第37期 平行四边形的性质-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（华东师大版）

书 答案详解 　　　　　　　２０２４～２０２５学年　初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期　　　　　　　 ３６期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ 二、１３．－１；　１４．＜；　１５．ａ＜２２且ａ≠－２； １６．－６． 三、１７．（１）－４．　（２）ｘ＝ ３５． １８．原式 ＝ ２ｘ－３．因为ｘ≠２且ｘ≠３，所以ｘ＝４．当ｘ＝ ４时，原式 ＝２． １９．设ｙ与ｘ的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．将（２０，３６０），（３０， ６０）代入，得 ２０ｋ＋ｂ＝３６０， ３０ｋ＋ｂ＝６０{ ．解得 ｋ＝－３０， ｂ＝９６０{ ．所以 ｙ与 ｘ的函 数表达式为ｙ＝－３０ｘ＋９６０（０＜ｘ≤３２）．根据题意，得 －３０ｘ ＋９６０＝３００．解得ｘ＝２２． 答：每件商品的销售价格应定为２２元． ２０．（１）根据题意，得２ｍ－４＝０．解得ｍ＝２．所以３ｍ＋１ ＝７．所以点Ｐ的坐标为（０，７）． （２）根据题意，得３ｍ＋１＝－２．解得ｍ＝－１．所以２ｍ－４ ＝－６．所以点Ｐ的坐标为（－６，－２）． ２１．（１）设村民每天采摘茶叶ｘ吨，则志愿者服务队每天采 摘茶叶１．５ｘ吨． 根据题意，得 ４ ｘ＋ ２４－４ ｘ＋１．５ｘ＝１５．解得ｘ＝０．８． 经检验，ｘ＝０．８是原分式方程的解，且符合题意． 答：村民每天采摘茶叶０．８吨． （２）原计划村民完成采摘需要的天数为：２４０．８＝３０，所需劳 务费为：２０００×３０＝６００００（元）． 志愿者服务队工作的天数为： ２４－４ ０．８＋０．８×１．５＝１０，村民 工作了 １５天，所以实际花费为：２０００×１５＋５００×１０＝ ３５０００（元）． ６００００－３５０００＝２５０００（元）． 答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省２５０００元． ２２．（１）将Ａ（ｍ，２）代入ｙ＝ｘ＋１，得ｍ＋１＝２．解得ｍ＝ １．所以Ａ（１，２）．把Ａ（１，２）代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝２．所以反比例 函数的表达式为ｙ＝ ２ｘ． （２）解 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝２ｘ { ， 得 ｘ＝－２，ｙ＝－１{ ．所以Ｂ（－２，－１）．观察图象， 得关于ｘ的不等式ｘ＋１＞ ｋｘ的解集是 －２＜ｘ＜０或ｘ＞１． （３）记ｙ＝ｘ＋１交ｙ轴于点Ｃ，则Ｃ（０，１）．所以ＯＣ＝１． 所以Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ△ＡＯＣ ＋Ｓ△ＢＯＣ ＝ １ ２ＯＣ·（ｘＡ－ｘＢ）＝ ３ ２．因为 △ＡＯＢ的面积是 △ＡＯＰ面积的一半，所以 Ｓ△ＡＯＰ ＝３．所以 １ ２｜ＯＰ｜·ｙＡ ＝３，即 １ ２｜ＯＰ｜×２＝３．解得｜ＯＰ｜＝３．所以 点Ｐ的坐标为（－３，０）或（３，０）． ３６期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１３．３；　１４．２；　１５．１∶５；　１６．－９． 三、１７．（１） ３ｘ－ｙ．　（２）无解． １８．设这款电动汽车平均每公里的充电费为ｘ元． 根据题意，得 ２００ ｘ ＝ ２００ ｘ＋０．６×４．解得ｘ＝０．２． 经检验，ｘ＝０．２是原分式方程的解，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为０．２元． １９．（１）由图象，得该反比例函数过点（２，５００），在第一象 限，所以ｋ＝２×５００＝１０００．所以该反比例函数的表达式为ｐ ＝１０００Ｓ （Ｓ＞０）． （２）当ｐ＝８０００Ｐａ时，８０００＝１０００Ｓ ．解得Ｓ＝０．１２５．由 图象可知，ｐ随Ｓ的增大而减小．所以当 ｐ≤８０００Ｐａ时，Ｓ≥ ０．１２５ｍ２． 答：选用的木板面积至少要０．１２５ｍ２． ２０．（１）一元一次方程３－２（１－ｘ）＝４ｘ与分式方程２ｘ＋１２ｘ－１ －１＝ ４ ４ｘ２－１ 不是“相似方程”．理由如下： 解３－２（１－ｘ）＝４ｘ，得ｘ＝１２．解 ２ｘ＋１ ２ｘ－１－１＝ ４ ４ｘ２－１ ， 得ｘ＝ １２．检验：当ｘ＝ １ ２时，（２ｘ＋１）（２ｘ－１）＝０．所以原 分式方程无解．所以一元一次方程３－２（１－ｘ）＝４ｘ                                                         与分式方 —１— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 程 ２ｘ＋１ ２ｘ－１－１＝ ４ ４ｘ２－１ 不是“相似方程”． （２）由题意，得两个方程有相同的整数解，所以ｍｘ＋６＝ｘ ＋４ｍ．化简，得（ｍ－１）ｘ＝４ｍ－６．当ｍ－１＝０时，方程无解； 当 ｍ－１≠０，即ｍ≠１时，ｘ＝４ｍ－６ｍ－１，即ｘ＝４－ ２ ｍ－１．因为 ｘ，ｙ均为整数，所以ｍ－１＝１或２或 －１或 －２．又因为ｍ为正 整数，所以ｍ＝２或３． ２１．（１）把ｙ＝２代入ｙ＝－１２ｘ，得ｘ＝－４．所以Ａ（－４， ２）．把Ａ（－４，２）代入ｙ＝ ｋｘ，得 ｋ＝－８．所以反比例函数的表 达式为ｙ＝－８ｘ． （２）由题意，得Ｂ（４，－２）．根据图象，得 －１２ｘ＞ ｋ ｘ的解 集为ｘ＜－４或０＜ｘ＜４． （３）设平移后的直线ｌ２与ｘ轴交于点 Ｄ，连结 ＡＤ，ＢＤ，图 略．因为ＣＤ∥ＡＢ，所以Ｓ△ＡＢＤ ＝Ｓ△ＡＯＤ ＋Ｓ△ＢＯＤ ＝Ｓ△ＡＢＣ ＝３０， 即 １ ２ＯＤ·（ｙＡ－ｙＢ）＝３０．解得ＯＤ＝１５．所以Ｄ（１５，０）．设平 移后的直线ｌ２的函数表达式为 ｙ＝－ １ ２ｘ＋ｂ．把 Ｄ（１５，０）代 入，得０＝－１２×１５＋ｂ．解得ｂ＝ １５ ２．所以平移后的直线ｌ２的 函数表达式为ｙ＝－１２ｘ＋ １５ ２． ２２．（１）把Ｐ（４，ｔ）代入ｙ＝ ３４ｘ＋６，得ｔ＝９．所以Ｐ（４， ９）．把Ａ（１６，０），Ｐ（４，９）代入ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 １６ｘ＋ｂ＝０， ４ｋ＋ｂ＝９{ ．解得 ｋ＝－３４， ｂ＝１２ { ． 所以直线ｌ２的函数表达式为ｙ＝－ ３ ４ｘ＋１２． （２）①令ｙ＝０，则ｙ＝ ３４ｘ＋６＝０．解得 ｘ＝－８．所以 Ｃ（－８，０）．因为点Ｑ的横坐标为ｍ，所以Ｍ（ｍ，－３４ｍ＋１２）， Ｎ（ｍ，３４ｍ＋６）．所以ＭＮ＝｜－ ３ ４ｍ＋１２－（ ３ ４ｍ＋６）｜＝｜－ ３ ２ｍ ＋６｜． ②当点Ｎ是ＭＱ的中点时，则ＭＱ＝２ＮＱ．所以－３４ｍ＋１２ ＝２（３４ｍ＋６）．解得ｍ＝０． 当点Ｍ是 ＮＱ的中点时，则 ＮＱ＝２ＭＱ．所以 ３４ｍ＋６＝ ２（－３４ｍ＋１２）．解得ｍ＝８． 不存在点Ｑ是ＭＮ中点的情况． 综上所述，ｍ的值是０或８． ３７期２版 １８．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１．５． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝６０°，所以ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°．因为ＡＥ ⊥ＢＣ，ＡＦ⊥ＣＤ，所以∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以∠ＢＡＥ＝９０° －∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ －∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． ６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形，所 以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ＝ＤＦ， ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即 ∠ＡＢＥ＝ ∠ＦＤＡ．