2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练）（试卷版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练试卷版） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知的定义域为， 所以可得， 因此 ， 即函数满足，因此的对称中心为. 故选：B 2．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】由题意函数关于直线对称， 故，即， 即， 即, 故需满足且，即， 则， 故选：B 3．（2025·天津河西·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】D 【解析】，则，即故A错误； ，故C错误； ，，则，故B错误； ，，则，故D正确. 故选择：D. 4．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，故是奇函数． 不等式等价于不等式 即不等式 因为是奇函数，所以 易证是上的减函数，则，即，解得． 故选：B. 5．（2025·湖南长沙·二模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】有意义可得， 故， 所以或， 所以函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 令可得，，所以，故， 所以函数有且仅有一个零点，零点为， 当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 又当时，， 所以当时，， 选项A的图象不关于原点对称，选项B的图象在内的函数值为负， 选项C的图象对应的函数有三个零点， 故选项ABC不能同时满足上述所有要求，而选项D同时满足以上所有要求， 故选：D. 6．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵是奇函数， ∴，即关于点对称． 又函数的定义域为，故． 当时， 令，即，解得． 根据对称性可知当时，． 综上所述，的解集是． 故选：B． 7．（23-24 宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 8．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B．函数关于直线对称 C． D．的周期为3 【答案】D 【解析】解法一： 令，，则，解得，A正确； 令，则， 所以，即是偶函数， 所以，所以函数关于直线对称，B正确； 令，则， 令，则，所以，C正确； 令，则①， 所以②， ①②联立得， 所以，，即的周期为，D错误； 解法二： 构造函数， 满足，且， ，A正确； ， 因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称， 所以关于直线对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知，C正确； 的周期，D错误；故选：D 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025云南）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位， 再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确； B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的， 而函数是偶函数，关于轴对称， 其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确； C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确； D：，显然， 故此函数不是关于直线对称的，故D错误. 故选：ABC. 10．（2025哈尔滨）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ACD 【解析】对于A，因为的对称中心为，所以， 将变为，变形得：，故选项A正确； 对于B，由A选项知，即， 结合已知， 即， 令，得，故选项B错误； 对于C，由的对称中心为得， 则， 令，则，定义域为， 所以为奇函数，故选项C正确； 对于D，对， 令得：， 即，故， 令，定义域为，所以， 所以为偶函数，故选项D正确； 故选：ACD. 11．（2025·安徽·一模）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以 ，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【解析】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 13（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设，均随着 的增大而增大，所以在为增函数， ，则,所以在为增函数， 且当分别代入、，可得， 所以在上单调递增， 令，则在上单调递增， 又. 不等式的解集为. 故答案为：. 14．（2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】, 则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， 即函数在上单调递增， ∴，即，∴， 即. 故答案为：. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2025黑龙江鹤岗·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用函数单调性的定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1）由题意可得，解得，所以，经检验满足奇函数. （2）设，则， ∵，∴，且，则， 则，即，所以函数在上是增函数. （3）∵，∴， ∵是定义在上的增函数，∴，得， 所以不等式的解集为. 16．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 17．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【答案】(1)存在实数，使得函数是偶函数 (2)答案见解析 【解析】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 18．（2025山西）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵是R上的奇函数，∴，∴， ∴，又，∴， 解得，∴．经验证可得为奇函数， ∴，． （2）由（1）知，∴在上为减函数． ∵,∴， 又是奇函数，∴， 又为减函数， ∴对任意的恒成立． ∴对任意的恒成立． 令， 则, 解得. ∴实数的取值范围为． 19．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）记； 对任意的，有； 对于任意的， 若， 则， 即. 故函数是型函数. （2）设，且，则. 因此 ， 可知在上为增函数. （3）因为， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练试卷版） 一．单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·一模）若函数关于直线对称，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（2025·天津河西·一模）已知函数，则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 4．（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南长沙·二模）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西景德镇·一模）函数的定义域为，是奇函数，当时，则的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24 宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B．函数关于直线对称 C． D．的周期为3 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025云南）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 10．（2025哈尔滨）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为偶函数 11．（2025·安徽·一模）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 13（2025·新疆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 . 14． （2025·江西上饶·一模）已知函数，则不等式的解集为 ． 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2025黑龙江鹤岗·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用函数单调性的定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 16．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 17．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 18．（2025山西）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19．（2024·上海静安·一模）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数. ①对任意的，有； ②对于任意的，若，则. 求证： (1)是型函数； (2)型函数在上为增函数； (3)对于型函数，有（为正整数）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$