实战模拟卷一-【创新教程】2024-2025学年高一下学期数学期末实战模拟卷

高一下学期期末实战模拟卷一　 　　　 命题范围:平面向量及其应用 测试时间:１２０分钟,满分:１５０分 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的． １．下列说法正确的是 (　　) A．若a＝b,则a与b共线 B．若a与b是平行向量,则a＝b C．若|a|＝|b|,则a＝b D．共线向量方向必相同 ２．如图,分别取与x轴,y轴正方向相同的两个单位向量{i,j}作为基底, 若|a|＝ ２,θ＝４５°,则向量a的坐标为 (　　) A．(１,１) B．(－１,－１) C．(２,２) D．(－ ２,－ ２) ３．在△ABC中,AB＝ ７,AC＝２,C＝１２０°,则sinA＝ (　　) A．７１４ B． ２１ １４ C． ５ ７ １４ D． ３ ２１ １４ ４．已知m＝(３,６),n＝(－３,λ),若‹m＋n,n›＝１２０°,则λ＝ (　　) A．－ ３ B．－２ ３ C．－３ D．－ ３２ ５．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度,余弦距离是检测相似度的常用方法． 假设二维空间中有两个点 A(x１,y１),B(x２,y２),O 为坐标原点,定义余弦相似度为 cos(A,B)＝cos‹OA → ,OB → ›,余弦距离为１－cos(A,B)．已知点P(sinα,cosα),Q(１,０),若 P,Q 的余弦距离为５－ ３５ ,则cos２α＝ (　　) A．－１３ B． １ ３ C．－ １９ ２５ D． １９ ２５ ６．在△ABC中,已知a＝２,A＝π３． 则下列说法正确的是 (　　) A．当b＝１时,△ABC是锐角三角形 B．当b＝４ ３３ 时,△ABC是直角三角形 C．当b＝３２ 时,△ABC是钝角三角形 D．当b＝５３ 时,△ABC是等腰三角形 ７．已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P 满足OP → ＝１３ [(１－λ)OA → ＋(１ －λ)OB → ＋(１＋２λ)OC → ],λ∈R,则点P 的轨迹一定经过 (　　) A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB 边的中点 ８．在△ABC中,∠A＝９０°,AB＝AC＝４,点 M,N 分别为边AB,AC 上的动点,且 MN＝２, 点D 为斜边BC 的中点,则MD → 􀅰ND → 的最小值为 (　　) A．０ B．４ C．４－２ ２ D．８－４ ２ １Ｇ１ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求．全部选对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．已知平面直角坐标系中三个点A(－１,１),B(１,１),C(０,１－ ３),点D 为线段AB 的中 点,则下列结论正确的是 (　　) A．△ABC是锐角三角形 B．CA → 在CB → 上的投影向量为 １ ２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷ C．CD → 􀅰BC → ＝３ D．若四边形ABCE 为平行四边形,则点E 的坐标为(－２,１－ ３) １０．若e１,e２ 是平面α内两个不共线的向量,则下列说法不正确的是 (　　) A．λe１＋μe２(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α中的任一向量a,使a＝λe１＋μe２ 的实数λ,μ有无数多对 C．λ１,μ１,λ２,μ２ 均为实数,且向量λ１e１＋μ１e２ 与λ２e１＋μ２e２ 共线,则有且只有一个实数λ, 使λ１e１＋μ１e２＝λ(λ２e１＋μ２e２) D．若存在实数λ,μ,使λe１＋μe２＝０,则λ＝μ＝０ １１．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且ccosB＋bcosC＝a２,则下列说法正 确的是 (　　) A．