４％ ＋４％）＝ １２（名）． 因为１８＞１２，所以从Ｂ级以上（包括Ｂ级）的人数方面来 比较，一班的成绩更好． 附加题　１．（１）１５，１５． （２）１５，５．５． （３）用“平均数”这个数据指标不能较好反映人群年龄特 征的是乙群游客．理由如下： 乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，平均 数高于大部分成员的年龄． ２．（１）Ｃ等级的同学有５人，成绩分别为：７７，７３，７２，７９，７８． 所以３月份体育测试成绩为Ｃ等级的同学的平均成绩为：１５× （７７＋７３＋７２＋７９＋７８）＝７５．８（分）． （２）由表中数据可知，３０名同学中，Ａ等级的有１０人，Ｂ等 级的有１１人，Ｃ等级的有５人，Ｄ等级的有４人．所以强化训练 后该班同学平均成绩所提高的分数为： １ ３０×（０．９×１０＋５×１１ ＋１０×５＋１５×４）＝５．８（分）． ４４期２版 ２０．３数据的离散程度 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．２；　４．（１）４，（２）＞． ５．教练应该选择甲选手参加射击比赛．理由如下： 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ甲 ＝ ８＋８＋７＋８＋９ ５ ＝８（环）， 甲选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２甲 ＝ （８－８）２×３＋（７－８）２＋（９－８）２ ５ ＝０．４； 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的平均数为：ｘ乙 ＝ ５＋９＋７＋１０＋９ ５ ＝８（环）， 乙选手在 ５次打靶测试中命中环数的方差为：ｓ２乙 ＝ （５－８）２＋（７－８）２＋（９－８）２×２＋（１０－８）２ ５ ＝３．２． 因为甲、乙的平均成绩相同，但甲成绩的方差小于乙成绩 的方差，所以教练应该选择甲选手参加射击比赛． 专题　数据的分析 １．Ｂ；　２．Ｂ；　３．８７． ４．（１）表格第一行填入７，８；第二行从左到右依次填入８；８． （２）李雷射击成绩的方差为：１１０×［２×（５－７） ２＋（６－７）２＋ ３×（７－７）２＋３×（８－７）２＋（９－７）２］＝１．６； 林涛射击成绩的方差为： １ １０×［（３－７） ２＋（４－７）２＋（５ －７）２＋（６－７）２＋３×（８－７）２＋２×（９－７）２＋（１０－７）２                                                                      ］ —５— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 ＝５． （３）李雷的射击成绩更好．理由如下： 李雷和林涛的射击成绩的平均数一样，但是李雷的方差更 小，波动更小，成绩更稳定（答案不惟一，合理即可）． ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ 二、１３．甲；　１４．９．５分；　１５．平均数； １６．－３或７或１３４． 三、１７．李大爷这３天的平均步数是：１３×（６２００＋５５００＋ ７２００）＝６３００（步）． １８．本学期王刚的数学总成绩为：８５×１＋９０×２＋９５×２１＋２＋２ ＝９１（分）． 因为９１＞９０，总成绩大于９０分为优秀，所以本学期王刚的 数学成绩是优秀． １９．（１）８次，８．５次． （２）乙成绩的平均数为：５＋６＋８＋９＋１０＋１０６ ＝８（次）， 方差为： １ ６×［（５－８） ２＋（６－８）２＋（８－８）２＋（９－８）２ ＋２×（１０－８）２］＝１１３． 因为１＜１１３，所以甲引体向上的成绩更稳定． ２０．（１）根据题意，得 １１５×（５×３＋２×８＋１×７＋４×４＋ ３×９）＝５．４（万元）． 答：这个公司平均每人所创年利润是５．４万元． （２）Ｄ部门的员工不能获奖．理由如下： 获奖人数为：１５×４０％ ＝６（名）． 个人所创年利润由高到低分别为：Ｅ部门３名，Ｂ部门２名， Ｃ部门１名，共６名．所以Ｄ部门的员工不能获奖． ２１．（１）ａ＝ １５×（７＋１０＋１０＋７．５＋８）＝８．５． 把甲班成绩按从小到大的顺序排列，最中间的数是８．５， 则ｂ＝８．５． 乙班成绩中１０分出现的次数最多，则ｃ＝１０． ｄ＝ １５×［（８．５－８．５） ２×２＋（７．５－８．５）２＋（８－８．５）２ ＋（１０－８．５）２］＝０．７． （２）从方差看，甲班的方差小，所以甲班的成绩更稳定（答 案不惟一，合理即可）． （３）因为乙班成绩的中位数是８分，所以小明的成绩是 ８分．所以小明是５号选手． ２２．（１）１４４．乙车间４月份工资为５千元的有：１０－５－２－ １＝２（名）．补图略． （２）由扇形统计图，得甲车间员工工资为４千元、５千元、 ６千元、７千元、８千元的员工分别有１名、２名、４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平均工资为： １ １０×（４×１＋５×２＋６× ４＋７×２＋８×１）＝６（千元），方差为：１１０×［（４－６） ２＋２× （５－６）２＋４×（６－６）２＋２×（７－６）２＋（８－６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６，所以甲车间员工的工资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工工资的中位数为：６＋６２ ＝６（千元）． 因为甲车间员工工资低于６千元的有３名，不低于６千元 的有７名，所以新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位 数，所以ｎ的最小值为：７－３＝４． 