2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练）（题组版）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练题组版） 题组一 函数的对称性 1.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，函数， ， 则有， 故函数的图象的对称中心的坐标为 故选：D . 2．（24-25山东）已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以当函数图象向左平移2个单位，再向下平移一个单位， 可得函数的图象， 由反比例函数图象知，关于原点对称. 故选：C 3.（23-24湖南长沙）函数与函数图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设， 因为函数与函数图象关于直线对称， 所以. 故选：A 4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以函数的图象关于点对称. 故选：C 5.（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】C 【解析】函数为奇函数，图象关于对称， 将函数向左平移一个单位可得函数， 则函数关于对称， 所以函数的图象关于对称. 故选：C. 6．（2025高三·全国·专题练习）函数的对称轴为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意： ， 可由偶函数的图像向右平移1个单位得到，所以函数的对称轴为, 故选：A. 7．（24-25高三下·河南·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图象关于直线对称，将向右平移1个单位长度， 所得图象关于y轴对称，即为偶函数，B选项错误； 因为的图象关于直线对称，将向左平移1个单位长度， 关于直线对称，不能得出的奇偶性，A，C选项错误； 对于D：，可得函数为奇函数，D选项正确； 故选：D. 8．（2024·甘肃张掖·模拟预测）（多选）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位， 再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确； B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的， 而函数是偶函数，关于轴对称， 其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确； C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确； D：，显然， 故此函数不是关于直线对称的，故D错误. 故选：ABC. 9（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，其图象关于直线对称， 则， 所以，所以，解得， 所以，此时，满足题意； 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 故选：B． 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．图象的对称中心是 B．图象的对称中心是 C．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 D．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 【答案】AC 【解析】是奇函数，其图象的对称中心为，将的图象向右平移2个单位长度， 再向上平移1个单位长度得的图象， 因此图象的对称中心是，A正确，B错误； 若函数的图象关于直线成轴对称图形，则将其图象向左平移个单位长度得的图象， 的图象关于直线，即轴对称，则为偶函数，反之也成立，C正确，D错误． 故选：AC 11．（24-25高三下·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称 B．函数的图象关于某直线对称 C．函数的图象关于某点对称 D．函数的图象关于某点对称 【答案】BCD 【解析】对A，令，则， 所以函数的图象关于点对称，故A不正确； 对B，令，所以， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对C，因为， 所以的图象可由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 而函数是奇函数，图象关于原点对称， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位再向上平移3个单位得到， 设，则，即是奇函数，图象关于原点对称， 因此函数的图象关于点对称，故D正确． 故选：BCD． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【解析】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为， 可得，解得， 将其代入函数，可得，所以， 即. 故答案为：. 题组二 函数的周期性 1．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的图象关于直线对称且，则（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【解析】的图象关于直线对称，， 又为奇函数，，， ，是以4为一个周期的周期函数， ． 故选：B. 2.（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象， 由函数的图象关于直线对称， 可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数， 又由，得，则， 所以是周期为8的偶函数，则． 故选：B. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【解析】的函数图象向左平移个单位得到的图象， 因函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 则 因为奇函数，则，则， 则，得， 所以是周期为4的周期函数， 则． 故选：B 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】因为函数的图象关于直线对称，可得， 又因为函数的图象关于点对称，可得， 所以，可得， 所以函数的周期为4， 因为当时，，所以． 故选：D. 5．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题故．又，，故． 结合周期性可知， 故． 故选：C 6．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】D 【解析】因为对任意，都有， 令，得，解得，则， 即，所以函数的图象关于直线对称． 又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 即函数为奇函数，所以， 所以，所以8是函数的一个周期， 所以． 故选：D 7．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，且，，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由可得：， 所以函数的周期为，由可得函数关于对称， 所以，又，， 所以，又，， ，， 所以 故选：B. 8．