第39期 矩形-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 答案详解 　　　　　　　２０２４～２０２５学年　初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期　　　　　　　 ３６期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ 二、１３．－１；　１４．＜；　１５．ａ＜２２且ａ≠－２； １６．－６． 三、１７．（１）－４．　（２）ｘ＝ ３５． １８．原式 ＝ ２ｘ－３．因为ｘ≠２且ｘ≠３，所以ｘ＝４．当ｘ＝ ４时，原式 ＝２． １９．设ｙ与ｘ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．将（２０，３６０），（３０， ６０）代入，得 ２０ｋ＋ｂ＝３６０， ３０ｋ＋ｂ＝６０{ ．解得 ｋ＝－３０， ｂ＝９６０{ ．所以 ｙ与 ｘ的函 数表达式为ｙ＝－３０ｘ＋９６０（０＜ｘ≤３２）．根据题意，得 －３０ｘ ＋９６０＝３００．解得ｘ＝２２． 答：每件商品的销售价格应定为２２元． ２０．（１）根据题意，得２ｍ－４＝０．解得ｍ＝２．所以３ｍ＋１ ＝７．所以点Ｐ的坐标为（０，７）． （２）根据题意，得３ｍ＋１＝－２．解得ｍ＝－１．所以２ｍ－４ ＝－６．所以点Ｐ的坐标为（－６，－２）． ２１．（１）设村民每天采摘茶叶ｘ吨，则志愿者服务队每天采 摘茶叶１．５ｘ吨． 根据题意，得 ４ ｘ＋ ２４－４ ｘ＋１．５ｘ＝１５．解得ｘ＝０．８． 经检验，ｘ＝０．８是原分式方程的解，且符合题意． 答：村民每天采摘茶叶０．８吨． （２）原计划村民完成采摘需要的天数为：２４０．８＝３０，所需劳 务费为：２０００×３０＝６００００（元）． 志愿者服务队工作的天数为： ２４－４ ０．８＋０．８×１．５＝１０，村民 工作了 １５天，所以实际花费为：２０００×１５＋５００×１０＝ ３５０００（元）． ６００００－３５０００＝２５０００（元）． 答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省２５０００元． ２２．（１）将Ａ（ｍ，２）代入ｙ＝ｘ＋１，得ｍ＋１＝２．解得ｍ＝ １．所以Ａ（１，２）．把Ａ（１，２）代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝２．所以反比例 函数的表达式为ｙ＝ ２ｘ． （２）解 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝２ｘ { ， 得 ｘ＝－２，ｙ＝－１{ ．所以Ｂ（－２，－１）．观察图象， 得关于ｘ的不等式ｘ＋１＞ ｋｘ的解集是 －２＜ｘ＜０或ｘ＞１． （３）记ｙ＝ｘ＋１交ｙ轴于点Ｃ，则Ｃ（０，１）．所以ＯＣ＝１． 所以Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ△ＡＯＣ ＋Ｓ△ＢＯＣ ＝ １ ２ＯＣ·（ｘＡ－ｘＢ）＝ ３ ２．因为 △ＡＯＢ的面积是 △ＡＯＰ面积的一半，所以 Ｓ△ＡＯＰ ＝３．所以 １ ２｜ＯＰ｜·ｙＡ ＝３，即 １ ２｜ＯＰ｜×２＝３．解得｜ＯＰ｜＝３．所以 点Ｐ的坐标为（－３，０）或（３，０）． ３６期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１３．３；　１４．２；　１５．１∶５；　１６．－９． 三、１７．（１） ３ｘ－ｙ．　（２）无解． １８．设这款电动汽车平均每公里的充电费为ｘ元． 根据题意，得 ２００ ｘ ＝ ２００ ｘ＋０．６×４．解得ｘ＝０．２． 经检验，ｘ＝０．２是原分式方程的解，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为０．２元． １９．（１）由图象，得该反比例函数过点（２，５００），在第一象 限，所以ｋ＝２×５００＝１０００．所以该反比例函数的表达式为ｐ ＝１０００Ｓ （Ｓ＞０）． （２）当ｐ＝８０００Ｐａ时，８０００＝１０００Ｓ ．解得Ｓ＝０．１２５．由 图象可知，ｐ随Ｓ的增大而减小．所以当 ｐ≤８０００Ｐａ时，Ｓ≥ ０．１２５ｍ２． 答：选用的木板面积至少要０．１２５ｍ２． ２０．（１）一元一次方程３－２（１－ｘ）＝４ｘ与分式方程２ｘ＋１２ｘ－１ －１＝ ４ ４ｘ２－１ 不是“相似方程”．理由如下： 解３－２（１－ｘ）＝４ｘ，得ｘ＝１２．解 ２ｘ＋１ ２ｘ－１－１＝ ４ ４ｘ２－１ ， 得ｘ＝ １２．检验：当ｘ＝ １ ２时，（２ｘ＋１）（２ｘ－１）＝０．所以原 分式方程无解．所以一元一次方程３－２（１－ｘ）＝４ｘ                                                         与分式方 —１— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 程 ２ｘ＋１ ２ｘ－１－１＝ ４ ４ｘ２－１ 不是“相似方程”． （２）由题意，得两个方程有相同的整数解，所以ｍｘ＋６＝ｘ ＋４ｍ．化简，得（ｍ－１）ｘ＝４ｍ－６．当ｍ－１＝０时，方程无解； 当 ｍ－１≠０，即ｍ≠１时，ｘ＝４ｍ－６ｍ－１，即ｘ＝４－ ２ ｍ－１．因为 ｘ，ｙ均为整数，所以ｍ－１＝１或２或 －１或 －２．又因为ｍ为正 整数，所以ｍ＝２或３． ２１．（１）把ｙ＝２代入ｙ＝－１２ｘ，得ｘ＝－４．所以Ａ（－４， ２）．把Ａ（－４，２）代入ｙ＝ ｋｘ，得 ｋ＝－８．所以反比例函数的表 达式为ｙ＝－８ｘ． （２）由题意，得Ｂ（４，－２）．根据图象，得 －１２ｘ＞ ｋ ｘ的解 集为ｘ＜－４或０＜ｘ＜４． （３）设平移后的直线ｌ２与ｘ轴交于点 Ｄ，连结 ＡＤ，ＢＤ，图 略．因为ＣＤ∥ＡＢ，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝Ｓ△ＡＯＤ ＋Ｓ△ＢＯＤ ＝Ｓ△ＡＢＣ ＝３０， 即 １ ２ＯＤ·（ｙＡ－ｙＢ）＝３０．解得ＯＤ＝１５．所以Ｄ（１５，０）．设平 移后的直线ｌ２的函数表达式为 ｙ＝－ １ ２ｘ＋ｂ．把 Ｄ（１５，０）代 入，得０＝－１２×１５＋ｂ．解得ｂ＝ １５ ２．所以平移后的直线ｌ２的 函数表达式为ｙ＝－１２ｘ＋ １５ ２． ２２．（１）把Ｐ（４，ｔ）代入ｙ＝ ３４ｘ＋６，得ｔ＝９．所以Ｐ（４， ９）．把Ａ（１６，０），Ｐ（４，９）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 １６ｘ＋ｂ＝０， ４ｋ＋ｂ＝９{ ．解得 ｋ＝－３４， ｂ＝１２ { ． 所以直线ｌ２的函数表达式为ｙ＝－ ３ ４ｘ＋１２． （２）①令ｙ＝０，则ｙ＝ ３４ｘ＋６＝０．解得 ｘ＝－８．所以 Ｃ（－８，０）．因为点Ｑ的横坐标为ｍ，所以Ｍ（ｍ，－３４ｍ＋１２）， Ｎ（ｍ，３４ｍ＋６）．所以ＭＮ＝｜－ ３ ４ｍ＋１２－（ ３ ４ｍ＋６）｜＝｜－ ３ ２ｍ ＋６｜． ②当点Ｎ是ＭＱ的中点时，则ＭＱ＝２ＮＱ．所以－３４ｍ＋１２ ＝２（３４ｍ＋６）．解得ｍ＝０． 当点Ｍ是 ＮＱ的中点时，则 ＮＱ＝２ＭＱ．所以 ３４ｍ＋６＝ ２（－３４ｍ＋１２）．解得ｍ＝８． 不存在点Ｑ是ＭＮ中点的情况． 综上所述，ｍ的值是０或８． ３７期２版 １８．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１．５． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝６０°，所以ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°．因为ＡＥ ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ，所以∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以∠ＢＡＥ＝９０° －∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ －∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． ６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形，所 以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ＝ＤＦ， ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即 ∠ＡＢＥ＝ ∠ＦＤＡ．所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ７．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＢ＝ＯＤ，ＡＢ∥ ＣＤ．因为ＯＥ⊥ＢＤ，所以ＢＥ＝ＥＤ．所以∠ＢＤＥ＝∠ＣＢＤ＝１５°． 因为∠ＣＤＥ＝１５°，所以∠ＢＤＣ＝∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＥ＝３０°．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ＝３０°．所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＋∠ＣＢＤ＝４５°． 能力提高　８．Ｂ． １８．