所以当这４名员工工资低于６千元，且是较高工资时，这 ４名员工的工资和取得最大值． 所以这４名员工的工资分别为４千元、４千元、５千元、５千元． 所以这４名员工的工资和的最大值为：４＋４＋５＋５＝ １８（千元）                                                      ． —６— 初中数学·华东师大八年级　第４０～４４期 书 （上接４版参考答案） 三、１３．因 为 四 边 形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ＢＣ，所以四边形ＢＣＦＥ 是平行四边形，∠ＥＭＢ ＝ ∠ＣＢＤ．所以 ＢＥ ＝ＣＦ， ∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以 ＢＥ ＝ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １４．因 为 ∠ＢＡＦ ＝ ∠ＤＡＥ， 所 以 ∠ＢＡＦ － ∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ－∠ＥＡＦ， 即 ∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为 四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以∠Ｂ＝∠Ｄ．因为ＢＥ ＝ ＤＦ， 所 以 △ＡＢＥ ≌ △ＡＤＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＢ 是菱形． １５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 所以四边形 ＡＥＣＦ是平行 （２）△ＡＤＥ是直角三 角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８， 所以ＯＡ＝２，ＯＢ ＯＤ ４．因为ＢＥ＝３，所以 ＝ ＯＥ ＝ ＝ ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ＢＤ，所 以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°． 根据勾股定理，得 ＡＥ２ ＝ ＯＡ２＋ＯＥ２＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２ ＋ＯＤ２ ＝２０．所以 ＡＥ２ ＋ Ｄ２＝ＤＥ２．所以△ＡＤＥ是 直角三角形． 略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱 １６．（１）连结 ＡＣ，图 形，所以 ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ， ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°， 所以∠ＢＣＤ＝１８０°－∠Ｂ ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三 角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点， 所以 ∠ＦＥＣ ＝∠ＡＥＣ－ ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°， ∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以 ∠ＦＥＣ ＝ ∠ＣＦＥ．所以 ＥＣ＝ＣＦ．因 ２为ＣＥ＝ １ＢＣ，所以ＣＦ＝ １ ２ （２）连结ＡＣ，图略．因 为 △ＡＢＣ是等边三角形， 所以 ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°．所以 ∠ＡＣＦ ＝∠ＢＣＤ－∠ＡＣＢ＝６０° ＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°， 以 ∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ ＝ ∠ＥＡＦ－∠ＥＡＣ，即∠ＢＡＥ ＝∠ＣＡＦ．所以△ＡＢＥ≌ （下转２，３版中缝） !"#$ !"#$%&'( ) *+%&,-./01' !"#$%#&'$&() *+23,-./01' *"#$+#&'$!"# 书 !!"#$#% !!"45*6789:;<=>?@A &-&BCD,"EFGH"IJKGL/01 !;P1Q"RS*-"#.$#&'.&(/ !QY*Z[!";P15\]^_`aMbTc !&,-.% .##"(("())'TUVWBX X !MNQYRS*...)# !MN/O*-"---( !defgQhiQjkQ ! ! 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" ; P 1 5 \ ‡ ˆ !"#$%&' #67‰ŠEL‹Œ 67‰EnŽ‘’“‹” GH"I/0.% I•*–—˜ _™š›œ.%žB*!" $%&'()(T* +X MŸ B*,-.,)/ 正方形既是矩形，又是菱形．判定一个四边形为正 方形，通常有两种途径：先证明它是矩形，再证明它是菱 证明思路． 招式一、矩形 ＋一组邻边相等 ＝正方形 　例１ 如图１，已知四边 为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ 形ＡＢＣＤ是正方形，ＡＢ＝槡２， ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ＝ＯＦ． 点Ｅ为对角线 ＡＣ上一动点， 连结ＤＥ，过点Ｅ作ＥＦ⊥ＤＥ， ＣＧ． （１） ：矩形ＤＥＦＧ是正方形； （２） 求 求 证 证：ＣＥ＋ＣＧ＝２． 