所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ７．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＢ＝ＯＤ，ＡＢ∥ ＣＤ．因为ＯＥ⊥ＢＤ，所以ＢＥ＝ＥＤ．所以∠ＢＤＥ＝∠ＣＢＤ＝１５°． 因为∠ＣＤＥ＝１５°，所以∠ＢＤＣ＝∠ＢＤＥ＋∠ＣＤＥ＝３０°．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ＝３０°．所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＤ＋∠ＣＢＤ＝４５°． 能力提高　８．Ｂ． １８．２平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ ＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ 中，因为 ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ，ＡＯ＝ＣＯ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ，所以 △ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＯＥ＝ＯＤ．所以四边形ＡＥＣＤ 是平行四边形． ７．因为ＣＦ∥ＡＢ，所以∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ，∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ． 在△ＡＤＥ和△ＣＦＥ中，因为∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＥ，∠ＤＡＥ＝∠ＣＦＥ， ＡＥ＝ＦＥ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＤ＝ＦＣ．因为 ＣＤ是△ＡＢＣ的中线，所以ＡＤ＝ＢＤ．所以ＢＤ＝ＦＣ．所以四边形 ＤＢＦＣ是平行四边形． ８．平行四边形 ＡＯＤＥ，平行四边形 ＣＤＥＯ，平行四边形 ＡＢＯＥ．理由略． 能力提高　９．４． ３７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１１８°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．６； １２．（２，２）或（－２，１０）． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ＯＦ． 因为ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ．所以四 边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ．所 以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中，因为ＡＢ＝ＥＡ，∠Ｂ＝ ∠ＤＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． １５．（１）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＥＢＤ．因为ＥＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以ＢＥ＝ＥＤ．因为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＥＤ＝ＣＦ．又因为                                                                      ＥＤ —２— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 ∥ＦＣ，所以四边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝１２∠ＡＢＣ＝３０°．因为∠ＡＤＢ＝１００°，所以∠Ａ＝１８０° －∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°．因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边形，所以 ＥＦ∥ＡＣ．所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ ∥ＣＤ．因为ＣＥ＝ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ．所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ＝ １ ２（１８０°－∠ＤＣＥ）＝９０°－ １ ２∠ＤＣＥ．所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＤＥ＝ ９０°－１２∠ＤＣＥ． （２）延长ＤＡ，ＦＥ交于点Ｍ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｍ ＝∠ＥＦＢ．因为Ｅ是ＡＢ的中 点，所以ＡＥ＝ＢＥ．由对顶角相等，得∠ＡＥＭ＝∠ＢＥＦ．在△ＡＥＭ 和△ＢＥＦ中，因为∠Ｍ＝∠ＥＦＢ，∠ＡＥＭ＝∠ＢＥＦ，ＡＥ＝ＢＥ，所 以△ＡＥＭ≌△ＢＥＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＭＥ＝ＥＦ，ＡＭ ＝ＢＦ．所以 ＤＭ＝ＡＤ＋ＡＭ＝６＝ＤＦ．所以∠ＤＥＦ＝９０°． 附加题　１．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝４，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝４，ＡＤ∥ ＢＣ．因为 ∠ＡＣＢ＝３０°，所以 ∠ＤＡＣ＝ ∠ＡＣＢ＝３０°．根据折叠的性质，得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ＝ ９０°．所以∠Ｄ＝９０°－∠ＤＡＣ＝６０°．所以△ＡＤＥ是等边三角形． 所以ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＥ＝２ＣＤ＝８．所以△ＡＤＥ的周长为：８×３＝ ２４． ２．（１）因为ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，所以ＡＢ⊥ＣＥ，∠ＡＥＣ＝ ∠ＡＣＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ．所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＣ＝∠ＡＣＥ＋ ∠ＢＣＥ，即∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ．因为∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，所以∠ＡＣＢ ＝∠ＣＡＤ．所以ＢＣ∥ＡＤ．因为ＣＤ⊥ＣＥ，所以ＡＢ∥ＣＤ．所以四 边形ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，图略．所以ＡＧ∥ＣＦ．又因为 ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＦ＝ＡＧ．根据勾股定理，得ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ＤＧ２，即４２－（３－ＤＧ）２＝３２－ＤＧ２．解得ＤＧ＝１３．所 以ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝槡８０３ ． ３８期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ 二、１３．