２平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ ＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ 中，因为 ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ，ＡＯ＝ＣＯ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ，所以 △ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＯＥ＝ＯＤ．所以四边形ＡＥＣＤ 是平行四边形． ７．因为ＣＦ∥ＡＢ，所以∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ． 在△ＡＤＥ和△ＣＦＥ中，因为∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ， ＡＥ＝ＦＥ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＤ＝ＦＣ．因为 ＣＤ是△ＡＢＣ的中线，所以ＡＤ＝ＢＤ．所以ＢＤ＝ＦＣ．所以四边形 ＤＢＦＣ是平行四边形． ８．平行四边形 ＡＯＤＥ，平行四边形 ＣＤＥＯ，平行四边形 ＡＢＯＥ．理由略． 能力提高　９．４． ３７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１１８°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．６； １２．（２，２）或（－２，１０）． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ＯＦ． 因为ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ．所以四 边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ．所 以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中，因为ＡＢ＝ＥＡ，∠Ｂ＝ ∠ＤＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． １５．（１）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＥＢＤ．因为ＥＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以ＢＥ＝ＥＤ．因为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＥＤ＝ＣＦ．又因为                                                                      ＥＤ —２— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 ∥ＦＣ，所以四边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝１２∠ＡＢＣ＝３０°．因为∠ＡＤＢ＝１００°，所以∠Ａ＝１８０° －∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°．因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边形，所以 ＥＦ∥ＡＣ．所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ ∥ＣＤ．因为ＣＥ＝ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ．所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝ １ ２（１８０°－∠ＤＣＥ）＝９０°－ １ ２∠ＤＣＥ．所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＤＥ＝ ９０°－１２∠ＤＣＥ． （２）延长ＤＡ，ＦＥ交于点Ｍ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｍ ＝∠ＥＦＢ．因为Ｅ是ＡＢ的中 点，所以ＡＥ＝ＢＥ．由对顶角相等，得∠ＡＥＭ＝∠ＢＥＦ．在△ＡＥＭ 和△ＢＥＦ中，因为∠Ｍ＝∠ＥＦＢ，∠ＡＥＭ＝∠ＢＥＦ，ＡＥ＝ＢＥ，所 以△ＡＥＭ≌△ＢＥＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＭＥ＝ＥＦ，ＡＭ ＝ＢＦ．所以 ＤＭ＝ＡＤ＋ＡＭ＝６＝ＤＦ．所以∠ＤＥＦ＝９０°． 附加题　１．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝４，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＡＤ∥ ＢＣ．因为 ∠ＡＣＢ＝３０°，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝３０°．根据折叠的性质，得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ＝ ９０°．所以∠Ｄ＝９０°－∠ＤＡＣ＝６０°．所以△ＡＤＥ是等边三角形． 所以ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＥ＝２ＣＤ＝８．所以△ＡＤＥ的周长为：８×３＝ ２４． ２．（１）因为ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，所以ＡＢ⊥ＣＥ，∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＣＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ．所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＣ＝∠ＡＣＥ＋ ∠ＢＣＥ，即∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ．因为∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＣＢ ＝∠ＣＡＤ．所以ＢＣ∥ＡＤ．因为ＣＤ⊥ＣＥ，所以ＡＢ∥ＣＤ．所以四 边形ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，图略．所以ＡＧ∥ＣＦ．又因为 ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＦ＝ＡＧ．根据勾股定理，得ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ＤＧ２，即４２－（３－ＤＧ）２＝３２－ＤＧ２．解得ＤＧ＝１３．所 以ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝槡８０３ ． ３８期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ 二、１３．是；　１４．２０；　１５．４１°；　１６．４３或４． 三、１７．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ａ＝∠Ｃ＝ ７０°，ＡＤ∥ＢＣ．因为ＡＢ＝ＢＥ，所以 ∠ＢＥＡ＝∠Ａ＝７０°．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＢＥＡ＝７０°． １８．因为ＡＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＢＣ，所以∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＢ＝９０°． 因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ．在△ＡＥＤ和△ＣＦＢ中，因 为∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ，∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＢ，ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＥＤ≌ △ＣＦＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＤ＝ＣＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四 边形． １９．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ａ＝∠Ｃ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．又因为 ∠ＡＤＥ ＝∠ＣＢＦ，所以 △ＡＤＥ≌ △ＣＢＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以ＡＢ－ＡＥ＝ＣＤ－ＣＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ． ２０．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ， ∠Ａ＝∠Ｃ．因为ＢＣ＝ＦＣ，所以ＡＤ＝ＦＣ．