精品解析：上海市闵行区莘庄中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

莘庄2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设事件A、B是互斥事件，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用互斥事件的概率加法公式，进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由互斥事件的概率加法公式，可得. 故答案为：. 2. 已知某抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程可以确定抛物线的焦点的位置，设出抛物线的方程，再根据抛物线准线方程，运用待定系数法求出抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以该抛物线的焦点坐标在横轴的负半轴上，因此设抛物线方程为：，因为抛物线的准线方程为，所以有，因此抛物线方程. 故答案为： 【点睛】本题考查了已知抛物线的准线方程求抛物线的标准方程，考查了数学运算能力. 3. 函数的驻点为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用导数的四则运算法则对函数求导，令，求出满足题意的即可. 【详解】设函数，则的定义域为， 求导可得，令，解得或（舍去）. 所以，函数驻点为1. 故答案为：1. 4. 把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种. 【答案】## 【解析】 【分析】利用分步计数乘法原理，即可求解. 【详解】分步计数乘法原理：每封信都有种投法，所以总共有， 故答案为： 5. 在的展开式中，常数项为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出二项展开式的通项公式，然后由的次数为零求出，从而可求出常数项. 【详解】， 令， 所以. 故答案为： 6. 若函数无极值点，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 本题首先可根据函数解析式得出导函数，然后根据函数无极值点得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为函数无极值点， 所以，解得，实数的取值范围是， 故答案为：. 7. 在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有_______种不同的站法. 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意，结合哪吒和敖丙的站法，分类讨论，确定太乙真人的站法，进而得到答案. 【详解】若哪吒和敖丙站第2、3位置，则太乙真人再第4位置，余下的两人站余下的位置， 此时有种站法； 同理，若哪吒和敖丙再第3、4位置，此时有种站法； 若哪吒和敖丙站在第1、2位置，则太乙真人再第3或第4位置，余下的两人站余下的位置， 此时有种站法； 同理，若哪吒和敖丙站第4、5位置，此时也有种站法， 综上可得，共有种站法. 故答案为：24. 8. 甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.7，乙未投中的概率为0.2，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，分为甲中乙未中和甲未中乙中，两种情况，结合相互独立事件的概率公式，进行计算，即可求解. 【详解】设事件“甲投中”，事件“乙投中”，可得，， 则两人中恰有1人投中的概率为. 故答案为：. 9. 从6名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有______种安排方法（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先从6人中选出4人，再将4人分成3组，其中一组2人，最后进行全排列，即可求解. 【详解】根据题意，先从6人中选出4人，再将4人分成3组，其中一组2人，最后进行全排列， 所以有一天安排两人，另两天各安排一人，共有种. 故答案为：. 10. 已知双曲线的左、右焦点为，，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得抛物线方程为，直线的方程为，联立方程组可求得，结合，可求得，可求离心率. 【详解】由双曲线，可得左、右焦点为，， 可得以为焦点的抛物线方程为， 因为，不妨设点P在第一象限，所以直线的方程为， 联立方程可得，消去，可得，解得，所以， 所以， 又，. 故答案为：. 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，求得，根据题意，得到在单调递增，再由函数是上的偶函数，把不等式转化为，得出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案. 【详解】令，可得， 当时，，可得，所以单调递增； 又因为是上的偶函数，可得的图象关于轴对称， 因为不等式， 即，即，即， 所以，可得，所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，令，得到有2个零点；当时，转化为，在有1解，令，可得，再令，得到，求得函数的单调性，得到，进而得到在上单调递减，得到不等式，即可求解. 【详解】当时，令，解得或，有2个零点； 当时，令，即，在有且仅有1解， 令，可得， 令，可得， 当时，可得；当时，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以时，恒成立，即，所以在上单调递减， 又由，，所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分） 13. 某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ） A. 3秒时水管的流水量 B. 3秒内水管的流水总量 C. 3秒内水管的流水量的平均变化率 D. 3秒时水管流水量的瞬时变化率 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率. 故选：D. 14. 若为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数的含义可求答案. 【详解】因为表示共有9个因式的乘积， 所以， 故选：D 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ） A. 两个点数都是偶数 B. 至多有一个点数是偶数 C. 两个点数都是奇数 D. 至多有一个点数是奇数 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系，可得答案. 【详解】由题意，事件为：两个点数都为奇数， 由概率指的是事件的对立事件的概率， 则事件的对立事件为：至少有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数. 故选：D. 16. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论： ①在区间上优于； ②在区间上优于. 那么（ ） A. ①､②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①､②均错误 【答案】B 【解析】 【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解. 【详解】①：当时，；当时，， 所以函数图象都经过点， 则直线的方程为，即， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可知，， 即存在使得在区间上恒成立， 所以在区间上优于，故①正确； ②：问题等同于在区间上优于 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可得，，即， 所以直线的方程为，即. 