第五讲 认识方程（导图+知识精讲+易错点拨+13大考点讲练+易错压轴练+难度分层练 共59题）-2024-2025学年北师大版数学四年级下册举一反三变式拓展重点难点培优讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年四年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第五讲 认识方程 【导图+知识精讲+易错点拨+13大考点讲练+难度分层练 共59题】 目录 思维导图 一目了然 3 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：用字母表示数: 3 知识点02：含字母式子的求值 4 知识点03：等式的意义: 4 知识点04：方程的意义: 4 知识点05：方程与等式的关系: 5 知识点06：等式的性质 5 知识点07：方程的意义: 5 知识点08：方程求解的过程 5 知识点09：列方程解应用题 6 易错点拨 查漏补缺 6 易错点01：没有准确理解方程的定义： 6 易错点02：没有用字母准确表示出数量关系 6 易错点03：没有正确运用运算定律化简含有字母的式子 6 易错点04：对方程中等号的意义理解不透彻 6 易错点05：在解方程时，没有保持等式的平衡 7 易错点06：混淆了方程的解和解方程的过程 7 易错点07：在列方程时，没有正确设置未知数 7 考点讲练 明确目标 7 考点一：用字母表示数、数量关系 7 考点二：用字母表示运算定律及计算公式 7 考点三：用字母表示稍复杂的数量关系 8 考点四：含有字母式子的化简与求值 8 考点五：等式的认识及列等量关系式 9 考点六：方程的认识 9 考点七：列简易方程 9 考点八：等式的性质1 10 考点九：等式的性质2 11 考点十：应用等式的性质1和2解方程 11 考点十一：列方程解含一个未知数的问题 12 考点十二：列方程解含两个未知数的问题 13 考点十三：列方程解决稍复杂的实际问题 14 分层训练 拔尖冲刺 14 基础夯实优选题专练 14 培优优选题专练 16 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：用字母表示数: 字母表示数的意义： 在数学中，我们经常使用字母来表示一个数或一类数。这种表示方法不仅使数学表达式更加简洁，还能更清楚地展示数量之间的关系。 例如，在描述长方形的周长时，我们可以用字母a和b分别表示长和宽，然后写出公式C=2(a+b)。 字母表示数的写法： 当字母与数字相乘时，乘号可以省略不写，数字要写在字母的前面。例如，5乘以a可以写作5a。 字母与字母相乘时，乘号也可以省略不写，或者可以用“·”来表示。例如，a乘以b可以写作ab或a·b。 当两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方形式。例如，a乘以a可以写作a²。 用字母表示运算定律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 知识点02：含字母式子的求值 含义： 在数学中，我们经常需要根据给定的条件来求出含字母的式子的值。这个过程被称为含字母式子的求值。 具体的操作方法是，先将已知的数值代入到式子中，然后按照四则运算的顺序进行计算，最后得出结果。 例子： 例如，如果有一个式子为3a+2b，已知a=5，b=3，那么我们可以将这两个值代入到式子中，得到3×5+2×3=15+6=21。所以，当a=5，b=3时，式子3a+2b的值为21。 注意事项： 在代入数值时，要注意运算的顺序和符号的变化。 当遇到括号时，要遵循“先乘除后加减”和“括号里的优先计算”的原则。 当字母表示的数带有单位时，在代入数值后也要注意单位的转换和统一。 知识点03：等式的意义: 等式是数学中表示两个量或表达式相等的一种关系。在等式中，使用等号“=”来连接两个相等的部分。等式的基本特点是两边的值相等，无论是对数字还是代数表达式都适用。例如，5 = 5，x + 2 = 5 都是等式。 等式的性质主要有两个： 等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c。 等式两边同时乘或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b（a、b 不为零），那么 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 知识点04：方程的意义: 方程是数学中表示两个量或表达式相等，并且含有未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。例如，x + 2 = 5 就是一个方程，其中 x 是未知数。 方程在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述和解决各种实际问题。 知识点05：方程与等式的关系: 方程与等式的关系是：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。换句话说，方程是等式的一个子集，等式的范围更大，而方程的范围更小。 具体来说，一个等式如果含有未知数，那么它就是方程；如果不含有未知数，那么它就是一般的等式。例如，5 = 5 是一个等式，但它不是方程，因为它不含有未知数；而 x + 2 = 5 既是一个等式，又是一个方程，因为它不仅表示两边的值相等，还含有一个未知数 x。 当然，以下是小学数学中等式的性质、方程的意义以及方程求解过程的详细阐述： 知识点06：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a + c = b + c 或 a - c = b - c（c 为任意实数或式子）。 等式两边同时乘或除以同一个非零数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a × c = b × c 或 a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 等式的传递性：如果 a = b 且 b = c，那么 a = c。 知识点07：方程的意义: 方程是数学中用来表示两个量或表达式相等，并且至少含有一个未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。方程是数学中的一个重要工具，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。 知识点08：方程求解的过程 识别方程：首先，我们需要识别出一个给定的数学表达式是否为方程。方程必须包含等号，并且等号两边至少有一个未知数。 去括号：如果方程中含有括号，我们需要按照先小括号、再中括号、最后大括号的顺序去除括号。这通常涉及到分配律和结合律的应用。 移项：将含有未知数的项移到方程的一侧，将常数项移到另一侧。这可以通过等式的性质（加或减同一个数或式子）来实现。 合并同类项：将方程中的同类项合并成一个项。这可以使方程更加简洁，并有助于后续的求解。 系数化为1：将未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。这可以通过等式的性质（乘或除以同一个非零数或式子）来实现。 北师大版小学数学四年级下册中，列方程解应用题的相关知识点主要包括以下几个方面： 知识点09：列方程解应用题 审题：理解题意，全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别是要弄清题目中涉及的一些概念术语，如增加、减少、倍数等。 确定未知数：用x表示所求的数量或有关的未知量。通常，我们需要根据题目中的条件，直接将要求的数量设为未知数。 等量关系：是列方程必不可少的条件。在应用题中，我们需要从题目中找出已知数与未知数之间的等量关系。 列出方程：根据找到的等量关系，我们可以列出一个含有未知数的等式，即方程。在列方程时，应尽量将未知数放在等式的左侧，以便于后续求解。 解方程：通过等式的性质，对方程进行变形和求解，从而找出未知数的值。在解方程时，需要注意将等号对齐，确保每一步都是等价的变换。 检验：求出未知数的值后，我们需要将其代入原方程进行检验，确保所求得的解满足原方程的条件。 易错点01：没有准确理解方程的定义： 错误理解：有些学生会误以为含有未知数的式子就是方程。 正确理解：方程是指含有未知数的等式。也就是说，除了含有未知数，还必须是等式。 易错点02：没有用字母准确表示出数量关系 错误示例：在描述“36减去某个数”时，学生可能只是简单地写为“36-α”，但没有明确“α”所代表的具体含义。 正确方法：应该明确“α”所代表的意义，如“α吨”或“α元”等，以准确表示数量关系。 易错点03：没有正确运用运算定律化简含有字母的式子 错误示例：学生在化简“(14+8)a”时，可能会误用乘法分配律，得到“14a+8”。 正确方法：根据运算定律，应该先进行括号内的加法运算，得到“22a”。 易错点04：对方程中等号的意义理解不透彻 错误理解：学生可能会误认为在等号两边进行任何操作都是等价的。 正确理解：等号表示两边的值是相等的。在等号两边进行相同的操作（如加、减、乘、除等），等式仍然成立。但需要注意的是，不能随意改变等号两边的操作顺序或进行不等价的变换。 易错点05：在解方程时，没有保持等式的平衡 错误示例：在解方程“3x = 18”时，学生可能会误写成“x = 18/3 = 6”，但没有明确说明为什么可以将3x变为x。 正确方法：在解方程时，应该明确每一步的变形依据，如“将方程两边同时除以3”，以保持等式的平衡。 易错点06：混淆了方程的解和解方程的过程 错误理解：有些学生会将方程的解误认为是解方程的过程。 正确理解：方程的解是指使方程成立的未知数的值；而解方程的过程是指找到这个解的方法和步骤。 易错点07：在列方程时，没有正确设置未知数 错误示例：在描述“比某个数多3的数是10”时，学生可能会设置两个未知数x和y，导致方程变得复杂。 