若A＝π３ ,则△ABC面积的最大值为 ３４ B．若A＝π４ ,且△ABC只有一解,则b的取值范围为(０,１] C．若A＝π３ ,且△ABC为锐角三角形,则△ABC周长的取值范围为(１＋ ３,３] D．若△ABC为锐角三角形,AC＝２,则AC边上的高的取值范围为 ３ ２ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．已知向量a,b满足|a|＝３,|b|＝２,a与b的夹角为６０°,则a􀅰b＝　　　　,若(a－mb)⊥a, 则实数m＝　　　　． １３．如图,照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼,学生李明想要测量宿舍楼的高度 MN．为 此他进行了如下测量:首先选定观测点A 和B,测得A,B 两点之间的距离为３３米,然 后在观测点A 处测得仰角∠MAN＝３０°,进而测得∠MAB＝１０５°,∠MBA＝４５°．根据李 明同学测得的数据,该宿舍楼的高度为　　　　　米． １４．如图,△ABC是等边三角形,边长为２,P 是平面上任意一点．则PA → 􀅰(PB → ＋PC → )的最小 值为　　　　． ２Ｇ１ 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(本小题满分１３分)已知向量a＝(－３,２),b＝(１,２),c＝a＋kb(k∈R)． (１)若向量c与２a－b垂直,求实数k的值; (２)若c与a的夹角为锐角,求实数k的取值范围． １６．(本小题满分１５分)已知a、b不共线． (１)若AB → ＝２a＋b,BC → ＝a－３b,CD → ＝－a＋２３b ,求证:A,C,D 三点共线; (２)若向量b－ta与１２a－ ３ ２b 共线,求实数t的值． １７．(本小题满分１５分)△ABC 中,设 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知sinA－sinBsinC ＝a－ca＋b． (１)求角B 的值; (２)若a∶b＝tanA∶tanB,判断△ABC的形状; (３)若△ABC为锐角三角形,且c＝２,求△ABC的面积S 的取值范围． ３Ｇ１ １８．(本小题满分１７分) 如图所示,在△OAB 中,OC → ＝１４OA → ,OD → ＝１２OB → ,AD 与BC 交于点M．过 M 点的直线l与OA、OB 分别交于点E,F． (１)试用OA → ,OB → 表示向量OM → ; (２)设OE → ＝λOA → ,OF → ＝μOB → ,求证:１ λ＋ ３ μ 是定值． １９．(本小题满分１７分)为响应国家“乡村振兴”号召,农民王大伯拟将 自家一块直角三角形地按如图规划成３个功能区:△BNC 区域为 荔枝林和放养走地鸡,△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐 饮,△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见,在 鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝４０m,BC＝４０ ３m,AC⊥BC,∠MCN＝３０°． (１)若AM＝２０m时,求护栏的长度(△MNC的周长); (２)若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA 的面积的 ６２ 倍,求∠ACM; (３)当∠ACM 为何值时,鱼塘△MNC的面积最小,最小面积是多少? ４Ｇ１ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 高一下学期期末实战模拟卷一 数学答题卡 