第42期《四边形》章节检测卷-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 答案详解 　　　 ２０２４～２０２５学年　初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期　（２０２５年４月）　　　 ４０期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（菱形） １９．３．２．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２０；　４．７０°． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又因为ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（ＳＡＳ）．所以ＡＰ ＝ＣＰ． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为 ＡＥ＝ＡＢ，所以 ＡＥ＝ＡＤ．所以 ∠Ｅ＝ ∠ＡＤＥ．所以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＢＤＥ＝∠ＡＤＢ ＋∠ＡＤＥ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＯＣ＝ＯＡ＝ １２ＤＥ＝３ｃｍ． ８．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＨ， 所以ＤＨ＝ＡＣ·ＢＤ２ＡＢ ＝ ２４ ５ｃｍ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＡＨ＝ ２∠ＯＡＢ．所以ＯＨ＝ＯＢ．所以∠ＯＨＢ＝∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．因为∠ＯＡＢ＝９０°－∠ＯＢＨ，所以 ∠ＤＡＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． 能力提高　９．槡１７． １９．３．２．２菱形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ； ３．答案不惟一，如ＡＢ＝ＡＣ； ４．（２，槡２２）或（２，－ 槡２２）． ５．在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＣ中， ＡＢ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＣ， ＢＣ＝ＤＣ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＣ（ＳＳＳ）．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以 ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． ６．（１）因为 ＡＥ∥ ＣＦ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ＝ ∠ＣＦＤ．因为ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以四边形 ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＢＤ⊥ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是菱 形． （２）因为四边形 ＡＥＣＦ是菱形，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝２．在 Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２＋（２＋ ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 能力提高　７．（１）能．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＰＢＥ＝∠ＡＤＢ＝３０°，ＢＣ⊥ ＣＤ．根据题意，得ＢＰ＝２ｔ，ＤＱ＝ｔ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＰＥ∥ ＣＤ，∠ＢＥＰ＝９０°．所以 ＰＥ＝ １２ＢＰ＝ｔ＝ＤＱ．所以四边形 ＰＥＱＤ是平行四边形．因为ＡＢ＝４，所以ＢＤ＝８．所以ＤＰ＝８ －２ｔ．当ＤＰ＝ＰＥ时，四边形ＰＥＱＤ为菱形．所以８－２ｔ＝ｔ．解 得ｔ＝ ８３． （２）①当∠ＥＰＱ＝９０°时，四边形ＥＰＱＣ为矩形，所以ＰＥ ＝ＱＣ，所以ｔ＝４－ｔ，解得ｔ＝２； ②当∠ＰＱＥ＝９０°时，由（１），得ＰＤ∥ＥＱ，所以∠ＤＰＱ＝ ∠ＰＱＥ＝９０°，在Ｒｔ△ＤＰＱ中，∠ＰＱＤ＝３０°，所以ＤＱ＝２ＤＰ， 所以ｔ＝２（８－２ｔ），解得ｔ＝１６５； ③不存在∠ＰＥＱ＝９０°的情况． 综上所述，当ｔ＝２或１６５时，△ＰＱＥ为直角三角形． ４０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．６０°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ； １１．２４；　１２．１６                                                        ． —１— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＢＣＦＥ是平行四边形， ∠ＥＭＢ＝∠ＣＢＤ．