是；　１４．２０；　１５．４１°；　１６．４３或４． 三、１７．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ａ＝∠Ｃ＝ ７０°，ＡＤ∥ＢＣ．因为ＡＢ＝ＢＥ，所以 ∠ＢＥＡ＝∠Ａ＝７０°．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＢＥＡ＝７０°． １８．因为ＡＥ⊥ＡＤ，ＣＦ⊥ＢＣ，所以∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＢ＝９０°． 因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ．在△ＡＥＤ和△ＣＦＢ中，因 为∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ，∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＢ，ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＥＤ≌ △ＣＦＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＤ＝ＣＢ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四 边形． １９．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ａ＝∠Ｃ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．又因为 ∠ＡＤＥ ＝∠ＣＢＦ，所以 △ＡＤＥ≌ △ＣＢＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以ＡＢ－ＡＥ＝ＣＤ－ＣＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ． ２０．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ， ∠Ａ＝∠Ｃ．因为ＢＣ＝ＦＣ，所以ＡＤ＝ＦＣ．在△ＡＢＤ和△ＣＥＦ 中，因为 ＡＤ ＝ＦＣ，∠Ａ＝∠Ｃ，ＡＢ ＝ＣＥ，所以 △ＡＢＤ≌ △ＣＥＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）四边形ＡＢＤＦ是平行四边形．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ． 因为ＦＣ＝２ＡＢ，所以ＦＣ＝２ＣＤ．所以ＦＤ＝ＣＤ＝ＡＢ．所以四边 形ＡＢＤＦ是平行四边形． ２１．因为 ＢＰ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＰ平分 ∠ＡＣＢ，所以 ∠ＰＢＣ＝ １ ２∠ＡＢＣ，∠ＰＣＢ＝ １ ２∠ＡＣＢ．所以 ∠Ｐ＝１８０°－∠ＰＢＣ－ ∠ＰＣＢ＝１８０°－１２（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝９０°＋ １ ２∠Ａ．根据轴对 称的性质，得∠ＢＤＣ＝∠Ｐ，∠ＰＢＣ＝∠ＤＢＣ，ＰＣ＝ＤＣ．所以 ∠ＣＤＥ＝１８０°－∠ＢＤＣ＝１８０°－∠Ｐ＝９０°－１２∠Ａ．因为 ∠ＰＢＣ＝２∠ＰＣＢ＝∠ＡＣＢ，所以∠ＤＢＣ＝∠ＡＣＢ．所以ＡＣ∥ ＢＥ．因为ＢＥ＝ＡＣ，所以四边形ＡＢＥＣ是平行四边形．所以∠Ｅ＝ ∠Ａ，ＡＢ＝ＣＥ．因为 ＡＢ＝ＰＣ，所以 ＤＣ＝ＣＥ．所以 ∠ＣＤＥ＝ ∠Ｅ，即９０°－１２∠Ｅ＝∠Ｅ．解得∠Ｅ＝６０°． ２２．（１）因为ＡＤ⊥ＣＭ，ＢＥ⊥ＣＭ，所以ＡＤ∥ＢＥ，∠ＡＤＭ＝ ∠ＢＥＭ＝９０°．因为点Ｍ是ＡＢ的中点，所以ＡＭ＝ＢＭ．在△ＡＤＭ 和△ＢＥＭ中，因为∠ＡＤＭ＝∠ＢＥＭ，∠ＡＭＤ＝∠ＢＭＥ，ＡＭ＝ＢＭ， 所以△ＡＤＭ≌△ＢＥＭ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＤ＝ＢＥ．所以四边形 ＡＤＢＥ是平行四边形． （２）延长ＤＯ交ＢＥ于点Ｆ，图略．因为ＡＤ⊥ＣＭ，ＢＥ⊥ＣＭ， 所以ＡＤ∥ＢＥ，∠ＢＥＭ＝９０°．所以∠ＤＡＯ＝∠ＦＢＯ，∠ＯＤＥ＋ ∠ＯＦＥ＝∠ＤＥＯ＋∠ＦＥＯ＝９０°．因为点Ｏ在ＤＥ的垂直平分 线上，所以 ＤＯ＝ＥＯ．所以 ∠ＯＤＥ＝∠ＤＥＯ．所以 ∠ＯＦＥ＝ ∠ＦＥＯ．所以ＦＯ＝ＥＯ．所以ＤＯ＝ＦＯ．在△ＡＤＯ和△ＢＦＯ中， 因为 ∠ＤＡＯ ＝∠ＦＢＯ，∠ＡＯＤ ＝∠ＢＯＦ，ＤＯ ＝ＦＯ，所以 △ＡＤＯ≌△ＢＦＯ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＯ＝ＢＯ． ３９期２版 １９．１矩形 １９．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＯＣ＝ＯＢ，∠ＤＣＢ＝ ∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＣＥ平分∠ＤＣＢ，所以∠ＢＣＥ＝１２∠ＤＣＢ＝ ４５°．在Ｒｔ△ＥＢＣ中，∠ＣＥＢ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以∠ＢＣＥ ＝∠ＣＥＢ．所以ＢＥ＝ＢＣ．因为∠ＯＣＥ＝１５°，所以∠ＢＣＯ＝ ∠ＯＣＥ＋∠ＢＣＥ＝６０°．所以△ＢＯＣ是等边三角形．所以ＢＣ＝ ＯＢ＝ＢＥ，∠ＯＢＣ＝６０°．所以∠ＤＢＡ＝∠ＡＢＣ－∠ＯＢＣ＝３０°． 所以∠ＢＥＯ＝∠ＢＯＥ＝ １２（１８０°－∠ＤＢＡ）＝７５°． ５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，∠                                                                      Ｂ＝ —３— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 ９０°．所以∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＢ．因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＤ＝９０° ＝∠Ｂ．又因为ＤＡ＝ＡＥ，所以△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＦ中，ＡＤ＝８，由 勾股定理，得ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡４３．由△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ， 得ＢＥ＝ＡＦ＝ 槡４３．所以ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝８－ 槡４３． 能力提高　６．５． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．又因为 ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）连结ＯＢ，图略．因为△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ，所以ＯＡ＝ＯＣ， 即Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线的交点．所以ＯＡ＝ＯＢ．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＯ．因为ＢＥ＝ＢＦ，ＯＥ＝ＯＦ，所以ＢＯ⊥ＥＦ．在Ｒｔ△ＢＥＯ 中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ ＝９０°．因为 ∠ＢＥＦ ＝２∠ＢＡＣ，所以 ２∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．解得∠ＢＡＣ＝３０°．所以∠ＢＥＦ＝６０°． 所以△ＢＥＦ是等边三角形．所以ＢＥ＝ＥＦ．因为ＥＦ＝２ＯＦ，所 以ＢＥ＝２ＯＦ． １９．１．２矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ａ； ４．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　５．１３． ６．因为ＢＥ∥ＤＦ，所以∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ．所以１８０°－∠ＤＦＣ ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝∠ＢＥＣ．因为ＤＦ＝ＢＥ，ＡＦ＝ＣＥ，所 以△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ．所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ．所以ＡＤ∥ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．又因为∠ＢＡＤ＝９０°，所以四 边形ＡＢＣＤ是矩形． ７．（１）因为点Ｅ是ＡＤ的中点，所以ＡＥ＝ＤＥ．因为ＡＦ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＦＥ＝∠ＤＣＥ，∠ＦＡＥ＝∠ＣＤＥ．所以 △ＥＡＦ≌ △ＥＤＣ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＡＦ＝ＤＣ．因为 ＡＦ＝ＢＤ，所以 ＢＤ＝ ＤＣ，即Ｄ是ＢＣ的中点． （２）四边形ＡＦＢＤ是矩形．证明如下： 因为ＡＦ∥ＢＤ，ＡＦ＝ＢＤ，所以四边形 ＡＦＢＤ是平行四边 形．因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＤＣ，所以ＡＤ⊥ＢＣ．所以∠ＡＤＢ＝９０°． 所以四边形ＡＦＢＤ是矩形． 能力提高　８．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°．所以四 边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）根据折叠的性质，得∠ＢＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＢＧ＝ＡＢ＝ ６，ＡＥ＝ＧＥ．所以∠ＥＧＦ＝１８０°－∠ＢＧＥ＝９０°．因为Ｅ是ＡＤ 的中点，所以 ＡＥ＝ＤＥ．所以 ＤＥ＝ＧＥ．因为 ＥＦ＝ＥＦ，所以 Ｒｔ△ＤＥＦ≌Ｒｔ△ＧＥＦ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＤＦ＝ＧＦ．所以ＢＦ＝ＢＧ＋ ＧＦ＝６＋ＤＦ．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＣＤ＝ＡＢ＝６．在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，根据勾股定理，得ＢＣ２＋ＣＦ２ ＝ＢＦ２，即８２＋（６－ ＤＦ）２ ＝（６＋ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ ８３． ３９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．７２． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ＝ ８．因为ＡＢ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２．所以∠Ｂ＝ ９０°．所以平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １４．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｆ ＝∠ＢＣＥ．因为Ｅ是ＡＢ的中点，所以ＡＥ＝ＥＢ．由对顶角相等， 得∠ＡＥＦ＝∠ＢＥＣ．所以△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°．因为∠Ｆ ＝４５°，所以∠ＤＣＦ＝４５°＝∠Ｆ．所以ＤＦ＝ＣＤ＝４．由勾股 定理，得ＣＦ＝ 槡４２． １５．因为矩形 ＡＢＣＤ≌ 矩形 ＡＥＦＧ，所以 ＡＢ＝ＡＥ＝１， ∠ＤＡＢ＝∠ＦＥＡ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝２．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＢＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＦ＝１８０°－∠ＦＥＡ＝ ９０°．所以∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ．所以ＥＨ＝ＤＨ．在Ｒｔ△ＡＥＨ中，由 勾股定理，得ＥＨ２＋ＡＥ２＝ＡＨ２，即（２－ＡＨ）２＋１２＝ＡＨ２．解得 ＡＨ＝ ５４． １６．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以ＡＤ ⊥ ＢＣ，∠ＣＡＤ ＝ １２∠ＢＡＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ＡＮ为 △ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线，所以 ∠ＣＡＮ＝ １２∠ＣＡＭ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＮ＝９０°．因为ＣＥ⊥ＡＮ，所以∠ＡＥＣ＝ ９０°．所以四边形ＡＤＣＥ为矩形． （２）四边形ＡＢＤＥ是平行四边形．证明如下： 由（１）知，四边形ＡＤＣＥ为矩形．所以ＡＥ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＤＥ． 因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＢ＝ＤＥ，ＡＥ＝ＢＤ．所以四边形 ＡＢＤＥ是平行四边形． （３）ＤＦ∥ＡＢ，ＤＦ＝ １２ＡＢ． 附加题　１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＥ ∥ＢＣ．因为ＣＥ∥ＢＤ，所以四边形 ＢＣＥＤ是平行四边形．所以 ＣＥ＝ＢＤ．又因为ＣＥ＝ＡＣ，所以ＡＣ＝ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ 是矩形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＣ＝ ＡＤ＝３．由勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝５．所以四边形 ＢＣＥＤ的周长为：２（ＢＣ＋ＢＤ）＝１６． ２．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ＝∠ＡＤＣ＝∠Ｂ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ．由折叠的性质，得ＡＢ＝ＰＤ，∠Ａ＝∠Ｐ＝ ９０°，∠Ｂ＝∠ＰＤＦ＝９０°．所以ＰＤ＝ＣＤ，∠ＰＤＦ＝∠ＡＤＣ，∠Ｐ＝ ∠Ｃ．所以∠ＰＤＦ－∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－∠ＡＤＦ，即∠ＰＤＥ＝∠ＣＤＦ． 所以△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＦ＝∠ＥＧＢ ＝９０°．所以四边形ＡＢＧＥ和四边形ＥＧＣＤ都是矩形．所以ＡＥ＝ ＢＧ，ＤＥ＝ＣＧ，ＥＧ＝ＣＤ＝４．在Ｒｔ△ＥＧＦ中，由勾股定理，得ＦＧ ＝ ＥＦ２－ＥＧ槡 ２ ＝３．由（１），得 △ＰＤＥ≌ △ＣＤＦ．所以 ＰＥ＝ ＣＦ，ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＧ＝ＣＦ＋３．由折叠的性质，得ＡＥ＝ＰＥ．在 Ｒｔ△ＣＤＦ中，由勾股定理，得ＣＤ２＋ＣＦ２ ＝ＤＦ２，即ＣＦ２＋４２ ＝ （ＣＦ＋３）２．解得ＣＦ＝ ７６．