第6章 反比例函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙教版）

第6章 反比例函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024•嘉善县一模）函数y＝a（x﹣2b）与函数y在同一平面直角坐标系中的大致图象不可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与系数的关系即可判断． 【解答】解：y＝a（x﹣2b）＝ax﹣2ab， A、当a＞0，b＞0时，函数y图象在第二、四象限，则2ab＞0，﹣2ab＜0，一次函数函数y＝a（x﹣2b）图象经过第一、三、四象限，选项A不符合题意； B、当a＞0，b＜0时，函数y图象在第一、三象限，则2ab＜0，﹣2ab＞0，一次函数函数y＝a（x﹣2b）图象经过第一、二、三象限，选项B不符合题意； C、当a＜0，b＞0时，函数y图象在第一、三象限，则2ab＜0，﹣2ab＞0，一次函数函数y＝a（x﹣2b）图象经过第一、二、四象限，选项C不符合题意； D、直线交点（2b，0），所以2b＞4，b＞2，联立直线和反比例函数，判别式＝4b2﹣8b＝4b（b﹣2）＞0 所以D的直线和反比例要有2个交点，选项C错误，符合题意．． 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 2．（3分）（2024春•越城区期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（3，﹣3） B．图象关于直线y＝x对称 C．图象位于第二、四象限 D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大 【分析】根据反比例函数性质逐项判断即可． 【解答】解：A、反比例函数的图象不经过（3，﹣3），原说法错误，不符合题意； B、反比例函数的图象分布在第一三象限，关于直线y＝x对称，原说法正确，符合题意； C、反比例函数的图象分布在第一三象限，原说法错误，不符合题意； D、反比例函数的图象，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 3．（3分）（2025•衢江区一模）若A（x1，a），B（x2，a）两点分别是双曲线和图象上的点．若k1＞k2＞0，且a＞0，则x1和x2的大小为（　　） A．x1＞x2 B．x1＜x2 C．x1＝x2 D．x1≥x2 【分析】根据题意，分别表示出x1和x2，再将两者相减即可． 【解答】解：由题知， 将A，B两点坐标分别代入双曲线的函数解析式得， ， 则． 又因为k1＞k2＞0，且a＞0， 所以x1﹣x2＞0， 则x1＞x2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据题意用含a的代数式分别表示出x1和x2是解题的关键． 4．（3分）（2024•温州二模）已知两个反比例函数y1，y2（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B． C． D．5 【分析】根据反比例函数y中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大；根据题上条件分析解答即可． 【解答】解：∵在反比例函数y中，当x＞0，k＞0时，图象在第一象限，y＞0，y随x的增大而减小；当x＞0，k＜0时，图象在第四象限，y随x的增大而增大； ∴两个反比例函数y1，y2（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，即有a1＞a2，则m＞0， ∴a1＝m，b1，a2m，b22m， ∴m﹣（﹣m）＝4，解得m＝2， ∴b11，b2＝﹣2m＝﹣4， ∴b1﹣b2＝1﹣（﹣4）＝5． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键． 5．（3分）（2025•温州一模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数（k为常数）的图象上，x1＜x2＜x3，则下列说法中正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1＜y3 B．若x1x2＜0，则y1＜y3 C．若x2x3＞0，则y1＞y3 D．若x2x3＜0，则y1＞y3 【分析】由k2+1＞0可得反比例函数图象在第一、三象限，根据选项一一分析即可． 【解答】解：点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数（k为常数）的图象上，x1＜x2＜x3， ∵k2+1＞0， ∴图象在第一、三象限，在每个象限y随x增大而减小， A、若x1x2＞0，则点（x1，y1），（x2，y2）在同一象限， 如果点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在第一象限，则y1＞y3，故不合题意； B、若x1x2＜0，则点（x1，y1）在第三象限，（x2，y2），（x3，y3）在第一象限，则y1＜y3，故符合题意； C、若x2x3＞0，则（x2，y2），（x3，y3）在同一象限， 如果点（x1，y1）在第三象限，点（x2，y2），（x3，y3）都在第一象限，则y1＜y3，故不合题意； D、若x2x3＜0，则点（x1，y1），（x2，y2）在第三象限，（x3，y3）在第一象限，y1＜y3，故不合题意．故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 6．（3分）（2025•浙江模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k＞0）图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为﹣2和1．