所以ＢＥ＝ＣＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以ＢＥ＝ ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １４．因为∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ，所以∠ＢＡＦ－∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ －∠ＥＡＦ，即∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以 ∠Ｂ ＝∠Ｄ．又因为 ＢＥ ＝ＤＦ，所以 △ＡＢＥ≌ △ＡＤＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １５．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＡＢ＝２ＡＥ＝２ＢＥ．因 为ＡＢ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ．因为ＡＥ∥ＣＤ，所以四边形ＡＥＣＤ 是平行四边形．因为ＡＣ平分∠ＤＡＢ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＣ．因 为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＤＣＡ＝∠ＣＡＢ．所以∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝∠Ｄ＝１２０°．所以ＣＥ＝ＢＥ， ∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝６０°．所以∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ＝３０°， △ＣＥＢ是等边三角形．所以ＢＣ＝２，∠ＥＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＢ ＝∠ＡＣＥ ＋∠ＥＣＢ ＝９０°．根据勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ 槡２３． １６．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＡＣ⊥ＥＦ，所以 四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝ＯＤ＝４．因为ＢＥ ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＥ２＝ＯＡ２ ＋ＯＥ２ ＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０．所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２．所 以△ＡＤＥ是直角三角形． １７．（１）连接ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＤ＝１８０°－ ∠Ｂ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以 ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°，所以∠ＦＥＣ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以∠ＦＥＣ＝∠ＣＦＥ．所以ＥＣ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝１２ＢＣ， 所以ＣＦ＝ １２ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． （２）连接ＡＣ，图略．由（１），得△ＡＢＣ是等边三角形．所以 ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以 ∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＤ－ ∠ＡＣＢ＝６０°＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ ＝∠ＥＡＦ－∠ＥＡＣ，即 ∠ＢＡＥ ＝∠ＣＡＦ．所以 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ（ＡＳＡ）．所以ＡＥ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边三角形．所以 ∠ＡＥＦ＝６０°．因为 ∠ＡＥＦ＋∠ＦＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ，所以 ∠ＦＥＣ＝２０°． 附加题　（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，所以ＦＤ ＝ＥＤ，ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ．因为ＥＧ∥ＡＦ，所以∠ＥＧＤ ＝∠ＦＤＧ．所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ．所以ＥＧ＝ＥＤ．所以ＦＤ＝ＥＤ ＝ＦＧ＝ＥＧ．所以四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２）连接ＦＣ，ＥＣ，图略．因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋ ∠Ｂ＝１８０°．