所以ＢＣ＝２ＣＦ＋ＦＧ＝ １６ ３                                                                      ． —４— 初中数学·华东师大八年级　第３６～３９期 书 平行四边形具有丰富的性质，与平行四边形相关 的考题也多种多样，其中与角平分线有关的问题是近 几年模拟命题的热点．下面选取几例加以说明，供同学 们参考． 一、已知平行四边形一个角的平分线 例１　如图１，在ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ，且 ∠ＢＥＡ＝３０°，则∠Ａ的大小为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５０° Ｂ．１３０° Ｃ．１２０° Ｄ．１００° 分析：由平行四边形的性质和平行线的性质得出 ∠ＡＥＢ＝∠ＣＢＥ，由角平分线的定义得出 ∠ＡＢＥ的度 数，再由三角形内角和定理即可得解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．因为∠ＢＥＡ＝３０°，所以∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＡ＝３０°．因 为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ＝３０°．所以 ∠Ａ＝１８０°－∠ＡＢＥ－∠ＢＥＡ＝１２０°． 故选Ｃ． 二、已知平行四边形一组邻角的平分线 例 ２　 如图 ２，在 ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ，∠ＢＣＤ 的平分线交ＡＤ于点Ｆ．若ＡＢ＝３，ＡＤ ＝４，则ＥＦ的长是 ． 分析：根据平行四边形的性质和 角平分线的性质得到ＤＦ＝ＤＣ，ＡＥ＝ＡＢ，进而可得解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＣＢ，ＡＢ＝ＤＣ＝３．所以 ∠ＣＢＥ＝∠ＡＥＢ，∠ＢＣＦ＝ ∠ＣＦＤ．因为 ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＦ平分 ∠ＢＣＤ，所以 ∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＥ，∠ＤＣＦ ＝∠ＢＣＦ．所以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＡＥＢ，∠ＤＦＣ＝∠ＤＣＦ．所以ＡＥ＝ＡＢ＝３，ＤＦ＝ＤＣ ＝３．因为ＡＤ＝４，所以ＡＦ＝ＡＤ－ＤＦ＝１．所以ＥＦ＝ ＡＥ－ＡＦ＝２． 故填２． 三、已知平行四边形一组对角的平分线 例３　如图３，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢＣＤ的ＢＣ，ＡＤ边 上．若ＡＥ平分∠ＢＡＤ，ＣＦ平分∠ＢＣＤ，求证：ＡＦ＝ＣＥ． 分析：根据平行四边形的性质 证得△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ，可得 ＢＥ＝ ＤＦ，进而可得结论． 证明：因为四边形 ＡＢＣＤ是平 行四边形，所以∠Ｂ＝∠Ｄ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＢＡＤ＝ ∠ＢＣＤ．因为ＡＥ平分∠ＢＡＤ，ＣＦ平分∠ＢＣＤ，所以∠ＥＡＢ ＝１２∠ＢＡＤ，∠ＦＣＤ＝ １ ２∠ＢＣＤ．所以∠ＥＡＢ＝∠ＦＣＤ． 在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中，因为∠Ｂ＝∠Ｄ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＥＡＢ ＝∠ＦＣＤ，所以△ＡＢＥ≌ △ＣＤＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以 ＢＥ＝ ＤＦ．所以ＡＤ－ＤＦ＝ＢＣ－ＢＥ，即ＡＦ＝ＣＥ． 书 平行四边形的判定方法较多，综合性较强，涉及平 行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质 联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四 边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定 定理是本章的重点． 方法一、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 例１　如图１，在ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝８，点Ｅ是ＡＢ上一点，ＡＥ＝３， 连接ＤＥ，过点Ｃ作ＣＦ∥ＤＥ，交ＡＢ 的延长线于点Ｆ，则ＢＦ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ 解：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝８，所以 ＤＣ＝ＡＢ＝８，ＡＢ∥ＣＤ．因为ＡＥ＝３，所以ＢＥ＝ＡＢ－ ＡＥ＝５．因为ＣＦ∥ＤＥ，所以四边形 ＤＥＦＣ是平行四边 形．所以ＥＦ＝ＤＣ＝８．所以ＢＦ＝ＥＦ－ＢＥ＝３． 故选Ｃ． 方法二、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 例２　如图２，对于几何作图 “过直线ｌ外一点 Ｐ作这条直线的 平行线”，甲、乙两位同学均设计出 自己的尺规作图方案： 甲：在直线ｌ上取点Ａ，以点Ｐ为圆心，ＰＡ长为半径 画弧，交直线ｌ于点 Ｂ，然后延长 ＡＰ作射线 ＡＣ，最后作 ∠ＣＰＢ的平分线ＰＱ，ＰＱ所在的直线即为所求； 乙：在直线ｌ上取Ａ，Ｂ两点（点Ｂ在点Ａ的右侧），分 别以点Ｐ为圆心，ＡＢ长为半径；再以点Ｂ为圆心，ＰＡ长 为半径画弧，两弧相交于点Ｑ（点Ｑ和点Ａ在直线ＰＢ的 两侧），ＰＱ所在的直线即为所求． 对于以上两个方案，判断正确的是 （　　） Ａ．甲、乙均正确 Ｂ．甲错误、乙正确 Ｃ．甲正确、乙错误 Ｄ．甲、乙均错误 解：甲所画如图３－①所示，ＰＡ＝ＰＢ，所以∠ＰＡＢ ＝∠ＰＢＡ．因为ＰＱ平分∠ＣＰＢ，所以∠ＣＰＱ＝∠ＢＰＱ． 所以∠ＣＰＢ＝∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ＝∠ＣＰＱ＋∠ＢＰＱ．所以 ∠ＰＢＡ＝∠ＢＰＱ．所以ＰＱ∥直线ｌ． 所以甲正确． 乙所画如图３－②所示，ＰＡ＝ＢＱ，ＰＱ＝ＡＢ，所以四 边形ＡＢＱＰ是平行四边形．所以ＰＱ∥直线ｌ． 所以乙正确． 故选Ａ． 方法三、对角线互相平分的四边形是平行四边形 例３　如图３，已知在四边 形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，点Ｅ为ＣＤ 边的中点，连结 ＢＥ并延长，与 ＡＤ的延长线交于点Ｆ，连结ＣＦ， ＢＤ．求证：四边形 ＤＢＣＦ为平行 四边形． 证明：因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＥ＝∠ＤＦＥ，∠ＢＣＥ ＝∠ＦＤＥ．因为 Ｅ是 ＣＤ的中点，所以 ＣＥ＝ＤＥ．在 △ＢＥＣ和 △ＦＥＤ中，因为 ∠ＣＢＥ＝∠ＤＦＥ，∠ＢＣＥ＝ ∠ＦＤＥ，ＣＥ＝ＤＥ，所以 △ＢＥＣ≌ △ＦＥＤ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所 以ＢＥ＝ＦＥ．所以四边形ＤＢＣＦ为平行四边形． 方法四、一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 例 ４　 如图 ５，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，ＢＥ ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ，且 ＢＥ ＝ ＤＦ，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＢＤＣ．求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 证明：因为 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ．因为ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，所以∠ＡＥＢ ＝∠ＣＦＤ＝９０°．在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中，因为∠ＢＡＥ＝ ∠ＤＣＦ，∠ＡＥＢ ＝∠ＣＦＤ，ＢＥ ＝ＤＦ，所以 △ＡＢＥ≌ △ＣＤＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＡＢ＝ＣＤ．所以四边形 ＡＢＣＤ是 平行四边形． 书 !"#$%&'()* +,-./01234 ， 5 26789:;<=> ， ? @ABC+D<EFG'H I ， JK=L ， $8M= ． !"#$ %&'() *+" , １　 N O １， 5 ＡＢＣＤP，? Q R S： ①∠１＋∠２＝１８０°，②∠２ ＋∠３＝１８０°，③∠３＋∠４ ＝１８０°，④∠２＋∠４ ＝ １８０° P ， TUVW+X （　　） Ａ．①②③　　　　　　Ｂ．②③④ Ｃ．①②④ Ｄ．①③④ "- ： Y Ｂ Z Ｃ Z Ｄ． ./ ： !"!#$%&'()*+,$(-.%& /$012*345"67 ． - ： L[∠１. ∠２\[]^，_` ∠１＋∠２＝ １８０°， a①VW； L[()* ＡＢＣＤ X&'()* ， _` ＡＤ∥ＢＣ，_ `∠２＋∠３＝１８０°，a②VW； L[ ＡＢ∥ＣＤ，_`∠３＋∠４＝１８０°，∠２＝∠４， a③VW，④=>． aY Ａ． !"#0 12345+" , ２　 bc ＡＢＣＤP+ ∠Ａ＝６８°，d ∠Ｃ＝ ． "- ： e １１２°． .- ： !"!#896:; ， <=> ∠Ａ? ∠Ｃ@ >A0 ． - ： L[()* ＡＢＣＤ X&'()* ， f ∠Ａ＝ ６８°， _`∠Ｃ＝∠Ａ＝６８°． ae ６８°． !"#6 789" , ３　ＡＢＣＤ+Tg^+&Hhi%)Hjk[ ３ . ４ +lmH ， nＡＢＣＤ+ok． " - ： N O ２， 5 ＡＢＣＤP，L[ＡＢ∥ＣＤ， _`∠１＝∠３． L[ ＤＥ X∠ＡＤＣ+& Hh ， _`∠１＝∠２． _`∠２＝∠３．_`ＡＤ＝ＡＥ＝３． p6q ， c ＡＢ＝７． _`ＡＢＣＤ+ok[２０． ./ ： !"BCDE96FGHIJK" ， L9M “ NO0*0%-PQ$(-RS> ３ / ４ *+T- ” UV-+WXYZ[ ． - ： NO ２， 5ＡＢＣＤP，L[ＡＢ∥ＣＤ，_`∠１ ＝∠３．L[ＤＥX∠ＡＤＣ+&Hh，_`∠１＝∠２．_ `∠２＝∠３．_`ＡＤ＝ＡＥ． ①rＡＥ＝３7，ＢＥ＝４，dＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝３＋ ４＝７，ＡＤ＝３， aＡＢＣＤ+ok[：２×（３＋７）＝２０． ②rＡＥ＝４7，ＢＥ＝３，dＡＢ＝ＡＥ＋ＢＥ＝４＋ ３＝７，ＡＤ＝４， aＡＢＣＤ+ok[：２×（４＋７）＝２２． st_u ，ＡＢＣＤ+ok[２０Z２２． ! " # $ ! ! ! " # $ $ ! " # % ! " " ! # 书 折叠问题是轴对称性质的应用，同时考查空间想象 能力，此类问题可以涵盖三角形的全等、等腰三角形、平 行线等众多知识．下面我们就一起学习折叠型问题在平 行四边形中的应用． 一、求角的度数 例１　如图１，将 ＡＢＣＤ沿 对角线ＢＤ折叠，使点Ａ落在点Ｅ 处．若 ∠１＝５６°，∠２＝４２°，则 ∠Ａ的度数为 （　　） Ａ．１０８°　　　Ｂ．１０９° Ｃ．１１０° Ｄ．１１１° 分析：根据平行四边形的性质得出 ＡＢ∥ ＣＤ，从而 得到∠ＡＢＥ＝∠１，根据折叠的性质得出 ∠ＡＢＤ的度 数，最后由三角形内角和定理得出∠Ａ的度数即可． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以∠ＡＢＥ＝∠１＝５６°．由折叠的性质，得∠ＡＢＤ ＝ １２∠ＡＢＥ＝２８°．因为∠２＝４２°，所以∠Ａ＝１８０°－ ∠２－∠ＡＢＤ＝１１０°．故选Ｃ． 二、求线段的长度 例２　如图２，将ＡＢＣＤ进 行折叠，折叠后 ＡＤ恰好经过点 Ｃ得到ＡＤ′．若∠ＢＡＣ＝９０°，ＤＥ ＝５，ＣＥ＝４，则线段ＡＣ的长度 为 ． 分析：由平行四边形的性质可得 ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，进而求得∠ＥＣＤ′的度数，由折叠的性质 得到Ｄ′Ｅ＝ＤＥ，ＡＤ＝ＡＤ′，由勾股定理可求ＣＤ′的长，运 用方程思想即可得解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ＝ ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＥ＋ＣＥ＝９，ＡＢ∥ＣＤ．所以∠ＡＣＤ＝ ∠ＢＡＣ＝９０°．所以∠ＥＣＤ′＝１８０°－∠ＡＣＤ＝９０°．根据 折叠的性质，得Ｄ′Ｅ＝ＤＥ＝５，ＡＤ′＝ＡＤ．所以 ＣＤ′＝ Ｄ′Ｅ２－ＣＥ槡 ２ ＝３．所以ＢＣ＝ＡＤ′＝ＡＣ＋ＣＤ′＝ＡＣ＋ ３．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得 ＢＣ２ ＝ＡＢ２＋ＡＣ２，即 （ＡＣ＋３）２ ＝９２＋ＡＣ２．解得ＡＣ＝１２．故填１２． 三、证明三角形全等 例３　如图３，将ＡＢＣＤ沿对 角线ＢＤ翻折，点Ａ落在点Ｅ处，ＢＥ 交 ＣＤ于点 Ｆ．求证：△ＢＣＦ≌ △ＤＥＦ． 分析：由折叠的性质，得∠Ｅ＝ ∠Ａ，ＤＥ＝ＤＡ，根据平行四边形的 性质，得∠Ｃ＝∠Ａ，ＢＣ＝ＤＡ，根据“Ａ．Ａ．Ｓ．”即可得解． 证明：由折叠的性质，得∠Ｅ＝∠Ａ，ＤＥ＝ＤＡ．因为 四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ｃ＝∠Ａ，ＢＣ＝ＤＡ． 所以∠Ｃ＝∠Ｅ，ＢＣ＝ＤＥ．由对顶角相等，得∠ＢＦＣ＝ ∠ＤＦＥ．在 △ＢＣＦ和 △ＤＥＦ中，因为 ∠ＢＦＣ＝∠ＤＦＥ， ∠Ｃ＝∠Ｅ，ＢＣ＝ＤＥ，所以△ＢＣＦ≌△ＤＥＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）． ! !" # $ ! " # $ % ! ! ! " # $ & % ! " ! " # $ & % ! # ! %& ' ( # & % $ ! " ! $ 书 （上接４版参考答案） 上期３，４版 一、１．Ｂ；　２．Ａ； ３．Ｃ；　４．Ｂ；　５．Ｄ； ６．Ａ；　７．Ｄ；　８．Ｄ； ９．Ａ；　１０．Ｃ； １１．Ｂ；　１２．Ｃ． 二、１３．３；　１４．２； １５．１∶５；　１６．－９． 三、１７．（１） ３ｘ－ｙ． （２）无解． １８．设这款电动汽车 平均每公里的充电费为 ｘ元． 根据题意，得 ２００ ｘ ＝ ２００ ｘ＋０．６×４． 解得ｘ＝０．２． 经检验，ｘ＝０．２是原 分式方程的解，且符合题 意． 答：这款电动汽车平 均每 公 里 的 充 电 费 为 ０．２元． １９．（１）由图象，得该 反比例函数过点（２，５００）， 在第一象限，所以 ｋ＝２× ５００＝１０００．所以该反比 例函数的表达式为 ｐ＝ １０００ Ｓ （Ｓ＞０）． （２）当ｐ＝８０００Ｐａ时， ８０００＝１０００Ｓ ．解得 Ｓ＝ ０．１２５．由图象可知，ｐ随 Ｓ 的增大而减小．所以当ｐ≤ ８０００Ｐａ时，Ｓ≥０．１２５ｍ２． 答：选用的木板面积 至少要０．１２５ｍ２． ２０．（１）一元一次方程 ３－２（１－ｘ）＝４ｘ与分式方 程 ２ｘ＋１ ２ｘ－１－１＝ ４ ４ｘ２－１ 不 是“相似方程”．理由如下： 解３－２（１－ｘ）＝４ｘ， 得ｘ＝ １２．解 ２ｘ＋１ ２ｘ－１－１＝ ４ ４ｘ２－１ ，得 ｘ＝ １２．检验： 当ｘ＝ １２时，（２ｘ＋１）（２ｘ －１）＝０．所以原分式方程 无解．所以一元一次方程３ －２（１－ｘ）＝４ｘ与分式方 程 ２ｘ＋１ ２ｘ－１－１＝ ４ ４ｘ２－１ 不 是“相似方程”． （２）由题意，得两个方 程有相同的整数解，所以 ｍｘ＋６＝ｘ＋４ｍ．化简，得 （ｍ－１）ｘ＝４ｍ－６．当ｍ－ １＝０时，方程无解；当ｍ－ １≠０，即 ｍ≠１时，ｘ＝ （下转２，３版中缝） 书 上期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０１１１２ 答案 Ｄ Ａ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ 二、１３．