第6章 反比例函数 知识归纳与题型训练（7类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙教版）

第6章 《反比例函数》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、反比例函数 1.反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数．其中，x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数； 2.反比例函数解析式求法：待定系数法 ①设反比例函数解析式为 ②将一对自变量与函数的对应值，带入上述解析式 ③解出k的值，带入得解析式 要点诠释： （1） 反比例函数中自变量x≠0； （2）反比例函数其他表达式形式：或 二、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数图象的特征： 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限。 反比例函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。 2.反比例函数图象的性质： 当时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。 要点诠释： （1）反比例函数图象不仅是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为直线 （2）、反比例函数在描述增减性时，必须指明自变量的取值范围，或者图象所在象限，直接说y随x的增大而增大（或减小）是错误的。 （3）反比例函数的几何意义： 三、反比例函数的应用 以实际情境为模型的反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分。 题型一　反比例函数定义与待定系数法求解析式 例题： 1．（2024春•杭州月考）下列各量中，不是成反比例的是（　　） A．路程一定，速度和时间 B．正方形的边长与面积 C．面积一定，平行四边形底和高 D．工作量一定，工作效率与工作时间 2．（2024春•新昌县期末）已知y是关于x的反比例函数，当时，y＝2，则这个函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•瓯海区期末）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A（4，3），B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交BC于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点D为BC中点，求线段OC的长． 巩固训练 4．（2024•浙江模拟）已知P（x，y）是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为（　　） A． B．y＝x C． D． 5．（2023春•余杭区校级期中）已知函数y＝（m﹣3）x2|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（　　） A．±1 B．﹣1 C．1 D．3 6．（2024•金东区二模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点C（3，4），反比例函数y（k≠0）的图象经过菱形两条对角线AC，OB的交点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）将菱形OABC向左平移，当点B落在反比例函数y（k≠0）的图象上时，求平移的距离． 题型二　反比例函数的图象和性质 例题： 1．（2025春•萧山区月考）函数y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•拱墅区校级期中）函数和y＝k（x+1）（k＞0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•上城区期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．5 4．（2024秋•西湖区校级月考）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大 C．图象与y轴有公共点 D．图象经过点（a，a﹣4），则a＝1 5．（2024春•东阳市期末）已知反比例函数y，若x≥5，则函数y有（　　） A．最大值1 B．最小值1 C．最大值0 D．最小值0 巩固训练 6．（2024秋•温岭市期末）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 　 　 （填一个即可）． 7．（2024春•吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的一支曲线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．（2024春•上城区期末）反比例函数，，当a≤x≤b（b，a为常数，且b＞a＞0）时，y1的最小值为m，y2的最大值为n，则的值为（　　） A．﹣2 B． C．或﹣2 D． 9．（2024•瑞安市校级开学）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … ﹣1 0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： （1）点A（3，y），B（x，6）在函数图象上，求x，y的值； （2）当函数值y＝2时，自变量x的值为　 　 ； （3）利用图象分析关于x的方程的解的具体个数，并写出对应的b（b为常数）的取值范围． 题型三　反比例函数图象上点的坐标特征 例题： 1．（2025•金华模拟）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2） 2．（2025•乐清市校级模拟）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（2﹣t，y2）两点，下列正确的选项是（　　） A．当1＜t＜2时，y1＞y2 B．当1＜t＜2时，y1＜y2 C．当0＜t＜2时，y1＞y2 D．当0＜t＜2时，y1＜y2 3．（2024春•鄞州区期末）如图，菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，BD∥x轴，AC＝2，BD＝5，反比例函数的图象经过点B，则k的值为 　 　 ． 4．（2024•拱墅区二模）某小组在研究了函数y1＝x与y2性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，以下几个结论： ①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点； ②若函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝4； ③若点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上． 以上结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 巩固训练 5．（2024秋•鄞州区月考）下列与其他三个点不在同一反比例函数图象上的点是（　　） A．（2，﹣4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（﹣8，1） 6．（2025春•鄞州区月考）已知点A（﹣4，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 7．（2025•鹿城区校级开学）已知A（a，m），B（b，n）是反比例函数图象上的点，且m＜0，n＞0，则下列关系中正确的是（　　） A．a＞b＞0 B．a＞0＞b C．a＜b＜0 D．a＜0＜b 8．（2024•西湖区校级开学）在反比例函数图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（　　） A．若y1•y3＜0，则x2•x3＞0 B．若x1+x2＜0，则y2•y3＞0 C．若y2•y3＜0，则x1•x3＞0 D．若x2+x3＜0，则y1•y2＞0 9．（2024春•杭州期末）如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作PH⊥y轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为（m，n）． （1）n是m的 　 　 函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”） （2）当n＞3时，求m的取值范围． 题型四　反比例函数与一次函数的交点问题 例题： 1．（2025•西湖区校级一模）若双曲线与直线y＝nx的一个交点坐标为（﹣1，2），则关于x的不等式的解集为（　　） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1 2．（2025•宁波一模）已知一次函数y＝x+a的图象与反比例函数交于M，N两点．当a＝1时，△OMN的面积为1，则当a＝﹣1时，△OMN的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 3．（2025•浙江模拟）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，4）． （1）求b和k的值． （2）横坐标为3的点B是反比例函数图象上的一点，现将点B向下平移．当点B落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 4．（2025春•镇海区校级月考）如图，12个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，直线AB平分这12个正方形组合图形的面积，且与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B，与反比例函数在第二象限的图象交于点C．若△AOB与△BOC的面积之比为1：3． （1）求直线AB的解析式． （2）求k的值． 巩固训练 5．