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因为，可得， 可知函数的一个周期为4， 又因为是定义在的奇函数，则， 则，即， 令，可得； 令，可得，即， 则， 所以. 故选：C. 9．（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由，所以，所以， 所以，由有， 所以，即，所以函数的周期为6， 所以， 由，，， 令有，， 所以，所以， 令有，，即， 令有，即，， 所以， 所以， 故选：D. 10．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．2 D．2025 【答案】A 【解析】因为为偶函数，所以①， 因为，所以，， 结合①有②， 因为为奇函数，所以，所以， 结合②有， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 同理，由，得， 因为，所以，即， 因为，所以， 则，则， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 由．得，所以．即， 所以． 故选：A． 题组三 函数性质的综合应用---解不等式 1．（2025广西）已知定义域为R的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：且关于成中心对称． 当时， ，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，由中心对称可得：在R上单调递增． 由得：或，解得. 故选：A． 2．（24-25 安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则，所以在上单调递减， 因为，所以不等式可变为，即， 所以，即，所以不等式的解集为． 故选：D． 3．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 即函数关于对称， 当时，单调递增， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 因为，所以，解得， 即的取值范围是， 故选：B. 4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，又因为定义域为关于原点对称， 所以是奇函数， 由于， 可知函数在定义域上单调递减， 所以 即，即， 则，该不等式组无解，所以解集为. 故选：D. 5．（2025·江苏南京·一模）已知函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 则， 由，则函数在上单调递增，易知函数在上单调递减， 由，则，即， 可得，分解因式可得，解得. 故选：A. 6．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为， 所以函数为奇函数， 因为， 所以函数为增函数， 所以不等式可化为， 则，， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 7．（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令函数，其定义域为R， ，函数是奇函数， 求导得，当且仅当时取等号，因此函数在R上单调递增， 不等式， 则，解得，所以所求取值范围是. 故选：A 8．（2025·山东·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知在上单调递增， 的导函数，当且仅当时，等号成立， 所以在上单调递增， 因此在上单调递增， 又，所以的图象关于点中心对称， 若，则，即，解得， 故选：C 9．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取时，代入，有，可得，即，所以. 设，因为，又已知时，， 那么，所以函数在上单调递增. 对不等式进行转化求解： 已知，由可得，所以. 因为函数单调递增，所以，移项得，解得. 考虑定义域限制条件： 由，解得；解得. 综合以上结果，不等式的解集为. 故选：B. 10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，由于， 故为偶函数， 当时，则在单调递增，因此在单调递增， 因此在单调递减， 由可得，解得， 故选：A 11．（2025·江西·一模）若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，即的图象关于点对称， 所以，而，即， 则，又在上为增函数， 故，即， ， 因在上单调递增，且， 由，可得， 即不等式的解集为. 故选：C. 12．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，令， 由于为偶函数，故只需为奇函数， 由，得， 因为，定义域关于原点对称， ， 由此可以验证为奇函数．所以满足题意， 又由为偶函数，得， 故的图象关于直线对称． ， 当时，， 可知，当时，单调递增，则时，单调递减． 原不等式即为， 等价于，即，解得． 故选：C. 13．（2025山东济宁·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，函数， 设（）， 由，得从而：， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数， 所以是上的增函数； 则可得：，即， 整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 题组四 函数性质的综合应用---比较大小 1.．（2025·广西桂林·二模）函数.若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 关于对称. 当时：为增函数，也为增函数，所以在上为增函数， 关于对称在为减函数， ，， . 故选：A. 2．（2025河北邢台·阶段练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，恒成立， 当时，，即， 函数在上为增函数， 函数是偶函数，即， 函数的图象关于直线对称，， 又函数在上为增函数，， 即，. 故选：B. 3．（2025·天津）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称， 又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数， 又，，， 又，所以，由函数的图象关于直线对称，知， 又，所以，故， 故选：A． 4．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义在上的函数满足， 所以即图象关于直线对称， 所以，， 又在上单调递增，所以. 故选：A 5．（23-24 宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义在上的函数满足条件， 所以函数是偶函数， 对任意，当时都有， 所以不妨设，则有， 因此时，函数是增函数， 因为函数是偶函数， 所以，， 因为时，函数是增函数， 所以，即， 故选：A 6．（2025吉林松原·阶段练习）设定义域为，对任意的都有，且当时，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由定义域为，对任意的都有，知对称轴是，当时，，即函数在上单调递增，由对称性知其在上是减函数，其图象的特征是自变量离1的距离越远，其函数值越大， 故选：． 