在△ＡＢＤ和△ＣＥＦ 中，因为 ＡＤ ＝ＦＣ，∠Ａ＝∠Ｃ，ＡＢ ＝ＣＥ，所以 △ＡＢＤ≌ △ＣＥＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）四边形ＡＢＤＦ是平行四边形．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ． 因为ＦＣ＝２ＡＢ，所以ＦＣ＝２ＣＤ．所以ＦＤ＝ＣＤ＝ＡＢ．所以四边 形ＡＢＤＦ是平行四边形． ２１．因为 ＢＰ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＰ平分 ∠ＡＣＢ，所以 ∠ＰＢＣ＝ １ ２∠ＡＢＣ，∠ＰＣＢ＝ １ ２∠ＡＣＢ．所以 ∠Ｐ＝１８０°－∠ＰＢＣ－ ∠ＰＣＢ＝１８０°－１２（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝９０°＋ １ ２∠Ａ．根据轴对 称的性质，得∠ＢＤＣ＝∠Ｐ，∠ＰＢＣ＝∠ＤＢＣ，ＰＣ＝ＤＣ．所以 ∠ＣＤＥ＝１８０°－∠ＢＤＣ＝１８０°－∠Ｐ＝９０°－１２∠Ａ．因为 ∠ＰＢＣ＝２∠ＰＣＢ＝∠ＡＣＢ，所以∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＢ．所以ＡＣ∥ ＢＥ．因为ＢＥ＝ＡＣ，所以四边形ＡＢＥＣ是平行四边形．所以∠Ｅ＝ ∠Ａ，ＡＢ＝ＣＥ．因为 ＡＢ＝ＰＣ，所以 ＤＣ＝ＣＥ．所以 ∠ＣＤＥ＝ ∠Ｅ，即９０°－１２∠Ｅ＝∠Ｅ．解得∠Ｅ＝６０°． ２２．（１）因为ＡＤ⊥ＣＭ，ＢＥ⊥ＣＭ，所以ＡＤ∥ＢＥ，∠ＡＤＭ＝ ∠ＢＥＭ＝９０°．因为点Ｍ是ＡＢ的中点，所以ＡＭ＝ＢＭ．在△ＡＤＭ 和△ＢＥＭ中，因为∠ＡＤＭ＝∠ＢＥＭ，∠ＡＭＤ＝∠ＢＭＥ，ＡＭ＝ＢＭ， 所以△ＡＤＭ≌△ＢＥＭ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＤ＝ＢＥ．所以四边形 ＡＤＢＥ是平行四边形． （２）延长ＤＯ交ＢＥ于点Ｆ，图略．因为ＡＤ⊥ＣＭ，ＢＥ⊥ＣＭ， 所以ＡＤ∥ＢＥ，∠ＢＥＭ＝９０°．所以∠ＤＡＯ＝∠ＦＢＯ，∠ＯＤＥ＋ ∠ＯＦＥ＝∠ＤＥＯ＋∠ＦＥＯ＝９０°．因为点Ｏ在ＤＥ的垂直平分 线上，所以 ＤＯ＝ＥＯ．所以 ∠ＯＤＥ＝∠ＤＥＯ．所以 ∠ＯＦＥ＝ ∠ＦＥＯ．所以ＦＯ＝ＥＯ．所以ＤＯ＝ＦＯ．在△ＡＤＯ和△ＢＦＯ中， 因为 ∠ＤＡＯ ＝∠ＦＢＯ，∠ＡＯＤ ＝∠ＢＯＦ，ＤＯ ＝ＦＯ，所以 △ＡＤＯ≌△ＢＦＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＯ＝ＢＯ． ３９期２版 １９．１矩形 １９．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＯＣ＝ＯＢ，∠ＤＣＢ＝ ∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＣＥ平分∠ＤＣＢ，所以∠ＢＣＥ＝１２∠ＤＣＢ＝ ４５°．在Ｒｔ△ＥＢＣ中，∠ＣＥＢ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以∠ＢＣＥ ＝∠ＣＥＢ．所以ＢＥ＝ＢＣ．因为∠ＯＣＥ＝１５°，所以∠ＢＣＯ＝ ∠ＯＣＥ＋∠ＢＣＥ＝６０°．所以△ＢＯＣ是等边三角形．所以ＢＣ＝ ＯＢ＝ＢＥ，∠ＯＢＣ＝６０°．所以∠ＤＢＡ＝∠ＡＢＣ－∠ＯＢＣ＝３０°． 所以∠ＢＥＯ＝∠ＢＯＥ＝ １２（１８０°－∠ＤＢＡ）＝７５°． ５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，∠                                                                      Ｂ＝ —３— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 ９０°．所以∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＢ．因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＤ＝９０° ＝∠Ｂ．又因为ＤＡ＝ＡＥ，所以△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＦ中，ＡＤ＝８，由 勾股定理，得ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡４３．由△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ， 得ＢＥ＝ＡＦ＝ 槡４３．所以ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝８－ 槡４３． 能力提高　６．５． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．又因为 ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）连结ＯＢ，图略．因为△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ，所以ＯＡ＝ＯＣ， 即Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线的交点．所以ＯＡ＝ＯＢ．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＯ．因为ＢＥ＝ＢＦ，ＯＥ＝ＯＦ，所以ＢＯ⊥ＥＦ．在Ｒｔ△ＢＥＯ 中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ ＝９０°．因为 ∠ＢＥＦ ＝２∠ＢＡＣ，所以 ２∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．解得∠ＢＡＣ＝３０°．所以∠ＢＥＦ＝６０°． 所以△ＢＥＦ是等边三角形．所以ＢＥ＝ＥＦ．因为ＥＦ＝２ＯＦ，所 以ＢＥ＝２ＯＦ． １９．１．２矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ａ； ４．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　５．１３． ６．因为ＢＥ∥ＤＦ，所以∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ．所以１８０°－∠ＤＦＣ ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝∠ＢＥＣ．因为ＤＦ＝ＢＥ，ＡＦ＝ＣＥ，所 以△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ．所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ．所以ＡＤ∥ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．又因为∠ＢＡＤ＝９０°，所以四 边形ＡＢＣＤ是矩形． ７．（１）因为点Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＤＥ．因为ＡＦ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＦＥ＝∠ＤＣＥ，∠ＦＡＥ＝∠ＣＤＥ．所以 △ＥＡＦ≌ △ＥＤＣ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＦ＝ＤＣ．因为 ＡＦ＝ＢＤ，所以 ＢＤ＝ ＤＣ，即Ｄ是ＢＣ的中点． （２）四边形ＡＦＢＤ是矩形．证明如下： 因为ＡＦ∥ＢＤ，ＡＦ＝ＢＤ，所以四边形 ＡＦＢＤ是平行四边 形．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＤＣ，所以ＡＤ⊥ＢＣ．所以∠ＡＤＢ＝９０°． 所以四边形ＡＦＢＤ是矩形． 能力提高　８．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°．所以四 边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）根据折叠的性质，得∠ＢＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＢＧ＝ＡＢ＝ ６，ＡＥ＝ＧＥ．所以∠ＥＧＦ＝１８０°－∠ＢＧＥ＝９０°．因为Ｅ是ＡＤ 的中点，所以 ＡＥ＝ＤＥ．所以 ＤＥ＝ＧＥ．因为 ＥＦ＝ＥＦ，所以 Ｒｔ△ＤＥＦ≌Ｒｔ△ＧＥＦ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＤＦ＝ＧＦ．所以ＢＦ＝ＢＧ＋ ＧＦ＝６＋ＤＦ．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＣＤ＝ＡＢ＝６．在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，根据勾股定理，得ＢＣ２＋ＣＦ２ ＝ＢＦ２，即８２＋（６－ ＤＦ）２ ＝（６＋ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ ８３． ３９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．７２． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ＝ ８．