当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＞﹣2 【分析】根据数形结合思想求解． 【解答】解：由图象得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，理解数形结合思想是解题的关键． 7．（3分）（2024春•海曙区校级期中）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A（40，1）和B（m，0.5），若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要时间为（　　） A．分 B．40分 C．60分 D．分 【分析】把点A（40，1）代入t，求得k的值，再把点B代入求出的解析式中，求得m的值，然后把v＝60代入t，求出t的值即可． 【解答】解：由题意得，函数经过点（40，1）， 把（40，1）代入t，得k＝40， 则解析式为t，再把（m，0.5）代入t，得m＝80； 把v＝60代入t，得t， 小时＝40分钟， 则汽车通过该路段最少需要40分钟； 故选：B． 【点评】此题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，注意要把小时化成分钟． 8．（3分）（2024春•奉化区校级期中）如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC经过坐标原点，点D在反比例函数的图象上．若点B的坐标为（﹣4，﹣4），则k的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形GOFD＝S四边形HBEO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k＝16即可． 【解答】解：根据题意得：四边形ABCD、AHOG、HBEO、OECF、GOFD为矩形， ∵AO为四边形AHOG的对角线，OC为四边形OECF的对角线， ∴S△AGO＝S△AOH，S△OCF＝S△OCE，S△CAD＝S△ABC， ∴S△CAD﹣S△AOG﹣S△OCF＝S△ABC﹣S△AOH﹣S△OCE， ∴S四边形GOFD＝S四边形HBEO＝4×4＝16， ∵点D在反比例函数y（x＞0）的图象上， ∴k＝S四边形GOFD＝16， 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，证出S四边形GOFD＝S四边形HBEO是解决问题的关键． 9．（3分）（2025春•上城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，BD⊥x轴于点D，交线段OA于点C．若点C为线段OA的中点，△ABC的面积为，则k的值为（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】作AE⊥x轴，垂足为E，连接OB，利用反比例函数k值几何意义和中点得到S△BOC＝S四边形ACDE，再利用相似性质列出，设S△OAE＝m，则S△OCD＝m，代入计算出m值，即可得到k值． 【解答】解：如图，作AE⊥x轴，垂足为E，连接OB， ∵点A、B在反比例函数图象上， ∴S△OBD＝S△OAE， ∴S△BOC＝S四边形ACDE， ∵点C为线段OA的中点，△ABC的面积为， ∴S△BOC＝S四边形ACDE， ∵CD∥AE， ∴△OCD∽△OAE， ∴， 设S△OAE＝m，则S△OCD＝m， ∴，解得m＝1， ∴S△OAE＝1， ∴k＝2S△OAE＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（3分）（2025•镇海区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 【分析】连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G，根据平行线分线段成比例定理得到CG＝HG，求得AH＝2BG，设B（a，），得到A（，），由OD∥AB，得到S△AOC＝S△ADC＝15，根据三角形的面积和梯形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：连接OA，OB，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥x轴于G， ∴AH∥BG， ∵AB＝BC， ∴CG＝HG， ∴AH＝2BG， ∵A、B两点在反比例函数的图象上， ∴设B（a，）， ∴A（，）， ∵OD∥AB， ∴S△AOC＝S△ADC＝15， ∴S△AOBS△AOC， ∵S四边形AHGB＝S△AOB， ∴（AH+BG）•HG）×（a）， ∴k＝10， 故k的值为10， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•海曙区校级期中）已知反比例函数位于第二象限与第四象限，则1+2k的取值范围是 　1+2k＜1　 ． 【分析】由题意得：2k＜0，再根据不等式的性质即可求解． 【解答】解：∵反比例函数位于第二象限与第四象限 ∴2k＜0， ∴1+2k＜1， 故答案为：1+2k＜1． 【点评】此题考查了反比例函数的性质，不等式的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 12．（3分）（2025•江北区校级开学）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：y（x＞0）和直线1：y＝﹣x+n，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 　2＜n＜6　 ． 