所以ＡＦ∥ ＣＢ．因为 ＡＦ＝ＢＣ＝８，所以四边形 ＡＢＣＦ是平行四边形．所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０．根据轴对称的性质， 得ＣＥ＝ＣＦ＝１０．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＣＥ２－ＢＣ槡 ２ ＝６． 所以ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，根据勾股定理，得ＡＥ２ ＋ＡＤ２ ＝ＤＥ２，即４２＋（８－ＤＦ）２ ＝ＤＦ２．解得 ＤＦ＝５．所以 Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ·ＡＥ＝２０． ４１期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（正方形） １９．３．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为点 Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ ＣＤ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为ＡＥ平 分∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股 定理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＡ＝∠ＥＧＣ ＝９０°．因为ＡＥ平分∠ＣＡＤ，所以ＥＤ＝ＥＧ．因为ＡＥ＝ＡＥ，所 以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＧＥ（ＨＬ）．所以ＡＤ＝ＡＧ＝１．所以ＣＧ＝ ＡＣ－ＡＧ＝槡２－１．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＣＤ＝ ４５°．所以∠ＣＥＧ＝９０°－∠ＧＣＥ＝４５°．所以ＥＧ＝ＣＧ＝槡２－ １．由勾股定理，得ＣＥ＝ ＥＧ２＋ＣＧ槡 ２ ＝２－槡２． 能力提高　６．槡４２． ７．连接 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．所以△ＡＤＥ≌△ＡＢＦ（ＳＡＳ）．所以ＤＥ＝ＢＦ＝２，∠                                                                      ＡＥＤ —２— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 ＝∠ＡＦＢ＝４５°．所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ＝９０°．根据勾 股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １９．３．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＥ ⊥ＥＦ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°．因为 ∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠ＣＥＢ＋ ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．因为 ＡＢ＝ＣＢ，ＢＤ＝ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＤＢ ＝∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． ７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形．所以 ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，所以 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ． 所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ４１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ 二、９．槡６；　１０．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ； １１． 槡１５２；　１２．８． 三、１３．∠ＥＤＡ的度数是２２．５°． １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以 ∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．因为ＡＦ＝ＤＥ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ 是正方形． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为 ＡＢ＝ＡＤ＝４，所以 ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ 槡４２＝ＡＣ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ 槡２２．因为ＡＥ＝ ＣＦ＝槡２，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ＯＦ＝槡２．