证明：（１）过点Ｅ分别作ＥＭ⊥ＢＣ于点Ｍ，ＥＮ⊥ＣＤ 于点Ｎ，如图１． 所以∠ＥＭＦ＝∠ＥＮＤ＝∠ＥＮＣ＝９０°． 因为点Ｅ是正方形ＡＢＣＤ对角线上的点， 所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ，∠ＢＣＤ＝９０°． 所以ＥＭ ＝ＥＮ，∠ＭＥＮ＝３６０°－∠ＥＭＦ－∠ＥＮＣ －∠ＢＣＤ＝９０°． 因为四边形ＤＥＦＧ是矩形， 所以∠ＤＥＦ＝９０°． 所以∠ＭＥＮ－∠ＦＥＮ＝∠ＤＥＦ－∠ＦＥＮ，即∠ＭＥＦ＝ ＝ＡＤ．所以四边形 ＡＢＣＤ 形；先证明它是菱形，再证明它是矩形．现举例说明两种 ∠ＤＥＮ． 在△ＤＥＮ和 △ＦＥＭ中， ∠ＥＮＤ＝∠ＥＭＦ， ＥＮ＝ＥＭ， ∠ＤＥＮ＝∠ＦＥＭ { ， 所以 △ＤＥＮ≌△ＦＥＭ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． 所以ＥＤ＝ＥＦ． 所以矩形ＤＥＦＧ是正方形． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＤＥＦＧ都是正方 形，所以 ＡＤ ＝ＣＤ ＝ＡＢ＝槡２，ＤＥ＝ＤＧ，∠ＡＤＣ＝ ∠ＥＤＧ＝９０°． 所以∠ＡＤＣ－∠ＥＤＣ＝∠ＥＤＧ ∠ＥＤＣ，即∠ＡＤＥ ＝∠ＣＤＧ． 在 △ＡＤＥ和 △ＣＤＧ中， ＡＤ＝ － ＣＤ， ∠ＡＤＥ＝∠ＣＤＧ ＤＥ＝ＤＧ { ， ，所以 △ＡＤＥ≌△ＣＤＧ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＡＥ＝ＣＧ． 所以ＣＥ＋ＣＧ＝ＣＥ＋ＡＥ＝ＡＣ＝槡ＡＤ ２＋ＣＤ２ ＝２． 招式二、菱形 ＋对角线相等 ＝正方形 　例２ 如图２，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交 于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ在对角线ＢＤ 上，且ＢＥ＝ＤＦ，ＯＥ＝ＯＡ． 求证：四边形 ＡＥＣＦ是正方 形． ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ＝ ＯＦ． 所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． 因为ＯＥ＝ＯＡ，所以ＥＦ＝２ＯＥ＝２ＯＡ＝ＡＣ． 菱形ＡＥＣＦ是正方形． ：证 一个四边形是 方形，当 涉及 到垂 所 总 直 以 结 时，通 明 常先证明它是矩 正 形，再证明 已 矩 知 形 条 的 件 邻边相 等或对角线垂直；当已知条件中涉及到边相等时，通常 先证明它是菱形，再证明菱形的对角线相等或有一个内 角是直角．这是证明一个四边形是正方形的四种思路， 在具体的证明中，应根据题目的已知条件灵活选择． 书 上期２版 １９．２菱形 １９．２．１菱形的性质 基础训练　 　 　１．Ｄ； ２．２０； ３．７０°； ４．（槡２＋２，槡２）． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ ＢＤ．因为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是 平行四边形． ６．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ 所以ＰＡ＝ＰＣ． ７．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以 ＝１２ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝槡ＯＡ ２＋ＯＢ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＢ ５＝ＡＢ·ＤＨ，所以ＤＨ＝ ＡＣ·ＢＤ＝２４ｃｍ． ２ 以∠ＯＨＢ＝∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝１８０°－２∠ＯＢＨ．因 为 ∠ＯＡＢ ＝９０°－∠ＯＢＨ，所以 ∠ＤＡＨ ＝１８０°－ ２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． 能力提高　９．槡１７． １９．２．２菱形的判定 　 　基础训练　１．Ｂ； ２．Ｄ； ３．答案不惟一，如ＡＥ＝ 　ＡＦ； ４．（２，２槡２）或（２，－２槡２）． ６．（１）因为ＡＥ∥ＣＦ，所以∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ ＝∠ＣＦＤ．因为 ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ＢＤ⊥ ＡＣ，ＡＤ＝ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＥ ＝ＣＦ．所以四边形 ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为 ＢＤ⊥ ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＦ是菱形，所以ＤＥ＝ＤＦ＝２． ∠ＣＢＰ．又因为ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 在Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２ 能力提高　７．（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＡＥ＝ＡＤ．所以∠Ｅ 称，所以ＦＤ＝ＥＤ，ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ．因为ＥＧ ＝∠ＡＤＥ．