选择题(共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共１５分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(共７７分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)一(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)一(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)一(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)一(卡题答学数 数学􀅰参考答案 高一下学期期末实战模拟卷一 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 A A B A D B C D ABD BC AC １．A　[对于 A,相等向量必是共线向量,A 正确; 对于B,a与b 是平行向量,如a为非零向量,而 b＝０,显然a≠b,B错误;对于 C,模相等的两个 向量,它们的方向不一定相同,即a＝b不一定 成立,C 错误;对于 D,共线向量的方向可以相 反,D错误．] ２．A　[由题意得,a＝(２cos４５°)i＋(２sin４５°)j ＝i＋j＝(１,１)．] ３．B　[∵AB＝ ７,AC＝２,C＝１２０°, ∴由余弦定理AB２＝BC２＋AC２－２BC􀅰ACcosC 可得:BC２＋２BC－３＝０, 解得:BC＝１,或－３(舍去), ∴由正弦定理可得:sinA＝BC 􀅰sinC AB ＝ ２１ １４． ] ４．A　[因为m＝(３,６),n＝(－３,λ),所以m＋n＝ (０,６＋λ), 则(m＋n)􀅰n＝λ(６＋λ),|m＋n|＝ (６＋λ)２, |n|＝ ９＋λ２, 所以cos‹m＋n,n›＝ λ (６＋λ) (６＋λ)２􀅰 ９＋λ２ ＝－１２ , 化简得λ２＝３⇒λ＝± ３, 又λ(６＋λ)＜０⇒－６＜λ＜０,所以λ＝－ ３．] ５．D　[因为P(sinα,cosα),Q(１,０), 所以OP → ＝(sinα,cosα),OQ → ＝(１,０), 所以|OP → |＝ sin２α＋cos２α＝１,|OQ → |＝１,OP →􀅰 OQ → ＝sinα, 所以cos(P,Q)＝cos‹OP →,OQ →›＝ OP →􀅰OQ → |OP → |􀅰|OQ → | ＝sinα, 则P,Q 的余弦距离为１－sinα＝５－ ３５ ,所以 sinα＝ ３５ , 所以cos２α＝１－２sin２α＝１－２× ３ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１９２５． ] ６．B　 [对 于 A:因 为b＝１ 由 正 弦 定 理 ２ ３ ２ ＝ １ sinB ,sinB＝ ３４＜ １ ２ ,由b＜a且sinB＝ ３４＜ １ ２ 可知B＜π６ ,C＝π－π３－B＞ π ２ ,因此△ABC 是钝角三角形,A 选项错误;对于 B:因为b＝ ４ ３ ３ ,由 ２ ３ ２ ＝ ４ ３ ３ sinB ,sinB＝１,B＝ π２ ,所 以 △ABC 是直角三角形,B选项正确;对于 C:因 为b＝３２ ,由 ２ ３ ２ ＝ ３ ２ sinB ,sinB＝３ ３８ ＞ １ ２ , 所以 π ６ ＜B＜ π ２ ,所 以 C＝π－A－B＜ π２ , △ABC 是锐角三角形,C 选项错误;对于 D:因 为b＝５３ ,由 ２ ３ ２ ＝ ５ ３ sinB ,sinB＝５ ３１２ ＜ ３ ２ ,b＜ a,B＜A＜ π３ ,cosB＝ １－sin２B＝ １－７５１４４ ＝ ６９１２ , sinC＝sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA＝ ５ ３ １２ × １ ２＋ ６９ １２ × ３ ２＝ ５ ３＋３ ２３ ２４ ,因为 B≠ C,A≠C 所以△ABC 不是等腰三角形,D 选项 错误．] ７．C　[取AB 的中点D,则２OD → ＝OA → ＋OB →, ∵OP → ＝１３ [(１－λ)OA → ＋(１－λ)OB → ＋(１＋２λ)OC →], ∴OP → ＝２ (１－λ) ３ OD → ＋１＋２λ３ OC →,而２(１－λ) ３ ＋ １＋２λ ３ ＝１ ,∴P,C,D 三点共线, ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．] ８．