所以四 边形ＢＥＤＦ为菱形，ＤＥ＝ ＯＤ２＋ＯＥ槡 ２ ＝槡１０．所以四边形 ＢＥＤＦ的周长为：４ＤＥ＝ 槡４ １０． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和ＣＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ．所 以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ＋ ∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连接ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ＝槡１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得 ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝ ４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形 ＥＦＧＨ为菱形， 所以∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＨＥ＝ＧＨ．因为ＡＨ＝ＤＧ，所以Ｒｔ△ＡＨＥ ≌Ｒｔ△ＤＧＨ（ＨＬ）．所以∠ＡＥＨ＝∠ＤＨＧ．因为∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ ＝９０°，所以∠ＡＨＥ＋∠ＤＨＧ＝９０°．所以∠ＥＨＧ＝９０°．所以四 边形ＥＦＧＨ为正方形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ－ ＡＨ＝４，ＣＧ ＝ＤＣ－ＤＧ ＝５．由勾股定理，得 ＨＧ ＝ ＤＧ２＋ＤＨ槡 ２ ＝ 槡２５．因为四边形ＥＦＧＨ是正方形，所以ＦＧ＝ 槡２５，∠ＥＦＧ＝９０°．所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°．由勾股 定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５． 附加题　（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ＝ ９０°．所以 ∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°．所以平行四边形 ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略．因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边 形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ．所以ＤＣ∥ＧＦ． 所以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ．因为Ｐ是线段ＤＦ的 中点，所以ＤＰ＝ＦＰ．所以△ＤＨＰ≌△ＦＧＰ（ＡＡＳ）．所以ＨＰ＝ ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ．当∠ＣＰＧ＝９０°时，ＰＧ⊥ＰＣ．所以ＣＨ＝ＣＧ．所 以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ＝ＢＧ．所以ＢＧ＝ＦＧ．                                                                      所以平行 —３— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 四边形ＢＥＦＧ是菱形．由（１）知四边形ＢＥＦＧ是矩形．所以四边 形ＢＥＦＧ是正方形． ４２期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ 二、１１．２０；　１２．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ；　１３．３０°； １４．４５°；　１５．槡２２或槡１０或２． 三、１６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ａ＝∠Ｃ， ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．又因为 ∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ，所以 △ＡＤＥ≌ △ＣＢＦ（ＡＳＡ）．所以 ＡＥ＝ＣＦ．所以 ＡＢ－ＡＥ＝ＣＤ－ＣＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ． １７．因为ＣＥ⊥ＢＡ，ＢＦ⊥ＣＡ，所以∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＢ＝９０°． 因为Ｍ是ＢＣ的中点，所以ＥＭ＝１２ＢＣ＝ＢＭ，ＦＭ＝ １ ２ＢＣ＝ ＣＭ．所以∠ＢＥＭ ＝∠ＡＢＣ，∠ＣＦＭ ＝∠ＡＣＢ．所以 ∠ＣＭＥ＝ ∠ＢＥＭ＋∠ＡＢＣ＝５６°，∠ＢＭＦ＝∠ＣＦＭ＋∠ＡＣＢ＝９６°．所以 ∠ＥＭＦ＝１８０°－∠ＣＭＥ－∠ＢＭＦ＝２８°． １８．四边形ＡＤＣＢ是菱形．理由如下： 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＯ．又因为ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，所以△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ．所以ＡＢ＝ＣＤ．所以四 边形ＡＤＣＢ是平行四边形．因为四边形 ＯＤＥＣ是矩形，所以 ∠ＣＯＤ＝９０°．所以ＢＤ⊥ＡＣ．所以四边形ＡＤＣＢ是菱形． １９．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＤ＝ＣＤ，∠ＤＡＥ＝ ∠ＤＣＦ．因为ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°． 所以△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）． （２）因为 △ＡＤＥ≌ △ＣＤＦ，所以 ＡＥ＝ＣＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ．所以 ∠ＭＡＥ＝∠ＮＣＦ．又因为 ∠ＡＥＭ＝∠ＣＦＮ＝９０°，所以△ＡＭＥ≌△ＣＮＦ（ＡＳＡ）．所以ＡＭ ＝ＣＮ． ２０．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°， ＡＢ＝ＣＤ．因为ＡＤ＝２ＡＢ，点Ｍ是ＡＤ的中点，所以ＡＢ＝ＡＭ＝ ＤＭ ＝ＣＤ．所以∠ＡＭＢ＝∠ＤＭＣ＝４５°．所以∠ＢＭＣ＝１８０° －∠ＡＭＢ－∠ＤＭＣ＝９０°．因为 ＰＥ⊥ ＭＣ，ＰＦ⊥ ＢＭ，所以 ∠ＰＥＭ ＝∠ＰＦＭ ＝９０°．所以四边形ＰＥＭＦ为矩形． （２）当点Ｐ为ＢＣ的中点时，矩形ＰＥＭＦ变为正方形．理由 如下： 在△ＡＢＭ和△ＤＣＭ中，因为ＡＢ＝ＤＣ，∠Ａ＝∠Ｄ，ＡＭ＝ ＤＭ，所以△ＡＢＭ≌△ＤＣＭ（ＳＡＳ）．所以ＢＭ＝ＣＭ．因为点Ｐ为 ＢＣ的中点，所以点Ｐ在∠ＢＭＣ的平分线上．所以ＰＥ＝ＰＦ．所 以矩形ＰＥＭＦ为正方形． ２１．问题解决：（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＤＡＢ ＝∠ＡＢＦ＝９０°．所以∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＧ＝９０°．因为ＤＥ⊥ＡＦ， 所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＧ＝９０°．所以∠ＡＤＥ＝ ∠ＢＡＦ．因为ＤＥ＝ＡＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＢＡＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＤ＝ ＢＡ．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． （２）△ＡＨＦ是等腰三角形．理由如下： 因为△ＡＤＥ≌△ＢＡＦ，所以ＡＥ＝ＢＦ．因为ＢＨ＝ＡＥ，所以 ＢＨ＝ＢＦ．因为∠ＡＢＦ＝９０°，所以ＡＢ⊥ＨＦ．所以ＡＨ＝ＡＦ，即 △ＡＨＦ是等腰三角形． 类比迁移：延长ＣＢ到点Ｈ，使ＢＨ＝ＡＥ，连接ＡＨ，图略．因 为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ．所以∠ＡＢＨ ＝∠ＤＡＥ．在 △ＤＡＥ和 △ＡＢＨ中，因为 ＡＥ＝ＢＨ，∠ＤＡＥ＝ ∠ＡＢＨ，ＡＤ＝ＢＡ，所以△ＤＡＥ≌△ＡＢＨ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＤＥ， ∠Ｈ＝∠ＤＥＡ＝６０°．因为ＤＥ＝ＡＦ，所以ＡＨ＝ＡＦ．所以△ＡＨＦ 是等边三角形．所以ＡＨ＝ＨＦ．所以ＤＥ＝ＨＦ＝ＢＨ＋ＢＦ＝９． ４３期２版 ２０．１数据的频数分布 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．０．２５；　５．１２． ６．（１）７０，０．１２．　（２）补图略． （３）２０００×（０．０８＋０．２）＝５６０（人）． 答：该校安全意识不强的学生约有５６０人． ２０．２．１数据的集中趋势 ２０．２．１．１平均数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．５；　４．１４． ５．（１）甲的最终得分是：１４×（９＋８＋７＋５）＝７．２５；乙的 最终得分是： １ ４×（８＋６＋８＋６）＝７；丙的最终得分是： １ ４× （８＋９＋８＋５）＝７．５．因为７＜７．２５＜７．５，所以丙将被录用． （２）学历、经验、能力和态度四项得分按４∶１∶１∶４的比例 确定．甲的最终得分是：（９×４＋８×１＋７×１＋５×４）÷（４＋ １＋１＋４）＝７．１；乙的最终得分是：（８×４＋６×１＋８×１＋６ ×４）÷（４＋１＋１＋４）＝７；丙的最终得分是：（８×４＋９×１＋ ８×１＋５×４）÷（４＋１＋１＋４）＝６．９．因为６．９＜７＜７．１， 所以甲将被录用． ２０．２．１．２中位数和众数 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．５；　５．６． ６．（１）表格从左到右、从上到下依次填入 ９０分、９０分、 １００分． （２）八年级２班的竞赛成绩更优秀．理由如下： 因为八年级１班和八年级２班竞赛成绩的中位数相同，                                                                      但 —４— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 从平均数和众数两方面来分析，２班比１班的成绩好，所以八年 级２班的竞赛成绩更优秀． 能力提高　７．１４６． ４３期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ 二、９．白色；　１０．２１元；　１１．１７；　１２．