【分析】根据新定义分别计算有1个和3个，确定n的取值范围． 【解答】解：根据题意，曲线上点到直线L的距离为有2个， ①先找到只有一个时，直线L的位置， ∵直线L的解析式为：y＝﹣x+n， ∴直线L与x轴的夹角为45°， ∵曲线y（x＞0）与直线y＝x的交点为（2，2）， ∴交点到原点的距离为2， ∴n＝2， ②根据题意若图形C到直线l的“距点”有3个时， ∵BC，OC＝2， ∴OB＝BC+OC＝3， 此时直线L与直线y＝x交点距离原点距离为3， ∵△OAB是等腰直角三角形， ∴OA＝3，AB＝3， ∴B（3，3），代入y＝﹣x+n得， 则n＝6，n的范围为2＜n＜6． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键． 13．（3分）（2024•瑞安市校级开学）如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（k≠0，x＞0）的图象上，点C在y轴上，AC∥x轴，若AB＝AC＝10，，则k＝　15　 ． 【分析】过点B作BD⊥AC于点D，设CD＝x，利用勾股定理，平行线间的距离处处相等，反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，设CD＝x， ∵AB＝AC＝10，， ∴AD＝AC﹣CD＝10﹣x，BD2＝BC2﹣CD2＝40﹣x2， 由AB2＝AD2+BD2， ∴102＝（10﹣x）2+40﹣x2， 解得x＝2， ∴AD＝8，， ∵AC∥x轴， ∴A，C两点的纵坐标相同，设为y1， 根据平行线间的距离处处相等，得到B（2，6+y1），A（10，y1）， 故2（6+y1）＝10y1 解得， 故k＝10y1＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 14．（3分）（2025春•临平区月考）在直角坐标系中，含30°的Rt△AOB如图放置，∠AOB＝90°，∠B＝30°，AB的中点C在x轴上，第一象限内点A在反比例函数图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是　y　 ． 【分析】设A（x，y）点A在反比例函数y上，根据在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°，AB＝2OA，OBOA，OC＝AC＝BC，∠AOC＝∠OAC＝60°，∠COB＝30°，得yx，即可求得A点坐标，求出OA的长度，根据特殊三角函数，即可求得OB的长度，进而根据特殊三角函数，求得B点坐标，即可求得第四象限反比例函数表达式． 【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠B＝30°， ∴AB＝2OA，OBOA， ∵C是AB中点， ∴OC＝AC＝BC，∠AOC＝∠OAC＝60°，∠COB＝30°， 设A（x，y）点A在反比例函数y上， ∴xy， ∵∠AOC＝60°， ∴yx， ∴x2，则x＝1，y， ∴OA＝2， ∴OBOA＝2， ∴B点横坐标为OB•cos30°＝2•3， ∴B点纵坐标为OB•sin30°＝2•， ∴B点坐标为（3，）， 设过B点的反比例函数表达式为y， 把B（3，）代入得k＝3×（3， ∴y． 故答案为：y． 【点评】本题综合考查了反比例函数与直角三角形的知识．一方面，需要熟练运用反比例函数y中k ＝ xy这一性质来确定点的坐标；另一方面，要掌握直角三角形中30°角的性质以及勾股定理等知识来推导线段长度和点的坐标关系．解题关键在于通过联立方程求出A点坐标，再借助几何关系求出B点坐标，进而确定反比例函数表达式．题目难度中等，对学生综合运用知识的能力有一定要求． 15．（3分）（2025•鄞州区校级模拟）如图所示，已知一次函数y＝x﹣1与反比例函数交于点P，B（1，0），A为一次函数上一点，作等腰直角△MPN与△ACB使得N、C在x轴正半上，延长MP交AC于点D，连结CP，若BC＝6，D为AC中点，NP＝PC，则k＝　20　 ． 【分析】过点P作PG⊥x轴于点G，过点M作MH⊥GP，交GP延长线于点H，证明△HMP≌△GPN（AAS），则有MH＝PG＝BG，BN＝PH，从而可得点M的横坐标与点B的横坐标相同为1，再根据NP＝PC，PG⊥x轴及等腰三角形的性质可得出A（7，6），点M的纵坐标为6，则点M（1，6），C（7，0），再求出点D（7，3），设MD解析式为y＝kx+b，从而有MD解析式为，联立，求出点P（5，4）即可． 【解答】解：如图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点M作MH⊥GP，交GP延长线于点H， ∴∠H＝∠BGP＝90°， 由条件可知∠MPN＝∠ACB＝90°，BC＝AC＝6，MP＝NP，∠ABC＝45°， ∴∠ABC＝∠BPG＝45°， ∴BG＝PG， 由条件可知∠HMP＝∠GPN， ∴△HMP≌△GPN（AAS）， ∴MH＝PG＝BG，BN＝PH， ∴点M的横坐标与点B的横坐标相同为1， ∵NP＝PC，PG⊥x轴， ∴NG＝CG， ∵GH＝PG+PH，BC＝BG+GC， ∴GH＝BC＝6， ∴点M的纵坐标与点A的纵坐标相同， ∴OC＝7， 当x＝7时，y＝7﹣1＝6， ∴A（7，6），点M的纵坐标为6， ∴点M（1，6），C（7，0）， ∵D为AC中点， ∴点D（7，3）， 设MD解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴MD解析式为， 联立：，解得， ∴点P（5，4）， ∵反比例函数 图象过点 P， ∴k＝5×4＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（3分）（2025春•镇海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＜0，x＜0）的图象与矩形ABCD的边AB，AD分别交于点G，H，点G与B关于x轴对称，点H与D关于y轴对称．