－１；　１４．＜；　１５．ａ＜２２且ａ≠－２； １６．－６． 三、１７．（１）－４．　（２）ｘ＝ ３５． １８．原式 ＝ ２ｘ－３．因为ｘ≠２且ｘ≠３，所以ｘ＝４． 当ｘ＝４时，原式 ＝２． １９．设 ｙ与 ｘ的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ．将（２０， ３６０）， （３０，６０） 代 入， 得 ２０ｋ＋ｂ＝３６０， ３０ｋ＋ｂ＝６０{ ．解 得 ｋ＝－３０， ｂ＝９６０{ ．所以 ｙ与 ｘ的函数表达式为 ｙ＝－３０ｘ＋ ９６０（０＜ｘ≤３２）．根据题意，得 －３０ｘ＋９６０＝３００．解得 ｘ＝２２． 答：每件商品的销售价格应定为２２元． ２０．（１）根据题意，得２ｍ－４＝０．解得ｍ＝２．所以 ３ｍ＋１＝７．所以点Ｐ的坐标为（０，７）． （２）根据题意，得３ｍ＋１＝－２．解得ｍ＝－１．所以 ２ｍ－４＝－６．所以点Ｐ的坐标为（－６，－２）． ２１．（１）设村民每天采摘茶叶ｘ吨，则志愿者服务队 每天采摘茶叶１．５ｘ吨． 根据题意，得 ４ ｘ＋ ２４－４ ｘ＋１．５ｘ＝１５．解得ｘ＝０．８． 经检验，ｘ＝０．８是原分式方程的解，且符合题意． 答：村民每天采摘茶叶０．８吨． （２）原计划村民完成采摘需要的天数为：２４０．８＝３０， 所需劳务费为：２０００×３０＝６００００（元）． 志愿者服务队工作的天数为： ２４－４ ０．８＋０．８×１．５＝ １０，村民工作了１５天，所以实际花费为：２０００×１５＋５００ ×１０＝３５０００（元）． ６００００－３５０００＝２５０００（元）． 答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省 ２５０００元． ２２．（１）将Ａ（ｍ，２）代入ｙ＝ｘ＋１，得ｍ＋１＝２．解 得ｍ＝１．所以Ａ（１，２）．把Ａ（１，２）代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝ ２．所以反比例函数的表达式为ｙ＝ ２ｘ． （２）解 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝ ２ｘ { ， 得 ｘ＝－２，ｙ＝－１{ ．所以Ｂ（－２，－１）． 观察图象，得关于ｘ的不等式ｘ＋１＞ｋｘ的解集是－２＜ ｘ＜０或ｘ＞１． （３）记ｙ＝ｘ＋１交ｙ轴于点Ｃ，则Ｃ（０，１）．所以ＯＣ ＝１．所以Ｓ△ＡＯＢ ＝Ｓ△ＡＯＣ＋Ｓ△ＢＯＣ ＝ １ ２ＯＣ·（ｘＡ－ｘＢ）＝ ３ ２．因为 △ＡＯＢ的面积是 △ＡＯＰ面积的一半，所以 Ｓ△ＡＯＰ ＝３．所以 １ ２｜ＯＰ｜·ｙＡ ＝３，即 １ ２｜ＯＰ｜×２＝３． 解得｜ＯＰ｜＝３．所以点Ｐ的坐标为（－３，０）或（３，０）． （下转１，４版中缝） " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" !%&! )*+,-./0 12345 !"#$%&'()*+,-. &'()*/)0/12/13+45! 678956789:&'()*+45"; <=>?@A2BC+DEA! !%&" )*+,-.:; 123<5 !"#$%:)2/13FGH &'()*+IJ! 67895 $%&'()*+GHH!K4 5H!+78L:" """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! ! # % " $ ! & ' ( ! " ! " ' ) ! ! " # ' ) ! ! # ( ( ! " # $ & * % ! ' ! += >?= ! " # $ % $! ! " ! " # $ ! " % ! ! ! " # $ & % ! # ! @ A B C D !"# "("'$#%!"& !"#$ ' " !" (' !!"#) % ! !"#$ EFG1HIJKLMNOP !" 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ｋ＝－３４， ｂ＝１２ { ． 所以直线ｌ２的 函 数 表 达 式 为 ｙ ＝ －３４ｘ＋１２． （２）①令ｙ＝０，则ｙ＝ ３ ４ｘ＋６＝０．解得ｘ＝－８． 所以Ｃ（－８，０）．因为点 Ｑ 的横坐标为ｍ，所以Ｍ（ｍ， －３４ｍ＋１２），Ｎ（ｍ， ３ ４ｍ＋ ６）．所以ＭＮ＝｜－３４ｍ＋ １２－（３４ｍ＋６）｜＝｜－ ３ ２ｍ ＋６｜． ②当点Ｎ是ＭＱ的中 点时，则 ＭＱ＝２ＮＱ．所以 －３４ｍ＋１２＝２（ ３ ４ｍ＋ ６）．解得ｍ＝０． 当点 Ｍ是 ＮＱ的中点 时，则 ＮＱ ＝２ＭＱ．所以 ３ ４ｍ＋６＝２（－ ３ ４ｍ＋ １２）．解得ｍ＝８． 不存在点 Ｑ是 ＭＮ中 点的情况． 综上所述，ｍ的值是０ 或８． （全文完） 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．如图１，直线ａ∥ｂ，则直线ａ，ｂ之间的距离是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＡＢ Ｂ．线段ＡＢ的长度 Ｃ．线段ＣＤ Ｄ．线段ＣＤ的长度 ２．如图２，要使四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，则ｘ的 值为 （　　） Ａ．９ Ｂ．１４ Ｃ．１８ Ｄ．无法确定 ３．如图３，Ｅ为ＡＢＣＤ外一点， 且 ＥＢ⊥ ＢＣ，ＥＤ⊥ ＣＤ．若 ∠Ｅ＝ ６５°，则∠Ａ的度数为 （　　） Ａ．６５° Ｂ．１００° Ｃ．１１５° Ｄ．１３５° ４．已知四边形 ＡＢＣＤ中 ∠Ａ， ∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，能判定四边形 ＡＢＣＤ是平行 四边形的是 （　　） Ａ．１∶２∶３∶４ Ｂ．１∶２∶２∶１ Ｃ．２∶２∶３∶４ Ｄ．２∶３∶２∶３ ５．如图４，ＡＢＣＤ纸片中，∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝４，ＢＣ ＝５，剪掉两个角后，得到图形 ＡＥＦＣＧＨ．已知 ∠ＥＦＣ＝ ∠ＡＨＧ＝１２０°，且ＥＦ＝１，ＨＧ＝２，则这个图形的周长为 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１５ Ｃ．１６ Ｄ．１８ ６．某街区街道如图５所示，其中 ＣＥ垂直平分 ＡＦ， ＢＤ∥ＣＦ，ＢＣ∥ＤＦ．从Ｂ站到Ｅ站有两条公交线路；线 路１是Ｂ→Ｄ→Ａ→Ｅ，线路２是Ｂ→Ｃ→Ｆ→Ｅ，则两 条线路的长度关系为 （　　） Ａ．线路１较短 Ｂ．线路２较短 Ｃ．两条线路长度相等 Ｄ．两条线路长度无法确定 ７．如图６，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相 交于Ｏ，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＣ交ＡＤ于点Ｅ．若ＡＥ＝２，ＤＥ ＝１，ＡＢ＝槡５，则ＡＣ ２的值为 （　　） Ａ．８ Ｂ．２５２ Ｃ．３２ Ｄ．１８ ８．如图７，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝３，ＡＢ＝ ５，ＡＤ＝６．若点Ｍ是线段ＢＤ的中点，则ＣＭ的长是 （　　） Ａ．３２ Ｂ．２ Ｃ． ５ ２ Ｄ．３ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图 ８，将 ＡＢＣＤ的一边 ＢＣ延长至点 Ｅ．若 ∠ＤＣＥ＝６２°，则∠Ａ＝ ． １０．如图 ９，四边形 ＡＢＣＤ的对角线相交于点 Ｏ， ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ，请添加一个条件 ，使四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形（只填一种情况即可）． １１．如图１０，在 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ的平分线 ＢＥ与 ＡＤ交于点Ｅ，Ｆ为ＣＤ的中点，且ＥＦ平分∠ＢＥＤ．若ＡＢ ＝４，ＤＥ＝１，则ＢＥ＝ ． １２．