所以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＡＤＢ ∥ＡＦ，所以∠ＥＧＤ＝∠ＦＤＧ．所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ．所 ＋∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＥ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． 以ＥＤ＝ＥＧ．所以 ＦＤ＝ＥＤ＝ＦＧ＝ＥＧ．所以四边形 ８．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ ＤＥＧＦ是菱形． （２）连结ＦＣ，ＥＣ，图略．因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以 ∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０°．所以ＡＦ∥ＣＢ．因为ＡＦ＝ＢＣ＝８，所 ２ＡＣ·ＢＤ 以四边形ＡＢＣＦ是平行四边形．所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０．根据 轴对称的性质，得ＣＥ＝ＣＦ＝１０．根据勾股定理，得ＢＥ＝ （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＢ＝ＯＤ， 中，根据勾股定理，得ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２，即４２＋（８－ＤＦ）２ ∠ＤＡＨ＝２∠ＯＡＢ．因为ＯＨ＝１ＢＤ，所以ＯＨ＝ＯＢ．所 ＝ＤＦ ２．解得ＤＦ＝５．所以Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ·ＡＥ＝２０． 上期３版 一、 答案 题号 Ａ １ Ｃ ２ Ｂ ３ Ａ ４ Ｂ ５ Ｂ ６ Ｃ ７ Ｂ ８ 　 　 １２．１６． !/0123*-"#.+#&'.&#( （下转１，４版中缝） 书 们的特殊点，下面从一个问 题的变化 进行研究． 【问 来 题】如 图 １， 在 △ＡＢＣ中，ＢＣ边上的中线为 解析：方法一：因为点 Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是边 ＢＣ，ＡＢ，ＡＣ 的中点，所以ＤＥ∥ＡＣ，ＤＦ∥ ＡＢ．所以四边形 ＡＥＤＦ是平 行四边形． 方法二：因为点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＢ，ＡＣ的中点， ２ ２所以ＤＥ＝ １ＡＣ＝ＡＦ，ＤＦ＝１ＡＢ＝ＡＥ．所以四边形 当我们利用平行四边形的判定方法判定这个四边 形是平行四边形后，就会发现，这个问题应用了三角形 的中位线，如果对这个问题进行拓展，那么就能发现它 可以与特殊的平行四边形的知识进行综合． 【拓展１】如图２，在 ＡＢＣ中，ＢＣ 上的中线为 ＡＤ，点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ，ＡＣ的中点．若 ＢＡＣ＝９０°， 那么四边形ＡＥＤＦ是什么形状的四边形？ 解析：方法一：从“问题”中可知四边形ＡＥＤＦ是平 行四边形．因为 ∠ＢＡＣ＝９０°，所以四边形 ＡＥＤＦ是矩 ５．在△ＡＢＣ和△ＡＤＣ中，因为ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝ＡＣ， 形． ＢＣ＝ＤＣ，所以△ＡＢＣ≌△ＡＤＣ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＤＡＣ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以 ∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以ＡＤ＝ＣＤ．所以ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． 方法二：如图２，连结ＥＦ．因为点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ， ２ＡＣ的中点，所以 ＥＦ＝ １ＢＣ．因为 Ｄ为 ＢＣ的中点， Ａ ２∠ＢＡＣ＝９０°，所以ＡＤ＝ １ＢＣ．所以ＡＤ＝ＥＦ．因为四 边形ＡＥＤＦ是平行四边形，所以四边形ＡＥＤＦ是矩形． 【拓展２】如图３，在 △ＡＢＣ中，ＢＣ边上的中线为 ＡＤ，点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ，ＡＣ的中点．若ＡＢ＝ＡＣ，那么 四边形ＡＥＤＦ是什么形状的四边形？ 解析：由“问题”可知四边形ＡＥＤＦ是平行四边形． ２ ２因为ＡＦ＝ １ＡＣ，ＡＥ＝１ＡＢ，ＡＢ＝ＡＣ，所以ＡＥ＝ＡＦ． 所以ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ ＋（２＋ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 所以四边形ＡＥＤＦ是菱形． 【拓展３】如图４，在 △ＡＢＣ中，ＢＣ边上的中线为 ＡＤ，点 Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＢ，ＡＣ的中点．若 ＡＢ＝ＡＣ，且 槡ＣＥ ２－ＢＣ２ ＝６．所以ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＥ ∠ＢＡＣ＝９０°，那么四边形ＡＥＤＦ是什么形状的四边形？ 解析：方法一：由“拓展２”可知在ＡＢ＝ＡＣ的条件 下，四边形ＡＥＤＦ是菱形．因为∠ＢＡＣ＝９０°，所以菱形 ＡＥＤＦ是正方形． 方法二：如图４，连结 ＥＦ．