正确方法：应该只设置一个未知数x（即“某个数”），然后列出方程“x+3=10”。 考点一：用字母表示数、数量关系 【精讲题】（23-24四年级下·山西运城·期末）看下图可知，典典家到学校比华华家到学校远( )米。 【精练题01】（23-24四年级下·四川成都·期末）下面是乐乐周末两天看书页数的线段图。乐乐第二天看了( )页；2m＋n表示的是( )。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江金华·期末）小刚有50元，买了2支笔，每支a元，买作业术用了3.2元，小刚买笔用去了( )元，现还剩余( )元。 考点二：用字母表示运算定律及计算公式 【精讲题】（23-24四年级下·广西贺州·期末）乘法结合律用字母表示是：( )；正方形的周长计算公式用字母表示是：( )。 【精练题01】（23-24四年级下·吉林长春·期末）笑笑画了一个边长a厘米的正方形，那么它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【精练题02】（2024四年级下·辽宁·专题练习）3.8×（a－b）＝3.8a－b。( )（判断对错） 考点三：用字母表示稍复杂的数量关系 【精讲题】（22-23四年级下·四川成都·期末）自来水公司规定，每户每月用水9吨以内（含9吨），按每吨x元收费。超过9吨的部分按每吨y元收费。小明家1月份用水15吨应缴费( )元，若x为2元，y为4元，则他家应交水费( )元。 【精练题01】（23-24四年级下·广东梅州·期末）有两个数x、y，y减去x的4倍的差除15的算式是（    ）。 A．15÷（x－4y） B．15÷（y－4x） C．（y－4x）÷15 【精练题02】（23-24四年级下·四川成都·期末）像这样搭，搭3个图形用13根小棒，搭10个这样的图形要用( )根小棒，搭n个图形要用( )根小棒。 考点四：含有字母式子的化简与求值 【精讲题】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）复兴号动车组一等座车厢有1节，有a个座位，二等座车厢有7节，每节车厢有b个座位，那么这列动车一共有( )个座位。如果a＝56，b＝98，那么这列动车一共有( )个座位。 【精练题01】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）无人机除了用于航拍之外，还可以用于喷洒农药等功能。一架无人机每小时喷洒农药a平方米，上午喷洒了3小时，下午喷洒了t小时，这架无人机一天喷洒了（    ）平方米的农药。 A．3a＋at B．a＋3t C．3a＋3t 【精练题02】（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）某希望小学四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多名学生，四（3）班比四（2）班少名学生。 （1）四（2）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （2）四（3）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （3）当，时，四（3）班有多少名学生？ 考点五：等式的认识及列等量关系式 【精讲题】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）世界杯足球赛用的足球，白色皮共20块，比黑色皮的2倍少4块。由此可以得到的等量关系是：( )＝白色皮块数。 【精练题01】（23-24五年级下·四川成都·期末）某生鲜超市批发了一些水果，其中水蜜桃的箱数是橘子的4倍，橘子比水蜜桃少57箱”。根据信息，等量关系可以表示为( )。 【精练题02】（22-23四年级下·四川成都·期末）表示下图情境中的等量关系，（    ）是错误的。 A．科技书的本数×2＝图画书的本数 B．故事书的本数－科技书的本数＝500本 C．故事书的本数＋500本＝科技书的本数 考点六：方程的认识 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）下列（    ）是方程。 A．2x＋28＝70 B．a－3.2＞5.8 C．4x－10＜20 D．a＋b＝b＋a 【精练题01】（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）先说一说各图中的等量关系，再列出方程。 【精练题02】（20-21五年级下·安徽蚌埠·期末）在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 考点七：列简易方程 【精讲题】（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）根据题意先说出等量关系再列出方程。 一辆公共汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上现有15人，车上原有x人，那么 。 【精练题01】（23-24四年级下·安徽亳州·期末）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读2小时，如果笑笑平均每小时阅读m个字，一共阅读了14050个字，列出方程是( )。 【精练题02】（22-23四年级下·浙江金华·期末）根据图文信息，列出方程（不计算）。 跳远比赛中，小丽跳了y米，小红比小丽多跳了0.24米，小芳比小红少跳0.1米，小芳跳了3.04米。 考点八：等式的性质1 【精讲题】（22-23四年级下·辽宁·课前预习）求出y＋8＝10中的未知数y。 分析与解答：等式两边同时加上（或减去）( )，等式仍然成立。所以在这个方程的两边同时减去( )，即y＋8－8＝10－8，得y＝2。 解：y＋8－8＝10－8 y＝2 验证：2＋8＝10，正确。 【精练题01】（22-23四年级下·辽宁·课前预习）阅读教材第68页例题。 分析与解答： 从图中可以看出，天平的左右两边都( )同样质量的物体，天平仍然平衡。天平左右两边都( )同样质量的物体，天平仍然平衡。 【精练题02】（22-23四年级下·四川成都·期末）投篮比赛中，奇思得了31分，比妙想的2倍少5分，妙想得了m分，下面方程正确的是（    ）。 A．31－2m＝5 B．（31－5）÷2＝m C．（31－5）÷m＝2 D．31＋5＝2m 考点九：等式的性质2 【精讲题】（2024四年级下·辽宁·专题练习）如果，根据等式的性质填空。 　　     　　     【精练题01】（23-24四年级下·山西运城·期末）请你用画图的方法表示解“3x＋2＝20”的过程，并写清楚每一步的道理。 【精练题02】（21-22四年级下·广东惠州·期末）同学们，你们知道吗？足球上有黑白两种颜色，其中黑色皮都是五边形，白色皮都是六边形的，白色皮有20块，比黑色皮的2倍少4块，黑色皮有多少块？（列方程解答） 考点十：应用等式的性质1和2解方程 【精讲题】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）方程160－4x＝60中的x的值是（    ）。 A．x＝55 B．x＝25 C．x＝100 D．10 【精练题01】（23-24四年级下·浙江金华·期末）小红用圆片照下图所示摆三角形，摆n个三角形用( )个小圆片，183个小圆片可以摆( )个三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·江西九江·期末）为了保护环境减少碳排放，我国大力研发并推广新能源汽车。下面是2019年和2023年全国新注册登记新能源汽车数量关系图。 （1）根据线段图，补充括号里的信息，再写出等量关系。 等量关系：______ （2）2019年全国新注册登记新能源汽车有多少万辆？列方程并解答。 考点十一：列方程解含一个未知数的问题 【精讲题】（23-24四年级下·吉林长春·期末）买一副乒乓球拍比10个乒乓球贵1.8元，每个乒乓球2.5元，一副乒乓球拍多少元？（列方程解答） 【精练题01】（23-24四年级下·四川成都·期末）手工制作。笑笑做5个蝴蝶结和3颗星星共用去248厘米长的丝带，每个蝴蝶结用去丝带34厘米，每颗星星用去丝带多少厘米？（列方程解决问题） 【精练题02】（23-24四年级下·广西桂林·期末）四（1）班买了60个绣球和80个彩蛋，共花了460元。一个绣球5元，一个彩蛋需要多少钱？（列方程解决问题） 考点十二：列方程解含两个未知数的问题 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）国家对纯电动汽车规定的补贴标准如表。一家汽车店5月份卖出的续航400千米以上的车刚好是400千米及以内车的2倍，共发放补贴75万元，卖出续航400千米及以内的车有多少辆？ 续航里程档次 400千米以上 400千米及以内 补贴价格 2万元/辆 1万元/辆 【精练题01】（22-23四年级下·四川成都·期末）善于观察是我们在解决数学问题重非常重要的好习惯，请认真观察下图，联系所学知识与方法解决问题。下图是由两个完全相同的长方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？ 【精练题02】（23-24五年级下·四川成都·期末）看图列方程求出女生人数。 考点十三：列方程解决稍复杂的实际问题 【精讲题】（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【精练题01】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【精练题02】（23-24四年级下·四川成都·期末）商店出售的鞋子规格大小有两种表示方式：“厘米”和“码”。根据下面的尺码对照表，你知道36码相当于( )厘米。 厘米 13.5 14 14.5 15 … 码 17 18 19 20 … 基础夯实优选题专练 1．（23-24四年级下·广东惠州·期末）“方程”一词，最早出现在我国古代数学书籍《九章算术》中。