因为ＡＢ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２．所以∠Ｂ＝ ９０°．所以平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １４．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｆ ＝∠ＢＣＥ．因为Ｅ是ＡＢ的中点，所以ＡＥ＝ＥＢ．由对顶角相等， 得∠ＡＥＦ＝∠ＢＥＣ．所以△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°．因为∠Ｆ ＝４５°，所以∠ＤＣＦ＝４５°＝∠Ｆ．所以ＤＦ＝ＣＤ＝４．由勾股 定理，得ＣＦ＝ 槡４２． １５．因为矩形 ＡＢＣＤ≌ 矩形 ＡＥＦＧ，所以 ＡＢ＝ＡＥ＝１， ∠ＤＡＢ＝∠ＦＥＡ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝２．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＢＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＦ＝１８０°－∠ＦＥＡ＝ ９０°．所以∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ．所以ＥＨ＝ＤＨ．在Ｒｔ△ＡＥＨ中，由 勾股定理，得ＥＨ２＋ＡＥ２＝ＡＨ２，即（２－ＡＨ）２＋１２＝ＡＨ２．解得 ＡＨ＝ ５４． １６．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以ＡＤ ⊥ ＢＣ，∠ＣＡＤ ＝ １２∠ＢＡＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ＡＮ为 △ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线，所以 ∠ＣＡＮ＝ １２∠ＣＡＭ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＮ＝９０°．因为ＣＥ⊥ＡＮ，所以∠ＡＥＣ＝ ９０°．所以四边形ＡＤＣＥ为矩形． （２）四边形ＡＢＤＥ是平行四边形．证明如下： 由（１）知，四边形ＡＤＣＥ为矩形．所以ＡＥ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＤＥ． 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＢ＝ＤＥ，ＡＥ＝ＢＤ．所以四边形 ＡＢＤＥ是平行四边形． （３）ＤＦ∥ＡＢ，ＤＦ＝ １２ＡＢ． 附加题　１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＥ ∥ＢＣ．因为ＣＥ∥ＢＤ，所以四边形 ＢＣＥＤ是平行四边形．所以 ＣＥ＝ＢＤ．又因为ＣＥ＝ＡＣ，所以ＡＣ＝ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ 是矩形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＣ＝ ＡＤ＝３．由勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝５．所以四边形 ＢＣＥＤ的周长为：２（ＢＣ＋ＢＤ）＝１６． ２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝∠Ｂ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ．由折叠的性质，得ＡＢ＝ＰＤ，∠Ａ＝∠Ｐ＝ ９０°，∠Ｂ＝∠ＰＤＦ＝９０°．所以ＰＤ＝ＣＤ，∠ＰＤＦ＝∠ＡＤＣ，∠Ｐ＝ ∠Ｃ．所以∠ＰＤＦ－∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＦ，即∠ＰＤＥ＝∠ＣＤＦ． 所以△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＦ＝∠ＥＧＢ ＝９０°．所以四边形ＡＢＧＥ和四边形ＥＧＣＤ都是矩形．所以ＡＥ＝ ＢＧ，ＤＥ＝ＣＧ，ＥＧ＝ＣＤ＝４．在Ｒｔ△ＥＧＦ中，由勾股定理，得ＦＧ ＝ ＥＦ２－ＥＧ槡 ２ ＝３．由（１），得 △ＰＤＥ≌ △ＣＤＦ．所以 ＰＥ＝ ＣＦ，ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＧ＝ＣＦ＋３．由折叠的性质，得ＡＥ＝ＰＥ．在 Ｒｔ△ＣＤＦ中，由勾股定理，得ＣＤ２＋ＣＦ２ ＝ＤＦ２，即ＣＦ２＋４２ ＝ （ＣＦ＋３）２．解得ＣＦ＝ ７６．所以ＢＣ＝２ＣＦ＋ＦＧ＝ １６ ３                                                                      ． —４— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 书 主线一、有一个角是直角的平行四边形是矩形 例１　 如图 １，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ ＣＤ，求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形． 分析：连结ＢＤ，根据三角形 全等的判定与性质得到 ＡＤ ＝ ＣＢ，得到四边形ＡＢＣＤ是平行四 边形，根据矩形的判定定理即可得出结论． 证明：连结ＢＤ，如图１．在Ｒｔ△ＡＢＤ和Ｒｔ△ＣＤＢ中， ＢＤ＝ＤＢ， ＡＢ＝ＣＤ{ ，所以Ｒｔ△ＡＢＤ≌Ｒｔ△ＣＤＢ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＡＤ ＝ＣＢ．所以四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形．因为 ∠Ａ＝ ９０°，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 主线二、对角线相等的平行四边形是矩形 例２　如图２，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ的中点，连结 ＡＥ并延长交 ＤＣ的延长线于点 Ｆ，连结 ＢＦ，ＡＣ．若 ＡＤ＝ＡＦ，求 证：四边形ＡＢＦＣ是矩形． 分析：根据平行四边形的性 质得到ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，利用 平行线的性质和“Ａ．Ａ．Ｓ．”判定 △ＡＢＥ≌△ＦＣＥ，从而得到ＡＢ＝ＣＦ，由已知可得四边形 ＡＢＦＣ是平行四边形，ＢＣ＝ＡＦ，根据“对角线相等的平行四 边形是矩形”可得四边形ＡＢＦＣ是矩形． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．所以∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ． 因为Ｅ为ＢＣ的中点，所以ＥＢ＝ＥＣ．在△ＡＢＥ和△ＦＣＥ 中，因为∠ＢＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＢＥ＝∠ＦＣＥ，ＥＢ＝ＥＣ，所 以△ＡＢＥ≌△ＦＣＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＢ＝ＣＦ．所以四边 形ＡＢＦＣ是平行四边形．因为ＡＤ＝ＡＦ，所以ＢＣ＝ＡＦ．所 以四边形ＡＢＦＣ是矩形． 主线三、有三个角是直角的四边形是矩形 例３　如图３，在直角三角形ＡＢＣ中，ＡＣ＝３，ＢＣ＝ ４，Ｐ为斜边ＡＢ上一动点，ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，ＰＦ⊥ＣＡ于点 Ｆ，则线段ＥＦ长的最小值为 （　　） Ａ．３４　　　　　　　Ｂ．２ Ｃ．１２５ Ｄ． ３ ２ 分析：连结 ＰＣ，判定四边形 ＥＣＦＰ是矩形，得到ＥＦ＝ＰＣ，根据垂 线段最短，可得当ＣＰ⊥ＡＢ时，ＰＣ最 小，根据等面积法求得ＰＣ的长，即可得到线段 ＥＦ长的 最小值． 解：连结 ＰＣ，如图４．因为 ＰＥ⊥ ＢＣ，ＰＦ⊥ＣＡ，所以 ∠ＰＥＣ＝∠ＰＦＣ ＝９０°．因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以四边 形ＥＣＦＰ是矩形．所以ＥＦ＝ＰＣ．所以 当ＣＰ⊥ＡＢ时，ＰＣ的长最小，ＥＦ的长 也最小．因为 ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，所以 ＡＢ＝ ３２＋４槡 ２ ＝５．因为 １２ＡＣ·ＢＣ＝ １ ２ＡＢ·ＰＣ，所以 ＰＣ＝ＡＣ·ＢＣＡＢ ＝ １２ ５．所以线段ＥＦ长的最小值为 １２ ５． 故选Ｃ． 书 上期检测卷 一、１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．Ｂ； ４．Ｄ；　５．Ｃ；　６．Ａ； ７．Ｂ；　８．Ｄ；　９．Ｂ； １０．Ａ；　１１．Ｃ；　１２．Ｂ． 二、１３．是；　１４．２０； １５．４１°； １６．４３或４． 三、１７．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ∠Ａ＝∠Ｃ ＝７０°，ＡＤ∥ ＢＣ．因为 ＡＢ＝ＢＥ，所以 ∠ＢＥＡ＝∠Ａ＝７０°．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＢＥＡ＝７０°． １８．