（2024春•鄞州区校级期末）如图，直线y＝kx+b与双曲线交于A（2，m），B（4，n）两点，则不等式的解为（　　） A．2＜x＜4 B．﹣4＜x＜﹣2 C．x＜﹣4或x＞﹣2 D．﹣4＜x＜﹣2或x＞0 6．（2025•浙江一模）已知双曲线y与函数y＝|x﹣a|的图象有两个交点，则a的值是 　 　 ． 7．（2024秋•玉环市期末）已知，一次函数y＝ax+1的图象上有一点A（m，n）（m≠0），反比例函数经过A点． （1）当a＝﹣1时， ①若m＝2，求反比例函数的解析式； ②求k的最大值． （2）当1≤m≤6时，k随着m的增大而减小，求此时a的范围． 8．（2025春•义乌市月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（2，4），B（a，﹣2）两点，与x轴相交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式． （2）直接写出当y1≤y2时，x的取值范围． （3）联结OA，OB，求△AOB的面积． 题型五　反比例函数k的几何意义 例题： 1．（2025•鹿城区校级开学）如图，点A，B在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接OA，OB，则△OAB的面积是（　　） A．1.5 B．3 C．9 D．13 2．（2025•浙江模拟）如图，已知CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B．若OA＝AC，则△OBC的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2024秋•温岭市期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、B落在反比例函数的图象上，则正方形OABC的面积为（　　） A．6 B．5 C． D． 4．（2024春•婺城区校级期中）如图，四边形OABC、BDEF是面积分别为S1、S2的正方形，点A在x轴上，点F在BC上，点E在反比例函数的图象上，若S1﹣S2＝4，则k值为 　 　 ． 巩固训练 5．（2024•浙江一模）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．（2025春•义乌市月考）如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的点C在x轴正半轴上，底边BC与y轴平行，D是BC边上一点，且，函数（k＞0）的图象经过点A和点D，若点D的横坐标为6，△ABC的面积为6，则k的值是　 　 ． 7．（2024春•慈溪市期末）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，过点C的反比例函数的图象交正方形对角线BD于点E．若正方形的面积为40，且点E是BD的中点，则k的值为 　 　 ． 题型六　反比例函数的应用 例题： 1．（2024春•衢州期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＝0.2时，R＝1000 B．I与R的函数表达式是 C．当R＞500时，I＞0.44 D．当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25 2．（2025•浙江模拟）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示． （1）求压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）的函数表达式． （2）若压强由80kPa加压到120kPa，则气体体积压缩了多少？ 3．（2024秋•路桥区期末）如图是一架自制天平，O为支点，左侧托盘A固定，托盘上放置1个砝码，右侧托盘P可以在横梁BC段滑动（点P不与点B，C重合）．已知OA＝OC＝10cm，BC＝25cm，1个砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时，左侧托盘砝码的质量×OA＝右侧托盘物体的质量×OP．（托盘与横梁的质量忽略不计） （1）设右侧托盘P中放置物体的质量为y（g），OP的长为x（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）由于一支2B铅笔太轻无法称量，小明进行如下操作：左侧托盘放置1个砝码，右侧托盘放置8支2B铅笔，再将托盘P由点C向点B滑动，发现托盘P移动到与点C的距离为15cm时，天平恰好平衡，求一支2B铅笔的质量． 巩固训练 4．（2024•定海区开学）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 5．（2024•龙湾区二模）图1是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压为U，电功率为，P关于R的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20w，则当R＝15Ω时，P的值为 　 　 w． 6．（2025•滨江区开学）春节期间燃放烟花爆竹是我国的传统习俗．经检测，烟花燃放后产生的有害气体浓度y（mg/m3）与扩散时间x（min）之间成反比例函数关系．当扩散5min时，有害气体浓度为10mg/m3． （1）求y关于x的函数表达式； （2）按照环保标准，当有害气体浓度不高于8mg/m3时，对人体健康无危害，则至少需要扩散多长时间，对人体健康无危害？ 题型七　反比例函数综合题 例题： 1．（2025春•西湖区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）方程的解为　 　 ； （3）直接写出当0＜y1＜y2时自变量x的范围． 2．（2024春•平湖市期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m，1），B（2，﹣3）两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 3．（2024春•诸暨市期末）如图，在坐标系中有一矩形OABC，满足A（10，0），C（0，8），点D为AB上一点，△BCD关于CD折叠得到△ECD，点E落于边OA上． （1）求OE的长度； （2）若y关于x的反比例函数图象经过点D，与CD另一交点记为点F； ①求该反比例函数解析式； ②在CE上有一动点P，当点P坐标为多少时，△PDF的周长最小？ 巩固训练 4．（2024秋•鄞州区月考）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0），点D在y轴负半轴上． （1）求经过点C的反比例函数的表达式； （2）连接OC，设P是（1）中所求函数图象上的点，以P、O、A为顶点的三角形的面积是△COD面积的3倍，求点P的坐标． 5．（2024春•奉化区校级期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． （1）矩形　 　 勾股四边形（填“是”．或“不是”）． （2）如图在直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1 与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点P（﹣3，0）在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明▱APQB是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 《反比例函数》知识归纳与题型训练（7题型清单） 一、反比例函数 1.反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数．其中，x是自变量，y是关于x的函数，k叫做比例系数； 2.反比例函数解析式求法：待定系数法 ①设反比例函数解析式为 ②将一对自变量与函数的对应值，带入上述解析式 ③解出k的值，带入得解析式 要点诠释： （1） 反比例函数中自变量x≠0； （2）反比例函数其他表达式形式：或 二、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数图象的特征： 反比例函数的图象是由两个分支组成的曲线，当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限。 反比例函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。 2.反比例函数图象的性质： 当时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当时，在图象所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。 要点诠释： （1）反比例函数图象不仅是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为直线 （2）、反比例函数在描述增减性时，必须指明自变量的取值范围，或者图象所在象限，直接说y随x的增大而增大（或减小）是错误的。 （3）反比例函数的几何意义： 三、反比例函数的应用 以实际情境为模型的反比例函数，自变量取值范围必须符合题目条件并且具有实际意义，因此，此时的图象可能是反比例函数图象的一部分。 题型一　反比例函数定义与待定系数法求解析式 例题： 1．（2024春•杭州月考）下列各量中，不是成反比例的是（　　） A．路程一定，速度和时间 B．正方形的边长与面积 C．面积一定，平行四边形底和高 D．工作量一定，工作效率与工作时间 【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量，然后看那两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系． 【解答】解：A选项：速度×时间＝路程（一定），速度和时间乘积一定，成反比例； B选项：正方形的面积÷边长＝边长（不一定），所以正方形的边长和面积不成比例； C选项：平行四边形的底×高＝面积（一定），平行四边形的底和高的乘积一定，成反比例关系； D选项：工作效率×工作时间＝工作总量（一定），乘积一定，工作效率和工作时间成反比例；． 故选：B． 【点评】此题考查用正比例和反比例的意义，掌握其定义是解决此题的关键． 2．