下列式子是方程的是（    ）。 A．0.5x＋3＝9 B．0.4x＋3.6 C．7x＋10.2＞28 2．（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）下图是由等边三角形和正方形组成的，它的周长是（    ）。 A．5a B．6a C．7a 3．（23-24四年级下·安徽六安·期末）下面（    ）是方程。 A．x＋1 B．2＋x＞3 C．x＋5＝7 4．（23-24四年级下·四川成都·期末）用小棒搭房子（如下图）。按此规律，摆n个房子需要( )根小棒。 5．（23-24四年级下·安徽六安·期末）四年级同学订阅的《少年博览》每本10元，四（1）班有m名同学订阅，一共需要( )元，每本《奋进新征程做好接班人》比每本《少年博览》贵a元，每本《奋进新征程做好接班人》( )元。 6．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）猎豹是陆地上奔跑最快的动物。一只猎豹t秒奔跑了3000米，它的奔跑速度是( )米/秒。 7．（23-24四年级下·陕西汉中·期末）含有未知数的式子7＋4x＜19是方程。( )（判断对错） 8．（23-24四年级下·安徽安庆·期末）含有未知数的算式叫做方程。( )（判断对错） 9．（23-24四年级下·浙江丽水·期末）下图是笑笑去超市买文具的购物小票。 超市购物小票 商品    数量    单价 钢笔    1支    24元 笔记本    4本    ？元 合计：84元 （1）根据小票中的信息写出等量关系。 （2）笔记本的单价是多少元？列方程解答。 10．（23-24四年级下·陕西西安·期末）一本硬面笔记本的价钱比5本软面抄本子贵3.5元，已知每本软面抄本子4.2元，那么一本硬面笔记本多少元？（列方程解答） 培优优选题专练 11．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）甲、乙、丙三人都有零花钱。甲说：“我的零花钱比乙的零花钱多10元。”乙说：“我的零花钱是丙零花钱的3倍少4元。”丙说：“我有9元零花钱。”下面正确表示甲、乙、丙之间的等量关系的是（    ）。 A．甲的零花钱－10元＝乙的零花钱    丙的零花钱×3－4元＝乙的零花钱 B．乙的零花钱＋10元＝甲的零花钱    乙的零花钱×3－4元＝丙的零花钱 C．乙的零花钱－10元＝甲的零花钱    丙的零花钱÷3－4元＝乙的零花钱 D．甲的零花钱－10元＝乙的零花钱    丙的零花钱÷3－4元＝乙的零花钱 12．（23-24四年级下·陕西西安·期末）乐乐和妈妈今年的年龄之和是48岁，a年后，她们的年龄之和是（    ）岁。 A．48 B．48－2a C．48＋2a 13．（23-24四年级下·浙江金华·期末）根据以下信息，下列等量关系错误的是（    ）。 信息一：姚明的身高是妹妹的2倍 信息二：淘气比妹妹高4厘米 A．妹妹的身高×2＝姚明的身高 B．淘气的身高－4厘米＝妹妹的身高 C．姚明的身高÷2＝淘气的身高－4厘米 D．妹妹的身高＋4厘米＝姚明的身高÷2 14．（23-24四年级下·广东惠州·期末）西安是国务院公布的首批国家历史文化名城，历史上有13个朝代在此建都，比在南京建都的朝代多a个，有( )个朝代在南京建都。若a＝6，则有( )个朝代在南京建都。 15．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）笑笑今年a岁，爸爸比她大24岁，爸爸今年( )岁。妈妈的年龄是笑笑的3倍，妈妈今年( )岁。 16．（23-24四年级下·吉林长春·期末）小明今年a岁，比叔叔小15岁，今年小明叔叔年龄用式子表示为( )岁。 17．（23-24四年级下·安徽宿州·期末）方程5x－10＝10与12－2x＝4的解相同。( )（判断对错） 18．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）因为a2表示2个a相乘，所以a2一定比2a大。( )（判断对错） 19．（23-24四年级下·广东惠州·期末）中国拥有最庞大的高铁网络、最复杂的高铁运行环境和最庞大的高铁乘客数量，中国高铁平均时速为350千米/时，比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时。普通小轿车每小时行驶多少千米？ 20．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）小明与爸爸妈妈去动物园玩，他们用76元正好买了2张成人票和1张儿童票，每张儿童票是16元，每张成人票多少元？（用方程解答） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四年级下册数学举一反三变式拓展重点难点培优讲义（北师大版） 第五讲 认识方程 【导图+知识精讲+易错点拨+13大考点讲练+难度分层练 共59题】 目录 思维导图 一目了然 3 知识精讲 梳理脉络 3 知识点01：用字母表示数: 3 知识点02：含字母式子的求值 4 知识点03：等式的意义: 4 知识点04：方程的意义: 4 知识点05：方程与等式的关系: 5 知识点06：等式的性质 5 知识点07：方程的意义: 5 知识点08：方程求解的过程 5 知识点09：列方程解应用题 6 易错点拨 查漏补缺 6 易错点01：没有准确理解方程的定义： 6 易错点02：没有用字母准确表示出数量关系 6 易错点03：没有正确运用运算定律化简含有字母的式子 6 易错点04：对方程中等号的意义理解不透彻 6 易错点05：在解方程时，没有保持等式的平衡 7 易错点06：混淆了方程的解和解方程的过程 7 易错点07：在列方程时，没有正确设置未知数 7 考点讲练 明确目标 7 考点一：用字母表示数、数量关系 7 考点二：用字母表示运算定律及计算公式 8 考点三：用字母表示稍复杂的数量关系 9 考点四：含有字母式子的化简与求值 10 考点五：等式的认识及列等量关系式 12 考点六：方程的认识 13 考点七：列简易方程 14 考点八：等式的性质1 15 考点九：等式的性质2 17 考点十：应用等式的性质1和2解方程 18 考点十一：列方程解含一个未知数的问题 21 考点十二：列方程解含两个未知数的问题 22 考点十三：列方程解决稍复杂的实际问题 24 分层训练 拔尖冲刺 26 基础夯实优选题专练 26 培优优选题专练 30 同学你好！这套讲义资料由编者老师精心策划，编辑整理策划排版！非常适用于预习，复习，培优，拔尖使用。讲义包含：知识精讲，易错点拨，考点讲练，易错题专练，重点难点优选题，培优巩固和拔尖专练题。板块内容清晰，内容详尽。题目优选2023-2025年近两年名校真题。贴近考纲要求，非常有助于学生提升解题思维，强化做题技巧，解析版思路清晰。是学生自学，教师备课的优选资料！ 知识点01：用字母表示数: 字母表示数的意义： 在数学中，我们经常使用字母来表示一个数或一类数。这种表示方法不仅使数学表达式更加简洁，还能更清楚地展示数量之间的关系。 例如，在描述长方形的周长时，我们可以用字母a和b分别表示长和宽，然后写出公式C=2(a+b)。 字母表示数的写法： 当字母与数字相乘时，乘号可以省略不写，数字要写在字母的前面。例如，5乘以a可以写作5a。 字母与字母相乘时，乘号也可以省略不写，或者可以用“·”来表示。例如，a乘以b可以写作ab或a·b。 当两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方形式。例如，a乘以a可以写作a²。 用字母表示运算定律： 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 知识点02：含字母式子的求值 含义： 在数学中，我们经常需要根据给定的条件来求出含字母的式子的值。这个过程被称为含字母式子的求值。 具体的操作方法是，先将已知的数值代入到式子中，然后按照四则运算的顺序进行计算，最后得出结果。 例子： 例如，如果有一个式子为3a+2b，已知a=5，b=3，那么我们可以将这两个值代入到式子中，得到3×5+2×3=15+6=21。所以，当a=5，b=3时，式子3a+2b的值为21。 注意事项： 在代入数值时，要注意运算的顺序和符号的变化。 当遇到括号时，要遵循“先乘除后加减”和“括号里的优先计算”的原则。 当字母表示的数带有单位时，在代入数值后也要注意单位的转换和统一。 知识点03：等式的意义: 等式是数学中表示两个量或表达式相等的一种关系。在等式中，使用等号“=”来连接两个相等的部分。等式的基本特点是两边的值相等，无论是对数字还是代数表达式都适用。例如，5 = 5，x + 2 = 5 都是等式。 等式的性质主要有两个： 等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b，那么 a + c = b + c，a - c = b - c。 等式两边同时乘或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍然是等式。例如，如果 a = b（a、b 不为零），那么 a × c = b × c，a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 知识点04：方程的意义: 方程是数学中表示两个量或表达式相等，并且含有未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。例如，x + 2 = 5 就是一个方程，其中 x 是未知数。 方程在数学中有着广泛的应用，它可以用来描述和解决各种实际问题。 知识点05：方程与等式的关系: 方程与等式的关系是：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。换句话说，方程是等式的一个子集，等式的范围更大，而方程的范围更小。 具体来说，一个等式如果含有未知数，那么它就是方程；如果不含有未知数，那么它就是一般的等式。