D　[以AB,AC 所在直线分别为x,y 轴,建立 平面直角坐标系, 则D(２,２),设 M(m,０), 因为 MN＝２,则０≤m≤２, 且 AN＝ ４－m２,故 N(０, ４－m２), 所以MD →􀅰ND → ＝(２－m,２) 􀅰(２,２－ ４－m２)＝４－２m ＋４－２ ４－m２ ＝８－２m－ ２ ４－m２, 令m＝２cosθ,则θ∈ ０,π２[ ], 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 则MD →􀅰ND → ＝８－４cosθ－４sinθ＝８－４ ２ sinθ＋π４ æ è ç ö ø ÷, 因为θ∈ ０,π２[ ],所以θ＋ π ４∈ π ４ ,３π ４[ ], sinθ＋π４ æ è ç ö ø ÷∈ ２ ２ ,１ é ë êê ù û úú, 故MD →􀅰ND → ＝８－４ ２sinθ＋π４ æ è ç ö ø ÷∈ ８－４ ２,４[ ], 所以MD →􀅰ND → 的最小值为８－４ ２,当且仅当θ ＝π４ 时取得．] ９．ABD　[由题意,CA → ＝(－１,３),CB → ＝(１,３), AB → ＝(２,０),则|AB → |＝|CA → |＝|CB → |＝２,即 △ABC 为等边三角形,则 △ABC 是 锐 角 三 角 形,故 A 正确;因为CA → 在CB → 上的投影向量为 CA →􀅰CB → |CB → | 􀅰 CB → |CB → | ＝１× (１,３) ２ ＝ １ ２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷,故 B 正确;对于 C选项:因为点D 为线段AB 中点, 所以D(０,１),所以CD → ＝(０,３),又BC → ＝(－１, － ３),所以CD →􀅰BC → ＝－３,故 C 错误;对于 D 选项:设E(x,y),则EA → ＝(－１－x,１－y),若四 边形ABCE 为平行四边形,则EA → ＝CB →,即(－１ －x,１－y)＝ (１,３),即 －１－x＝１ １－y＝ ３{ ,解 得 x＝－２ y＝１－ ３{ ,所以E(－２,１－ ３),故 D正确．] １０．BC　[由题意可知:e１,e２,可以看成一组基底 向量, 根据平面向量基本定理可知:A,D 正确,B不 正确; 对于 C,当λ１＝λ２＝μ１＝μ２＝０时,则λ１e１＋ μ１e２＝λ２e１＋μ２e２＝０, 此时任 意 实 数λ 均 有λ１e１＋μ１e２＝λ(λ２e１＋ μ２e２),故C不正确．] １１．AC　[由正弦定理可得sinCcosB＋sinBcosC＝ asinA,即sin(B＋C)＝sinA＝asinA, 因为０＜A＜π,所以sinA≠０,所以a＝１, 对于 A,若A＝π３ , 由 余 弦 定 理 得 cosA＝cosπ３ ＝ b２＋c２－a２ ２bc ＝b ２＋c２－１ ２bc , 由b＞０,c＞０,可得b２＋c２＝bc＋１≥２bc, 即bc≤１,当且仅当b＝c时等号成立, 则△ABC 面积１２bcsinA≤ １ ２× ３ ２＝ ３ ４ ,所以 △ABC 面积的最大值为 ３４ ,故 A 正确; 对于B,若A＝π４ ,且a＝１,由正弦定理得 bsinB ＝ １ sinπ４ , 所以sinB＝bsinπ４＝ ２ ２b , 当sinB＝１时,即 ２２b＝１ ,b＝ ２时有一解,故 B错误; 对于C,若A＝π３ ,由正弦定理得 a sinA＝ ２ ３ ,所 以a＋b＋c＝１＋ ２ ３ (sinB＋sinC)＝１＋ ２ ３ sinB＋sin２π３－B æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷ ＝ １ ＋ ２ ３ ３ ２sinB＋ ３ ２cosB æ è ç ö ø ÷ ＝ １ ＋ ２sinB＋π６ æ è ç ö ø ÷, 由于△ABC 为锐角三角形,故０＜B＜π２ 且０ ＜２π３－B＜ π ２ ,故π ６＜B＜ π ２ , 因此B＋π６∈ π ３ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷,故a＋b＋c＝ １＋２sinB＋π６ æ è ç ö ø ÷∈(１＋ ３,３],故C正确; 对于 D,由于△ABC 为锐角三角形,AC＝b＝ ２,a＝１, 所 a２＋b２＞c２ a２＋c２＞b２ c２＋b２＞a２{ ⇒ ５＞c２ c２＞３ c２＋４＞１{ ⇒３＜c ２＜５, 故AC 边上的高为asinC＝a １－cos２C＝a １－ ５－c ２ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ － (c２－５)２＋１６ １６ ∈ ３ ２ ,１ æ è ç ö ø ÷, 故 D错误．] １２．解析:因 为|a|＝３,|b|＝２,a 与b 的 夹 角 为６０°, 所以a􀅰b＝|a||b|cos６０°＝３×２×１２＝３ ; 因为(a－mb)⊥a,所以(a－mb)􀅰a＝０,即a２ －ma􀅰b＝０,故９－３m＝０,得m＝３． 答案:３　３ １３．解 析:在 △ABM 中,因 为 ∠MAB ＝１０５°, ∠MBA＝４５°, 所 以 ∠AMB＝３０°,又 因 为 AB＝３３,所 以 AB sin∠AMB＝ AM sin∠MBA , 即 ３３ sin３０°＝ AM sin４５° ,解得AM＝３３ ２; 在 Rt△AMN 中,因 为 ∠MAN＝３０°,AM＝ ３３ ２, 所以 MN＝AM􀅰tan３０°＝１１ ６, 即该宿舍楼的高度为１１ ６米． １４．解析:在 边 长 为 ２ 的 △ABC 中,取BC 的中点D,连接AD 并取其 中 点 O,连 接 PO,则 OD＝１２AD＝ ３ ２ , 于是PA →􀅰(PB → ＋PC →)＝２PA → 􀅰PD → ＝２(PO → ＋OA →)􀅰(PO → ＋OD →) ＝２(PO → －OD →)􀅰(PO → ＋OD →)＝２PO →２ －２OD →２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 ≥－２× ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝－３２ , 当且仅当点P 与点O 重合时取等号, 所以PA →􀅰(PB → ＋PC →)的最小值为－３２． 答案:－３２ １５．解:(１)因为a＝(－３,２),b＝(１,２), 所以c＝a＋kb＝(－３＋k,２＋２k),２a－b ＝(－７,２), 因为向量c与２a－b 垂直,所以c􀅰(２a－b) ＝０, 即(－３＋k)×(－７)＋(２＋２k)×２＝０,解得k ＝２５３． (２)因为c与a 的夹角是锐角,则a􀅰c＞０且a 与c不共线同向, 由a􀅰c＞０,得－３(－３＋k)＋２(２＋２k)＞０,解 得k＞－１３, 由a与c 共线,得－３＋k－３ ＝ ２＋２k ２ ,解得k＝０, 此时a与c共线同向,故k≠０, 所以k＞－１３且k≠０． １６．解:(１)证明:CD → ＝－a＋２３b ,AC → ＝AB → ＋BC → ＝ ３a－２b＝－３ －a＋２３b æ è ç ö ø ÷, 则有AC → ＝－３CD →,可 得AC → ∥CD → 且C 为 公 共点, 所以A,C,D 三点共线． (２)向量b－ta 与１２a－ ３ ２b 共线,则存在唯一 实数λ,使得b－ta＝λ １２a－ ３ ２b æ è ç ö ø ÷, 可 得 λ ２＋t æ è ç ö ø ÷ a － ３２λ＋１ æ è ç ö ø ÷ b ＝ ０, 即 λ ２＋t＝０ ３ ２λ＋１＝０ ì î í ï ï ïï , 解得t＝１３． １７．