如图１１，直线ｌ与ｘ轴、ｙ轴分别交于点Ａ（３，０）， Ｂ（０，６），已知Ｃ（－１，４），Ｄ（－３，４）．若点Ｐ是直线ｌ上的 动点，点Ｑ是ｙ轴上的动点，要使以Ｐ，Ｑ，Ｃ，Ｄ为顶点的 四边形是平行四边形，且线段ＣＤ为平行四边形的一边， 则满足条件的点Ｐ的坐标为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（１０分）如图１２，在 ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｏ，点Ｅ在ＣＡ的延长线上，点Ｆ在ＡＣ的延长线 上，且ＡＥ＝ＣＦ，点Ｇ，Ｈ均在线段ＢＤ上，且ＢＧ＝ＤＨ．求 证：四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １４．（１２分）如图１３，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ边上一 点，且ＡＢ＝ＡＥ．求证：△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ． １５．（１４分）如图１４，已知ＢＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 点Ｅ，Ｆ分别在边ＡＢ，ＢＣ上，且ＢＥ＝ＣＦ，ＥＤ∥ＢＣ． （１）求证：四边形ＥＦＣＤ是平行四边形； （２）若∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＤＢ＝１００°，求∠ＡＥＦ的度 数． １６．（１６分）如图１５，平行四边形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是 ＡＢ边上一点，ＣＥ＝ＡＢ，ＤＦ⊥ ＢＣ，交 ＣＥ于点 Ｇ，连结 ＤＥ，ＥＦ． （１）求证：∠ＡＥＤ＝９０°－１２∠ＤＣＥ； （２）若点Ｅ是ＡＢ边的中点，ＡＤ＝４，ＢＦ＝２，ＤＦ＝ ６，求∠ＤＥＦ的度数． （以下试题供各地根据实际情况选用） １．（８分）如图１，在平行四边形ＡＢＣＤ中，将△ＡＤＣ 沿ＡＣ折叠后，点Ｄ恰好落在ＤＣ延长线上的点Ｅ处．若 ∠ＡＣＢ＝３０°，ＡＢ＝４，求△ＡＤＥ的周长． ２．（１２分）如图２，已知ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＡＥＢ ＝∠ＣＡＤ，ＣＤ⊥ＣＥ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形； （２）若ＡＤ＝ＣＤ＝３，ＡＣ＝４，求ＣＦ的长                                                                                                                                                                 ． 书 １８．１平行四边形的性质 １．已知平行四边形ＡＢＣＤ有三边长为５，８，８，则第 四边长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５ Ｂ．７ Ｃ．２ Ｄ．１０ ２．在ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝５０°，则∠Ｄ的度数是 （　　） Ａ．６５° Ｂ．５５° Ｃ．５０° Ｄ．４０° ３．如图１，若ＡＢＣＯ的顶点Ｏ，Ａ，Ｃ的坐标分别是 （０，０），（５，０），（２，３），则点Ｂ的坐标是 （　　） Ａ．（３，７） Ｂ．（５，３） Ｃ．（７，３） Ｄ．（８，２） ４．如图２，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，线段ＥＦ经过点Ｏ，ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ．若ＡＨ＝２，ＢＣ＝ ３，则图中阴影部分的面积是 ． ５．如图３，在ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，ＡＥ⊥ ＢＣ，ＡＦ ⊥ＣＤ，垂足分别为点Ｅ，Ｆ，求∠ＥＡＦ的度数． ６．如图４，在ＡＢＣＤ中，∠ＢＣＤ＝１２０°，分别以ＢＣ 和ＣＤ为边作等边△ＢＣＥ和等边△ＣＤＦ，连结ＡＥ，ＡＦ． 求证：ＡＥ＝ＡＦ． ７．如图５，在ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，过点 Ｏ 作ＯＥ⊥ＢＤ交ＢＣ于点Ｅ，连结ＤＥ．若∠ＣＤＥ＝∠ＣＢＤ ＝１５°，求∠ＡＢＣ的度数． ８．如图６，ＡＢ∥ＤＣ，ＥＤ∥ＢＣ， ＡＥ∥ＢＤ，那么图中和△ＡＢＤ面积 相等的三角形（不包括△ＡＢＤ）有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 １８．２平行四边形的判定 １．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只 要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以 了，依据是：两条铁轨和夹在铁轨之间的两根枕木构成 一个平行四边形，即可得到两条铁轨平行．判定铁轨和 枕木构成平行四边形的依据是 （　　） Ａ．平行线之间的距离处处相等 Ｂ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 Ｃ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｄ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ２．如图１是由４个全等的正三角形拼成的，则图中 平行四边形有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１个 ３．如图２，在ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＣＤ，ＢＣ的 延长线上，ＡＥ∥ＢＤ，ＥＦ⊥ＢＦ，ＣＦ＝槡７，ＥＦ＝３，则ＡＢ 的长是 （　　） Ａ．２３ Ｂ．１ Ｃ．３２ Ｄ．２ ４．在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝６０°，∠Ｂ＝∠Ｄ ＝１２０°，则四边形ＡＢＣＤ 平行四边形（填“是” 或“不是”）． ５．已知四边形 ＡＢＣＤ的四条边顺次为 ａ，ｂ，ｃ，ｄ，且 ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ ＝２ａｃ＋２ｂｄ．求证：四边形ＡＢＣＤ是平 行四边形． ６．如图３，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ与 ＢＤ相交于点 Ｏ，且ＡＯ＝ＣＯ，点Ｅ在ＢＤ上，满足∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ．求 证：四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． ７．如图４，ＣＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ是ＣＤ上的一点， 连结ＡＥ并延长至点Ｆ，使得ＥＦ＝ＡＥ，连结ＢＦ，ＣＦ．若 ＣＦ∥ＡＢ，求证：四边形ＤＢＦＣ是平行四边形． ８．如图５，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， ＤＥ∥ＡＣ，ＡＥ∥ＢＤ．不添加辅助线，请写出图中其他的 平行四边形，并说明理由． ９．如图６，等边三角形 ＡＢＣ是 一块周长为１２的草坪，点Ｐ是草坪 内的任意一点，过点 Ｐ有三条小路 ＰＤ，ＰＥ，ＰＦ，且满足ＰＤ∥ＡＣ，ＰＥ∥ ＡＢ，ＰＦ∥ＢＣ，则三条小路的总长度 为 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! !" ! #$%"& '()*+, !"-. !" ! #$%"& '()*+, !"-. 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