例如，5 = 5 是一个等式，但它不是方程，因为它不含有未知数；而 x + 2 = 5 既是一个等式，又是一个方程，因为它不仅表示两边的值相等，还含有一个未知数 x。 当然，以下是小学数学中等式的性质、方程的意义以及方程求解过程的详细阐述： 知识点06：等式的性质 等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a + c = b + c 或 a - c = b - c（c 为任意实数或式子）。 等式两边同时乘或除以同一个非零数或式子，等式仍然成立。这可以表示为：如果 a = b，那么 a × c = b × c 或 a ÷ c = b ÷ c（c ≠ 0）。 等式的传递性：如果 a = b 且 b = c，那么 a = c。 知识点07：方程的意义: 方程是数学中用来表示两个量或表达式相等，并且至少含有一个未知数的等式。未知数通常用字母（如 x、y 等）表示。方程的主要目的是找出使等式成立的未知数的值。方程是数学中的一个重要工具，它可以帮助我们描述和解决各种实际问题。 知识点08：方程求解的过程 识别方程：首先，我们需要识别出一个给定的数学表达式是否为方程。方程必须包含等号，并且等号两边至少有一个未知数。 去括号：如果方程中含有括号，我们需要按照先小括号、再中括号、最后大括号的顺序去除括号。这通常涉及到分配律和结合律的应用。 移项：将含有未知数的项移到方程的一侧，将常数项移到另一侧。这可以通过等式的性质（加或减同一个数或式子）来实现。 合并同类项：将方程中的同类项合并成一个项。这可以使方程更加简洁，并有助于后续的求解。 系数化为1：将未知数的系数化为1，从而求出未知数的值。这可以通过等式的性质（乘或除以同一个非零数或式子）来实现。 北师大版小学数学四年级下册中，列方程解应用题的相关知识点主要包括以下几个方面： 知识点09：列方程解应用题 审题：理解题意，全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。特别是要弄清题目中涉及的一些概念术语，如增加、减少、倍数等。 确定未知数：用x表示所求的数量或有关的未知量。通常，我们需要根据题目中的条件，直接将要求的数量设为未知数。 等量关系：是列方程必不可少的条件。在应用题中，我们需要从题目中找出已知数与未知数之间的等量关系。 列出方程：根据找到的等量关系，我们可以列出一个含有未知数的等式，即方程。在列方程时，应尽量将未知数放在等式的左侧，以便于后续求解。 解方程：通过等式的性质，对方程进行变形和求解，从而找出未知数的值。在解方程时，需要注意将等号对齐，确保每一步都是等价的变换。 检验：求出未知数的值后，我们需要将其代入原方程进行检验，确保所求得的解满足原方程的条件。 易错点01：没有准确理解方程的定义： 错误理解：有些学生会误以为含有未知数的式子就是方程。 正确理解：方程是指含有未知数的等式。也就是说，除了含有未知数，还必须是等式。 易错点02：没有用字母准确表示出数量关系 错误示例：在描述“36减去某个数”时，学生可能只是简单地写为“36-α”，但没有明确“α”所代表的具体含义。 正确方法：应该明确“α”所代表的意义，如“α吨”或“α元”等，以准确表示数量关系。 易错点03：没有正确运用运算定律化简含有字母的式子 错误示例：学生在化简“(14+8)a”时，可能会误用乘法分配律，得到“14a+8”。 正确方法：根据运算定律，应该先进行括号内的加法运算，得到“22a”。 易错点04：对方程中等号的意义理解不透彻 错误理解：学生可能会误认为在等号两边进行任何操作都是等价的。 正确理解：等号表示两边的值是相等的。在等号两边进行相同的操作（如加、减、乘、除等），等式仍然成立。但需要注意的是，不能随意改变等号两边的操作顺序或进行不等价的变换。 易错点05：在解方程时，没有保持等式的平衡 错误示例：在解方程“3x = 18”时，学生可能会误写成“x = 18/3 = 6”，但没有明确说明为什么可以将3x变为x。 正确方法：在解方程时，应该明确每一步的变形依据，如“将方程两边同时除以3”，以保持等式的平衡。 易错点06：混淆了方程的解和解方程的过程 错误理解：有些学生会将方程的解误认为是解方程的过程。 正确理解：方程的解是指使方程成立的未知数的值；而解方程的过程是指找到这个解的方法和步骤。 易错点07：在列方程时，没有正确设置未知数 错误示例：在描述“比某个数多3的数是10”时，学生可能会设置两个未知数x和y，导致方程变得复杂。 正确方法：应该只设置一个未知数x（即“某个数”），然后列出方程“x+3=10”。 考点一：用字母表示数、数量关系 【精讲题】（23-24四年级下·山西运城·期末）看下图可知，典典家到学校比华华家到学校远( )米。 【答案】a＋300－b 【思路点拨】观察发现典典家到学校为（a＋300）米，华华家到学校为b米，用典典家到学校的距离，减去华华家到学校的距离即可；据此解答。 【规范解答】根据分析：典典家到学校比华华家到学校远（a＋300－b）米。 【精练题01】（23-24四年级下·四川成都·期末）下面是乐乐周末两天看书页数的线段图。乐乐第二天看了( )页；2m＋n表示的是( )。 【答案】 m＋n/n＋m 两天看的总页数 【思路点拨】根据题图可知，乐乐第二天比第一天多看了n页，第一天看m页，则第二天看（m＋n）页。用第一天看的页数加上第二天看的页数，求出两天看的总页数，即为（2m＋n）页。也就是2m＋n表示的是两天看的总页数。 【规范解答】乐乐第二天看了（m＋n）页；2m＋n表示的是两天看的总页数。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江金华·期末）小刚有50元，买了2支笔，每支a元，买作业术用了3.2元，小刚买笔用去了( )元，现还剩余( )元。 【答案】 2a 46.8－2a 【思路点拨】根据题意，直接通过乘法计算买笔的费用，再分步减去已用金额，得出剩余结果。2支笔，每支a元，总费用为：2×a＝2a（元），原有50元，买笔后剩余的钱数是：50－2a，再减去买作业本的3.2元，最终剩余：50－2a－3.2＝46.8 − 2a；以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 2×a＝2a（元） 50－2a－3.2 ＝50－3.2－2a ＝（46.8 − 2a）元 小刚有50元，买了2支笔，每支a元，买作业术用了3.2元，小刚买笔用去了2a元，现还剩余（46.8 − 2a）元。 考点二：用字母表示运算定律及计算公式 【精讲题】（23-24四年级下·广西贺州·期末）乘法结合律用字母表示是：( )；正方形的周长计算公式用字母表示是：( )。 【答案】 （a×b）×c＝a×（b×c） C＝4a 【思路点拨】乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变。 正方形的周长是指正方形四条边的长度总和。 【规范解答】乘法结合律为：（a×b）×c＝a×（b×c）；正方形的周长用C表示，边长用a表示，周长公式是：C＝4a。 乘法结合律用字母表示是：（a×b）×c＝a×（b×c）；正方形的周长计算公式用字母表示是：C＝4a。 【精练题01】（23-24四年级下·吉林长春·期末）笑笑画了一个边长a厘米的正方形，那么它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4a a2 【思路点拨】根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，列出算式并化简，字母和数字相乘可以省略乘号并把数字放在字母前面，两个相同的数相乘可以写作这个数的平方。据此解答。 【规范解答】周长：a×4＝4a（厘米） 面积：a×a＝a2（平方厘米） 所以，它的周长是4a厘米，面积是a2平方厘米。 【精练题02】（2024四年级下·辽宁·专题练习）3.8×（a－b）＝3.8a－b。( ) 【答案】× 【思路点拨】乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变。用字母表示a×（b＋c） ＝a×b＋a×c；一个数乘两个数的差，等于这个数分别与这个数相乘再相减，据此解答即可。 【规范解答】3.8×（a－b）＝3.8a－3.8b 原题描述有误。 故答案为：× 考点三：用字母表示稍复杂的数量关系 【精讲题】（22-23四年级下·四川成都·期末）自来水公司规定，每户每月用水9吨以内（含9吨），按每吨x元收费。超过9吨的部分按每吨y元收费。小明家1月份用水15吨应缴费( )元，若x为2元，y为4元，则他家应交水费( )元。 【答案】 9x＋6y/6y＋9x 42 【思路点拨】根据题意，应缴纳的水费需要分两部分进行计算：一部分是前9吨的费用，另一部分是超过9吨部分的费用。小明家1月份用水15吨，其中前9吨按照每吨x元收费，所以前9吨的费用为9x元；超过9吨的部分为15吨减去9吨，即6吨，这6吨按照每吨y元收费，所以超过9吨部分的费用为6y元，再将两部分的费用相加即是1月份应缴的费用。 将x、y的值代入到式子中进行计算即可。 【规范解答】9x＋（15－9）y＝（9x＋6y）元 因此，小明家1月份用水15吨应缴费（9x＋6y）元。 当x为2元，y为4元时，代入式子中得到： 9x＋6y＝9×2＋6×4＝18＋24＝42（元） 则他家应交水费42元。 【精练题01】（23-24四年级下·广东梅州·期末）有两个数x、y，y减去x的4倍的差除15的算式是（    ）。 A．15÷（x－4y） B．15÷（y－4x） C．（y－4x）÷15 【答案】B 【思路点拨】此题先求x的4倍，即为4x，再用y减4x，将这个减法写在小括号里，小括号外是除法，15作被除数，小括号中式子计算出的得数作为除数，据此列式。 【规范解答】y减去x的4倍的差除15的算式是15÷（y－4x）。 故答案为：B 【精练题02】（23-24四年级下·四川成都·期末）像这样搭，搭3个图形用13根小棒，搭10个这样的图形要用( )根小棒，搭n个图形要用( )根小棒。 【答案】 41 4n＋1/1＋4n 【思路点拨】观察图形发现，第一个图形用5根小棒，第二个图形用9根小棒，第三个图形用13根小棒，第四个图形用17根小棒，发现第n个图形用5n－（n－1）＝4n＋1根小棒。