7．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，，设，， 则，，，，， 所以函数的周期为6， 故，，，． 由，则，即， 由，则，即， 所以，可得无法确定． 所以，无法判断． 综上所述，． 故选：B. 8．（2025湖南）已知函数．若为偶函数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若函数是偶函数，所以，所以函数关于直线对称， 函数关于直线对称，所以，即， ，函数和在区间单调递减，在区间单调递增， 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增， 因为，所以，即. 故选：A 题组五 函数4大性质的综合应用 1．（24-25 河南 ）（多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．无零点 D．在上单调递增 【答案】AB 【解析】由，且定义域为， 所以的图象关于直线对称，A对； 当时，在上单调递减，D错； 当时，在上单调递增， 又，B对； 显然，C错； 故选：AB 2．（2025高三·全国·专题练习）（）哦度设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为为奇函数，所以， 取可得，A正确． 对于B，因为，所以， 所以．又， 故，所以函数的图象关于点对称，B错误． 对于D，因为，所以， 所以为常数．因为， 所以， 所以，取可得，所以． 又，所以，所以， 所以，故函数为周期为4的函数． 因为，所以， 所以， 所以，D正确． 对于C，因为，所以 ，所以， 故函数为周期为4的函数，， 所以函数为周期为4的函数， 又， 所以， 所以，C正确． 故选：ACD 3．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以 ，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 4．（2025·江西）（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由为奇函数， 得关于对称，且满足； 由为偶函数， 得关于直线对称，且满足. 故， 所以是周期函数，且周期. 对选项A，由， 令，解得，故A错误； 对选项B，已知当时，， 则， 故当时，. 则，故B错误； 对选项C，，， ，，且周期. 则，故C正确． 对选项D， ，故D正确． 故选：CD． 5．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】由为奇函数，得，即， 则，由为偶函数，得，则， 于是，函数是周期函数，一个周期为4， 由，得，由，得， 由，得，于是，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，得，为偶函数，C正确； 对于D，，的图象关于点对称，D错误. 故选：AC 6．（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数，且其中一个周期为8 D． 【答案】BC 【解析】由题意，函数与的定义域均为. 由求导可得，即， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 由求导可得， ， ，则（为常数）， 令，则有，所以，即， 所以，即函数的图象关于直线对称. 又由可得， 则有， ， ，即， 所以函数的图象关于点对称. 所以函数是周期函数，周期.证明如下： 由可得， 由上述结论可知，所以. 则，即， 又由可得，所以. 所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确； 对于A，因为，， 若，则，与矛盾. 故A错误； 对于D，由求导可得， 则有，因为，所以 则（是常数），令，可得， 所以，即函数的图象关于直线对称. 所以，函数也是周期函数，周期. ，令，可得， 根据对称性可知，， 所以. 所以，不确定是否为0，故D错误. 故选：BC. 题组六 函数图像 1．（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】由，且定义域为R，所以为奇函数，排除A、B； ，排除D.故选：C 2．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】由，可得的定义域为， 且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项； ，排除C项； 当时，，排除A项. 故选：D. 3．（24-25甘肃）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【解析】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 4．（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【解析】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A 5．（2025·青海海南·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由，排除C，D选项． 由，排除B选项． 故选：A. 6．（2025·安徽合肥·一模）函数 的图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知，，即，所以函数定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数，故排除A； 当时，，时，， 所以当，时，，排除C； 当时，符号可正可负，所以可正可负，故可排除D； 故选：B 7．（2025·江西新余·模拟预测）是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 可以得到是以为周期的函数，所以的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D. 由于A、B项均关于对称，所以仅研究，此时，令   ，，令， 则， 解得(负数根舍去)，则  在单调递减，单调递增，即在单调递增，在有且仅有一个极值点，所以不会一直增大，B正确.   （注：本题在A、B当中选择亦可使用特殊值法，，选B） 故选：B 8．（2025·江西·一模）函数的部分图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【解析】函数是定义域为 函数，是奇函数，所以排除B，C， 又函数在原点附近的零点为和1，可取大于0且接近于0的一个数， 如0.1，得，所以排除D． 故选：A. 9．（2025江西抚州·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数，排除AB选项， 当时，，，则，排除C选项. 故选：D. 10（23-24河南）函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】函数定义域为，定义域关于原点对称， 因为，， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，当时，，，故， 选项ABD都不同时符合以上所有特征，选项C符合以上特征， 故函数的部分图象大致为选项C的图象.故选：C. 题组七 抽象函数 1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，且，若，则（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【解析】令，得，所以或， 若，令，，得，即，与矛盾，所以，所以A正确； 令，得即，所以，所以B正确； 令，得，所以，所以，当时，，所以C错误； 因为，所以6是的一个周期，所以，所以D正确． 故选：ABD． 2．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】B 【解析】因为， 令，可得，则； 令，则， 故的图象关于点对称， 则的图象关于点对称，即是奇函数，故B正确； 对于C，令，可得，则， 当时，，此时不可能是奇函数， 由于无法确定的值，故不一定是奇函数，故C错误； 对于AD，取，满足题意，但易知D错误； 故选：B. 3．（2025黑龙江）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解析】由题意知函数的定义域为，且，， 令，则，即，故为偶函数； 又，令，则， 又由，得， 即的图象关于点成中心对称，则； ，即，又结合为偶函数， 则，故，即4为的周期， 故， 故，故选：D 4．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B．函数关于直线对称 C． D．的周期为3 【答案】D 【解析】解法一： 令，，则，解得，A正确； 令，则， 所以，即是偶函数， 所以，所以函数关于直线对称，B正确； 令，则， 令，则，所以，C正确； 令，则①， 所以②， ①②联立得， 所以，，即的周期为，D错误； 解法二： 构造函数， 满足，且， ，A正确； ， 因为表示的图象向右平移个单位，且的图象关于轴对称， 所以关于直线对称，B正确；由余弦函数的图象和性质可知，C正确； 的周期，D错误；故选：D 5.（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【解析】函数，对任意，， 对于A，令，得，而，则，A正确； 对于B，令，得， 则，两边求导得，，即， 因此关于对称，，B正确； 对于C，由，得， 令，得，两边求导得， 即，因此，函数是偶函数，C错误； 对于D，由，得，则， 因此函数的周期为4，，D正确. 故选：ABD 6.（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BCD 【解析】对于A，令，则， 因为，所以，则，故A错误； 对于B，令，则，则，故B正确； 对于C，令得，，所以， 令得，，则的图象关于点对称，故C正确； 对于D，由得， 又，所以，则，， 所以，则函数的周期为， 又，，则，，则， 所以，故D正确，故选：BCD. 题组八 函数新定义 1．（2025·河北衡水·模拟预测）（多选）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数有（    ）（设均为非零实数） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【解析】对于A，存在正常数，取，对任意，， 因此是的复杂函数，A是； 对于B，存在正常数，取，对任意，令， 求导得，令， 求导得，函数在上递增， ，函数在上递增， ，则， 因此，是的复杂函数，B是； 对于C，，函数在R上单调递增，值域为， 因此不存在正常数，使得成立，而，即不存在正常数，使得成立， 不是的复杂函数，C不是； 对于D，存在常数，取常数，对任意， ， 因此是的复杂函数，D是. 故选：ABD 2．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A：因为函数的导函数为，所以，故选项A错误； 对于选项B：因为函数的导函数为， 所以， 而， 所以，，故选项B错误； 对于选项C：因为函数的导函数为， 所以. 令，解得：，， 即存在实数，使得成立， 所以函数具有性质，故选项C正确； 对于选项D：因为函数的导函数为， 所以. 令，显然，化简得：. 下面证明方程（*）无解. 当时，，方程（*）无解 当时，，而： 令，， 则，所以单调递减. 又因为，所以，即，所以. 综上，方程(*)无解. 所以不存在实数，使得成立，故选项D错误. 故选：C. 3．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则 旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是 ． 【答案】 是 【解析】在旋转后所曲线上任取一点，旋转前点对应的点为， 不妨设，设点，即，， 将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后， 可得，即点， 即，， 因为，可得变形可得，曲线为函数， 所以，是旋转函数； 若函数是旋转函数，将函数的图象绕着原点逆时针旋转后， 不存在与轴垂直的直线，使得直线与旋转后的函数图象个以上的交点． 故不存在直线与函数的图象有两个交点， 即对任意的，方程至多一解，即至多一解， 令为单调函数，则， 因为，故对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，则对任意的恒成立，合乎题意； 当时，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，且函数无最大值，所以此时不合乎题意； 当时，则，此时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 函数的对称性、周期性、图像（精练题组版） 题组一 函数的对称性 1.（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25山东）已知函数，则下列函数的图象关于原点对称的是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24湖南长沙）函数与函数图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 6．（2025高三·全国·专题练习）函数的对称轴为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·河南·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则下列函数一定为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·甘肃张掖·模拟预测）（多选）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 9（2025·福建厦门·一模）若函数的图象关于直线对称，则的值域为（   ） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）（多选）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论，其中正确的是（   ） A．图象的对称中心是 B．图象的对称中心是 C．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 D．类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数 11．（24-25高三下·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称 B．函数的图象关于某直线对称 C．函数的图象关于某点对称 D．函数的图象关于某点对称 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ． 题组二 函数的周期性 1．