（2024春•新昌县期末）已知y是关于x的反比例函数，当时，y＝2，则这个函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据待定系数法求解． 【解答】解：设y， 则：k＝xy2， ∴y， 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 3．（2024春•瓯海区期末）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A（4，3），B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数的图象交BC于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点D为BC中点，求线段OC的长． 【分析】（1）将点A（4，3）代入反比例函数，解方程即可； （2）作DE⊥x轴交OA于点H，交x轴于点E，延长BA交x轴于F，先证明四边形DHOC是平行四边形，四边形BDHA是平行四边形，得到CD＝OH，BD＝AH，OC＝DH，从而知道H是△AOF的中点，结合DE∥AB，得到HE是△AOF中位线，从而求得OE和HE的长度，从而推出点D的横坐标，然后代入函数表达式，求得D点纵坐标，从而知道DE长度，最后利用ED﹣HE求得DH的长度，推导得到OC的长度． 【解答】解：（1）将点A（4，3）代入反比例函数， 得：， 解得：k＝12， ∴反比例函数的解析式为． （2）作DE⊥x轴交OA于点H，交x轴于点E，延长BA交x轴于F， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OC∥AB，BC∥OA， ∵DH⊥x轴，CO⊥x轴， ∴DH∥CO∥AB， ∴四边形DHOC是平行四边形，四边形BDHA是平行四边形， ∴CD＝OH，BD＝AH，OC＝DH， ∵A点坐标为（4，3）， ∴OF＝4，AF＝3， ∵点D为BC的中点， ∴CD＝BD， ∴OH＝AH， 又DE∥AB， ∴HE是△AOF的中位线， ∴，， ∴D点横坐标为2， 将x＝2代入，解得y＝6， ∴D点坐标为（2，6）， ∴DE＝6， ∴， ∴． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 巩固训练 4．（2024•浙江模拟）已知P（x，y）是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为（　　） A． B．y＝x C． D． 【分析】根据点P在反比例函数图象上得出y，再用x表示y，发现点Q横纵坐标之间的关系即可解决问题． 【解答】解：∵P（x，y）在反比例函数的图象上， ∴y， 又∵点Q的坐标为（）， ∴， 所以点Q所在的函数的表达式为y＝x． 故选：B． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． 5．（2023春•余杭区校级期中）已知函数y＝（m﹣3）x2|m|﹣3是反比例函数，则m的值是（　　） A．±1 B．﹣1 C．1 D．3 【分析】根据反比例函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）x2|m|﹣3是反比例函数， ∴， ∴m＝±1． 故选：A． 【点评】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数是解题的关键． 6．（2024•金东区二模）如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点C（3，4），反比例函数y（k≠0）的图象经过菱形两条对角线AC，OB的交点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）将菱形OABC向左平移，当点B落在反比例函数y（k≠0）的图象上时，求平移的距离． 【分析】（1）延长BC交y轴于点E，交反比例函数于点F，根据勾股定理求出OC的长，再由菱形的性质得出OA的长，进而得出A点坐标，利用中点坐标公式得出D点坐标，代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）根据点C（3，4），BC＝OC，BC∥OA得出B点坐标，再求出F点的坐标，求出BF的长即可． 【解答】解：（1）如图，延长BC交y轴于点E，交反比例函数于点F， ∵菱形OABC的边OA在x轴上，点C（3，4）， ∴OC5， ∴OC＝OA＝BC＝5， ∴A（5，0）， ∴D（，），即（4，2）， ∵反比例函数y（k≠0）的图象经过菱形两条对角线AC，OB的交点D， ∴k＝xy＝4×2＝8， ∴反比例函数的解析式为：； （2）∵点C（3，4），BC＝OC＝5，BC∥OA， ∴B（8，4）， ∵反比例函数的解析式为y， ∴4， 解得x＝2， ∴F（2，4）， ∴BF＝8﹣2＝6， ∴当点B落在反比例函数y（k≠0）的图象上时，平移的距离是6． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求反比例函数的解析式，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 题型二　反比例函数的图象和性质 例题： 1．（2025春•萧山区月考）函数y的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的图象性质：当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限，得出结果． 【解答】解：反比例函数y中， ∵k＝﹣3＜0， ∴双曲线位于二、四象限． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象的图象．当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 2．（2024春•拱墅区校级期中）函数和y＝k（x+1）（k＞0）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k的符号判断出反比例函数所在象限，再根据k的符号判断出y＝k（x+1）所过象限，同时符合条件者即为正确答案． 【解答】解：∵k＞0， ∴函数图象在一、三象限；y＝k（x+1）＝kx+k过一、二、三象限； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的图象和性质，要知道，只有同时符合两个函数的性质才能成立． 3．（2024春•上城区期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（　　） A．﹣2 B．1 C．3 D．5 【分析】根据反比例函数的图象的特点即可得出答案． 【解答】解：∵当反比例函数的图象过点（2，2）时，k＝2×2＝4，当反比例函数的图象过点（﹣1，﹣2）时，k＝（﹣1）×（﹣2）＝2， ∴根据图象可知k的取值范围为2＜k＜4，故C选项符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键． 4．（2024秋•西湖区校级月考）关于反比例函数，下列结论正确的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而增大 C．图象与y轴有公共点 D．图象经过点（a，a﹣4），则a＝1 【分析】根据解析式得出k＜0，逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：，k＜0， A、图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； B、在每一象限内，y随x的增大而增大，故该选项正确，符合题意； C、函数图象与y轴没有公共点，故该选项不正确，不符合题意； D、由经过点（a，a﹣4），得a＝1或a＝3，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 5．（2024春•东阳市期末）已知反比例函数y，若x≥5，则函数y有（　　） A．最大值1 B．最小值1 C．最大值0 D．最小值0 【分析】根据反比例函数的增减性可求得答案． 【解答】解：在反比例函数y中，5＞0， ∴第一象限内，y随x的增大而减小， ∴当x＝5时，y有最大值为1， 故选：A． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 巩固训练 6．（2024秋•温岭市期末）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 　2（答案不唯一）　 （填一个即可）． 【分析】反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数k﹣5＜0，即k＜5，根据k的取值范围进行选择． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣5＜0， 即k＜5． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 7．（2024春•吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的一支曲线是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】先根据函数的解析式判断出函数图象在一、三象限，再根据k＝xy＝6解答即可． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝6＞0， ∴函数图象在一、三象限， ∴①、②不符合题意； ③过点（1，2），④过点（2，3）， ∵1×2＝3≠6，2×3＝6， ∴③不符合题意；④符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 8．（2024春•上城区期末）反比例函数，，当a≤x≤b（b，a为常数，且b＞a＞0）时，y1的最小值为m，y2的最大值为n，则的值为（　　） A．﹣2 B． C．或﹣2 D． 【分析】分k＞0和k＜0两种情况讨论，根据反比例函数的增减性分别求出m和n的值，即可求出答案． 【解答】解：∵a≤x≤b（b，a为常数，且b＞a＞0）， ∴当k＞0时，函数y1图象在第一象限，y随x的增大而减小， y2图象在第四象限，y随x的增大而增大， ∴m，n， ∴， 当k＜0时，函数y1图象在第四象限，y随x的增大而增大， y2图象在第一象限，y随x的增大而减小， ∴m，n， ∴， ∴的值为． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 9．（2024•瑞安市校级开学）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … ﹣1 0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： （1）点A（3，y），B（x，6）在函数图象上，求x，y的值； （2）当函数值y＝2时，自变量x的值为　±1　 ； （3）利用图象分析关于x的方程的解的具体个数，并写出对应的b（b为常数）的取值范围． 【分析】（1）根据图象确定分段函数的解析式，将点代入函数解析式进行求解即可； （2）图象法确定自变量的值即可； （3）分四种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）由图象可知，当x＜0时，设函数关系式为：y＝kx，把（﹣1，2）代入，得：k＝﹣2， ∴y＝﹣2x； 当0≤x＜1时，同法可得：y＝2x， 当x≥1时，设，把（1，2），代入得：m＝2， ∴， ∴， ∴当x＝3时，，当y＝6时，﹣2x＝6，解得x＝﹣3， ∴x＝﹣3，； （2）由图象和表格可知，当y＝2时，x＝±1； 故答案为：±1； （3）由图象可知：当b＝0或b＞2时，方程有1个解； 当0＜b＜2时，方程有3个解； 当b＝2时，方程有2个解， 当b＜0时，方程无解． 【点评】本题考查反比例函数图像，一次函数的图像，解题的关键是理解题意读懂图象信息． 题型三　反比例函数图象上点的坐标特征 例题： 1．（2025•金华模拟）下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（3，﹣2） 【分析】依据题意，把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可． 【解答】解：逐项分析判断如下： A．当x＝2时，y＝﹣3，∴点（2，﹣3）在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B．当x＝﹣2时，y＝3，∴点（﹣2，﹣3）不在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； C．当x＝﹣2时，y＝3，∴点（﹣2，3）在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； D．当x＝3时，y＝﹣2，∴点（3，﹣2）在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 2．（2025•乐清市校级模拟）反比例函数的图象上有P（t，y1），Q（2﹣t，y2）两点，下列正确的选项是（　　） A．当1＜t＜2时，y1＞y2 B．当1＜t＜2时，y1＜y2 C．当0＜t＜2时，y1＞y2 D．当0＜t＜2时，y1＜y2 【分析】由于反比例函数，可知函数位于第一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出y1与y2的大小． 【解答】解：由条件可知：函数位于第一、三象限，y随x的增大而减小， ∴①0＜t＜2﹣t时，y1＞y2， 解得：0＜t＜1， 即当0＜t＜1，y1＞y2； ①0＜2﹣t＜t时，y1＜y2， 解得：1＜t＜2， 即当1＜t＜2，y1＜y2， 所以结合选项可知：B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（2024春•鄞州区期末）如图，菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴上，BD∥x轴，AC＝2，BD＝5，反比例函数的图象经过点B，则k的值为 　5　 ． 【分析】设AC与BD交于点M，由菱形的性质可知BD⊥AC，AMAC＝1，过点B作BE⊥x轴于点E，由BD∥x轴可知AC⊥x轴，BE⊥BD，故可得出AM＝BE＝1，据此得出B点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出结论． 【解答】解：设AC与BD交于点M， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝5 ∴BD⊥AC，AMAC＝1， 过点B作BE⊥x轴于点E， ∵BD∥x轴， ∴AC⊥x轴，BE⊥BD， ∴AM＝BE＝1， ∴B（5，1）， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴1， 解得k＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 4．（2024•拱墅区二模）某小组在研究了函数y1＝x与y2性质的基础上，进一步探究函数y＝y1+y2的性质，以下几个结论： ①函数y＝y1+y2的图象与直线y＝3没有交点； ②若函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点，则a＝4； ③若点（a，b）在函数y＝y1+y2的图象上，则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上． 以上结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】①根据题意得出y与x的函数关系式，当y＝3时，解得x，若方程无解，说明两个函数图象无交点， ②当y＝a时，得出一个一元二次方程，两个函数的图象只有一个交点，说明方程有一个解，或由两个相同的实数根，让根的判别式为0即可， ③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a，再将x＝﹣a代入函数关系式中，得出结论，和﹣b判断，即可得出结论． 【解答】解：①由 题意得，y＝x， 当y＝3时，即：3＝x， 也就是x2﹣3x+4＝0， ∵Δ＝9﹣16＜0， ∴此方程无实数根， 故，y＝x与y＝3无交点，因此①正确， ②由①得， 当y＝a时，即：a＝x， 也就是x2﹣ax+4＝0， 当Δ＝a2﹣16＝0时，函数y＝y1+y2的图象与直线y＝a只有一个交点， 此时，a＝±4，因此②错误， ③将点（a，b）代入函数关系式中，得出b＝a，将x＝﹣a代入函数关系式中，得出﹣a（a）＝﹣b， 则点（﹣a，﹣b）也在函数y＝y1+y2的图象上． 因此③正确， 故选：B． 【点评】考查一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，以及一元二次方程根的判别式等知识，当两个函数的关系式组成方程组有两个解时，说明两个函数的图象有两个交点，方程组有一个解，或两个相等的实数根，即两个函数的图象有一个交点，当方程组无实数解时，两个函数的图象无交点． 巩固训练 5．（2024秋•鄞州区月考）下列与其他三个点不在同一反比例函数图象上的点是（　　） A．（2，﹣4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（﹣8，1） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：因为同一个反比例函数图象上的点，其横纵坐标的积相等， 且2×（﹣4）＝﹣8，﹣2×（﹣4）＝8，﹣4×2＝﹣8，﹣8×1＝﹣8， 所以B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 6．（2025春•鄞州区月考）已知点A（﹣4，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 【分析】先根据k＜0可知图像位于第二四象限，当x＜0时，y＞0，当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，即可得出答案． 【解答】解：有条件可知双曲线位于第二，四象限， 当x＝﹣4时，y1＞0； 当x＞0时，函数值y随着x的增大而增大，即当1＜3时，y2＜y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键， 7．（2025•鹿城区校级开学）已知A（a，m），B（b，n）是反比例函数图象上的点，且m＜0，n＞0，则下列关系中正确的是（　　） A．a＞b＞0 B．a＞0＞b C．a＜b＜0 D．a＜0＜b 【分析】根据反比例函数图象的和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征进行判断即可． 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴反比例函数图象在二、四象限， ∵A（a，m），B（b，n）是反比例函数图象上的点，且m＜0，n＞0， ∴点A（a，m）在第四象限的图象上，而B（b，n）在第二象限， ∴a＞0＞b， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象上点的坐标特征是正确解答的前提． 8．（2024•西湖区校级开学）在反比例函数图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（　　） A．若y1•y3＜0，则x2•x3＞0 B．若x1+x2＜0，则y2•y3＞0 C．若y2•y3＜0，则x1•x3＞0 D．若x2+x3＜0，则y1•y2＞0 【分析】由k＜0可得反比例函数图象在第二四象限，根据选项一—分析即可． 【解答】解：在反比例函数y中，k＜0，图象在第二四象限， 若y1•y3＜0 则x1＜0＜x2＜x3或x1＜x2＜0＜x3，故A错误； 当x1＜x2＜x3时，若x1+x2＜0，则|x1|＞|x2|且x1＜0＜x2或x1＜x2＜0， 故y2•y3＜0或y2•y3＞0 故B错误； 若 y2•y3＜0则x1＜x2＜0＜x3，则x1•x3＜0，故C错误； 若x2+x3＜0则|x2|＞|x3|且x1＜x2＜0＜x3或x1＜x2＜x3＜0，故y1•y2＞0，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 9．（2024春•杭州期末）如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作PH⊥y轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为（m，n）． （1）n是m的 　反比例　 函数，并加以说明．