５． 三、１３．这１０名学生所在家庭平均月使用塑料袋：１１０×（６５ ＋７０＋８５＋７５＋８５＋７９＋７４＋９１＋８１＋９５）＝８０（只）．中位 数是８０只，众数是８５只． １４．（１）甲的最后成绩为：１３×（８４＋９６＋９０）＝９０（分）； 乙的最后成绩为： １ ３×（８９＋９９＋８５）＝９１（分）． 因为９１＞９０，所以乙将获得冠军． （２）甲的最后成绩为：（８４×２＋９６×３＋９０×５）÷（２＋３ ＋５）＝９０．６（分）； 乙的最后成绩为：（８９×２＋９９×３＋８５×５）÷（２＋３＋５） ＝９０（分）． 因为９０．６＞９０，所以甲将获得冠军． １５．（１）频数分布表从上到下依次填入５，７，４．补图略． （２）３６００×５２０＝９００（株）． 答：该大棚每株西红柿上小西红柿的个数在３６≤ ｘ＜４４ 的约有９００株． １６．（１）２０万元，１７万元，２２万元． （２）基本销售额应定为２２万元．理由如下： 本组数据的平均数、众数、中位数这三个量作为基本销售 额都具有合理性，其中中位数２２万元最大，选择中位数作为基 本销售额对公司最有利，付出成本最低；对员工来说，这只是个 中等水平，可以接受．所以基本销售额应定为２２万元． １７．（１）Ｃ等级的同学有５人，成绩（单位：分）分别为７７， ７３，７２，７９，７８．所以３月份体育测试成绩为Ｃ等级的同学的平均 成绩为： １ ５×（７７＋７３＋７２＋７９＋７８）＝７５．８（分）． （２）由表中数据可知，３０名同学中，Ａ等级的有１０人，Ｂ等 级的有１１人，Ｃ等级的有５人，Ｄ等级的有４人．所以强化训练 后该班同学平均成绩所提高的分数为： １ ３０×（０．９×１０＋５×１１ ＋１０×５＋１５×４）＝５．８（分）． 附加题　（１）当ｎ≥１６时，ｙ＝１６×（１０－５）＝８０；当０ ≤ｎ＜１６时，ｙ＝１０ｎ－１６×５＝１０ｎ－８０． 所以当日的利润ｙ关于当日需求量ｎ的函数表达式为ｙ＝ １０ｎ－８０（０≤ｎ＜１６）， ８０（ｎ≥１６）{ ． （２）①１７，１５． ②应购进１７枝．理由如下： 平均日需求量为： １ １００×（１４×１０＋１５×２０＋１６×１６＋１７ ×１６＋１８×１５＋１９×１３＋２０×１０）＝１６．８５（枝）． 若购进１６枝，由（１）知盈利８０元； 若购进１７枝，则盈利为：１０×１７－８０＝９０（元）． 因为８０＜９０，所以应购进１７枝． ４４期２版 ２０．２．２数据的离散程度 基础训练　 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．２； ６．３．６；　７．８７． ８．该班应选择甲参加学校的展示活动．理由如下： 甲的平均成绩为： １ ６×（１２．１＋１２．１＋１２．０＋１１．９＋１１．８ ＋１２．１）＝１２，方差为：１６×［３×（１２．１－１２） ２＋（１２．０－１２）２ ＋（１１．９－１２）２＋（１１．８－１２）２］＝ １７５； 乙的平均成绩为： １ ６×（１２．２＋１２．０＋１１．８＋１２．０＋１２．３ ＋１１．７）＝１２，方差为：１６×［（１２．２－１２） ２＋２×（１２．０－１２）２ ＋（１１．８－１２）２＋（１２．３－１２）２＋（１１．７－１２）２］＝１３３００． 因为１２＝１２，１７５＜ １３ ３００， 所以该班应该选择甲参加学校的展示活动． 能力提高　９．Ａ；　１０．１或６． １１．（１）表格从左到右、从上到下依次填入８５，８５，８０． （２）初中代表队与高中代表队选手决赛成绩的平均数相 同，初中代表队选手决赛成绩的中位数高，故初中代表队的决 赛成绩较好． （３）初中代表队选手决赛成绩的方差为：１５ ×［（７５－ ８５）２＋（８０－８５）２＋２×（８５－８５）２＋（１００－８５）２］＝７０； 高中代表队选手决赛成绩的方差为： １ ５ ×［（７０－８５） ２＋ （７５－８５）２＋（８０－８５）２＋２×（１００－８５）２］＝１６０． 因为７０＜１６０，所以初中代表队选手的成绩较为稳定                                                                      ． —５— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１１．乙；　１２．５８；　１３．９；　１４．６； １５．１９５或４或 ２１ ５． 三、１６．甲的平均成绩为：８５×７＋９０×３７＋３ ＝８６．５（分）； 乙的平均成绩为： ９２×７＋８２×３ ７＋３ ＝８９（分）． 因为８６．５＜８９，所以乙将被录取． １７．（１）１１，７９，７８．８． （２）１１＋４＝１５（人）．１５＜１８，人数不超． ７９×１１＋５２．３×４＝１０７８．２（ｋｇ）＜１１００ｋｇ，总重不超． 所以这队运动员和这４位女士能一起安全地搭乘这部电 梯． １８．何亮的成绩更稳定．理由如下： 赵明在训练中排球垫球个数的平均数为： １ ５×（２５＋２３＋ ２７＋２９＋２１）＝２５，方差为：１５×［（２５－２５） ２＋（２３－２５）２＋ （２７－２５）２＋（２９－２５）２＋（２１－２５）２］＝８； 何亮在训练中排球垫球个数的平均数为： １ ５×（２４＋２５＋ ２３＋２６＋２７）＝２５，方差为：１５×［（２４－２５） ２＋（２５－２５）２＋ （２３－２５）２＋（２６－２５）２＋（２７－２５）２］＝２． 因为２５＝２５，８＞２，所以何亮的成绩更稳定． １９．（１）８，７２． （２）小明的说法错误．理由如下： 本次调查中平均每周家务劳动时长的中位数是３．５ｈ． 因为小明平均每周家务劳动时长是３．６ｈ，比中位数大，所 以他做家务劳动的时长超过一半的人． （３）本次调查中，获奖的学生有：５０－５－８－１５＝ ２２（名）． １５００×２２５０＝６６０（名） 答：获奖的学生约有６６０名． ２０．（１）ａ＝６，ｂ＝４．７，ｃ＝４．７５． （２）若选择众数４．