因为点 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＢ， ２ＡＣ的中点，所以ＥＦ＝ １ＢＣ．因为∠ＢＡＣ＝９０°，点Ｄ 所 ２是ＢＣ的中点，所以ＡＤ＝ １ＢＣ．所以ＥＦ＝ＡＤ．由“拓 二、９．６０°； １０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ； １１．２４； 展２”可知四边形ＡＥＤＦ是菱形，所以菱形 ＡＥＤＦ是正 方形． 边 ∠ & ! " # △ $ ! % & ! . % & ! " ' $ ! ' " $ % ! 0 & ! 书 % ! " & $ ' " 特殊平行四边形主要包 括矩形、菱形、正方形，由于 各自的特殊性，使得各种特 殊平行四边形呈现出多彩的 性质与判定．而要真正灵活 使用这些性质与判定，就要 在具体的问题背景中应用它 " ¡ ¢ – ＡＤ，点Ｅ，Ｆ分别是边 ＡＢ，ＡＣ£ 的中点．试问四边形ＡＥＤＦ是 什么形状的四边形？ 正方形因其特殊的性质，考题形式多种多样，掌握 、一 开放型 　例１ 如图１，四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，ＡＣ与ＢＤ相交于 点Ｏ，ＡＢ＝ＡＤ，添加一个条件 ，可使ＡＢＣＤ成为正方形． 解：添加条件∠ＢＡＤ＝９０°． 证明如下： 边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ∠ＢＡＤ ＝９０°，所以四边形 ＡＢＣＤ是正方形．故填答案不惟一，如∠ＢＡＤ＝９０°． 二、探究型 　 的外侧，作两个等腰三角形ＡＤＥ和 ＤＣＦ．若ＥＡ＝ＥＤ＝ＦＤ＝ＦＣ，试 判断ＢＥ和 ＡＦ的关系，并给予证 明． 解：ＢＥ＝ＡＦ，ＢＥ⊥ ＡＦ．证明 如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＣＤ＝ＡＤ， ∠ＢＡＤ ＝ ∠ＣＤＡ ＝ ９０°． 在 △ＥＡＤ 和 △ＦＤＣ中， ＥＡ ＦＤ， ＡＤ ＤＣ， ＥＤ ＝ ＝ ＝ＦＣ { ， 所以△ＥＡＤ≌△ＦＤＣ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）．所以∠ＥＡＤ＝ ＝∠ＡＤＦ．在△ＢＡＥ和△ＡＤＦ中， ＥＡ＝ＦＤ， ∠ＢＡＥ＝ ＡＢ＝Ｄ { Ａ， ∠ＡＤＦ，所以 △ＢＡＥ≌ △ＡＤＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＢＥ ＝ＡＦ，∠ＡＢＥ ＝ ∠ＤＡＦ．所以∠ＡＢＥ＋∠ＢＡＦ＝９０°．所以ＢＥ⊥ＡＦ． 三、规律型 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝ＡＤ，所以四 △ＡＡ１Ａ２；再以对角线 ＯＡ２为边 作第三个正方形 ＯＡ２Ａ３Ｂ３，连结 Ａ１Ａ３，得到△Ａ１Ａ２Ａ３，再以对角线 ＯＡ３为边作第四个正 方形 ＯＡ３Ａ４Ｂ４，连结 Ａ２Ａ４，得到 △Ａ２Ａ３Ａ４，…，设 △ＡＡ１Ａ２，△Ａ１Ａ２Ａ３，△Ａ２Ａ３Ａ４，… 的面积分别为 Ｓ１，Ｓ２， ＡＥＤＦ是平行四边形． Ｓ３，…，如此下去，则Ｓ２０４的值为 （　　） １ ２ Ａ．２０４　　Ｂ．２ ２０２　　Ｃ．２２０２＋１２　　Ｄ．１０２ 解：因为四边形ＯＡＡ１Ｂ１是边长为１的正方形，所以 ２∠ＯＡＡ１ ＝９０°．所以ＯＡ ２ １ ＝１ ２＋１２ ＝２，Ｓ１ ＝ １×１× １＝１２ 因为四边形ＯＡ１Ａ２Ｂ２是正方形，所以∠ＯＡ１Ａ２＝． ９０°，ＯＡ１ ＝Ａ１Ａ２．所以 ＯＡ ２ ２ ＝２ＯＡ ２ １ ＝４．因为四边形 ＯＡ２Ａ３Ｂ３是正方形，所以ＯＡ２ ＝Ａ２Ａ３ ２．所以Ｓ２ ＝ ×２×１＝１，Ｓ３ ＝ １ ２×２×２＝２．根 ＝ 据规律可得Ｓｎ １ ２ ＝ & % ( " $ ! $ % ' " 例２ 如图２，在正方形ＡＢＣＤ $ & ! & ! " $ ( " $ 0 $ " 例 ３　 如 图 ３，四 边 形 ＯＡＡ１Ｂ１是边长为１的正方形，以 对角线 ＯＡ１为边作第二个正方 形 ＯＡ１Ａ２Ｂ２，连结 ＡＡ２，得到 " 0 " & $ & $ $ " " ! " 书 " ¤¥ ¦§¨ 每类题型的解题策略可以快速巧妙地解决问题．现列举 几例加以说明，供同学们参考． 在解决有关正方形的问题中，常常结合轴对称的性 质来解题，下面列举几例加以说明，供同学们参考． 、一 运用正方形关于对角线对称解题 　 ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． 对角线ＢＤ上一点，连结ＡＦ，ＣＦ，并延 长 ＣＦ交 ＡＤ于点 Ｅ．若 ∠ＡＦＣ ＝ １４０°，则∠ＤＥＣ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　 　　Ａ．８０° Ｂ．７５° Ｃ．７０° Ｄ．６５° 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ∠ＡＤＦ＝ １ ２∠ＡＤＣ＝４５°． ＝ １２∠ＡＦＣ＝７０°． 由对顶角相等，得∠ＤＦＥ＝∠ＢＦＣ＝７０°． 所以∠ＤＥＣ＝１８０°－∠ＤＦＥ－∠ＥＤＦ＝６５°． 故选Ｄ． 　 道示意图，四边形ＡＢＣＤ为正方形， 点Ｇ在对角线ＢＤ上，ＧＥ⊥ＣＤ，ＧＦ ⊥ＢＣ，ＡＤ＝１５００ｍ，小敏行走的 路线为Ｂ→Ａ→Ｇ→Ｅ，小聪行走 的路线为Ｂ→Ａ→Ｄ→Ｅ→Ｆ．若 小敏行走的路程为３１００ｍ，则小聪 走的 （　　） Ａ．３１００ｍ Ｂ．４６００ｍ Ｄ．３６００ｍＣ．３０００ｍ 解：连结ＧＣ，如图２． 因为正方形ＡＢＣＤ关于对角线ＢＤ对称，所以∠ＢＦＣ ∠ＥＤＧ＝４５°． 因为ＧＥ⊥ＤＣ，所以∠ＧＥＤ＝∠ＧＥＣ＝９０°． 所以∠ＤＧＥ＝９０°－∠ＥＤＧ＝４５°． 所以ＤＥ＝ＧＥ． 因为正方形ＡＢＣＤ关于对角线ＢＤ对称， 所以ＡＧ＝ＣＧ． 因为ＧＦ⊥ＢＣ，所以∠ＧＦＣ＝９０°． 所以四边形ＧＥＣＦ是矩形． 