（填“一次”或“反比例”） （2）当n＞3时，求m的取值范围． 【分析】（1）由题意可知P（2m，n），代入即可得到n，即可得到n是m的反比例函数； （2）求得n＝3时的m的值，然后结合图象即可求得当n＞3时m的取值范围． 【解答】解：（1）∵作PH⊥y轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为（m，n）， ∴P（2m，n）， ∵点P是反比例函数图象上的一个动点， ∴2mn＝6， ∴n， ∴n是m的反比例函数， 故答案为：反比例； （2）当n＝3时，求得m＝1， ∴当n＞3时，求m的取值范围是0＜m＜1． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，求得n是解题的关键． 题型四　反比例函数与一次函数的交点问题 例题： 1．（2025•西湖区校级一模）若双曲线与直线y＝nx的一个交点坐标为（﹣1，2），则关于x的不等式的解集为（　　） A．﹣1＜x＜1 B．x＜﹣1或x＞1 C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．x＜﹣1或0＜x＜1 【分析】根据点（﹣1，2）在第二象限，可得m＜0，n＜0，画出函数图象，由函数的性质得出结论． 【解答】解：∵双曲线与直线y＝nx的一个交点（﹣1，2）在第二象限， ∴m＜0，n＜0， 如图所示： 由函数性质可知，点（﹣1，2）关于原点的对称点为（1，﹣2）， 由函数图象可知，不等式的解集为﹣1＜x＜0或x＞1， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握反比例函数和一次函数的性质和数形结合思想． 2．（2025•宁波一模）已知一次函数y＝x+a的图象与反比例函数交于M，N两点．当a＝1时，△OMN的面积为1，则当a＝﹣1时，△OMN的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】分别联立直线和反比例函数解析式得到两次的交点关于原点成中心对称，则△OMN的面积不变，即可求解． 【解答】解：当a＝1时，联立得：x（x+1）＝k， 解得：， ∴点，（顺序无关）， 当a＝﹣1联立得：x（x﹣1）＝k， 解得：， ∴点，（顺序无关）， ∴发现点M与点N′关于原点成中心对称，点N与点M′关于原点成中心对称， ∴S△OMN＝S△OM′N′＝1， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的对称性，根据对称性求解是解题的关键． 3．（2025•浙江模拟）如图，一次函数y＝﹣2x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，4）． （1）求b和k的值． （2）横坐标为3的点B是反比例函数图象上的一点，现将点B向下平移．当点B落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【分析】（1）把A（﹣1，4）代入一次函数，反比例函数解析式即可求解； （2）根据题意得到，根据点的平移得到平移后，代入一次函数解析式即可求解． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+b的图象过点A（﹣1，4）， ∴﹣2×（﹣1）+b＝4， 解得b＝2， ∴一次函数解析式为y＝﹣2x+2， ∵与反比例函数的图象过点A（﹣1，4）， ∴， 解得k＝﹣4； （2）由（1）知，k＝﹣4， ∴反比例函数解析式为， ∵点B的横坐标为3，且点B在反比例函数图象上， ∴，即， 设点B向下平移了m个单位， ∴， ∴， 解得， ∴向下平移的距离为． 【点评】本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2025春•镇海区校级月考）如图，12个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，直线AB平分这12个正方形组合图形的面积，且与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B，与反比例函数在第二象限的图象交于点C．若△AOB与△BOC的面积之比为1：3． （1）求直线AB的解析式． （2）求k的值． 【分析】（1）依据题意，可知梯形OADE的面积为7，根据梯形的面积求得D的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式； （2）依据题意，由△AOB与△BOC的面积之比为1：3可知C的横坐标为﹣3，把x＝﹣3代入AB的解析式求得C的坐标，进而即可求得k的值． 【解答】解：（1）由题意，如图可知梯形OADE的面积为7， ∴（OA+DE）•OE＝7， ∵点A（﹣1，0），OE＝4， ∴OA＝1， ∴（1+DE）×4＝7， ∴DE． ∴D（，4）． 设直线AB的解析式为y＝ax+b， 代入A、D的坐标得， ∴． ∴直线AB为yx． （2）由题意，∵△AOB与△BOC的面积之比为1：3，OA＝1， ∴C到y轴的距离为3， ∴C的横坐标为﹣3， 把x＝﹣3代入yx得，y， ∴C（﹣3，）， ∵反比例函数y（k＜0）在第二象限过点C， ∴k＝﹣316，即k＝﹣16． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，求得C的坐标是解题的关键． 巩固训练 5．（2024春•鄞州区校级期末）如图，直线y＝kx+b与双曲线交于A（2，m），B（4，n）两点，则不等式的解为（　　） A．2＜x＜4 B．﹣4＜x＜﹣2 C．x＜﹣4或x＞﹣2 D．﹣4＜x＜﹣2或x＞0 【分析】找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时x的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可． 【解答】解：直线y＝kx+b关于原点对称的直线的解析式为﹣y＝﹣kx+b，即y＝kx﹣b， ∵直线y＝kx+b与双曲线交于A（2，m），B（4，n）两点， ∴直线y＝kx﹣b与双曲线交于点（﹣2，﹣m），（﹣4，﹣n）两点， 观察图象可知，当﹣4＜x＜﹣2或x＞0时，直线y＝kx﹣b在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解为是﹣4＜x＜﹣2或x＞0， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力，用了数形结合思想． 6．（2025•浙江一模）已知双曲线y与函数y＝|x﹣a|的图象有两个交点，则a的值是 　　 ． 【分析】根据题意画出图象分析可得，一次函数y＝﹣x+a的图象与y的图象只有一个交点，且a＞0，可得方程﹣x2+ax﹣3＝0只有一个实数根，利用根的判别式即可求解． 【解答】解：如图， ∵双曲线y与函数y＝|x﹣a|的图象有两个交点， ∴由图可知，一次函数y＝﹣x+a的图象与y的图象只有一个交点，且a＞0， 可得， 整理得：﹣x2+ax﹣3＝0， ∴方程﹣x2+ax﹣3＝0只有一个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝a2﹣12＝0， 解得：a或（舍去）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根的判别式，解题关键在于利用数形结合思想解决问题． 7．（2024秋•玉环市期末）已知，一次函数y＝ax+1的图象上有一点A（m，n）（m≠0），反比例函数经过A点． （1）当a＝﹣1时， ①若m＝2，求反比例函数的解析式； ②求k的最大值． （2）当1≤m≤6时，k随着m的增大而减小，求此时a的范围． 【分析】（1）①依据题意，一次函数为y＝﹣x+1，A（2，n），从而﹣2+1＝n，可得n＝﹣1，则A（2，﹣1），又A在反比例函数y的图象上，进而k＝2×（﹣1）＝﹣2，故可判断得解； ②依据题意，a＝﹣1，此时一次函数为y＝﹣x+1，故n＝﹣m+1，又A（m，n）在反比例函数y的图象上，可得k＝mn＝m（﹣m+1）＝﹣m2+m（m）2，再结合二次函数的性质可以判断得解； （2）依据题意，由A（m，n）在一次函数y＝ax+1的图象上，从而n＝am+1，则A（m，am+1），结合A点在反比例函数y的图象上，故am+1，则k＝am2+m，再分a＞0和a＜0进行讨论可以判断得解． 【解答】解：（1）①由题意，一次函数为y＝﹣x+1，A（2，n）， ∴﹣2+1＝n． ∴n＝﹣1． ∴A（2，﹣1）． 又A在反比例函数y的图象上， ∴k＝2×（﹣1）＝﹣2． ∴反比例函数的解析式为y． ②由题意，a＝﹣1，此时一次函数为y＝﹣x+1， ∴n＝﹣m+1． 又A（m，n）在反比例函数y的图象上， ∴k＝mn＝m（﹣m+1）＝﹣m2+m（m）2． ∵﹣1＜0， ∴当m时，k有最大值，最大值为． （2）由题意，∵A（m，n）在一次函数y＝ax+1的图象上， ∴n＝am+1． ∴A（m，am+1）． 又A点在反比例函数y的图象上， ∴am+1． ∴k＝am2+m． 当a＞0时，则当m时，k随着m的增大而减小． ∵当1≤m≤6时，k随着m的增大而减小， ∴6． ∴a，此时不合题意． 当a＜0时，则当m时，k随着m的增大而减小． ∵当1≤m≤6时，k随着m的增大而减小， ∴1． ∴a． 综上，a． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．（2025春•义乌市月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（2，4），B（a，﹣2）两点，与x轴相交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式． （2）直接写出当y1≤y2时，x的取值范围． （3）联结OA，OB，求△AOB的面积． 【分析】（1）将A（2，4）代入y2，即可确定m＝8，将点B（a，﹣2）代入y2，可确定点B坐标，将A，B坐标代入y1＝kx+b，即可确定一次函数表达式； （2）根据函数图象可得结论； （3）先求出一次函数与x轴交点坐标，可以得到OC的长度，再利用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）将A（2，4）代入y2（m≠0）得：m＝2×4＝8， ∴反比例函数的解析式为y2； 把B（a，﹣2）代入y2得：a4， ∴B（﹣4，﹣2）， 把A（2，4），B（﹣4，﹣2）代入y1＝kx+b得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为y1＝x+2； （2）由函数图象可知，当0＜x≤2或x≤﹣4时，y1≤y2， ∴x的取值范围为0＜x≤2或x≤﹣4； （3）联结OA，OB，如图： 在y1＝x+2中，当y1＝0时，x+2＝0， 解得x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）， ∴OC＝2， ∴S△AOBOC×|4+2|2×6＝6． ∴△AOB的面积为6． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数表达式是关键． 题型五　反比例函数k的几何意义 例题： 1．（2025•鹿城区校级开学）如图，点A，B在反比函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接OA，OB，则△OAB的面积是（　　） A．1.5 B．3 C．9 D．13 【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，由题意求出A（4，3），B（2，6），则AC＝4，BD＝2，CD＝3，由反比例函数的几何意义可得S△BOD＝S△AOC，S△OAB＝S四边形ABDC+S△AOC﹣S△BOD＝S四边形ABDC，然后代入即可求值． 【解答】解：如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C， 由条件可知A（4，3），B（2，6）， ∴AC＝4，BD＝2，CD＝3， 由反比例函数的几何意义可得S△BOD＝S△AOC， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的性质及k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质和几何意义是解题的关键． 2．（2025•浙江模拟）如图，已知CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B．若OA＝AC，则△OBC的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，则S△OAE4＝2，再由CD⊥x轴可知S△OBD4＝2，AE∥CD，故可得出△OAE∽△OCD，再由OA＝AC得出，根据相似三角形的性质可得出△OCD的面积，由S△OBC＝S△OCD﹣S△OBD即可得出结论． 【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E， ∵CD⊥x轴，垂足为D，CO，CD分别交反比例函数的图象于点A，B， ∴S△OAE＝S△OBD4＝2，AE∥CD， ∴△OAE∽△OCD， ∵OA＝AC， ∴， ∴， ∴S△OCD＝8， ∴S△OBC＝S△OCD﹣S△OBD＝8﹣2＝6． 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变是解题的关键． 3．（2024秋•温岭市期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A、B落在反比例函数的图象上，则正方形OABC的面积为（　　） A．6 B．5 C． D． 【分析】如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥AM于点N．证明△AMO≌△BNA（AAS），推出AM＝BN，OM＝AN，设A（m，n），则B（m﹣n，m+n），构建方程组求解即可． 【解答】解：如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥AM于点N． ∵四边形ABCO是正方形， ∴∠OAB＝90°，AB＝AO， ∵∠ANB＝∠AMO＝90°， ∴∠OAM+∠AOM＝90°，∠OAM+∠BAN＝90°， ∴∠AOM＝∠BAN， ∴△AMO≌△BNA（AAS）， ∴AM＝BN，OM＝AN， 设A（m，n），则B（m﹣n，m+n）， ∵A，B在反比例函数y上， ∴， ②式平方可得（m2+n2+2mn）（m2+n2﹣2mn）＝5， 即（m2+n2）2﹣20＝5， ∴m2+n2＝5， ∴OA2＝m2+n2＝5， ∴正方形ABCO的面积为5． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上的点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．（2024春•婺城区校级期中）如图，四边形OABC、BDEF是面积分别为S1、S2的正方形，点A在x轴上，点F在BC上，点E在反比例函数的图象上，若S1﹣S2＝4，则k值为 　4　 ． 【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a，b，则可表示出D（a，a+b），F（a﹣b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，利用点E与点D的纵坐标相同，求解即可． 【解答】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a，b， 则D（a，a+b），F（a﹣b，a），， ∵点E与点D的纵坐标相同， ∴， ∴a2﹣b2＝k， ∵S1﹣S2＝4， ∴k＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得出点D、E、F的坐标是解此题的关键． 巩固训练 5．（2024•浙江一模）如图，点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】连接OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【解答】解：连接OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴|k|＝3， ∵k＜0， ∴k＝﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 6．（2025春•义乌市月考）如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的点C在x轴正半轴上，底边BC与y轴平行，D是BC边上一点，且，函数（k＞0）的图象经过点A和点D，若点D的横坐标为6，△ABC的面积为6，则k的值是　12　 ． 【分析】根据题意，得出点D坐标可表示为（6，），进一步可表示出点B的坐标，再结合△ABC的面积为6，可表示出点A坐标，最后将点A坐标代入反比例函数解析式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 点D坐标可表示为（6，）， ∵BC∥y轴，且， ∴BD＝2CD， ∴BC， ∴点B坐标为（6，）． 令△ABC的边BC上的高为h， 则， ∴h． 又∵△ABC是等腰三角形， ∴点A坐标可表示为（）． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得k＝12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了反比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7．（2024春•慈溪市期末）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，过点C的反比例函数的图象交正方形对角线BD于点E．若正方形的面积为40，且点E是BD的中点，则k的值为 　16　 ． 【分析】依据题意，作CG⊥x轴于G，设C（a，），又由四边形ABCD为正方形，进而证明△AOB≌△BGC（AAS），可得OB＝CG，AO＝BG，故CG，OG＝OB+BG＝a， 从而AO＝BG＝OG﹣OB＝a，则A（0，a），结合四边形ABCD为正方形，对角线AC与BD互相平分，可得E为AC的中点，故E（，），又E在反比例函数y， 则ka2，即a2＝4k，又正方形的面积为AB2＝40，且AB2＝OA2+OB2，最后列出（a）2+（）2＝40，进而建立2kk＝40，计算即可得解． 【解答】解：作CG⊥x轴于G，设C（a，）， 又由四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°． ∴∠ABO+∠BCG＝90°． 又∠AOB＝90°， ∴∠OAB+∠ABO＝90°， ∴∠OAB＝∠GBC． 又∠AOB＝∠BGC＝90°， ∴△AOB≌△BGC（AAS）． ∴OB＝CG，AO＝BG． 又CG，OG＝OB+BG＝a， ∴AO＝BG＝OG﹣OB＝a． ∴A（0，a）． ∵四边形ABCD为正方形， ∴对角线AC与BD互相平分． ∵E为BD的中点， ∴E为AC的中点． ∴E（，）． 又E在反比例函数y， ∴ka2． ∴a2＝4k． 又正方形的面积为AB2＝40， 且AB2＝OA2+OB2， ∴（a）2+（）2＝40． ∴a2﹣2k+240． ∴2kk＝40． ∴k＝16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题时要熟练掌握并能构造三角形全等是关键． 题型六　反比例函数的应用 例题： 1．（2024春•衢州期末）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　） A．当I＝0.2时，R＝1000 B．I与R的函数表达式是 C．当R＞500时，I＞0.44 D．当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25 【分析】根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解． 【解答】解：设反比例函数的解析式为， 把点P坐标代入得：，解得：k＝220， 即函数解析式为：，故B不正确； 当I＝0.2时，即，解得：R＝1100；故A不正确； 当R＝500时，， 由图象知，当R＞500时，I＜0.44；故C不正确； 当R＝880时，；当R＝1000时，， 表明当880＜R＜1000时，则0.22＜I＜0.25；故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 2．