若△AGH的面积为2，矩形ABCD的面积为17，则k的值是　　 ． 【分析】依据题意，设H（a，），G（b，），求得AH、AG、AD、AB，再通过已知面积列出方程，进而求得k的值． 【解答】解：由题意，设H（a，），G（b，）， ∴AH＝a﹣b，AG，AD＝a﹣b+（﹣2a）＝﹣a﹣b，AB2． ∵△AGH的面积为2，矩形ABCD的面积为17， ∴（a﹣b）•2，﹣（a+b）•17，即4，17． ∴两式相减得，k[]＝13． ∴﹣4k＝13， ∴k． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，矩形的性质，三角形的面积，关键是由已知条件列出方程，难点是用技巧解方程． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2025春•上城区校级月考）在平面直角坐标系中，设函数y1＝kx﹣k+6与函数的图象交于点A（1，6）． （1）求k的值． （2）若点B（a，2）向右平移3个单位后恰好落在y1的图象上，求a的值． 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k即可． （2）表示出点B向右平移3个单位后的坐标，再代入y1的函数解析式即可． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， k+4＝6， 解得k＝2， 所以k的值为2． （2）将k＝2代入y1得， y1＝2x+4． 将点B（a，2）向右平移3个单位后所得点的坐标为（a+3，2）， 将此点坐标代入y1得， 2（a+3）+4＝2， 解得a＝﹣4， 所以a的值为﹣4． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 18．（6分）（2024•义乌市校级开学）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标是（1，6），点B的纵坐标是﹣2． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，若y1＞y2，则x的取值范围是 　﹣3＜x＜0或x＞1　 ； （3）C为x轴正半轴上一点，连接AC，BC，若△ABC的面积是16，求点C的坐标． 【分析】（1）先根据A（1，6）是反比例函数y2的图象上的点即可得出m的值，进而得出其解析式；把y＝﹣2代入反比例函数的解析式即可求得B点坐标，把A、B两点的坐标代入y1＝kx+b，根据待定系数法得出一次函数的解析式； （2）由两函数的图象可直接得出结论； （3）根据一次函数的解析式求出D点坐标，由S△ABO＝S△AOD+S△BOD得出其面积，再设C（x，0），由三角形的面积公式即可求出x的值． 【解答】解：（1）∵A（1，6）在反比例函数 的图象上， ∴m＝1×6＝6． ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的纵坐标为﹣2， ∴B（﹣3，﹣2）． 把A，B两点的坐标分别代入 y1＝kx+b 得，， 解得， ∴一次函数的解析式为y1＝2x+4； （2）由函数图象可知，y1＞y2时，﹣3＜x＜0或x＞1． 故答案为：﹣3＜x＜0或x＞1； （3）∵一次函数的解析式为y1＝2x+4， ∴一次函数的图象与x轴的交点D的坐标为（﹣2，0）． ∵△ABC 的面积为16， ∴， ∴．CD＝4， ∵C为x轴正半轴上一点， ∴点C的坐标（2，0）． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，求出交点坐标是解答此题的关键． 19．（8分）（2025•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点C，D都在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，OC与BD的延长线相交于点A． （1）若△OCE的面积为6． ①求反比例函数的表达式． ②当y≤4时，求自变量x的取值范围． （2）已知CE＝4，BD，求AB的长． 【分析】（1）①利用反比例函数系数k的几何意义即可求解； ②求得y＝4时，自变量x的值，然后根据图象即可求解； 【解答】解：（1）①点C在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E， ∴S△OCE|k|， ∵△OCE的面积为6， ∴|k|＝6， ∵k＞0， ∴k＝12， ∴反比例函数的表达式为y； ②当y＝4时，则4，解得x＝3， 由图象可知，当y≤4时，x≥3． （2）∵点C，D都在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，OC与BD的延长线相交于点A， ∴CE∥BD，， ∵CE＝4，BD， ∴4OEOB， ∴， ∵CE∥AB， ∴， ∴AB＝3CE＝3×4＝12． 【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，数形结合是解题的关键． 20．（8分）（2024•鄞州区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y图象于A（，4），B（3，m）两点． （1）求m，n的值； （2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式kx+b的解集． 【分析】（1）把点A（，4）代入y中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B（3，m）代入求得的解析式，即可求得m的值；根据待定系数法即可求得直线CD的表达式； （2）根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为（0，a），根据S△AOB＝S△EOB得到关于a的方程，解方程求得a，从而求得E点的坐标； （3）根据图象即可求得． 