解:(１)∵sinA－sinBsinC ＝ a－c a＋b ,∴由正弦定理 得a－b c ＝ a－c a＋b , 即(a－b)(a＋b)＝c(a－c),即a２－b２＝ac－ c２,即a２＋c２－b２＝ac, 由余弦定理得cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ １ ２ , ∵０°＜B＜１８０°,∴B＝６０°; (２)∵a:b＝tanA:tanB, ∴sinAsinB＝ sinA cosA 􀅰cosB sinB ,∴cosA＝cosB,∴A ＝B, ∴△ABC 为等边三角形． (３)因为A＋C＝１２０°,c＝２, 由正弦定理,得a＝csinAsinC ＝ ２sin(１２０°－C) sinC ＝ ３cosC＋sinC sinC ＝ ３ tanC＋１ , 所以S＝１２acsinB＝asin６０°＝ ３ ２ ３ tanC＋１ æ è ç ö ø ÷, 因为△ABC 为锐角三角形,则３０°＜C＜９０°, 从而tanC∈ ３ ３ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷,所以S∈ ３ ２ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷． １８．解:(１)由 A,M,D 三点共线可得存在实数m (m∈R)使得:OM → ＝mOA → ＋(１－m)OD →, 又OD → ＝１２OB →,故OM → ＝mOA → ＋１－m２ OB →, 由C,M,B 三点共线可得存在实数n(n∈R)使 得:OM → ＝nOC → ＋(１－n)OB →, 又OC → ＝１４OA →,故OM → ＝n４OA → ＋(１－n)OB →, 由题意,OA →,OB → 不共线,则 m＝１４n １－m ２ ＝１－n ì î í ï ï ïï ,解得 m＝１７ n＝４７ ì î í ï ï ïï , 故OM → ＝１７OA → ＋３７OB →; (２)由E,M,F 三点共线,可设OM → ＝kOE → ＋(１ －k)OF →(k∈R), 由OE → ＝λOA →,OF → ＝μOB →,则OM → ＝kλOA → ＋(１ －k)μOB →, 由 (１)知,OM → ＝ １７ OA → ＋ ３７ OB →,则 kλ＝１７ (１－k)μ＝ ３ ７ ì î í ï ï ïï ,即 λ＝１７k ３ μ ＝７－７k ì î í ï ï ïï , 所以１ λ＋ ３ μ ＝７k＋７－７k＝７, 所以１ λ＋ ３ μ 是定值． １９．解:(１)∵AC＝４０m,BC＝４０ ３m,AC⊥BC, ∴tanB＝ACBC＝ ３ ３ ,∴B＝３０°,∴A＝６０°, ∴AB＝２AC＝８０, 在△ACM 中, 由余弦定理可得CM２＝AC２＋AM２－２AC􀅰 AM􀅰cosA＝１６００＋４００－２×４０×２０×１２ ＝１２００, 则CM＝２０ ３,∴AC２＝AM２＋CM２,∴CM ⊥AB, ∵∠MCN＝３０°,∴MN＝CMtan３０°＝２０, ∴CN＝２MN＝４０, ∴护栏的长度(△MNC 的周长)为２０＋４０＋ ２０ ３＝(６０＋２０ ３)m; (２)设∠ACM＝θ(０°＜θ＜６０°), 因为鱼塘△MNC 的面积是“民宿”△CMA 的 面积的 ６ ２ 倍, 所以１ ２CN 􀅰CMsin３０°＝ ６２ 􀅰１ ２CA 􀅰CMsinθ, 即CN＝４０ ６sinθ, 在△CAN 中,由 CNsin６０°＝ CA sin(９０°－θ)＝ ４０ cosθ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 得CN＝２０ ３cosθ , 从而４０ ６sinθ＝２０ ３cosθ ,即sin２θ＝ ２２ , 由０°＜２θ＜１２０°, 得２θ＝４５°,所以θ＝２２．５°,即∠ACM＝２２．５°． (３)设∠ACM＝θ(０°＜θ＜６０°),由(２)知 CN ＝２０ ３cosθ , 又 在 △ACM 中,由 CMsin６０°＝ CA sin(６０°＋θ) ,得 CM＝ ２０ ３sin(θ＋６０°) , 所 以 S△CMN ＝ １ ２ CM 􀅰 CN 􀅰sin ３０°＝ ３００ sin(θ＋６０°)cosθ＝ ３００ １ ２sinθcosθ＋ ３ ２cos ２θ ＝ ６００ sin２θ ２ ＋ ３cos２θ ２ ＋ ３ ２ ＝ １２００ ２sin(２θ＋６０°)＋ ３ , 所以当且仅当２θ＋６０°＝９０°, 即θ＝１５°时,△CMN 的面积取最小值为 １２００(２－ ３)m２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高一下学期期末实战模拟卷二 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 B C B D A B A D BC ACD BD １．