（2025•浙江模拟）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示． （1）求压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）的函数表达式． （2）若压强由80kPa加压到120kPa，则气体体积压缩了多少？ 【分析】（1）设p，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当p＝80时，V＝75，当p＝120时，V＝50，据此可得答案． 【解答】解：（1）设p， 把（100，60）代入p中得：60， 解得T＝6000， ∴压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）的函数表达式为p； （2）在p中，当p＝80时，V＝75，当p＝120时，V＝50， ∴压强由80kPa加压到120kPa，则气体体积压缩了75﹣50＝25mL． 【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． 3．（2024秋•路桥区期末）如图是一架自制天平，O为支点，左侧托盘A固定，托盘上放置1个砝码，右侧托盘P可以在横梁BC段滑动（点P不与点B，C重合）．已知OA＝OC＝10cm，BC＝25cm，1个砝码的质量为100g．根据杠杆原理，平衡时，左侧托盘砝码的质量×OA＝右侧托盘物体的质量×OP．（托盘与横梁的质量忽略不计） （1）设右侧托盘P中放置物体的质量为y（g），OP的长为x（cm），求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）由于一支2B铅笔太轻无法称量，小明进行如下操作：左侧托盘放置1个砝码，右侧托盘放置8支2B铅笔，再将托盘P由点C向点B滑动，发现托盘P移动到与点C的距离为15cm时，天平恰好平衡，求一支2B铅笔的质量． 【分析】（1）根据题意可得100×10＝xy，即可得解，再根据OC＝10cm，BC＝25cm，右侧托盘P可以在横梁BC段滑动，可得x的取值范围； （2）设一支2B铅笔的质量为m g，根据（1）的结果，代入数据求解即可． 【解答】解：（1）因为左盘砝码的质量为100克， ∵OA＝10cm， ∴100×10＝xy， 即y， ∵OC＝10cm，BC＝25cm，右侧托盘P可以在横梁BC段滑动， ∴10cm＜OP＜35cm， 即：10＜x＜35； （2）设一支2B铅笔的质量为m g， ∴100×10＝（10+15）×8m， ∴m＝5． ∴一支2B铅笔的质量为5g， 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确读懂题意是解题关键． 巩固训练 4．（2024•定海区开学）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要4min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C．上午10点接通电源，可以保证当天10：30能喝到不低于38℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于40℃的时间为7min 【分析】根据水温升高的速度，即可求出水温从20℃加热到100℃所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为20min，即一个循环为20min，30﹣20＝10，将x＝10代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【解答】解：∵开机加热时每分钟上升20℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为（min），故A选项正确，不符合题意； 设水温下降过程中，y与x的函数关系式为， 由题意得，点（4，100）在反比例函数的图象上， ∴， 解得：k＝400， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项正确，不符合题意； 令y＝20，则， ∴x＝20， ∴从开机加热到水温降至20℃需要20min，即一个循环为20min， 水温y（℃）与通电时间x（min）的函数关系式为， 上午10点到10：30共30分钟，30﹣20＝10， ∴当x＝10时，y40， 即此时的水温为40℃＞38℃，故C选项正确，不符合题意； 在加热过程中，水温为40℃时，20x+20＝40， 解得：x＝1， 在降温过程中，水温为40℃时，， 解得：x＝10， ∵10﹣1＝9， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析数，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2024•龙湾区二模）图1是某电路图，滑动变阻器为R，电源电压为U，电功率为，P关于R的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当R从10Ω增加到20Ω时，电功率P减少了20w，则当R＝15Ω时，P的值为 　　 w． 【分析】根据反比例函数的图象的性质结合题意可得方程10P＝20（P﹣20），据此可得P的值，进而得出U2的值，再把R＝15Ω代入函数关系式解答即可． 【解答】解：根据题意得：10P＝20（P﹣20）， 解得P＝40， ∴U2＝10×40＝400， ∴P， 当R＝15Ω时，P， 即当R＝15Ω时，P的值为w． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确求出P与R的函数关系式是解答本题的关键． 6．（2025•滨江区开学）春节期间燃放烟花爆竹是我国的传统习俗．经检测，烟花燃放后产生的有害气体浓度y（mg/m3）与扩散时间x（min）之间成反比例函数关系．当扩散5min时，有害气体浓度为10mg/m3． （1）求y关于x的函数表达式； （2）按照环保标准，当有害气体浓度不高于8mg/m3时，对人体健康无危害，则至少需要扩散多长时间，对人体健康无危害？ 【分析】（1）设y关于x的函数表达式为y，把（5，10）代入y解方程即可得到结论； （2）根据题意列不等式8，于是得到结论． 【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y， 把（5，10）代入y得k＝5×10＝50， ∴y关于x的函数表达式为y； （2）当y≤8mg/m3时，即8， ∴x， 答：至少需要扩散min，对人体健康无危害． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 题型七　反比例函数综合题 例题： 1．（2025春•西湖区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）方程的解为　x＝﹣1或x＝2　 ； （3）直接写出当0＜y1＜y2时自变量x的范围． 【分析】（1）先根据B（2，1）可求出反比例函数的解析式，从而可得点A（﹣1，﹣2）的坐标，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可得一次函数的解析式； （2）根据（1）中的交点的横坐标即可得答案． （3）由函数与不等式的关系，根据一次函数图象在反比例图象下方，在x轴的上方可得答案． 【解答】解：（1）将点B（2，1）代入反比例函数得：m＝2×1＝2， 则反比例函数的解析式为， 将点A（﹣1，n）代入得：， ∴A（﹣1，﹣2）， 将点A（﹣1，﹣2），B（2，1）代入y1＝kx+b得：， 解得， 则一次函数的解析式为y1＝x﹣1； （2）由（1）得方程的解为：x＝﹣1或x＝2； （3）由图象可知：一次函数y1＝x﹣1的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，﹣2）、B（2，1）两点， ∵当y1＝0时，x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴一次函数y1＝x﹣1的图象与x轴的交点坐标为（1，0）； ∴0＜y1＜y2时，1＜x＜2． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键． 2．（2024春•平湖市期末）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（m，1），B（2，﹣3）两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）由S△CDE（﹣m）×（m+2）（m+2）2+4，即可求解． 【解答】解：（1）∵B（2，﹣3）点在反比例函数图象上， ∴k＝﹣6； ∴反比例函数解析式为y， ∵A（m，1）点在反比例函数图象上， ∴1，解得x＝﹣6， ∴A（﹣6，1），B（2，﹣3）， ∵A（﹣6，1），B（2，﹣3）在一次函数y＝ax+b的图象上， 则，解得：， ∴一次函数解析式为：yx﹣2； （2）观察函数图象知，不等式的解集为：x＜﹣6或0＜x＜2； （3）由（1）可知C（0，﹣2），设点D的坐标为（m，m﹣2），则E（m，）， ∴ED（m﹣2）m+2， ∴S△CDE（﹣m）×（m+2）（m+2）2+4， 当m＝﹣2时，S△CDE最大值为4， ∴E（﹣2，3）． 【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，解不等式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（2024春•诸暨市期末）如图，在坐标系中有一矩形OABC，满足A（10，0），C（0，8），点D为AB上一点，△BCD关于CD折叠得到△ECD，点E落于边OA上． （1）求OE的长度； （2）若y关于x的反比例函数图象经过点D，与CD另一交点记为点F； ①求该反比例函数解析式； ②在CE上有一动点P，当点P坐标为多少时，△PDF的周长最小？ 【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，所以BC＝OA，AB＝OC，∠B＝∠AOC＝∠BCO＝90°，由折叠可知，CE＝BC＝10，DE＝BD，所以OE6； （2）①由折叠可知，BD＝DE，在Rt△ADE中，由勾股定理可得，DE2＝AE2+AD2，所以（8﹣AD）2＝42+AD2，解之可得D（10，3），将点D（10，3）代入反比例函数解析式可得，y； ②由待定系数法可得，lCD：yx+8，令x+3，解得x＝10或x＝6，则F（6，5）；由折叠可知，∠CED＝∠B＝90°，如图，延长DE至点D′，使得D′E＝DE，则D′（2，﹣3），连接D′F交CE于点P，点P即为所求；利用待定系数法可得，lD′F：y＝2x﹣7，及直线CE的解析式yx+8，令2x﹣7x+8，解得x，则P（，2）时，△PDF的周长最小． 