因为ＡＥ⊥ＡＤ，ＣＦ ⊥ ＢＣ，所 以 ∠ＥＡＤ ＝ ∠ＦＣＢ＝９０°．因为 ＡＤ∥ ＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ． 在△ＡＥＤ和 △ＣＦＢ中，因 为 ∠ＡＤＥ ＝ ∠ＣＢＦ， ∠ＥＡＤ ＝ ∠ＦＣＢ，ＡＥ ＝ ＣＦ， 所 以 △ＡＥＤ ≌ △ＣＦＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＤ ＝ＣＢ．所以四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形． １９．因为四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形，所以∠Ａ＝ ∠Ｃ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．又 因为∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ，所以 △ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． 所以ＡＥ＝ＣＦ．所以 ＡＢ－ ＡＥ＝ＣＤ－ＣＦ，即 ＢＥ＝ ＤＦ． ２０．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＢＣ＝ＡＤ，∠Ａ＝∠Ｃ．因为 ＢＣ＝ＦＣ，所以 ＡＤ＝ＦＣ． 在△ＡＢＤ和 △ＣＥＦ中，因 为 ＡＤ＝ＦＣ，∠Ａ＝∠Ｃ， ＡＢ＝ＣＥ，所以 △ＡＢＤ≌ △ＣＥＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）四边形 ＡＢＤＦ是 平行四边形．理由如下： 因为四边形 ＡＢＣＤ是 平行四边形，所以 ＡＢ ＝ ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为ＦＣ＝ （下转２，３版中缝） 书 一、利用折叠求最小值 例１　如图１，在矩形ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝１０，ＡＤ＝１２，Ｅ是ＡＢ边 的中点，Ｆ是线段 ＢＣ边上的动 点，将△ＥＢＦ沿ＥＦ所在直线折 叠得到 △ＥＢ′Ｆ，连结 Ｂ′Ｄ，则 Ｂ′Ｄ的最小值是 ． 分析：连结ＥＤ后抓住△ＤＥＢ′中两边一定，要使Ｂ′Ｄ的 长度最小，则点Ｂ′落在ＤＥ上，此时ＤＢ′＝ＤＥ－ＥＢ′． 解：连结ＥＤ，如图２．因为Ｅ 是ＡＢ边的中点，ＡＢ＝１０， 所以ＡＥ＝ＥＢ＝１２ＡＢ＝５． 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠Ａ＝９０°． 因为ＡＤ＝１２， 所以ＥＤ＝ １２２＋５槡 ２ ＝１３． 根据翻折对称的性质可知ＥＢ′＝ＥＢ＝５． 因为△ＤＥＢ′中两边一定，要使Ｂ′Ｄ的长度最小，此 时点Ｂ′落在ＤＥ上， 所以Ｂ′Ｄ＝ＤＥ－ＥＢ′＝８． 所以Ｂ′Ｄ的最小值是８． 二、利用折叠证明与计算 例２　如图３，将矩形ＡＢＣＤ 沿ＤＥ折叠，使顶点Ａ落在ＤＣ边 上的点Ａ′处，然后将矩形展平， 沿ＥＦ折叠，使顶点 Ａ落在折痕 ＤＥ上的点Ｇ处．再将矩形ＡＢＣＤ 沿ＣＥ折叠，此时顶点Ｂ恰好落在ＤＥ边上的点Ｈ处． （１）求证：ＥＧ＝ＣＨ； （２）已知ＡＦ＝１，求ＡＤ和ＡＢ的长． 分析：（１）由折叠的性质及矩形的性质可知 ＡＥ＝ ＡＤ＝ＥＧ，ＢＣ＝ＣＨ，再根据四边形 ＡＢＣＤ是矩形，可得 ＡＤ＝ＢＣ，等量代换即可证明ＥＧ＝ＣＨ； （２）由折叠的性质可知∠ＡＤＥ＝４５°，∠ＦＧＥ＝∠Ａ ＝９０°，ＡＦ＝１，所以ＤＧ＝１．利用勾股定理求出ＤＦ＝ 槡２，可得 ＡＤ＝ＡＦ＋ＤＦ＝１＋槡２；再证明 △ＡＥＦ≌ △ＢＣＥ，得到ＡＦ＝ＢＥ，于是得到ＡＢ的长． 解：（１）由折叠知ＡＥ＝ＡＤ＝ＥＧ，ＢＣ＝ＣＨ． 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＡＤ＝ＢＣ． 所以ＥＧ＝ＣＨ． （２）因为∠ＡＤＥ＝４５°，∠ＦＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＡＦ＝ １，所以ＤＧ＝１，ＤＦ＝槡２． 所以ＡＤ＝ＡＦ＋ＤＦ＝１＋槡２． 由折叠知∠ＡＥＦ＝∠ＧＥＦ，∠ＢＥＣ＝∠ＨＥＣ． 所以∠ＧＥＦ＋∠ＨＥＣ＝９０°，∠ＡＥＦ＋∠ＢＥＣ＝９０°． 因为∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＥ＝９０°， 所以∠ＢＥＣ＝∠ＡＦＥ． 在△ＡＥＦ和△ＢＣＥ中，因为 ∠ＡＦＥ＝∠ＢＥＣ，∠Ａ ＝∠Ｂ＝９０°，ＡＥ＝ＢＣ， 所以△ＡＥＦ≌△ＢＣＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． 所以ＡＦ＝ＢＥ． 所以ＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝１＋槡２＋１＝２＋槡２． 书 矩形是特殊的平行四边形，在有关矩形的求值问题 中，涉及到众多知识点，下面选取几例加以说明，供同学 们参考． 一、矩形和坐标 例１　如图１，在矩形ＯＡＢＣ 中，点Ｂ的坐标是（１，３），则Ａ，Ｃ 两点间的距离是 （　　） Ａ．４　　　　　Ｂ．槡１３ Ｃ．槡１０ Ｄ．槡２ 分析：根据矩形的性质即可求出答案． 解：连结ＡＣ，ＯＢ，如图１． 因为点Ｂ的坐标是（１，３）， 所以ＯＢ＝ １２＋３槡 ２ ＝槡１０． 因为四边形ＯＡＢＣ是矩形，所以ＡＣ＝ＯＢ＝槡１０． 故选Ｃ． 二、矩形和勾股定理 例２　如图２，在矩形ＡＢＣＤ 中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ． 若ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，则ＯＤ 的长是 （　　） Ａ．１０ｃｍ　　Ｂ．６ｃｍ　　Ｃ．７ｃｍ　　Ｄ．５ｃｍ 分析：根据矩形的性质得出 ∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ＝ ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ，根据勾股定理求出ＡＣ的长，进而求出ＯＤ 的长． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ＝ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ， 由勾股定理，得ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝１０ｃｍ． 所以ＢＤ＝１０ｃｍ． 所以ＯＤ＝ １２ＢＤ＝５ｃｍ． 故选Ｄ． 三、矩形和线段的垂直平分线 例３　如图３，在矩形ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝１，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交 于点Ｏ，ＡＥ垂直平分ＯＢ于点Ｅ， 则ＡＤ的长为 ． 分析：由矩形的性质和线段 的垂直平分线的性质证出ＯＡ＝ＡＢ＝ＯＢ＝１，得出ＢＤ ＝２ＯＢ＝２，由勾股定理即可求出ＡＤ的长． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＡＣ＝ＢＤ． 所以ＯＡ＝ＯＢ． 因为ＡＥ垂直平分ＯＢ， 所以ＡＢ＝ＯＡ． 所以ＯＡ＝ＡＢ＝ＯＢ＝１． 所以ＢＤ＝２ＯＢ＝２． 由勾股定理，得ＡＤ＝ ＢＤ２－ＡＢ槡 ２ ＝槡３． 故填槡３． 四、矩形和全等三角形 例 ４　 如图 ４，ＥＦ过矩形 ＡＢＣＤ对角线的交点 Ｏ，且分别 交 ＡＢ，ＣＤ于点 Ｅ，Ｆ．若矩形 ＡＢＣＤ的面积是１２，那么阴影部 分的面积是 ． 分析：根据矩形的性质和“Ａ．Ｓ．Ａ．”可判定 △ＡＯＥ ≌△ＣＯＦ，从而得到Ｓ△ＡＯＥ ＝Ｓ△ＣＯＦ，进一步得到Ｓ阴影 ＝ Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ４Ｓ矩形ＡＢＣＤ． 解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＯＡ＝ＯＣ． 所以∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ． 由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ． 在△ＡＯＥ和△ＣＯＦ中，因为∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ，ＯＡ＝ ＯＣ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ， 所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． 所以Ｓ△ＡＯＥ ＝Ｓ△ＣＯＦ． 所以Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＢＥＯ＋Ｓ△ＣＯＦ ＝Ｓ△ＢＥＯ＋Ｓ△ＡＯＥ ＝Ｓ△ＡＯＢ ＝ １４Ｓ矩形ＡＢＣＤ ＝３． 故填３． !"# !"!#$$%!%& !"#$ ' " !" (' !!"!) % ! !"#$ !"#$%&'()*+,- !" . !"#$%&'" ()*+,-'. 书 ３７期２版 １８．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１．５． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝６０°，所以ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°．因为ＡＥ ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ，所以∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以∠ＢＡＥ＝９０° －∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－ ∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． ６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形，所 以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ＝ＤＦ， ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＦＤＡ．所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ７．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＯＢ＝ＯＤ，ＡＢ∥ ＣＤ．因为ＯＥ⊥ＢＤ，所以ＢＥ＝ＥＤ．所以∠ＢＤＥ＝∠ＣＢＤ＝１５°． 因为∠ＣＤＥ＝１５°，所以∠ＢＤＣ＝∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＥ＝３０°．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ＝３０°．所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＋∠ＣＢＤ＝４５°． 能力提高　８．Ｂ． １８．２平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ 中，因为 ∠ＥＡＯ ＝∠ＤＣＯ，ＡＯ ＝ＣＯ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ，所以 △ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＯＥ＝ＯＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是 平行四边形． ７．因为ＣＦ∥ＡＢ，所以∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ．在 △ＡＤＥ和△ＣＦＥ中，因为∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ，ＡＥ ＝ＦＥ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＤ＝ＦＣ．因为ＣＤ 是△ＡＢＣ的中线，所以 ＡＤ＝ＢＤ．所以 ＢＤ＝ＦＣ．所以四边形 ＤＢＦＣ是平行四边形． ８．平行四边形ＡＯＤＥ，平行四边形ＣＤＥＯ，平行四边形ＡＢＯＥ． 理由略． 能力提高　９．４． ３７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１１８°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．６； １２．（２，２）或（－２，１０）． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ＯＦ．因 为ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ．所以四边 形ＥＧＦＨ是平行四边形． １４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ．所 以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中，因为ＡＢ＝ＥＡ，∠Ｂ＝ ∠ＤＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． １５．（１）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＢＤ ＝ ∠ＥＢＤ．因为 ＥＤ∥ ＢＣ，所以 ∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以 ∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以ＢＥ＝ＥＤ．因为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＥＤ＝ＣＦ．又因为ＥＤ ∥ＦＣ，所以四边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝ １２∠ＡＢＣ＝３０°．因为∠ＡＤＢ＝１００°，所以∠Ａ＝１８０° －∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°．因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边形，所以 ＥＦ∥ＡＣ．所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ ∥ＣＤ．因为ＣＥ＝ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ．所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝ １ ２（１８０°－∠ＤＣＥ）＝９０°－ １ ２∠ＤＣＥ．所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＤＥ＝ ９０°－１２∠ＤＣＥ． （２）延长ＤＡ，ＦＥ交于点Ｍ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四 边形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｍ＝∠ＥＦＢ．因为Ｅ是ＡＢ的中点，所 以ＡＥ＝ＢＥ．由对顶角相等，得 ∠ＡＥＭ ＝∠ＢＥＦ．在 △ＡＥＭ和 △ＢＥＦ中，因为∠Ｍ＝∠ＥＦＢ，∠ＡＥＭ＝∠ＢＥＦ，ＡＥ＝ＢＥ，所以 △ＡＥＭ≌△ＢＥＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＭＥ＝ＥＦ，ＡＭ＝ＢＦ．所以ＤＭ＝ ＡＤ＋ＡＭ＝６＝ＤＦ．所以∠ＤＥＦ＝９０°． 附加题　１．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝４，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＡＤ∥ＢＣ．因为∠ＡＣＢ＝３０°，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ ＝３０°．根据折叠的性质，得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ＝９０°．所 以∠Ｄ＝９０°－∠ＤＡＣ＝６０°．所以△ＡＤＥ是等边三角形．所以ＡＤ ＝ＡＥ＝ＤＥ＝２ＣＤ＝８．所以△ＡＤＥ的周长为：８×３＝２４． ２．（１）因为 ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，所以 ＡＢ⊥ ＣＥ，∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＣＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ．所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＣ ＝∠ＡＣＥ＋ ∠ＢＣＥ，即∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ．因为∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＣＢ＝ ∠ＣＡＤ．所以ＢＣ∥ＡＤ．因为ＣＤ⊥ＣＥ，所以ＡＢ∥ＣＤ．所以四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，图略．所以ＡＧ∥ＣＦ．又因为 ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＦ＝ＡＧ．根据勾股定理，得ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ＤＧ２，即４２－（３－ＤＧ）２＝３２－ＤＧ２．解得ＤＧ＝ １３．所 以ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝槡 ８０ ３ ． 书 面对矩形求值问题，根 据具体情况的不同特点，结 合数学思想，可化难为易， 捷足先登． 一、方程思想 例１　如图１，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｆ， 交ＢＣ边于点Ｅ．已知ＡＢ＝ ６，ＡＤ＝８，则 ＣＥ的长为 ． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ 是矩形，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝ ６，∠ＡＤＣ＝∠ＤＣＥ＝９０°． 