所以ＥＦ＝ＣＧ． 所以ＥＦ＝ＡＧ． 因为小敏共走了３１００ｍ，所以小聪行走的路程为： ＢＡ＋ＡＤ＋ＤＥ＋ＥＦ＝ＢＡ＋ＡＤ＋ＧＥ＋ＡＧ＝３１００＋１５００ ＝４６００（ｍ）． 故选Ｂ． 二、运用轴对称的性质解题 　 中，ＡＢ＝１，点Ｅ是ＢＣ边上一动点 （点Ｅ不与Ｂ，Ｃ重合），连结ＡＥ，作 段ＣＦ的最小值为 Ａ．１４ （　　） Ｂ．槡２－１ Ｃ．槡２２ Ｄ． １ ２ 解：连结ＡＣ，ＡＦ，如图３． 因为四边形ＡＢＣＤ为正方形，ＡＢ＝１，所以ＢＣ＝１， 因为四边形 ＡＢＣＤ为正方形，所以 ∠ＢＣＤ＝９０°， ∠ＡＢＣ＝９０°． 根据勾股定理，得ＡＣ＝槡ＡＢ ２＋ＢＣ２ ＝槡２． 因为点Ｂ，Ｆ关于直线ＡＥ对称， 所以ＡＦ＝ＡＢ＝１． 当点Ｆ在ＡＣ上时，ＣＦ最小． 所以线段ＣＦ的最小值为：ＡＣ－ＡＦ＝槡２－１． 故选Ｂ． ######################################### ! ©ª «¬­ ! #® ¯ ° & % ! ' 例１ 如图１，Ｆ是正方形ＡＢＣＤ " $ 　 ! $ 　 % " & 点Ｂ关于直线ＡＥ的对称点Ｆ，则线 ' 例３ 如图３，在正方形ＡＢＣＤ $ ! ! " & ' % ) $ 行 例２ 如图２为某城市部分街 " ! ! & 路程为 -0 ³ L´ 12 µ ± ¶ ² *$, !"#$%&'()*+,-$ ./0123456789:(&;<+=>, &,123?@A&)*BC'(#$%& DE, ·¬©¸* FB#$%GH9I J%KL%KM%&NO+PQ, & ! % ( ' 证明：因 为 四 边 形 $ " ! & * ) + % ' , 四边形．又因为 ＡＣ⊥ ＥＦ， 交射线 ＢＣ于点 Ｆ，以 ＤＥ，ＥＦ 所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． 为邻边作矩形 ＤＥＦＧ，连结 $ - ! ! $ & # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # ########################################## ∠ＦＤＣ．所以∠ＢＡＤ＋∠ＥＡＤ＝∠ＣＤＡ＋∠ＦＤＣ，即∠ＢＡＥ ２ ｎ－２．所以Ｓ２０４ ＝２ ２０２．故选Ｂ． &-&#708/9 456 : 5 !" ;: !!""5 % ! ()*+ JKGL¹º»‰E¼½m¾ %- ' !"#$%&'" ()*+,-'. 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质 是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．两组对边分别平行 Ｂ．对角线互相垂直 Ｃ．四个角都为直角 Ｄ．对角线互相平分 ２．若正方形的对角线长为２ｃｍ，则这个正方形的面 积为 （　　） Ａ．４ｃｍ２ Ｂ．２ｃｍ２ 槡Ｃ．２ｃｍ ２ 槡Ｄ．２２ｃｍ ２ ３．如图１，点Ｐ是正方形ＡＢＣＤ内位于对角线ＡＣ下 方的一点，∠１＝∠２，则∠Ｐ的度数为 （　　） Ａ．１３５° Ｂ．１５０° Ｃ．１６０° Ｄ．无法确定 ４．如图２，ＡＣ＝槡２ｃｍ，小红作了如下操作：分别以 点Ａ，Ｃ为圆心，１ｃｍ的长为半径作弧，两弧分别相交于 点Ｂ，Ｄ，依次连结Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，则四边形ＡＢＣＤ的形状是 （　　） Ａ．平行四边形 Ｂ．菱形 Ｃ．矩形 Ｄ．正方形 ５．如图３，正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， Ｅ，Ｆ分别为ＡＯ，ＡＤ的中点，连结ＯＦ，则∠ＡＦＥ的度数是 （　　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ６．如图 ４，Ｏ为正方形 ＡＢＣＤ对角线 ＡＣ的中点， △ＡＣＥ为等边三角形．若ＡＢ＝２，则ＯＥ２的值为 （　　） Ａ．３２ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１２ ７．如图５，用四块同样大小的正方形纸片，围出一个 菱形ＡＢＣＤ，一个小孩顺次在这四块纸片上轮流走动，每 一步都踩在一块纸片的中心，则这个小孩走的路线所围 成的图形是 （　　） Ａ．平行四边形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．正方形 ８．如图６，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ外一点，且ＥＤ＝ＣＤ， 连结ＡＥ，交ＢＤ于点Ｆ．若∠ＣＤＥ＝４２°，则∠ＢＦＣ的度 数为 （　　） Ａ．７２° Ｂ．７１° Ｃ．７０° Ｄ．６９° 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图７，点Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上．若△ＡＢＥ 的面积为３，则线段ＢＣ的长为 ． １０．如图８，平行四边形 ＡＢＣＤ的对角线互相垂直， 要使 ＡＢＣＤ成为正方形，还需添加的一个条件是 （只需添加一个即可）． １１．如图９，小明用四根长度相同的木条制作了能够 活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图９－①的菱 形，测得∠Ａ＝１２０°，接着将该活动学具调成图９－②的 正方形，测得正方形的对角线ＡＣ＝槡１４ｃｍ，则图９－① 中对角线ＡＣ的长为 ｃｍ． １２．如图１０，在矩形ＡＢＣＤ中，线段ＥＦ在ＡＢ边上，以 ＥＦ为边在矩形 ＡＢＣＤ内部作正方形 ＥＦＧＨ，连结 ＡＨ， ＣＧ．