【解答】（1）把点A（，4）代入y中，得：n4＝6， ∴反比例函数的解析式为y， 将点B（3，m）代入y得m2； （2）设直线AB的表达式为y＝kx+b， 把A（，4），B（3，2）代入得， 解得 ∴直线AB的表达式为yx+6， ∴D点的坐标为（0，6）， ∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD6×36， 设E点的坐标为（0，a）， ∵S△AOB＝S△EOB， ∴|a|×3， 解得：|a|＝3， ∴E点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）； （3）不等式kx+b的解集是x＜0或x＜3． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察函数图象的能力． 21．（10分）（2024•拱墅区二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值； （3）利用已知由x＝20代入求出饮水机内的水的温度即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b， 依据题意，得， 解得：， ∴此函数解析式为：y＝8x+20； （2）当10≤x≤t，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y， 依据题意，得：100， 即m＝1000， 故y， 当y＝20时，20， 解得：t＝50； （3）∵70﹣50＝20＞10， ∴当x＝20时，y50， 答：小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为50℃． 【点评】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． 22．（10分）（2024春•江北区期末）如图，一次函数y1＝﹣x+5的图象与反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）根据图象，直接写出﹣x+50时x的取值范围． （3）过线段AB上的动点P，作x轴的垂线，垂足为点M，其交反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象于点Q，若，求△PMO的面积． 【分析】（1）把A（1，a）代入y1＝﹣x+5得到A（1，4），求得k＝1×4＝4，得到反比例函数的表达式为y2（x＞0），解方程组得到B（4，1）； （2）根据函数的图形即可得到结论； （3）设P（a，﹣a+5），得到M（a，0），Q（a，），根据题意列方程得到a，求得P（，），根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+5的图象与反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a），B两点， ∴a＝﹣1+5＝4， ∴A（1，4）， ∴k＝1×4＝4， ∴反比例函数的表达式为y2（x＞0）， 解得或， ∴B（4，1）； （2）观察图象得，﹣x+50时x的取值范围为0＜x＜1或x＞4； （3）设P（a，﹣a+5）， ∵PM⊥x轴， ∴M（a，0），Q（a，）， ∵， ∴， 解得，a， ∴P（，）， ∴S△PMOOM•PM． 【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 23．（12分）（2024秋•义乌市校级期中）如图，平面直角坐标系中，四边形AOBC为平行四边形，y1＝k1x+b与双曲线y2（x＞0）交于点A（1，3）和点E（3，m）． （1）求k1，k2和b的值； （2）直接写出y1﹣y2＜0时x的取值范围； （3）如果平行四边形AOBC的对角线OC交双曲线于点P，求点P的坐标． 【分析】（1）把点A（1，3）和点E（3，m）分别代入y2（x＞0），得：k2＝3，进而得出m的值和k1的值； （2）利用图象得出y1﹣y2＜0时x的取值范围； （3）由（1）得：直线y1＝﹣x+4令y＝0，得：x＝4，则B（4，0），再由平行四边形的性质可求出C（5，3），再由待定系数法可求出直线OC的解析式为：yx，进而与反比函数解析式联立求出P点坐标． 【解答】解：（1）把点A（1，3）和点E（3，m）分别代入y2（x＞0），得：k2＝3， ∴3m＝3， 解得：m＝1， 把A（1，3）和E（3，1）分别代入y1＝k1x+b，得 ， 解得：； （2）观察图象可知，当y1﹣y2＜0时，即y1＜y2， x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3； （3）由（1）得： 直线y1＝﹣x+4令y＝0，得：x＝4， ∴B（4，0），再由平行四边形的性质可求出C（5，3）， 将（5，3）代入y＝kx得；5k＝3， 解得：k， ∴直线OC的解析式为：yx， 解方程组 得： 或（舍去） ∴点P的坐标为（，）． 【点评】此题主要考查了反比函数的综合应用，方法总结两个函数的图象的交点坐标适合这两个函数的解析式，可用待定系数法求出两个解析式．求两个函数图象的交点坐标，一般让两个函数的解析式联立成方程组，再解这个方程组即可． 24．（12分）（2024春•婺城区校级期中）已知点P的坐标为（m，0），点Q在x轴上（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数的图象上． （1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），求出图中点M的坐标； （2）点P（1，0）时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形PQ1M1N1，并求点M1的坐标； （3）随着m的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个．