所以ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝１０．因为 ＤＥ⊥ ＡＣ，所以 ∠ＣＦＤ＝∠ＣＦＥ＝９０°，１２ＡＤ·ＣＤ＝ １ ２ＡＣ·ＤＦ．所以 ＤＦ＝ＡＤ·ＣＤＡＣ ＝４．８．所以ＣＦ＝ ＣＤ ２－ＤＦ槡 ２ ＝３．６． 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＣＤ２＋ＣＥ２＝ＤＥ２，即６２＋ＥＦ２＋３．６２＝ （４．８＋ＥＦ）２．解得ＥＦ＝２．７．所以ＣＥ＝ ＥＦ２＋ＣＦ槡 ２ ＝ ４．５． 故填４．５． 二、整体思想 例２　 如图 ２，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，已知ＡＢ＝ＢＣ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ 分别在边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且 ＢＥ ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ＤＨ．求证：四边形 ＥＦＧＨ是矩形． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形，ＡＢ＝ＢＣ，所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，ＡＢ∥ＣＤ， ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ａ＋∠Ｂ＝∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠Ｃ＋∠Ｄ＝ １８０°．因为ＢＥ＝ＢＦ＝ＤＧ＝ＤＨ，所以ＡＢ－ＢＥ＝ＢＣ－ ＢＦ＝ＣＤ－ＤＧ＝ＡＤ－ＤＨ，即ＡＥ＝ＣＦ＝ＣＧ＝ＡＨ， ∠ＢＥＦ＝∠ＢＦＥ＝１２（１８０°－∠Ｂ），∠ＤＧＨ＝ １ ２（１８０° －∠Ｄ）．所以 ∠ＡＥＨ ＝ １２（１８０°－∠Ａ），∠ＣＦＧ ＝ ∠ＣＧＦ＝ １２（１８０°－∠Ｃ）．所以 ∠ＦＥＨ ＝１８０°－ （∠ＡＥＨ＋∠ＢＥＦ） ＝１８０°－［１２（１８０°－∠Ａ）＋ １ ２（１８０°－∠Ｂ）］＝９０°，∠ＥＦＧ＝１８０°－（∠ＢＦＥ＋ ∠ＣＦＧ）＝１８０°－［１２（１８０°－∠Ｂ）＋ １ ２（１８０°－∠Ｃ）］ ＝９０°，∠ＦＧＨ＝１８０°－（∠ＣＧＦ＋∠ＤＧＨ）＝１８０°－ ［ １ ２（１８０°－∠Ｃ）＋ １ ２（１８０°－∠Ｄ）］＝９０°．所以平行四边 形ＥＦＧＨ是矩形． ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !" # $ % & ! & ' ( ) # & " % * ! ! " ! / 0 1 2 / !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! # ) ' " & % ! ! % #) + " & ! ' ) ' , % & ! ! ) # ' , & " % ! ' ) ' & % ! & % #) + " & ! $ " 34 567 " 89 :;< &()& => $?@AB !"#$%&'()*+,-./ 0123456789:;<"=&'()*>? @A-BCDEFA) CDEFBG"&'-HIJK'DLM-N OP$%&'(.//!Q+,/!(56R8) ! & ) # & &! ' % " ! ! ) # & ' % " &! S&!T S#!T ! $ % " & ' %! ) # ( * " G9 HIJ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ) ' , " & % ! $ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! - % & . ) , ! & *+,-./01 2 34./56789:0 "$#&*#!+&!%, 34;<56789:0 "$#&*#!+&!"# #KL3M3N #OSTUN #VWXYZB"$#&*#!+&!#% #KL[\BG9]^_`abcdef !"!ghiSL)jklLmn"k$VWX #opVqB"$"""% #`rXsLtuB"$#&$#!+&!%( &##$%%$%,,+vwxygz #s{B|}KL`rX\~€‚ƒo„v…z #ops{tuB&&&,# #†‡ˆ‰sŠ‹sŒs # K L Ž €   ]v`z, ‘ ’ “ ” L # K L • G 9 T \ – — ˜ ™ š ›v^ _ ` œ  ž c Ÿ   ¡z¢ – £ ¤ ˜ – ¥ ¦ § ¨ © £ | } K L ` r X \ ~ ª « %&'()*+ G9(¬)$­® G9()‘¯°±²³´µ­¶ klLmVWUN m·B¸¹º »¼½¾¿UNÀgB#$%&'()*)*+Á,z oÂÃgB-&(-). 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （　　） Ａ．对边平行且相等　　Ｂ．对角相等 Ｃ．对角线互相平分 Ｄ．对角线相等 ２．如图１，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ， 已知ＯＡ＝３，则ＢＤ＝ （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ３．两个矩形的位置如图２所示，若 ∠１＝１２０°，则 ∠２＝ （　　） Ａ．３０° Ｂ．７５° Ｃ．６０° Ｄ．１５０° ４．如图３，四边形ＡＢＣＤ的对角线互相平分，要使它 成为矩形，那么需要添加的条件是 （　　） Ａ．ＡＢ＝ＢＣ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ Ｄ．ＡＢ⊥ＡＤ ５．如图 ４，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ＡＢＣＤ，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下 面判断错误的是 （　　） Ａ．四边形ＡＢＣＤ由矩形变为平行四边形 Ｂ．对角线ＢＤ的长度减小 Ｃ．四边形ＡＢＣＤ的面积不变 Ｄ．四边形ＡＢＣＤ的周长不变 ６．如图５，Ａ，Ｂ为５×５的正方 形网格中的两个格点，称四个顶点 都是格点的矩形为格点矩形，在此 图中以Ａ，Ｂ为顶点的格点矩形共 可以画出 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ７．如图６，∠ＡＯＢ＝９０°，ＯＣ平分 ∠ＡＯＢ，ＰＥ⊥ ＯＡ 于点Ｅ，ＰＦ⊥ＯＣ于点Ｆ，ＰＧ⊥ＯＢ于点Ｇ，则ＯＥ＋ＯＧＯＦ 的 值是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ 槡 槡Ｃ．２ Ｄ．３ ８．如图７，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ为ＣＤ边的中点，连 结ＡＥ，过点 Ｅ作 ＥＦ⊥ ＡＥ交 ＢＣ于点 Ｆ，连结 ＡＦ．若 ∠ＢＡＦ＝α，则∠ＥＦＣ的度数是 （　　） Ａ．α Ｂ．４５°＋α２ Ｃ．４５°－α２ Ｄ．９０°－α 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图８，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ， ∠ＡＯＢ＝７０°，则∠ＡＣＢ的大小为 ． １０．如图９，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ在ＢＣ边上， ＤＦ∥ＡＢ，ＤＥ∥ＡＣ，则当∠Ｂ＝ °时，四边形 ＡＥＤＦ是矩形． １１．如图１０，矩形ＡＢＣＤ的对角线相交于点Ｏ，过点 Ｏ的直线分别交ＡＤ，ＢＣ于点Ｅ，Ｆ．若ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，则 图中阴影部分的面积为 ． １２．如图１１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ为 ＢＣ上的高 线，Ｅ为ＡＢ边上一点，ＥＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，交ＣＡ的延长线 于点Ｇ．已知ＥＦ＝２，ＥＧ＝３，则ＡＤ的长为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）如图１２，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ ６，ＡＣ＝１０，ＡＤ＝８．求证：平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １４．（１２分）如图１３，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ的中 点，连结ＣＥ并延长，交ＤＡ的延长线于点Ｆ． （１）求证：△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ； （２）若ＣＤ＝４，∠Ｆ＝４５°，求ＣＦ的长． １５．（１４分）如图１４，矩形ＡＢＣＤ≌矩形ＡＥＦＧ，点Ｅ 在ＢＤ上，ＥＦ与ＡＤ相交于点Ｈ，连结ＡＦ．