若ＡＢ＝９，ＡＤ＝６，ＥＦ＝４，则ＡＨ＋ＣＧ的最小值为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）如图１１，正方形ＡＢＣＤ中，在ＢＡ的延长 线上取一点Ｅ，使ＢＥ＝ＢＤ，连结ＤＥ，求∠ＥＤＡ的度数． １４．（１２分）如图１２，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在 边ＡＢ，ＢＣ上，ＡＦ⊥ＤＥ，且ＡＦ＝ＤＥ，ＡＦ与ＤＥ相交于点 Ｇ．求证：矩形ＡＢＣＤ为正方形． １５．（１４分）如图１３，在正方形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ， ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ是对角线ＡＣ上的两点，且ＡＥ＝ ＣＦ，连结ＤＥ，ＤＦ，ＢＥ，ＢＦ． （１）求证：△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ； （２）判断四边形ＢＥＤＦ的形状． １６．（１６分）如图１４，已知四边形ＡＢＣＤ和ＣＥＦＧ都 是正方形，点Ｋ在ＢＣ上，延长ＣＤ到点Ｈ，使ＤＨ＝ＢＫ＝ ＣＥ，连结ＡＫ，ＫＦ，ＨＦ，ＡＨ． （１）求证：四边形ＡＫＦＨ是正方形； （２）若四边形ＡＫＦＨ的面积为１０，ＣＥ＝１，求点Ａ，Ｅ 之间的距离． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（１０分）如图１，在正方形 ＡＢＣＤ和平行四边形 ＢＥＦＧ中，点Ａ，Ｂ，Ｅ在同一条直线上，Ｐ是线段ＤＦ的中 点，连结ＰＧ，ＰＣ． （１）求证：四边形ＢＥＦＧ是矩形； （２）当 ＰＧ与 ＰＣ的夹角为 度时，四边形 ＢＥＦＧ是正方形，请说明理由． ２．（１０分）如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝６，ＤＣ＝７， 菱形ＥＦＧＨ的三个顶点 Ｅ，Ｇ，Ｈ分别在矩形 ＡＢＣＤ的边 ＡＢ，ＣＤ，ＤＡ上，Ｅ，Ｆ，Ｃ在一条直线上，ＡＨ＝２，ＤＧ＝２． （１）求证：四边形ＥＦＧＨ为正方形； （２）求ＣＦ的长                                                                                                                                                                 ． !"#$%&!"#$' () ! *+,)- ./0123 %$45 ! & " # $ % & ! ! ! & ' & $ % ( $ ' ) * + ! % ! ' ' $ & % ! ( ( ' , $ % & ' ( $ % & ! ) $ ' ) % & ! * ! " ' $ % & ' $ % & ! " ! !+ &, ( % ' - . $ * (+ , # - $ . ! & $ #* + ( ! !! * # , ) ( + $ ! !$ ( , # - / * $ . + ! !% ( , * - " # $ + ! ! # , * - $ ( + ! !& 书 （上接１，４版中缝） △ＡＣＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以 ＡＥ ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边 三角形．所以 ∠ＡＥＦ ＝ ６０°．因为 ∠ＡＥＦ＋∠ＦＥＣ ＝∠Ｂ ＋∠ＢＡＥ，所 以 ∠ＦＥＣ＝∠ＢＡＥ＝２０°． 附加题 　１．（１）因为 Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＡＢ＝ ２ＡＥ＝２ＢＥ．因为 ＡＢ ＝ ２ＣＤ，所以 ＣＤ＝ＡＥ．因为 ＡＥ∥ ＣＤ，所以四边形 ＡＥＣＤ是平行四边形．因为 ＡＣ平 分 ∠ＤＡＢ， 所 以 ∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＣ．因为 ＡＢ ∥ ＣＤ，所 以 ∠ＤＣＡ ＝ ∠ＥＡＣ．所 以 ∠ＤＡＣ ＝ ∠ＤＣＡ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所 以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２） 因 为 四 边 形 ＡＥＣＤ 是 菱 形，∠Ｄ ＝ １２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝ ４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝ ∠Ｄ＝１２０°．所以 ＣＥ ＝ ＢＥ，∠ＣＥＢ ＝ １８０° － ∠ＡＥＣ＝６０°．所以 ∠ＡＣＥ ＝∠ＣＡＥ＝３０°，△ＣＥＢ是 等边三角形．所以ＢＣ＝２， ∠ＥＣＢ＝６０°．所以 ∠ＡＣＢ ＝∠ＡＣＥ＋∠ＥＣＢ＝９０°． 根据勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３．所以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ· ＢＣ ＝ 槡２３． ２．（１）连结ＡＣ，图略． 因为四边形ＡＢＣＤ为菱形， ∠ＢＡＤ＝１２０°，所以ＡＢ＝ ＢＣ，∠ＢＡＣ ＝ ６０°， 即 ∠ＢＡＥ＋∠ＥＡＣ＝６０°．所 以 △ＡＢＣ是等边三角形． 所以ＡＢ＝ＡＣ．因为△ＡＥＦ 是等边三角形，所以 ＡＥ＝ ＡＦ，∠ＥＡＦ ＝ ６０°， 即 ∠ＣＡＦ＋∠ＥＡＣ＝６０°．所 以 ∠ＢＡＥ ＝ ∠ＣＡＦ．在 △ＡＢＥ 和 △ＡＣＦ 中， ＡＢ＝ＡＣ， ∠ＢＡＥ＝∠ＣＡＦ， ＡＥ＝ＡＦ { ， 所 以 △ＡＢＥ ≌ △ＡＣＦ （Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＢＥ＝ＣＦ． （２）四边形 ＡＥＣＦ的 面积不变，△ＣＥＦ的周长 发生变化． 