据此解答即可。 【规范解答】由分析可知： 第10个图形用： 4n＋1 ＝4×10＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 搭n个图形用：5n－（n－1）＝4n＋1 像这样搭，搭3个图形用13根小棒，搭10个这样的图形要用41根小棒，搭n个图形要用4n＋1根小棒。 考点四：含有字母式子的化简与求值 【精讲题】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）复兴号动车组一等座车厢有1节，有a个座位，二等座车厢有7节，每节车厢有b个座位，那么这列动车一共有( )个座位。如果a＝56，b＝98，那么这列动车一共有( )个座位。 【答案】 a＋7b/7b＋a 742 【思路点拨】用1乘a可以计算出一等座车厢的座位总数，用7乘b可以计算出二等座车厢的座位总数，然后将两个结果相加，可以计算出这列动车一共有多少个座位；然后将a＝56，b＝98，带入算式计算出结果，有加有乘，先计算乘法再计算加法；据此解答。 【规范解答】根据分析： 1×a＋7×b＝（a＋7b）个 如果a＝56，b＝98 a＋7b ＝56＋7×98 ＝56＋686 ＝742（个） 所以这列动车一共有a＋7b个座位。如果a＝56，b＝98，那么这列动车一共有742个座位。 【精练题01】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）无人机除了用于航拍之外，还可以用于喷洒农药等功能。一架无人机每小时喷洒农药a平方米，上午喷洒了3小时，下午喷洒了t小时，这架无人机一天喷洒了（    ）平方米的农药。 A．3a＋at B．a＋3t C．3a＋3t 【答案】A 【思路点拨】这架无人机每小时喷洒农药面积乘上午喷洒时间，可以算出上午喷洒了a×3平方米；这架无人机每小时喷洒农药面积乘下午喷洒时间，可以算出下午喷洒了a×t平方米；上午喷洒面积加上下午喷洒面积，即可算出这架无人机一天喷洒了（a×3＋a×t）平方米。 字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写，书写时，把数字放在前面，字母放在后面。 【规范解答】a×3＋a×t＝（3a＋at）平方米 无人机除了用于航拍之外，还可以用于喷洒农药等功能。一架无人机每小时喷洒农药a平方米，上午喷洒了3小时，下午喷洒了t小时，这架无人机一天喷洒了（3a＋at）平方米的农药。 故答案为：A 【精练题02】（23-24四年级下·广东深圳·阶段练习）某希望小学四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多名学生，四（3）班比四（2）班少名学生。 （1）四（2）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （2）四（3）班有多少名学生？（用含字母的式子表示） （3）当，时，四（3）班有多少名学生？ 【答案】（1）46＋x （2）46＋x－a （3）48名 【思路点拨】（1） 已知四（1）班共有46名学生，四（2）班比四（1）班多x名学生， 那么四（2）班的学生人数为四（1）班的人数加上多的人数，即（46＋x） 名。 （2） 因为四（3）班比四（2）班少a名学生，四（2）班有（46＋x）名学生，所以四（3）班的学生人数为四（2）班的人数减去少的人数，即（46＋x−a）名。 （3）把x＝3， a＝1代入 即可解答。 【规范解答】（1）四（2）班有（46＋x）人； （2）四（3）班有（46＋x－a）人； （3）当x＝3，a＝1时； 46＋3－1 ＝49－1 ＝48（名） 答：四（3）班有48名学生。 考点五：等式的认识及列等量关系式 【精讲题】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）世界杯足球赛用的足球，白色皮共20块，比黑色皮的2倍少4块。由此可以得到的等量关系是：( )＝白色皮块数。 【答案】黑色皮块数×2－4 【思路点拨】题目中明确指出白色皮共20块，且白色皮比黑色皮的2倍少4块。也就是说白色皮的数量并未达到黑色皮的数量的两倍，也就是白色皮需要再加上4块，就刚好是黑色皮数量的两倍，反过来理解，就是黑色皮数量乘2再减去4就是白色皮的数量。 【规范解答】根据上述分析，等量关系为：黑色皮块数×2－4＝白色皮块数。 【精练题01】（23-24五年级下·四川成都·期末）某生鲜超市批发了一些水果，其中水蜜桃的箱数是橘子的4倍，橘子比水蜜桃少57箱”。根据信息，等量关系可以表示为( )。 【答案】橘子的箱数×4－橘子的箱数＝57 【思路点拨】由于水蜜桃的箱数是橘子的4倍，根据求一个数的几倍是多少，用这个数×几，则橘子的箱数×4＝水蜜桃的箱数，由于橘子比水蜜桃少57箱，则水蜜桃的箱数－橘子的箱数＝57，据此即可填空。 【规范解答】由分析可知： 某生鲜超市批发了一些水果，其中水蜜桃的箱数是橘子的4倍，橘子比水蜜桃少57箱”。根据信息，等量关系可以表示为：橘子的箱数×4－橘子的箱数＝57。 【精练题02】（22-23四年级下·四川成都·期末）表示下图情境中的等量关系，（    ）是错误的。 A．科技书的本数×2＝图画书的本数 B．故事书的本数－科技书的本数＝500本 C．故事书的本数＋500本＝科技书的本数 【答案】C 【思路点拨】根据题意可知，科技书的本数＋500本＝故事书的本数，计算一个数的几倍是多少，用乘法计算；依此即可选择。 【规范解答】A．科技书的本数×2＝图画书的本数，此等量关系正确。 B．故事书的本数－科技书的本数＝500本，此等量关系正确。 C．故事书的本数－500本＝科技书的本数，即原等量关系错误。 故答案为：C 考点六：方程的认识 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）下列（    ）是方程。 A．2x＋28＝70 B．a－3.2＞5.8 C．4x－10＜20 D．a＋b＝b＋a 【答案】A 【思路点拨】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。 【规范解答】A．2x＋28＝70，既含有未知数x，又是等式，满足方程是含有未知数的等式这一条件，所以它是方程。 B．a－3.2＞5.8，虽然含有未知数a，但它是不等式，不是等式，不满足方程的定义，所以不是方程。 C．4x－10＜20，含有未知数x，但它是不等式，不是等式，不符合方程的概念，所以不是方程。 D．a＋b＝b＋a，它是等式，但没有实际需要求解的未知数（它是加法交换律的表达式，对于任意a、b都成立），不满足方程含有未知数这一关键要素，所以不是方程。 故答案为：A 【精练题01】（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）先说一说各图中的等量关系，再列出方程。 【答案】或 【思路点拨】通过线段图可知：2个b米与15米的和一共是100米。以此写出等量关系式即可。 【规范解答】根据分析可知： 等量关系和列出方程如下： 2个b米＋15米＝100米 2b＋15＝100或15＋2b＝100 【精练题02】（20-21五年级下·安徽蚌埠·期末）在①x＋7.9＜16，②0.23m＝4.6，③55＞m÷0.4，④15×2.4＝36，⑤66－x＝38中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【答案】 ②④⑤ ②⑤ 【思路点拨】方程是指含有未知数的等式。所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式。由此进行选择。 【规范解答】①x＋7.9＜16，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；②0.23m＝4.6，含有未知数且是等式，所以是方程；③55＞m÷0.4，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；④15×2.4＝36，是等式，但不含有未知数，所以不是方程；⑤66－x＝38，含有未知数且是等式，所以是方程；则等式有②④⑤，方程有②⑤。 考点七：列简易方程 【精讲题】（24-25四年级下·辽宁·随堂练习）根据题意先说出等量关系再列出方程。 一辆公共汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上现有15人，车上原有x人，那么 。 【答案】x－5＋8＝15 【思路点拨】这辆公共汽车上原来的人数减去下车人数，再加上上车人数，可以算出现在车上人数。据此列出等量关系及方程。 【规范解答】等量关系式：车上原来人数－5＋8＝15 一辆公共汽车到站时，有5人下车，8人上车，车上现有15人，车上原有x人，那么x－5＋8＝15。 【精练题01】（23-24四年级下·安徽亳州·期末）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读2小时，如果笑笑平均每小时阅读m个字，一共阅读了14050个字，列出方程是( )。 【答案】3.2m＝14050 【思路点拨】根据等量关系：笑笑平均每小时阅读字的个数×笑笑在图书馆阅读的时间＝一共阅读的字数，据此列方程即可。 【规范解答】1.2＋2＝3.2（小时） 笑笑在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读2小时，如果笑笑平均每小时阅读m个字，一共阅读了14050个字，列出方程是3.2m＝14050。 【精练题02】（22-23四年级下·浙江金华·期末）根据图文信息，列出方程（不计算）。 跳远比赛中，小丽跳了y米，小红比小丽多跳了0.24米，小芳比小红少跳0.1米，小芳跳了3.04米。 【答案】y＋0.24－0.1＝3.04 【思路点拨】根据题意，用y加上0.24，求出小红跳的米数；用小红跳的米数减去0.1，求出小芳跳的米数；等量关系为：小丽跳的米数＋0.24－0.1＝小芳跳的米数，据此列方程即可解答。 