若ＡＢ＝１，ＢＣ ＝２，求ＡＨ的长． １６．（１６分）如图１５，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，ＡＮ是△ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线， ＣＥ⊥ＡＮ，垂足为点Ｅ． （１）求证：四边形ＡＤＣＥ为矩形； （２）连结ＤＥ，交ＡＣ于点Ｆ，请判断四边形ＡＢＤＥ的 形状，并证明； （３）线段ＤＦ与ＡＢ有怎样的关系？请直接写出你的 结论． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图１，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＣＥ∥ ＢＤ交ＡＤ的延长线于点Ｅ，ＣＥ＝ＡＣ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）若ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，求四边形ＢＣＥＤ的周长． ２．（１２分）如图２，将矩形纸片ＡＢＣＤ折叠，使点Ｂ与 点Ｄ重合，点Ａ落在点Ｐ处，折痕为ＥＦ． （１）求证：△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ； （２）若ＣＤ＝４，ＥＦ＝５，求ＢＣ的长                                                                                                                                                                 ． 书 １９．１矩形 １９．１．１矩形的性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，点Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ与ＢＤ的交 点．若ＡＣ＝６，则ＢＤ的长为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．６ ２．如图２，矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， Ｅ为ＡＢ的中点，连结ＯＥ．若∠ＡＣＤ＝３０°，则∠ＡＯＥ＝ （　　） Ａ．３０° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．６０° ３．“美丽乡村”建设使我市农 村住宅旧貌变新颜，如图３是一农 村民居的侧面截图，屋坡 ＡＦ，ＡＧ 分别架在墙体的点 Ｂ，Ｃ处，且 ＡＢ ＝ＡＣ，侧面四边形ＢＤＥＣ为矩形． 若测得 ∠ＦＢＤ＝５５°，则 ∠Ａ＝ °． ４．如图４，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ交于点 Ｏ，ＣＥ平分 ∠ＢＣＤ，交 ＡＢ于点 Ｅ，∠ＯＣＥ＝１５°，求 ∠ＢＥＯ的度数． ５．如图５，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在ＢＣ边上，ＡＥ＝ ＡＤ，ＤＦ⊥ＡＥ，垂足为点Ｆ． （１）求证：ＤＦ＝ＡＢ； （２）若ＡＤ＝８，ＡＢ＝４，求ＣＥ的长． ６．如图６，在矩形ＡＢＣＤ中，延长 ＢＣ到点Ｅ，连结ＤＥ，ＤＢ平分∠ＡＤＥ， 若 ＢＣ ＝ ２，ＡＢ ＝ ４，则 ＤＥ ＝ ． ７．如图７，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ边上 的点，ＡＥ＝ＣＦ，连结ＥＦ，ＢＦ，ＥＦ与对角线ＡＣ交于点Ｏ， 且ＢＥ＝ＢＦ，∠ＢＥＦ＝２∠ＢＡＣ．求证： （１）ＯＥ＝ＯＦ； （２）ＢＥ＝２ＯＦ． １９．１．２矩形的判定 １．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量 两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条 对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的依据是 （　　） Ａ．两组对边分别相等的四边形是矩形 Ｂ．有一个角是直角的平行四边形是矩形 Ｃ．对角线相等的四边形是矩形 Ｄ．对角线相等的平行四边形是矩形 ２．如图１，点Ａ，Ｂ在直线ｌ１上，点Ｃ，Ｄ在直线ｌ２上， ｌ１∥ｌ２，ＣＡ⊥ｌ１，ＢＤ⊥ｌ２，ＡＢ＝３ｃｍ，则ＣＤ＝ （　　） Ａ．１ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．３ｃｍ Ｄ．４ｃｍ ３．如图２，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，且ＯＡ＝ＯＤ，∠ＯＡＤ＝５５°，则∠ＯＢＡ的度数为 （　　） Ａ．３５° Ｂ．４０° Ｃ．４５° Ｄ．５０° ４．如图３，在△ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ分别在ＡＢ，ＡＣ边上，ＤＥ ∥ＦＧ，点Ｆ，Ｇ在ＢＣ边上，且ＤＧ＝ＥＦ．只需添加一个条 件即可证明四边形 ＤＦＧＥ是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）． ５．如图４，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，点 Ｏ是 ＢＣ的中 点，ＣＥ∥ＯＡ，ＡＥ∥ＢＣ，连结ＯＥ．若ＯＡ＝５，ＢＣ＝２４， 则ＯＥ的长为 ． ６．如图５，Ｅ，Ｆ是四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上的两 点，且ＡＦ＝ＣＥ，ＢＥ＝ＤＦ，ＢＥ∥ＤＦ．若∠ＢＡＤ＝９０°， 求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形． ７．如图６，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上一点，Ｅ是ＡＤ 的中点，过点Ａ作ＢＣ的平行线交ＣＥ的延长线于点Ｆ， 且ＡＦ＝ＢＤ，连结ＢＦ． （１）求证：Ｄ是ＢＣ的中点； （２）若ＡＢ＝ＡＣ，试判断四边形ＡＦＢＤ的形状，并证 明你的结论． ８．如图７，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｄ＝ ９０°，点Ｅ是ＡＤ的中点，连结ＢＥ，将△ＡＢＥ沿ＢＥ折叠后 得到△ＧＢＥ，且点Ｇ在四边形ＡＢＣＤ的内部，延长ＢＧ交 ＤＣ于点Ｆ，连结ＥＦ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）若ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，求ＤＦ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 （上接１，４版中缝） ２ＡＢ，所以ＦＣ＝２ＣＤ．所以 ＦＤ＝ＣＤ＝ＡＢ．所以四边 形ＡＢＤＦ是平行四边形． ２１．因 为 ＢＰ平 分 ∠ＡＢＣ，ＣＰ平分∠ＡＣＢ，所 以 ∠ＰＢＣ ＝ １２∠ＡＢＣ， ∠ＰＣＢ＝ １２∠ＡＣＢ．所以 ∠Ｐ ＝１８０°－∠ＰＢＣ－ ∠ＰＣＢ ＝ １８０° － １ ２（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ） ＝ ９０°＋１２∠Ａ．根据轴对称 的性质，得 ∠ＢＤＣ＝∠Ｐ， ∠ＰＢＣ ＝ ∠ＤＢＣ，ＰＣ ＝ ＤＣ．所以∠ＣＤＥ＝１８０°－ ∠ＢＤＣ＝１８０°－∠Ｐ ＝ ９０°－１２∠Ａ．因为 ∠ＰＢＣ ＝２∠ＰＣＢ＝∠ＡＣＢ，所以 ∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＢ．所以 ＡＣ ∥ＢＥ．因为ＢＥ＝ＡＣ，所以 四边形 ＡＢＥＣ是平行四边 形．所以∠Ｅ＝∠Ａ，ＡＢ＝ ＣＥ．因为 ＡＢ＝ＰＣ，所以 ＤＣ＝ＣＥ．所以 ∠ＣＤＥ＝ ∠Ｅ，即 ９０°－ １２∠Ｅ ＝ ∠Ｅ．解得∠Ｅ＝６０°． ２２．（１）因为ＡＤ⊥ＣＭ， ＢＥ⊥ ＣＭ，所以 ＡＤ∥ ＢＥ， ∠ＡＤＭ＝∠ＢＥＭ＝９０°．因 为点Ｍ是ＡＢ的中点，所以 ＡＭ ＝ＢＭ．在 △ＡＤＭ 和 △ＢＥＭ中，因为 ∠ＡＤＭ ＝ ∠ＢＥＭ，∠ＡＭＤ ＝∠ＢＭＥ， ＡＭ ＝ＢＭ，所以 △ＡＤＭ≌ △ＢＥＭ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＤ ＝ＢＥ．所以四边形 ＡＤＢＥ 是平行四边形． （２）延长ＤＯ交ＢＥ于 点Ｆ，图略．因为ＡＤ⊥ＣＭ， ＢＥ⊥ＣＭ，所以ＡＤ∥ＢＥ， ∠ＢＥＭ＝９０°．所以∠ＤＡＯ ＝ ∠ＦＢＯ，∠ＯＤＥ ＋ ∠ＯＦＥ＝∠ＤＥＯ＋∠ＦＥＯ ＝９０°．因为点 Ｏ在 ＤＥ的 垂直平分线上，所以ＤＯ＝ ＥＯ． 所 以 ∠ＯＤＥ ＝ ∠ＤＥＯ．所以 ∠ＯＦＥ ＝ ∠ＦＥＯ．所以 ＦＯ＝ＥＯ．所 以ＤＯ＝ＦＯ．在 △ＡＤＯ和 △ＢＦＯ中，因为 ∠ＤＡＯ＝ ∠ＦＢＯ，∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＦ， ＤＯ＝ＦＯ，所以 △ＡＤＯ≌ △ＢＦＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＯ ＝ＢＯ． （全文完） ! ! !"#$ ! 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