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的图象关于直线对称且，则（   ） A． B．1 C．0 D．3 2.（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数满足，且的图象关于对称，则等于（   ） A． B．1 C．0 D．3 4．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，且当时，，则等于（   ） A． B． C． D．0 5．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2025高三下·全国·专题练习）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（   ） A．2024 B． C．2025 D． 7．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，且，，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 8．（2025·重庆·二模）已知是定义在的奇函数，且．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 9．（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数的定义域为，且，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 10．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．2 D．2025 题组三 函数性质的综合应用---解不等式 1．（2025广西）已知定义域为R的函数满足，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25 安徽·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南京·一模）已知函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山西吕梁·一模）设函数，则满足的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，；且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·江西·一模）若定义在上的增函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 13．（2025山东济宁·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题组四 函数性质的综合应用---比较大小 1.．（2025·广西桂林·二模）函数.若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2025河北邢台·阶段练习）已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津）已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南邵阳·二模）定义在上的函数满足，且在上单调递增，设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24 宁夏银川·期中）定义在上的函数满足以下条件：①，②对任意，当时都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（2025吉林松原·阶段练习）设定义域为，对任意的都有，且当时，，则有（    ） A． B． C． D． 7．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025湖南）已知函数．若为偶函数，，则（   ） A． B． C． D． 题组五 函数4大性质的综合应用 1．（24-25 河南 ）（多选）已知函数，则（   ） A．的图象关于直线对称 B． C．无零点 D．在上单调递增 2．（2025高三·全国·专题练习）（）哦度设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C． D． 3．（2025·安徽·一模）（多选）已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西）（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的图象关于点对称 6．（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数，且其中一个周期为8 D． 题组六 函数图像 1．（2025·天津河北·二模）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 3．（24-25甘肃）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   5．（2025·青海海南·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   6．（2025·安徽合肥·一模）函数 的图象大致为（     ） A． B． C． D． 7．（2025·江西新余·模拟预测）是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（     ）. A． B． C． D． 8．（2025·江西·一模）函数的部分图象大致为（   ） A．B．C． D． 9．（2025江西抚州·阶段练习）函数的图象大致为（   ） A．B．C．D． 10（23-24河南）函数的部分图象大致为（    ） A．B．C．D． 题组七 抽象函数 1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，且，若，则（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 2．（2024·河南新乡·二模）已知函数满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 3．（2025黑龙江）已知函数的定义域为，且，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2025北京）已知函数满足，则下列结论不正确的是（   ） A． B．函数关于直线对称 C． D．的周期为3 5.（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D． 6.（2024·新疆乌鲁木齐·一模）（多选）若函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D． 题组八 函数新定义 1．（2025·河北衡水·模拟预测）（多选）数据处理过程中常常涉及复杂问题，此时需要利用符号来衡量某个操作的复杂度.设定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数有（    ）（设均为非零实数） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．则 旋转函数（填：“是”或者“不是”）；若是旋转函数，则的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$