由（１），得 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ． 所 以 Ｓ△ＡＢＥ ＝ Ｓ△ＡＣＦ．所以 Ｓ四边形ＡＥＣＦ ＝ Ｓ△ＡＥＣ＋Ｓ△ＡＣＦ ＝Ｓ△ＡＥＣ ＋ Ｓ△ＡＢＥ ＝Ｓ△ＡＢＣ，即四边形 ＡＥＣＦ的面积不变．因为 △ＣＥＦ的周长为：ＣＥ＋ＣＦ ＋ＥＦ＝ＣＥ＋ＢＥ＋ＥＦ＝ ＢＣ＋ＥＦ＝ＢＣ＋ＡＥ，所以 △ＣＥＦ的周长发生变化． 过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ， 图略．当点 Ｅ滑动到点 Ｇ 时，△ＣＥＦ的周长最小．此 时ＢＧ＝ １２ＢＣ＝１．根据 勾 股 定 理， 得 ＡＧ ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２ ＝槡３．所以 Ｓ四边形ＡＥＣＦ ＝ Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＢＣ·ＡＧ＝ １ ２ ×２×槡３ ＝槡３，△ＣＥＦ的周长的最小 值为：ＢＣ＋ＡＧ＝２＋槡３． （全文完） 书 １９．３正方形 １９．３．１正方形的性质 １．下列说法正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．菱形的四个内角都是直角 Ｂ．矩形的对角线互相垂直 Ｃ．正方形的每一条对角线平分一组对角 Ｄ．平行四边形是轴对称图形 ２．如图１，正方形ＯＡＢＣ的顶点Ｏ，Ｂ在数轴上对应 的数分别是０，４，则顶点Ａ，Ｃ之间的距离是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．无法确定 ３．如图２，在平行四边形ＡＢＣＤ与正方形ＡＥＦＧ中， 点Ｅ在ＢＣ上．若∠ＢＡＥ＝３８°，∠ＣＥＦ＝１３°，则∠Ｃ＝ °． ４．如图３，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＡＤ上 的点，且ＡＥ＝ＡＦ，点Ｍ是ＥＦ的中点，连结ＣＭ，ＣＦ，ＣＥ． 求证：ＣＭ⊥ＥＦ． ５．如图４，在边长为１的正方形ＡＢＣＤ中，∠ＣＡＤ的 平分线交ＣＤ于点 Ｅ，交 ＢＣ的延长线于点 Ｆ，求 ＣＦ的 长． ６．如图５，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，ＢＣ＝１，ＡＣ＝２，点 Ｄ为ＡＣ边上一个动点（不与Ａ， Ｃ重合），以ＢＤ为边在ＢＤ的上 方作正方形ＢＤＥＦ．当ＡＥ⊥ＡＣ 时，ＢＤ的长为 ． ７．如图６，等腰Ｒｔ△ＡＥＦ的斜边ＥＦ过正方形ＡＢＣＤ 的顶点Ｄ．若ＡＥ＝４，ＤＥ＝２，求ＢＥ的长． １９．３．２正方形的判定 １．下列说法正确的是 （　　） Ａ．正方形既是矩形，又是菱形 Ｂ．有一个内角是直角的四边形是矩形 Ｃ．两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形 Ｄ．对角线互相垂直的四边形是菱形 ２．如图１，点Ｅ，Ｆ，Ｐ，Ｑ分别是正方形ＡＢＣＤ的四条 边上的点，并且ＡＦ＝ＢＰ＝ＣＱ＝ＤＥ，则下列结论不一 定正确的是 （　　） Ａ．∠ＡＦＰ＝∠ＢＰＱ Ｂ．ＥＦ∥ＱＰ Ｃ．四边形ＥＦＰＱ是正方形 Ｄ．四边形 ＰＱＥＦ的面积是四边形 ＡＢＣＤ面积的 一半 ３．李燕在商场里看到一条很漂亮的丝巾（如图２）， 非常想买，但她拿起来看时感觉丝巾不太方．商店老板 看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让李燕 看另一组对角是否对齐．李燕还有些疑惑，老板又拉起 另一组对角让李燕检验．李燕终于买下这块丝巾，则这 块丝巾 是正方形（填“一定”或“不一定”）． ４．如图３，矩形ＡＢＣＤ的边ＡＢ＝槡２，对角线ＡＣ与 ＢＤ相交于点Ｏ，ＯＡ＝１．求证：四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．如图４，已知四边形ＡＢＣＤ是矩形，点Ｅ在对角线 ＡＣ上，点Ｆ在边ＣＤ上（点Ｆ与点Ｃ，Ｄ不重合），ＢＥ⊥ ＥＦ，且∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°．求证：四边形ＡＢＣＤ是正 方形． ６．如图５，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ，对角线ＢＤ 平分∠ＡＢＣ，Ｐ是ＢＤ上一点，过点Ｐ分别作ＰＭ∥ＣＤ交 ＡＤ于点Ｍ，ＰＮ∥ＡＤ交ＣＤ于点Ｎ． （１）求证：∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ； （２）连结ＭＮ．当ＭＮ与ＰＤ满足什么条件时，四边 形ＭＰＮＤ是正方形？ ７．如图６，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，连结对角线 ＡＣ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ与ＢＣ的延长线交于点Ｅ，连结 ＡＥ交ＤＣ于点Ｆ． （１）求证：ＢＣ＝ＣＥ； （２）连结ＢＦ．若∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，且ＡＤ＝２ＣＦ，求 证：四边形ＡＢＣＤ是正方形 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． # * ) $ + ! $ ! & # , $ - ( * + + , # * ( $ ! % # $ , 0 * ( + ! $ , * ( + $ # ! 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