【规范解答】y＋0.24－0.1＝3.04 解：y＋0.14＝3.04 y＋0.14－0.14＝3.04－0.14 y＝2.9 答：小丽跳了2.9米。 考点八：等式的性质1 【精讲题】（22-23四年级下·辽宁·课前预习）求出y＋8＝10中的未知数y。 分析与解答：等式两边同时加上（或减去）( )，等式仍然成立。所以在这个方程的两边同时减去( )，即y＋8－8＝10－8，得y＝2。 解：y＋8－8＝10－8 y＝2 验证：2＋8＝10，正确。 【答案】 同一个数 8 【思路点拨】在等式的两边同时加或减去同一个数，等式仍成立，利用等式的性质解方程即可。 【规范解答】y＋8＝10 解：y＋8－8＝10－8 y＝2 所以，等式两边同时加上（或减去）（同一个数），等式仍然成立。所以在这个方程的两边同时减去（8），即y＋8－8＝10－8，得y＝2。 【精练题01】（22-23四年级下·辽宁·课前预习）阅读教材第68页例题。 分析与解答： 从图中可以看出，天平的左右两边都( )同样质量的物体，天平仍然平衡。天平左右两边都( )同样质量的物体，天平仍然平衡。 【答案】 加上 减去 【思路点拨】等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；据此即可解答。 【规范解答】分析与解答： 从图中可以看出，天平的左右两边都加上同样质量的物体，天平仍然平衡。天平左右两边都减去同样质量的物体，天平仍然平衡。 【精练题02】（22-23四年级下·四川成都·期末）投篮比赛中，奇思得了31分，比妙想的2倍少5分，妙想得了m分，下面方程正确的是（    ）。 A．31－2m＝5 B．（31－5）÷2＝m C．（31－5）÷m＝2 D．31＋5＝2m 【答案】D 【思路点拨】根据题意可知，题中的等量关系为：妙想得的分数×奇思的得分是妙想的倍数－少的分数＝奇思得的分数，据此列式即可。 【规范解答】根据题意可知，奇思得了31分，奇思比妙想的2倍少5分，妙想得了m分，则 2m－5＝31 2m－5＋5＝31＋5 2m＝31＋5 即31＋5＝2m。 故答案为：D 考点九：等式的性质2 【精讲题】（2024四年级下·辽宁·专题练习）如果，根据等式的性质填空。 　　     　　     【答案】 3 0.9 25 【思路点拨】等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。据此解答。 【规范解答】          【精练题01】（23-24四年级下·山西运城·期末）请你用画图的方法表示解“3x＋2＝20”的过程，并写清楚每一步的道理。 【答案】图见详解；第一步运用等式的性质1，将方程两边同时减去2；第二步运用等式的性质2，将方程左右两边同时除以3 【思路点拨】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式；天平的左边画2个框，1个框表示3x，另一个框表示2，天平的右边画20÷2＝10（个）框，每个框都表示2；第一步：天平两边同时去掉1个表示2的框，也就是将方程两边同时减去2；第二步：将天平左边的框平均分成3份，右边所有的框也平均分成3份，也就是将方程左右两边同时除以3；最后得到的就是x的结果，据此解答。 【规范解答】3x＋2＝20 解：3x＋2－2＝20－2 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 如图： 答：第一步运用等式的性质1，将方程两边同时减去2；第二步运用等式的性质2，将方程左右两边同时除以3。 【精练题02】（21-22四年级下·广东惠州·期末）同学们，你们知道吗？足球上有黑白两种颜色，其中黑色皮都是五边形，白色皮都是六边形的，白色皮有20块，比黑色皮的2倍少4块，黑色皮有多少块？（列方程解答） 【答案】12块 【思路点拨】列方程解决问题，首先要明确题中的已知量，未知量和它们之间的等量关系；根据题意可得白色皮的块数＝黑色皮块数×2－4，设黑色皮有x块，那么白色皮就有x×2－4块，已知白色皮有20块，据此列出方程。 【规范解答】解：设黑色皮有x块，根据题意可得方程： x×2－4＝20 2x－4＋4＝20＋4 2x＝24 2x2＝242 x＝12 答：黑色皮有12块。 考点十：应用等式的性质1和2解方程 【精讲题】（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）方程160－4x＝60中的x的值是（    ）。 A．x＝55 B．x＝25 C．x＝100 D．10 【答案】B 【思路点拨】根据方程的性质1，将两边同时加4x，再同时减去60，再根据等式的性质2，将两边同时除以4即可求解。 【规范解答】160－4x＝60 解：160－4x＋4x＝60＋4x 160＝60＋4x 160－60＝60＋4x－60 100＝4x 100÷4＝4x÷4 x＝25 方程160－4x＝60中的x的值是25。 故答案为：B 【精练题01】（23-24四年级下·浙江金华·期末）小红用圆片照下图所示摆三角形，摆n个三角形用( )个小圆片，183个小圆片可以摆( )个三角形。 【答案】 3n＋3 60 【思路点拨】观察图形可知，1个三角形需要（3＋3×1）个小圆片，2个三角形需要（3＋3×2）个小圆片，每增加一个三角形就会增加3个小圆片，摆n个三角形，则需要（3n＋3）个小圆片。求183个小圆片可以摆多少个三角形，三角形的个数是n个，根据等量关系，即3n＋3＝183，据此解答即可。 【规范解答】3＋3×n ＝（3n＋3）个 3n＋3＝183 解：3n＋3－3＝183－3 3n＝180 3n÷3＝180÷3 n＝60 因此，摆n个三角形用（3n＋3）个小圆片，183个小圆片可以摆60个三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·江西九江·期末）为了保护环境减少碳排放，我国大力研发并推广新能源汽车。下面是2019年和2023年全国新注册登记新能源汽车数量关系图。 （1）根据线段图，补充括号里的信息，再写出等量关系。 等量关系：______ （2）2019年全国新注册登记新能源汽车有多少万辆？列方程并解答。 【答案】（1）6；23；2019 年全国新注册登记新能源汽车数量×6＋23万辆＝743万辆 （2）120万辆 【思路点拨】（1）观察线段图，2023年对应的线段长度是2019年对应线段长度的6倍还多出一小段，这一小段表示23万辆，所以2023年全国新注册登记新能源汽车743万辆，比2019年的6倍还多23万辆。那么等量关系就是：2019年新能源汽车数量×6＋23万辆＝2023年新能源汽车数量，已知2023年新能源汽车数量是743万辆，即2019年新能源汽车数量×6＋23万辆＝743万辆。 （2）设2019年全国新注册登记新能源汽车有 x 万辆，根据（1）中得到的等量关系可列出方程：6x＋23＝743，据此解方程即可。 【规范解答】 （1） 等量关系：2019年全国新注册登记新能源汽车数量×6＋23万辆＝743万辆 （2）解：设2019年全国新注册登记新能源汽车有x万辆。 6x＋23＝743 6x＋23－23＝743－23 6x＝720 6x÷6＝720÷6 x＝120 答：2019年全国新注册登记新能源汽车120万辆。 考点十一：列方程解含一个未知数的问题 【精讲题】（23-24四年级下·吉林长春·期末）买一副乒乓球拍比10个乒乓球贵1.8元，每个乒乓球2.5元，一副乒乓球拍多少元？（列方程解答） 【答案】26.8元 【思路点拨】根据题意找数量关系：一副乒乓球拍的价钱－1.8＝10个乒乓球×每个乒乓球2.5元，设一副乒乓球拍的价钱为未知量，代入数据列方程为X－1.8＝10×2.5，再根据等式性质1，方程两边同时加1.8解方程。 【规范解答】解：设一副乒乓球拍X元。 X－1.8＝10×2.5 X－1.8＝25 X－1.8＋1.8＝25＋1.8 X＝26.8 答：一副乒乓球拍26.8元。 【精练题01】（23-24四年级下·四川成都·期末）手工制作。笑笑做5个蝴蝶结和3颗星星共用去248厘米长的丝带，每个蝴蝶结用去丝带34厘米，每颗星星用去丝带多少厘米？（列方程解决问题） 【答案】26厘米 【思路点拨】根据题意可知，每个蝴蝶结用去丝带的厘米数×5＋每颗星星用去丝带的厘米数×3＝丝带的总长度，设每颗星星用去丝带x厘米，根据等量关系式列方程，即可求出每颗星星用去丝带多少厘米，据此解答即可。 【规范解答】解：设每颗星星用去丝带x厘米。 34×5＋3x＝248 170＋3x＝248 170－170＋3x＝248－170 3x＝78 3x÷3＝78÷3 x＝26 答：每颗星星用去丝带26厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·广西桂林·期末）四（1）班买了60个绣球和80个彩蛋，共花了460元。一个绣球5元，一个彩蛋需要多少钱？（列方程解决问题） 【答案】2元 【思路点拨】根据题意，已知的是绣球的数量是60个，每个5元；彩蛋的数量是80个，但单价未知，需要求的就是这个彩蛋的单价。总花费是460元。那我们可以设彩蛋的单价为x元。接下来就是根据总价来列方程。总价等于各个物品数量乘单价之和，所以应该是绣球的总费用加上彩蛋的总费用等于460元。绣球的总费用是60个乘以5元每个，也就是60×5＝300（元）。彩蛋的总费用是80个乘以x元，也就是80x元。所以总费用就是300＋80x＝460。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 解：设每个彩蛋的价格为x元。 60×5＋80x＝460 300＋80x＝460 300－300＋80x＝460－300 80x＝160 80x÷80＝160÷80 x＝2 答：一个彩蛋需要2元钱。 考点十二：列方程解含两个未知数的问题 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）国家对纯电动汽车规定的补贴标准如表。一家汽车店5月份卖出的续航400千米以上的车刚好是400千米及以内车的2倍，共发放补贴75万元，卖出续航400千米及以内的车有多少辆？ 