B　[由z＝a２＋i(a－１＋i)＝a２－１＋(a－１)i, 根据题意可知 a ２－１＝０ a－１≠０{ ⇒a＝－１．] ２．C　[因为z＝２－i,所以􀭵z＝２＋i, 所以i ２０２５ 　　 　　􀭵z ＝ i２＋i＝ i(２－i) (２＋i)(２－i)＝ ２i－i２ ５ ＝ １ ５＋ ２ ５i． ] ３．B　[因为z＝(１－i)(a＋i)＝(a＋１)＋(１－a)i, 若其实部小于０,则a＋１＜０,即a＜－１, 显然a＜０是a＋１＜０的必要不充分条件．] ４．D　[因为(２＋３i)z＝i２０２４＋８i２０２５, 所以z＝i ２０２４＋８i２０２５ ２＋３i ＝ １＋８i ２＋３i＝ (１＋８i)(２－３i) (２＋３i)(２－３i)＝ ２＋i, 所以􀭵z＝２－i,所以复数􀭵z在复平面内对应的点 为(２,－１),位于第四象限．] ５．A　[依题意,在复平面内,复数z１,z２ 对应的点 分别为Z１,Z２, 则z１＝１＋２i,z２＝－２＋i, 所以 z１ z２ ＝１＋２i－２＋i＝ (１＋２i)(－２－i) (－２＋i)(－２－i)＝－i． ] ６．B　[由z＝５＋i可得z２－５z＝z(z－５)＝(５＋i) (５＋i－５)＝５i＋i２＝－１＋５i, 则|z２－５z|＝|－１＋５i|＝ (－１)２＋５２＝ ２６．] ７．A　[因为(１＋i)b＝a(i－１)＋２i,所以b＋bi＝ －a＋(a＋２)i, 所以 b＝－a b＝a＋２{ ,所以 a＝－１ b＝１{ , 因此所选方程的两根为±１,仅有x２－１＝０符 合要求．] ８．D　[设z＝x＋yi(x,y∈R),则x２＋y２＝１４ , z－eiπ＝x＋yi－cosπ－isinπ＝x＋１＋yi, 所以|z－eiπ|＝|x＋１＋yi|＝ (x＋１)２＋y２＝ (x＋１)２＋１４－x ２＝ ２x＋５４ , 因为x２＋y２＝１４ ,所以－１２≤x≤ １ ２ , 所以|z－eiπ|的最大值为 ２×１２＋ ５ ４＝ ３ ２． ] ９．BC　[因 为 方 程 x２ ＋x＋１＝０ 的 两 根 记 为 x１,x２, 解x２＋x＋１＝０得x１＝－ １ ２＋ ３ ２i ,x２＝－ １ ２－ ３ ２i , 所以x１＋x２＝－１,x１x２＝１,因此 A 错误,B正 确;|x１－x２|＝|３i|＝ ３,C正确;x１－x２＝ ３i 或x２－x１＝－ ３i,故 D错误．] １０．ACD　 [∵z１ ＝i４０ －i＝１－i,∴|z１|＝ １２＋(－１)２＝ ２,故 A 正确;∵(１－２i)z２＝ i－３,∴z２＝ －３＋i １－２i＝ (－３＋i)(１＋２i) ５ ＝－１－ i,虚部为－１,故B错误;∵z１＋a＝１＋a－i为 纯虚数,∴１＋a＝０,即a＝－１,故C正确;∵z２ －bi＝－１－(b＋１)i为实数,∴b＋１＝０,解得b ＝－１,故 D正确．] １１．BD　[设z１＝a＋bi,z２＝c＋di(a,b,c,d∈R), 对 A,z２１＝a２＋２abi－b２,􀭵z１２＝(a－bi)２＝a２－ ２abi－b２, 当a,b至少一个为０时,z２１＝􀭵z２１ 当a,b均不等于０时,z２１≠􀭵z２１,故 A 错误; 对B,z１＋z２＝(a＋c)＋(b＋d)i,则z１＋z２＝(a ＋c)－(b＋d)i, 而􀭵z１＋􀭵z２＝a－bi＋c－di＝(a＋c)－(b＋d)i, 故z１＋z２＝􀭵z１＋􀭵z２,故B正确; 对C,若|z２＋１|＝１,即|(c＋１)＋di|＝１,即 (c＋１)２＋d２＝１, 即(c＋１)２＋d２＝１,则(c,d)在复平面上表示的 是以(－１,０)为圆心,半径r＝１的圆, |z２－１|的几何意义表示为点(c,d)到点(１,０) 的距离,显然(１＋１)２＋０２＝４＞１, 则点(１,０)在圆外,则圆心到定点(１,０)的距离 d＝２, 则点(１,０)与圆上点距离的最小值为d－r＝２ －１＝１,故C错误; 对 D, z１ z２ ＝ a＋bic＋di ＝ (a＋bi)(c－di) c２＋d２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