７ｋｇ，这３００箱大枣共损坏了：３００×（５ －４．７）＝９０（千克）； 若选择平均数或中位数４．７５ｋｇ，这３００箱大枣共损坏了： ３００×（５－４．７５）＝７５（千克）． （３）若选择众数，１０×５×３００÷（３００×５－９０）≈ １０．６４（元），所以至少定价１０．７元才不亏本； 若选择平均数或中位数，１０×５×３００÷（３００×５－７５）≈ １０．５３（元），所以至少定价１０．６元才不亏本． ２１．（１）１４４．乙车间４月份工资为５千元的有：１０－５－２－ １＝２（名）．补图略． （２）由扇形统计图，得甲车间员工工资为４千元、５千元、 ６千元、７千元、８千元的员工分别有１名、２名、４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平均工资为： １ １０×（４×１＋５×２＋６× ４＋７×２＋８×１）＝６（千元）， 方差为： １ １０×［（４－６） ２＋２×（５－６）２＋４×（６－６）２＋ ２×（７－６）２＋（８－６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６， 所以甲车间员工的工资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工工资的中位数为：６＋６２ ＝６（千元）． 因为甲车间员工工资低于６千元的有３名，不低于６千元的有 ７名，所以新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 以ｎ的最小值为：７－３＝４．所以当这４名员工工资低于６千元， 且是较高工资时，这４名员工的工资和取得最大值．所以这４名 员工的工资分别为４千元、４千元、５千元、５千元．所以这４名员 工的工资和的最大值为：４＋４＋５＋５＝１８（千元）                                                       ． —６— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 ! " # ! ! ! " # " $ " % ! " $ % & ' & # ' ( ) ( ! " # ! $ % & ' ( ) * + , - . ! $ / & ' ( ) * + - 0 1 2 3 4 5 6 7 ! 8 9 : ; < = > ? @ A ( ! " # $ % & ' & ' ( B ) C ! > ? & ' ( D E F G ! G H I J K L !!!!!!!!!!!!!!!! ! ! """""""""""""""" " " ################ # # $$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ %%%%%%%%%%%%%%%% % % &&&&&&&&&&&&&&&& & & '''''''''''''''' ' ' (((((((((((((((( ( ( )))))))))))))))) ) ) **************** * * **************** * * ++++++++++++++++ + + ++++++++++++++++ + + 书 《四边形》章节检测卷 ◆ 数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间９０分钟，满分１２０分）　 题　号 一 二 三 总　分 得　分 一、精心选一选 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 得分 答案 二、细心填一填 得分 　１１． ；　　１２． ； 　１３． ；　　１４． ； 　１５． ． 一、精心选一选（本大题共１０小题，每小题４分，共４０分） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在ＡＢＣＤ中，若∠Ａ＋∠Ｃ＝１４０°，则∠Ａ的度数为 （　　） Ａ．４０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．１１０° ２．在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ边的中点，连接ＤＥ．若ＢＣ＝４，则ＤＥ＝ （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８ ３．如图１，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ．若ＡＣ＝１０，则ＯＢ的长度为 （　　） Ａ．１０ Ｂ．５ Ｃ．２．５ Ｄ．２．２５ ４．如图２，ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且ＡＣ＋ＢＤ＝１２，ＣＤ＝４，则△ＡＢＯ的周长是 （　　） Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１１ Ｄ．１２ ５．如图３，已知Ｅ是正方形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ上一点，且ＡＢ＝ＡＥ，则∠ＤＢＥ的度数是 （　　） Ａ．１５° Ｂ．３２．５° Ｃ．２２．５° Ｄ．３０° ６．一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角的度数比均为３∶１，则这个正多边形的边数为 书 三、耐心解一解（本大题共６小题，共６０分） １６．（８分）如图１２，已知Ｅ，Ｆ分别是ＡＢＣＤ的ＡＢ，ＣＤ边上的点，且∠ＣＢＦ＝∠ＡＤＥ．求证：ＢＥ＝ＤＦ． １７．