当符合上述条件的菱形刚好能画出四个时，请求出m的取值范围． 【分析】（1）如图，过点M作MT⊥PQ于T，设，利用勾股定理求出a即可； （2）根据菱形性质求出直线PM1的解析式，利用方程组确定交点M1坐标即可； （3）在x轴上分别取点S（1，0），I（﹣1，0），作∠IOL＝∠SOI＝60°，且TL⊥x轴，TS⊥x轴，直线，直线，求出先画出当过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，求出点P的坐标，即可确定当或时，能画出菱形4个． 【解答】解：（1）如图1，过点M作MT⊥PQ于T，设， ∵QP＝QM，∠PQM＝60°， ∴△PQM是等边三角形， ∴，PT＝a﹣1，PM＝PQ＝2a﹣2， ∴PT2+MT2＝PM2，即4（a﹣1）2， 解得：a＝2， ∴； （2）如图2，过点M1作M1H⊥x轴，M1P交y轴点R， ∵四边形PQ1M1N1是菱形， ∴Q1P＝Q1M1，∠PQ1M1＝60°， ∴△PQ1M1是等边三角形， ∴∠Q1PM1＝60°，∠ORP＝30°， ∵P（1，0）， ∴OP＝1， ∴OR， ∴， 设直线PM1的解析式为y＝kx+b， ， 解得， ∴直线PM1的解析式为， 由， 解得或， ∴； （3）如图3，在x轴上分别取点S（1，0），I（﹣1，0），作∠IOL＝∠SOI＝60°，且TL⊥x轴，TS⊥x轴， 则OL＝OT＝2，IL＝TS， ∴T（1，），L（﹣1，）， 设直线OT的解析式为y＝k1x，直线OL的解析式为y＝k2x， ∴直线OT：y，直线OL：y＝﹣， 如图4，当过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时，满足 条件的菱形只有3个， ∵∠OPM1＝∠SOT， ∴PM1∥OT， 设直线PM1解析式为 整理得， 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了二次函数的几何应用，菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建一次函数利用方程组确定交点坐标． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 反比例函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（2024•嘉善县一模）函数y＝a（x﹣2b）与函数y在同一平面直角坐标系中的大致图象不可能是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）（2024春•越城区期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点（3，﹣3） B．图象关于直线y＝x对称 C．图象位于第二、四象限 D．在每一个象限内，y随着x的增大而增大 3．（3分）（2025•衢江区一模）若A（x1，a），B（x2，a）两点分别是双曲线和图象上的点．若k1＞k2＞0，且a＞0，则x1和x2的大小为（　　） A．x1＞x2 B．x1＜x2 C．x1＝x2 D．x1≥x2 4．（3分）（2024•温州二模）已知两个反比例函数y1，y2（m≠0）．当1≤x≤2时，y1的最大值和最小值分别为a1，b1，y2的最大值和最小值分别为a2，b2．若a1﹣a2＝4，则b1﹣b2的值为（　　） A．﹣5 B． C． D．5 5．（3分）（2025•温州一模）已知点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数（k为常数）的图象上，x1＜x2＜x3，则下列说法中正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1＜y3 B．若x1x2＜0，则y1＜y3 C．若x2x3＞0，则y1＞y3 D．若x2x3＜0，则y1＞y3 6．（3分）（2025•浙江模拟）如图，一次函数y1＝kx+b（k＞0）图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为﹣2和1．当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜1 B．x＜﹣2或x＞1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．x＞﹣2 7．（3分）（2024春•海曙区校级期中）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为A（40，1）和B（m，0.5），若行驶速度不得超过60（km/h），则汽车通过该路段最少需要时间为（　　） A．分 B．40分 C．60分 D．分 8．（3分）（2024春•奉化区校级期中）如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC经过坐标原点，点D在反比例函数的图象上．若点B的坐标为（﹣4，﹣4），则k的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 9．（3分）（2025春•上城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，BD⊥x轴于点D，交线段OA于点C．若点C为线段OA的中点，△ABC的面积为，则k的值为（　　） A．2 B． C． D．4 10．（3分）（2025•镇海区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数的图象上，延长AB交x轴于点C，且AB＝BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15，则k的值为（　　） A．