续航里程档次 400千米以上 400千米及以内 补贴价格 2万元/辆 1万元/辆 【答案】15辆 【思路点拨】设卖出续航400千米及以内的车的数量为x辆。因为题目中提到卖出续航400千米以上的车是续航400千米及以内车的2倍，所以卖出续航400千米以上的车的数量为2x辆。然后，我们根据补贴价格来计算补贴的总金额，对于续航400千米以上的车，每辆补贴2万元，所以这部分车的补贴金额为2×2x万元；对于续航400千米及以内的车，每辆补贴1万元，所以这部分车的补贴金额为1×x万元。已知总共发放补贴75万元，所以我们可以列出方程2×2x＋1×x＝75，据此解答即可。 【规范解答】解：设卖出续航400千米及以内的车有x辆，则卖出续航400千米以上的车有2x辆。 2×2x＋1×x＝75 4x＋x＝75 5x＝75 5x÷5＝75÷5 x ＝15 答：卖出续航400千米及以内的车有15辆。 【精练题01】（22-23四年级下·四川成都·期末）善于观察是我们在解决数学问题重非常重要的好习惯，请认真观察下图，联系所学知识与方法解决问题。下图是由两个完全相同的长方形拼成的，这个图形的周长是多少厘米？ 【答案】72厘米 【思路点拨】根据图意可知，长比宽多6厘米，长加宽的和是22厘米。可以通过解方程来解决这个问题，设宽是x厘米，则长就是（x＋6）厘米。根据长加宽的和是22厘米，这个数量关系列出方程。再求出相应的宽和长的厘米数。解方程时，根据等式的性质：在等式两边同时加上或者减去一个数（式子），结果仍为等式。以及在等式两边同时乘一个数或除以同一个不为0的数，结果仍为等式。而这个不规则图形可以通过平移法，变成一个新长方形，长方形的长是22厘米，宽是小长方形的长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可以算出这个图形的周长。 平移后的图形如下： 【规范解答】解：设长方形的宽是x厘米，则长方形的长是（x＋6）厘米。 x＋6＋x＝22 x＋x＋6－6＝22－6 x＋x＝16 2x＝16 2x÷2＝16÷2 x＝8 长：8＋6＝14（厘米） （22＋14）×2 ＝36×2 ＝72（厘米） 答：这个图形的周长是72厘米。 【精练题02】（23-24五年级下·四川成都·期末）看图列方程求出女生人数。 【答案】x＝9 【思路点拨】根据图示，男生人数是女生人数的4倍还少3人，所以设女生为x人，那么男生人数为（4x－3）人，可知等量关系式为：女生人数＋男生人数＝42人，据此列出方程再解方程即可。 【规范解答】解：设女生为x人，则男生为（4x－3）人。 x＋4x－3＝42 5x－3＝42 5x－3＋3＝42＋3 5x＝45 5x÷5＝45÷5 x＝9 女生有9人。 考点十三：列方程解决稍复杂的实际问题 【精讲题】（23-24四年级下·甘肃定西·期末）能力提升题。   贝贝和丽丽做兰花，贝贝已经做了120个，丽丽已经做了150个，从现在开始贝贝每天做15个，丽丽每天做12个，多少天后两人做的兰花数量同样多？（列方程解答） 【答案】10天 【思路点拨】根据题意可知数量关系为：贝贝已做的120个＋贝贝再做的个数＝丽丽已做的150个＋丽丽再做的个数，并设x天后两人做的兰花数量同样多；根据每天做的个数×做的天数＝再做的个数，分别表示出贝贝再做的个数是15x个，丽丽再做的个数是12x个；根据数量关系列出方程，再根据等式的性质（一）（二）及乘法分配律解方程即可。据此解答。 【规范解答】解：设x天后两人做的兰花数量同样多； 120＋15x＝150＋12x 120＋15x－120＝150＋12x－120 15x＝150－120＋12x 15x＝30＋12x 15x－12x＝30＋12x－12x （15－12）x＝30 3x＝30 3x÷3＝30÷3 x＝10 答：10天后两人做的兰花数量同样多。 【精练题01】（23-24四年级下·山西运城·期末）有一个三层的书架，上面一共放了450本书，上层比下层多放了50本书，下层比中层少放了10本书。这个书架的上、中、下三层各放了多少本书？ 【答案】上层180本；中层140本；下层130本 【思路点拨】根据题意可知，下层放书的数量＋50本＝上层放书的数量，下层放书的数量＋10本＝中层放书的数量，上层放书的数量＋中层放书的数量＋下层放书的数量＝450本，故设下层放书x本，进而就可知上层放书（x＋50）本，下层放书（x＋10）本，根据等量关系式列出方程，再根据等式的基本性质解方程即可。 【规范解答】解：设下层放书x本 x＋50＋x＋10＋x＝450 3x＋60＝450 3x＋60－60＝450－60 3x＝390 3x÷3＝390÷3 x＝130 130＋50＝180（本） 130＋10＝140（本） 答：这个书架上层放书180本，中层放书140本，下层放书130本。 【精练题02】（23-24四年级下·四川成都·期末）商店出售的鞋子规格大小有两种表示方式：“厘米”和“码”。根据下面的尺码对照表，你知道36码相当于( )厘米。 厘米 13.5 14 14.5 15 … 码 17 18 19 20 … 【答案】23 【思路点拨】通过观察可以发现，表示鞋子的“厘米”与“码”的关系是厘米数×2－10＝码；设36码的鞋子为X厘米，根据等量关系，x×2－10＝码，列方程解答即可。 【规范解答】解：设36码的鞋子为x厘米。 x×2－10＝36 2x－10＝36 2x－10＋10＝36＋10 2x＝46 2x÷2＝46÷2 x＝23 商店出售的鞋子规格大小有两种表示方式：“厘米”和“码”。根据下面的尺码对照表，36码相当于23厘米。 基础夯实优选题专练 1．（23-24四年级下·广东惠州·期末）“方程”一词，最早出现在我国古代数学书籍《九章算术》中。下列式子是方程的是（    ）。 A．0.5x＋3＝9 B．0.4x＋3.6 C．7x＋10.2＞28 【答案】A 【思路点拨】方程是含有未知数的等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此解答。 【规范解答】A．0.5x＋3＝9既是等式，又含有未知数，所以它是方程。 B．0.4x＋3.6虽然含有未知数，但不是等式，所以它不是方程。 C．7x＋10.2＞28虽然含有未知数，但不是等式，所以它不是方程。 故答案为：A 2．（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）下图是由等边三角形和正方形组成的，它的周长是（    ）。 A．5a B．6a C．7a 【答案】A 【思路点拨】观察图形可知，该图是由等边三角形的两条边和正方形的三条边组成的，从图中可以看出等边三角形的边长和正方形的边长相等。则它的周长等于正方形的三条边的长度加上等边三角形的两条边的长度，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，则该图形的周长为：3a ＋2a ＝5a。 即它的周长是5a。 故答案为：A 3．（23-24四年级下·安徽六安·期末）下面（    ）是方程。 A．x＋1 B．2＋x＞3 C．x＋5＝7 【答案】C 【思路点拨】方程是指含有未知数的等式，其中有两个条件：含有未知数和是等式，据此可判断。 【规范解答】A．x＋1含有未知数，但不是等式，不是方程。 B．2＋x＞3含有未知数，但不是等式，不是方程。 C．x＋5＝7含有未知数，也是等式，所以是方程。 故答案为：C 4．（23-24四年级下·四川成都·期末）用小棒搭房子（如下图）。按此规律，摆n个房子需要( )根小棒。 【答案】4n＋1 【思路点拨】摆1个房子需要5根小棒，摆2个房子需要（2×5－1）个，摆3个房子需要（3×5－2）个，也就是摆几个房子，就用几×5然后再减去（几－1）个即可。 【规范解答】5×n－（n－1） ＝5n－n＋1 ＝4n＋1 用小棒搭房子（如下图）。按此规律，摆n个房子需要（4n＋1）根小棒。 5．（23-24四年级下·安徽六安·期末）四年级同学订阅的《少年博览》每本10元，四（1）班有m名同学订阅，一共需要( )元，每本《奋进新征程做好接班人》比每本《少年博览》贵a元，每本《奋进新征程做好接班人》( )元。 【答案】 10m 10＋a/a＋10 【思路点拨】题目可知《少年博览》每本10元，几名同学买就用10乘几，即可得到需要多少元；《奋进新征程做好接班人》比《少年博览》贵a元，就用10加上a，即可得到答案。 【规范解答】四（1）班有m名同学订阅《少年博览》：10×m＝10m（元）； 每本《奋进新征程做好接班人》：10＋a＝（10＋a）元； 四年级同学订阅的《少年博览》每本10元，四（1）班有m名同学订阅，一共需要10m元，每本《奋进新征程做好接班人》比每本《少年博览》贵a元，每本《奋进新征程做好接班人》（10＋a）元。 6．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）猎豹是陆地上奔跑最快的动物。一只猎豹t秒奔跑了3000米，它的奔跑速度是( )米/秒。 【答案】3000÷t 【思路点拨】根据“速度＝路程÷时间”，用这只猎豹t秒奔跑的路程除以花费的时间，即可求出它的奔跑速度；据此解答。 【规范解答】猎豹是陆地上奔跑最快的动物。一只猎豹t秒奔跑了3000米，它的奔跑速度是（3000÷t）米/秒。 7．（23-24四年级下·陕西汉中·期末）含有未知数的式子7＋4x＜19是方程。( ) 【答案】× 【思路点拨】含有未知数的等式叫做方程。 【规范解答】7＋4x＜19含有未知数，但不是等式，7＋4x＜19不是方程。 含有未知数的式子7＋4x＜19不是方程。 故答案为：× 8．（23-24四年级下·安徽安庆·期末）含有未知数的算式叫做方程。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据方程的意义，含有未知数的等式叫做方程，即含有未知数的等式是方程。方程必须具备两个条件：①必须是等式；②必须含有未知数。 【规范解答】例如：x＋5＝10，2x－5＝15，既含有未知数，也是等式，这是方程； x＋5，2x－5，只含有未知数，但不是等式，这不是方程； 含有未知数的等式叫做方程。原题说法错误。 故答案为：× 9．