（８分）如图１３，在△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝２８°，∠ＡＣＢ＝４８°，ＣＥ⊥ＢＡ的延长线于点Ｅ，ＢＦ⊥ＣＡ的延长 线于点Ｆ，Ｍ为ＢＣ的中点，求∠ＥＭＦ的度数． 书 （　　） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ７．如图４，过四边形ＡＢＣＤ的顶点Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ分别作ＢＤ，ＡＣ的平行线围成菱形ＥＦＧＨ，则四边形ＡＢＣＤ必定 是 （　　） Ａ．菱形 Ｂ．平行四边形 Ｃ．矩形 Ｄ．对角线相等的四边形 ８．如图５，点Ｅ，Ｆ分别在正方形ＡＢＣＤ的ＤＣ，ＢＣ边上，ＢＦ＝ＣＥ，连接ＡＥ，ＤＦ，ＡＥ与ＤＦ相交于点Ｇ，连接 ＡＦ．若∠ＡＦＤ＝５０°，则∠ＥＡＦ的度数为 （　　） Ａ．２５° Ｂ．４０° Ｃ．５０° Ｄ．无法确定 ９．如图６，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝６０°，∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＢＣ＝１，ＣＤ＝１０，过点Ｄ作ＤＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ，则ＤＨ的长是 （　　） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ １０．如图７，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｍ，Ｎ分别是ＡＤ，ＣＤ边的 中点，连接ＭＮ，ＯＭ．若ＭＮ＝３，Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝２４，则ＯＭ的长为 （　　） Ａ．３ Ｂ．３．５ Ｃ．２ Ｄ．２．５ 二、细心填一填（本大题共５小题，每小题４分，共２０分） １１．如图８，直线ＡＤ∥ＢＣ．若ＡＤ＝５，ＢＣ＝８，△ＡＢＣ的面积为３２，则 △ＡＤＣ的面积为 ． １２．四边形ＡＢＣＤ的对角线互相垂直平分，要使四边形ＡＢＣＤ成为正方形，还需添加的一 个条件是 （只需添加一个即可）． １３．如图９，点Ｅ，Ｆ分别是正方形ＡＢＣＤ内部、外部的点，四边形ＡＤＦＥ与四边形ＢＣＦＥ均 为菱形，则∠ＣＢＥ的度数为 ． １４．如图１０，在矩形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＜ＡＢ．若点Ｐ满足ＢＰ⊥ＡＣ，且ＢＰ＝ＡＣ，则∠ＣＤＰ＝ ． １５．如图１１，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＢ上的一点，且ＡＥ＝２ＢＥ＝２．若点Ｐ在正方形ＡＢＣＤ的边上运动， 当△ＰＡＥ为等腰三角形时，ＰＥ的长为 ． ! , ! " # $ % " # ! & $ ! - ! . # $ & ! " ! " # $ ' % ( ! / ' $ ( ! # % " ) ! 0 ! 1 $ # " ) ! ! ' # * $ + & " ! # " $ ! ! 2 ! " # $ ' % ! 3 ! -& " # , ! $ ! -- ! " # $ % ! -4 ! " # $ ' % # + " % ! ' ! -5 ! ! " # $ % & ' ! ( ) * + , ! - . / 0 1 % ! " # $ % # & ' $ & # ( ! 2 3 4 5 % ) " # $ ! # & ' $ & ( * ! 6 3 7 8 % 9 : ; < = > ? @ A B C D & ) & E F G ) 3 H I J K 3 L - . / ! M N - O % ) " ) ) ) ( ! 6 3 T 9 : * 8 U V W X Y Z [ < = > \ ] ^ A _ ` a b c U d e 5 书 ２１．（１２分）问题解决：如图１７，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ边上，ＤＥ＝ＡＦ，ＤＥ⊥ＡＦ于点Ｇ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是正方形； （２）延长ＣＢ到点Ｈ，使得ＢＨ＝ＡＥ，判断△ＡＨＦ的形状，并说明理由． 类比迁移：如图１８，在菱形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ边上，ＤＥ与ＡＦ相交于点Ｇ，ＤＥ＝ＡＦ，∠ＡＥＤ＝ ６０°，ＡＥ＝７，ＢＦ＝２，求ＤＥ的长． 书 １８．（１０分）如图１４，四边形ＯＤＥＣ是矩形，延长ＣＯ至点Ａ，使得ＯＡ＝ＯＣ，过点Ａ作ＡＢ∥ＣＤ交ＤＯ的延 长线于点Ｂ，连接ＡＤ，ＢＣ，判断四边形ＡＤＣＢ的形状，并说明理由． １９．（１０分）如图１５，四边形ＡＢＣＤ是菱形，ＤＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＤＦ⊥ＢＣ于点Ｆ． （１）求证：△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ； （２）连接ＡＣ，分别交ＤＥ，ＤＦ于点Ｍ，Ｎ，求证：ＡＭ ＝ＣＮ． 书 ２０．（１２分）如图１６，点Ｍ是矩形ＡＢＣＤ的ＡＤ边的中点，点Ｐ是ＢＣ边上一动点，ＰＥ⊥ＭＣ，ＰＦ⊥ＢＭ，垂足 分别为Ｅ，Ｆ． （１）当ＡＤ＝２ＡＢ时，求证：四边形ＰＥＭＦ为矩形； （２）在（１）的条件下，当点Ｐ运动到什么位置时，矩形ＰＥＭＦ变为正方形？请说明理由． [fghijkPl ! 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