8 B．10 C．11.5 D．13 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）（2024春•海曙区校级期中）已知反比例函数位于第二象限与第四象限，则1+2k的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）（2025•江北区校级开学）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：y（x＞0）和直线1：y＝﹣x+n，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 　 　 ． 13．（3分）（2024•瑞安市校级开学）如图，在直角坐标系中，点A、B在反比例函数（k≠0，x＞0）的图象上，点C在y轴上，AC∥x轴，若AB＝AC＝10，，则k＝　 　 ． 14．（3分）（2025春•临平区月考）在直角坐标系中，含30°的Rt△AOB如图放置，∠AOB＝90°，∠B＝30°，AB的中点C在x轴上，第一象限内点A在反比例函数图象上，则过第四象限内点B的反比例函数表达式是　 　 ． 15．（3分）（2025•鄞州区校级模拟）如图所示，已知一次函数y＝x﹣1与反比例函数交于点P，B（1，0），A为一次函数上一点，作等腰直角△MPN与△ACB使得N、C在x轴正半上，延长MP交AC于点D，连结CP，若BC＝6，D为AC中点，NP＝PC，则k＝　 　 ． 16．（3分）（2025春•镇海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＜0，x＜0）的图象与矩形ABCD的边AB，AD分别交于点G，H，点G与B关于x轴对称，点H与D关于y轴对称．若△AGH的面积为2，矩形ABCD的面积为17，则k的值是　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（6分）（2025春•上城区校级月考）在平面直角坐标系中，设函数y1＝kx﹣k+6与函数的图象交于点A（1，6）． （1）求k的值． （2）若点B（a，2）向右平移3个单位后恰好落在y1的图象上，求a的值． 18．（6分）（2024•义乌市校级开学）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标是（1，6），点B的纵坐标是﹣2． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，若y1＞y2，则x的取值范围是 　 　 ； （3）C为x轴正半轴上一点，连接AC，BC，若△ABC的面积是16，求点C的坐标． 19．（8分）（2025•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点C，D都在反比例函数的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，OC与BD的延长线相交于点A． （1）若△OCE的面积为6． ①求反比例函数的表达式． ②当y≤4时，求自变量x的取值范围． （2）已知CE＝4，BD，求AB的长． 20．（8分）（2024•鄞州区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y图象于A（，4），B（3，m）两点． （1）求m，n的值； （2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式kx+b的解集． 21．（10分）（2024•拱墅区二模）小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： （1）当0≤x≤10时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？ 22．（10分）（2024春•江北区期末）如图，一次函数y1＝﹣x+5的图象与反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象交于A（1，a），B两点． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）根据图象，直接写出﹣x+50时x的取值范围． （3）过线段AB上的动点P，作x轴的垂线，垂足为点M，其交反比例函数y2（k≠0，x＞0）的图象于点Q，若，求△PMO的面积． 23．（12分）（2024秋•义乌市校级期中）如图，平面直角坐标系中，四边形AOBC为平行四边形，y1＝k1x+b与双曲线y2（x＞0）交于点A（1，3）和点E（3，m）． （1）求k1，k2和b的值； （2）直接写出y1﹣y2＜0时x的取值范围； （3）如果平行四边形AOBC的对角线OC交双曲线于点P，求点P的坐标． 24．（12分）（2024春•婺城区校级期中）已知点P的坐标为（m，0），点Q在x轴上（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数的图象上． （1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），求出图中点M的坐标； （2）点P（1，0）时，在（1）图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，请您在原图上画出另一个符合条件的菱形PQ1M1N1，并求点M1的坐标； （3）随着m的取值不同，这样的菱形还可以画出三个和四个．当符合上述条件的菱形刚好能画出四个时，请求出m的取值范围． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$