（23-24四年级下·浙江丽水·期末）下图是笑笑去超市买文具的购物小票。 超市购物小票 商品    数量    单价 钢笔    1支    24元 笔记本    4本    ？元 合计：84元 （1）根据小票中的信息写出等量关系。 （2）笔记本的单价是多少元？列方程解答。 【答案】 （1）钢笔的总价＝钢笔的单价×钢笔的数量；笔记本的总价＝笔记本的单价×笔记本的数量；合计金额＝钢笔的总价＋笔记本的总价 （2）15元 【思路点拨】（1）总价＝单价×数量，钢笔的总价＝钢笔的单价×钢笔的数量，笔记本的总价＝笔记本的单价×笔记本的数量，钢笔的总价＋笔记本的总价＝合计金额。 （2）假设笔记本的单价是x元，笔记本的总价＝4x，钢笔的总价＝24×1，4x＋24×1＝84，然后再根据等式的性质1和2解方程即可。 【规范解答】（1）钢笔的总价＝钢笔的单价×钢笔的数量，笔记本的总价＝笔记本的单价×笔记本的数量，合计金额＝钢笔的总价＋笔记本的总价。 （2）解：设笔记本的单价是x元。 4x＋24×1＝84 4x＋24＝84 4x＋24－24＝84－24 4x＝60 4x÷4＝60÷4 x＝15 答：笔记本的单价是15元。 10．（23-24四年级下·陕西西安·期末）一本硬面笔记本的价钱比5本软面抄本子贵3.5元，已知每本软面抄本子4.2元，那么一本硬面笔记本多少元？（列方程解答） 【答案】24.5元 【思路点拨】根据题意，设一本硬面笔记本x元。已知每本软面抄本子4.2元，那么5本软面抄本子的价格是5×4.2元。又因为一本硬面笔记本的价钱比5本软面抄本子贵3.5元，所以可列方程：x－5×4.2＝3.5；然后解方程即可。 【规范解答】解：设一本硬面笔记本x元，根据题意得： x－5×4.2＝3.5 x−21＝3.5 x−21＋21＝3.5＋21 x＝24.5 答：一本硬面笔记本24.5元。 培优优选题专练 11．（23-24四年级下·陕西渭南·期末）甲、乙、丙三人都有零花钱。甲说：“我的零花钱比乙的零花钱多10元。”乙说：“我的零花钱是丙零花钱的3倍少4元。”丙说：“我有9元零花钱。”下面正确表示甲、乙、丙之间的等量关系的是（    ）。 A．甲的零花钱－10元＝乙的零花钱    丙的零花钱×3－4元＝乙的零花钱 B．乙的零花钱＋10元＝甲的零花钱    乙的零花钱×3－4元＝丙的零花钱 C．乙的零花钱－10元＝甲的零花钱    丙的零花钱÷3－4元＝乙的零花钱 D．甲的零花钱－10元＝乙的零花钱    丙的零花钱÷3－4元＝乙的零花钱 【答案】A 【思路点拨】根据题意可知，甲的零花钱比乙的零花钱多10元，等量关系是甲的零花钱－10元＝乙的零花钱。乙的零花钱是丙零花钱的3倍少4元，等量关系是丙的零花钱×3－4元＝乙的零花钱。据此解答。 【规范解答】由分析得： 正确表示甲、乙、丙之间的等量关系的是甲的零花钱－10元＝乙的零花钱，丙的零花钱×3－4元＝乙的零花钱。 故答案为：A 12．（23-24四年级下·陕西西安·期末）乐乐和妈妈今年的年龄之和是48岁，a年后，她们的年龄之和是（    ）岁。 A．48 B．48－2a C．48＋2a 【答案】C 【思路点拨】乐乐和妈妈今年的年龄之和是48岁，a年后两人年龄分别增加了a岁，因此两个人增加的年龄和为2a岁，加上之前的48岁，即乐乐和妈妈的年龄之和是（48＋2a）岁；据此解答即可。 【规范解答】据分析可得： 乐乐和妈妈今年的年龄之和是48岁，a年后，她们的年龄之和是（48＋2a）岁。 故答案为：C 13．（23-24四年级下·浙江金华·期末）根据以下信息，下列等量关系错误的是（    ）。 信息一：姚明的身高是妹妹的2倍 信息二：淘气比妹妹高4厘米 A．妹妹的身高×2＝姚明的身高 B．淘气的身高－4厘米＝妹妹的身高 C．姚明的身高÷2＝淘气的身高－4厘米 D．妹妹的身高＋4厘米＝姚明的身高÷2 【答案】D 【思路点拨】求一个数的几倍是多少用乘法，用妹妹的身高乘2即可求出姚明的身高；已知一个数的几倍是多少求这个数用除法，用姚明的身高除以2即可求出妹妹的身高；用妹妹的身高加上淘气比妹妹高的4厘米，即可求出淘气的身高，用淘气的身高减去比妹妹高的4厘米，即可求出妹妹的身高，据此分析每个选项先出等量关系错误的即可。 【规范解答】A．妹妹的身高×2＝姚明的身高，等量关系正确； B．淘气比妹妹高4厘米，则用淘气的身高减去高的4厘米，即可求出妹妹的身高，等量关系正确； C．用姚明的身高除以2可以求出妹妹的身高，用淘气的身高减去比妹妹高的4厘米可以求出妹妹的身高，等量关系正确； D．妹妹的身高加上淘气比妹妹高的4厘米，可以求出淘气的身高，姚明的身高除以2求出的是妹妹的身高，淘气的身高和妹妹的身高不相等，等量关系错误。 等量关系错误的是妹妹的身高＋4厘米＝姚明的身高÷2。 故答案为：D 14．（23-24四年级下·广东惠州·期末）西安是国务院公布的首批国家历史文化名城，历史上有13个朝代在此建都，比在南京建都的朝代多a个，有( )个朝代在南京建都。若a＝6，则有( )个朝代在南京建都。 【答案】 13－a 7 【思路点拨】由题意得，历史上有13个朝代在西安建都，比在南京建都的朝代多a个，那么在南京建都的朝代就比13少a个，直接用13减去a即可表示出有多少个朝代在南京建都。若a＝6，那么直接将这个值代入即可算出具体有多少个朝代在南京建都。 【规范解答】在南京建都的朝代有：（13－a）个 若a＝6，13－a＝13－6＝7（个） 历史上有13个朝代在西安建都，比在南京建都的朝代多a个，有（13－a）个朝代在南京建都。若a＝6，则有7个朝代在南京建都。 15．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）笑笑今年a岁，爸爸比她大24岁，爸爸今年( )岁。妈妈的年龄是笑笑的3倍，妈妈今年( )岁。 【答案】 a＋24/24＋a 3a/3×a/a×3 【思路点拨】根据题意，题目明确爸爸比笑笑大24岁。若笑笑今年是a岁，则爸爸的年龄为a＋24（年龄差直接相加）；题目指出妈妈的年龄是笑笑的3倍，即妈妈的年龄为3×a＝3a（倍数关系用乘法）。以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 笑笑今年a岁，爸爸比她大24岁，爸爸今年a＋24岁。妈妈的年龄是笑笑的3倍，妈妈今年3a岁。 16．（23-24四年级下·吉林长春·期末）小明今年a岁，比叔叔小15岁，今年小明叔叔年龄用式子表示为( )岁。 【答案】a＋15 【思路点拨】根据题意：叔叔的今年年龄＝小明今年年龄＋15岁，把a和15代入式子表示。 【规范解答】小明今年a岁，比叔叔小15岁，今年小明叔叔年龄用式子表示为（a＋15）岁。 17．（23-24四年级下·安徽宿州·期末）方程5x－10＝10与12－2x＝4的解相同。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据等式的性质1、2求出两个方程的解，再比较后判断。 等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。等式的性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 【规范解答】5x－10＝10 解：5x－10＋10＝10＋10 5x＝20 5x÷5＝20÷5 x＝4 12－2x＝4 解：12－2x＋2x＝4＋2x 4＋2x＝12 4＋2x－4＝12－4 4x＝8 4x÷4＝8÷4 x＝2 方程5x－10＝10与12－2x＝4的解不相同。原题说法错误。 故答案为：× 18．（23-24四年级下·陕西西安·阶段练习）因为a2表示2个a相乘，所以a2一定比2a大。( ) 【答案】× 【思路点拨】a2表示2个a相乘，2a表示2与a相乘，可以假设a＝2、a＝1和a＝3这几种情况，分别计算出结果再进行比较；据此解答。 但a2与2a的大小取决于a的大小， 2a＝2×2＝4；如果a＝1，a2＝1，2a＝2，1＜2，那么a2＜2a，；如果a＝3，a2＝3×3＝9，2a＝2×3＝6，9＞6，那么a2＞2a，不能确定a2与2a的大小。 【规范解答】由分析可知：如果a＝2，那么a2＝2×2＝4，2a＝2×2＝4，此时a2＝2a；如果a＝1，那么a2＝1×1＝1，2a＝2×1＝2，此时a2＜2a；如果a＝3，那么a2＝3×3＝9，2a＝2×3＝6，此时a2＞2a；所以a2表示2个a相乘，但不能确定a2一定比2a大，原题干说法错误。 故答案为：× 19．（23-24四年级下·广东惠州·期末）中国拥有最庞大的高铁网络、最复杂的高铁运行环境和最庞大的高铁乘客数量，中国高铁平均时速为350千米/时，比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时。普通小轿车每小时行驶多少千米？ 【答案】95千米 【思路点拨】高铁平均时速比普通小轿车的速度的3倍还多65千米/时，高铁的时速＝小轿车的时速×3＋65，可以设普通小轿车每小时行驶x千米，然后3x＋65＝350，再根据等式的性质1和2来解方程。 【规范解答】解：设普通小轿车每小时行驶x千米。 3x＋65＝350 3x＋65－65＝350－65 3x＝285 3x÷3＝285÷3 x＝95 答：普通小轿车每小时行驶95千米。 20．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）小明与爸爸妈妈去动物园玩，他们用76元正好买了2张成人票和1张儿童票，每张儿童票是16元，每张成人票多少元？（用方程解答） 【答案】30元 【思路点拨】设每张成人票的价格为x元。已知买了2张成人票和1张儿童票，总共花费76元，每张儿童票16元。因为“2张成人票的总价＋1张儿童票的价格＝76元”，2张成人票总价为2x元，所以可列出方程2x＋16＝76，再根据等式的性质1和2解出方程。 【规范解答】解：设每张成人票x元 2x＋16＝76 2x＋16－16＝76－16 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 答：每张成人票30元。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$