【解答】解：（1）∵A（10，0），C（0，8）， ∴OA＝10，OC＝8， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝OA，AB＝OC，∠B＝∠AOC＝∠BCO＝90°， ∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝8， ∵△BCD关于CD折叠得到△ECD， ∴CE＝BC＝10，DE＝BD， ∴OE6； （2）①∵OA＝10，OE＝6， ∴AE＝4， 由折叠可知，BD＝DE， 在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2， ∴（8﹣AD）2＝42+AD2， ∴AD＝3， ∴D（10，3）， ∵y关于x的反比例函数图象经过点D， ∴k＝10×3＝30， ∴该反比例函数解析式为y； ②设直线CD的解析式为：y＝mx+n， ∵C（0，8），D（10，3）， ∴， 解得， ∴lCD：yx+8， 令x+3，解得x＝10或x＝6， ∴F（6，5）； ∴DF2； 由折叠可知，∠CED＝∠B＝90°， 如图，延长DE至点D′，使得D′E＝DE，则D′（2，﹣3）， 连接D′F交CE于点P，点P即为所求； 设直线D′F的解析式为：y＝k′x+b， ∴，解得， ∴lD′F：y＝2x﹣7， 同理可得直线CE的解析式为：yx+8， 令2x﹣7x+8，解得x， ∴y＝27＝2， ∴P（，2）， 即P（，2）时，△PDF的周长最小． 【点评】本题属于反比例函数与一次函数点交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，折叠问题，轴对称求最值问题等相关知识，熟练掌握待定系数法是解题关键． 巩固训练 4．（2024秋•鄞州区月考）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3）、B（﹣4，0），点D在y轴负半轴上． （1）求经过点C的反比例函数的表达式； （2）连接OC，设P是（1）中所求函数图象上的点，以P、O、A为顶点的三角形的面积是△COD面积的3倍，求点P的坐标． 【分析】（1）根据菱形的性质可得菱形的边长，进而可得点C的坐标，代入反比例函数解析式可得所求的解析式； （2）设出点P的坐标，易得△COD的面积，利用点P的横坐标表示出△PAO的面积，那么可得点P的横坐标，就求得了点P的坐标． 【解答】解：（1）设经过点C的反比例函数的解析式为y（k≠0）， 由题意知，OA＝3，OB＝4， 在Rt△AOB中，AB5， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝BC＝AB＝5， ∴C（﹣4，﹣5）． 则k＝﹣4×（﹣5）＝20． 故所求的反比例函数的解析式为y； （2）∵AD＝AB＝5，OA＝3， ∴OD＝2， ∴S△COD4×2＝4， 设P（x，y），则S△POAAO•|x||x|， ∵S△POA＝3S△COD＝12， ∴|x|＝12， ∴|x|＝8， ∴x＝±8， ∴当x＝8时，y，当x＝﹣8时，y， ∴点P的坐标为：（8，）或（﹣8，）． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数及菱形的综合题．根据菱形的性质得到点C的坐标和点P的横坐标要分类是解决问题的关键． 5．（2024春•奉化区校级期中）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形． （1）矩形　是　 勾股四边形（填“是”．或“不是”）． （2）如图在直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1 与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第二象限，点B在第四象限．点P（﹣3，0）在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点． ①当四边形APQB是平行四边形时，请证明▱APQB是勾股四边形． ②当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标． 【分析】（1）证矩形的对角线将矩形分成的两个直角三角形全等即可得出结论； （2）利用待定系数法求出直线AP的解析式为y＝3x+9，直线BQ的解析式为y＝3x+11，直线PQ的解析式为y＝﹣x﹣3，解方程组，可得点Q（2，﹣5），然后证△APB为直角三角形，再证△APB和△QBP全等即可得出结论； （3）由∠APB＝90°得：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下三种情况： （ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时可得点Q的坐标； （ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q，证△APB和△PAQ可得四边形ABPQ为勾股四边形，连接BQ交AP于点E，先求出点E（﹣2.5，1.5），进而可求出点Q的坐标； （ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q，此时四边形APBQ为矩形，由（1）知矩形为勾股四边形，同（ⅱ）得点Q的坐标． 【解答】（1）解：矩形是勾股四边形． 理由如下： 四边形ABCD为矩形，AC为对角线， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠C＝90°， 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（SSS）， ∴矩形是勾股四边形． 故答案为：是． （2）①解：解方程组，得，， ∴点A（﹣2，3），点B（3，﹣2）； ②证明：设直线AP的解析式为：y＝k1x+b1， 将点A（﹣2，3），P（﹣3，0）代入y＝k1x+b1， 得， 解得， ∴直线AP的解析式为：y＝3x+9， ∵四边形APQB为平行四边形， ∴BQ∥AP，PQ∥AB，AP＝QB，AB＝QP， ∴设直线BQ的解析式为：y＝k2x+b2， ∵BQ∥AP， ∴k2＝3，即直线BQ的解析式为：y＝3x+b2， 将点B（3，﹣2）代入y＝3x+b2，得：b2＝﹣11， ∴直线BQ的解析式为：y＝3x﹣11， 设直线PQ的解析式为：y＝k3x+b3， ∵PQ∥AB， ∴k3＝﹣1，即直线PQ的解析式为：y＝﹣x+b3， 将点P（﹣3，0）代入y＝﹣x+b3，得：b3＝﹣3， ∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x﹣3， 解方程组， 解得， ∴点Q（2，﹣5）， ∵点A（﹣2，3），B（3，﹣2），P（﹣3，0），Q（2，﹣5）， ∴AB2＝（﹣2﹣3）2+（3+2）2＝50，AP2＝（﹣2+3）2+（3﹣0）2＝10，PB2＝（3+3）2+（﹣2﹣0）2＝40， ∴AB2＝AP2+PB2， ∴△APB为直角三角形，即∠APB＝90°， ∵BQ∥AP， ∴∠APB＝∠QBP＝90°， ∴△QBP为直角三角形， 在△APB和△QBP中， ， ∴△APB≌△QBP（SSS）， ∴平行四边形APQB为勾股四边形． （3）解：点Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）．理由如下： 由（2）可知：∠APB＝90°， ∴当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，有以下四种情况： （ⅰ）当AB、AP为勾股四边形的边时，即是（2）②，此时点Q的坐标为（2，﹣5）； （ⅱ）当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时， 过点A作PB的平行线与过点P作AB的平行线交于点Q， 则四边形ABPQ为平行四边形， ∴APB＝∠PAQ＝90°，PB＝AQ， 在△APB和△PAQ中， ， ∴△APB≌△PAQ（SAS）， ∴四边形ABPQ为勾股四边形， 设点Q的坐标为（k，t）， 连接BQ交AP于点E，则点E既是AP的中点，又是BQ的中点， ∵A（﹣2，3），P（﹣3，0）， ∴点E的横坐标为：（﹣2﹣3）＝﹣2.5，点E的纵坐标为：（3+0）＝1.5， 即点E（﹣2.5，1.5）， 又点Q（k，t），B（3，﹣2）， ∴（k+3）＝﹣2.5，（t﹣2）＝1.5， ∴k＝﹣8，t＝5， ∴点Q的坐标为（﹣8，5）； （ⅲ）当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时， 过点A作PB的平行线与过点B作AP的平行线交于点Q， 则四边形APBQ为平行四边形， 又∠APB＝90°， ∴四边形APBQ为矩形， 由（1）知：矩形为勾股四边形， ∴四边形APBQ为勾股四边形， 同（ⅱ）可得点Q的坐标为（4，1）． （ⅳ）由（2）可知：∠APB＝90°． 作点P关于直线AB的对称点Q，连接PQ交AB于H，如图所示： 根据轴对称性可知：△APB≌△AQB， ∴四边形APBQ为勾股四边形， 设直线PQ的表达式为：y＝mx+n， ∵P，Q关于AB对称， ∴PQ⊥AB，点H为PQ的中点， ∴m＝1， ∴直线PQ的表达式为：y＝x+n， 将点P（﹣3，0）代入y＝x+n，得n＝3， ∴直线PQ的表达式为：y＝x+3， 解方程组，得， ∴点H的坐标为（﹣1，2）， ∵点H为PQ的中点， ∴点Q的坐标为（1，4）． 综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q的坐标为（2，﹣5）或（﹣8，5）或（4，1）或（1，4）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象，一次函数的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是理解勾股四边形的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法；待定系数法求一次函数的解析式，以及求一次函数图象交点的方法． 2 / 10 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