设曲线在处且平行于直线的切线为， 由，，得，解得， 则切点， 所以，即， 取，则， 所以切线位于直线的下方，则不存在实数使得 ， 即在区间上优于，故②不正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数新定义，利用导数研究不等式恒成立，和导数的几何意义；在利用导数求切线方程时，可用导数的意义求出切线的斜率. 三、解答题（本大题共5题，共78分） 17. 设，求下列各式的值； （1）求，并求出第几项二项式系数最大? （2）. 【答案】（1），第51项 （2）1 【解析】 【分析】（1）将赋值为，求得常数项，由二项式系数的单调性，可得答案； （2）利用赋值法，表示各项系数之和与奇偶项，结合平方差公式，可得答案. 【小问1详解】 令，则，最大，即第51项二项式系数最大. 【小问2详解】 令，则， 令，则， 原式 . 18. 已知函数在处取得极小值-4. （1）求实数a，b的值 （2）若过点是否可作曲线的三条切线，并说明理由 【答案】（1）a=1，b=3；（2）可以.理由见详解 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由函数在处取得极小值可得到该点处导数值为0，再由该点的函数值为-4.两个方程联立求解可得a，b. （2）设过点切线的切点为，由导数的几何意义可得斜率，进而得到切线方程，只需证明方程有三个实数根，即可得出答案. 【详解】（1） ∵在处取得极小值-4， 可得，解得a=1，b=3. 则，对求导， ，则在，处取得极值点，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以在处取得极小值-4. 所以a=1，b=3. （2）设过点切线的切点为，则切线的斜率， 所以切线的方程为， 若切线过点，则方程为①， 将代入①，则， ∴ ，∴， ∴，，所以切点有3个， 所以过点可作曲线的三条切线. 19. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）台，万元 【解析】 【分析】（1）先通过待定系数法求解出与的关系，然后根据利润定义表示出即可； （2）利用导数分析的单调性，从而可求的最大值以及对应的值. 【小问1详解】 设，代入可得，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. . 21. 定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. （1）若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； （2）若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； （3）已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 【答案】（1）具有“2性质”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【小问1详解】 具有“2性质”，理由如下： 因为，所以， 所以， 所以恒成立，所以具有“2性质”； 【小问2详解】 因为，所以， 因为函数在上具有“1性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以， 因为函数在上具有“2性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 要证对任意的，当时，都有恒成立， 不妨设，则，则， 即证恒成立， 即恒成立， 令，， 即存在，使得在上为增函数， 即存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意，当时，不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莘庄2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设事件A、B是互斥事件，且，则________. 2. 已知某抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________. 3. 函数的驻点为__________． 4. 把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有_______种. 5. 在的展开式中，常数项为_______. 6. 若函数无极值点，则实数的取值范围是_________． 7. 在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有_______种不同的站法. 8. 甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.7，乙未投中的概率为0.2，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为_________. 9. 从6名同学中选择4人参加三天志愿服务活动，有一天安排两人，另两天各安排一人，共有______种安排方法（用数字作答） 10. 已知双曲线的左、右焦点为，，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则双曲线的离心率为________. 11. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是________. 12. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是_______. 二、选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分） 13. 某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（ ） A. 3秒时水管的流水量 B. 3秒内水管的流水总量 C. 3秒内水管的流水量的平均变化率 D. 3秒时水管流水量的瞬时变化率 14. 若为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ） A. 两个点数都是偶数 B. 至多有一个点数是偶数 C. 两个点数都是奇数 D. 至多有一个点数是奇数 16. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论： ①在区间上优于； ②在区间上优于. 那么（ ） A. ①､②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①､②均错误 三、解答题（本大题共5题，共78分） 17. 设，求下列各式的值； （1）求，并求出第几项二项式系数最大? （2）. 18. 已知函数在处取得极小值-4. （1）求实数a，b的值 （2）若过点是否可作曲线的三条切线，并说明理由 19. 为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. （1）求函数的解析式； （2）当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 20. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 21. 定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. （1）若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； （2）若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； （3）已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $