第22讲 等边三角形（三类知识点+十一大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（沪教版2024）

第22讲 等边三角形（十一大题型） 学习目标 1. 回顾等边三角形的定义，再次强化对三角形的分类的理解； 2. 掌握等边三角形的性质及其几何应用； 3．熟悉等边三角形的判定. 知识点1 等边三角形 1.复习回顾 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形. 要点：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形. 2.三角形的分类（按边分类） 知识点2 等边三角形的性质 由等腰三角形的性质，得到： 定理1 等边三角形的每个内角都等于60°. 我们还可以类比等腰三角形的性质得到如下结论： ①等边三角形有“三组三线合一”（注意对应关系）. ②等边三角形也是轴对称图形，它的对称轴是每一个内角的平分线（每一边上的中线 、每一边上的高）所在的直线. 知识点3 等边三角形的判定 由等腰三角形的判定定理，得到： 定理2 三个内角都相等的三角形是等边三角形. 请自行证明定理1、定理2. 另外， ①有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. ②根据定义，三边都相等的三角形是等边三角形，也是判定等边三角形的方法。 例1 证明：有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 分析 在图18-3-1中，设AB=AC,需要对三个内角分别等于60°的各种情况进行讨论，其中∠B=60°和∠C=60°是类似的，故只要分两种情况讨论. 如图18-3-1,已知：在△ABC中，AB=AC. (1)当∠B=60°时，求证：△ABC是等边三角形； (2)当∠A=60°时，求证：△ABC是等边三角形. 证明(1)∵ AB=AC,∠B=60°, ∴ ∠C=∠B=60°(等边对等角). 又∵∠A=180°-∠C-∠B=60°(三角形的内角和等于180°), ∴ ∠A=∠B=∠C. ∴ △ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形). (2)∵ AB=AC, ∴∠C=∠B(等边对等角). 又∵ ∠A+∠C+∠B=180°(三角形的内角和等于180),∠A=60°, ∴ ∠B=∠C=∠A=60°. ∴△ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形). 【即学即练1】已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【即学即练2】下列直线不是等边三角形的对称轴的是（　　） A．三条边所在的直线 B．三条高所在的直线 C．三条中线所在的直线 D．三条角平分线所在的直线 【即学即练3】已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为，则它的周长是（） A． B． C． D． 【即学即练4】如图，已知等边三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【即学即练5】中，①若，则是等边三角形；②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；③顶角为的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型1:概念辨析、填空 【典例1】．三边都相等的三角形叫做 ．等边三角形的内角都等于 度，各条 所在的直线都是它的对称轴． 【变式1-1】．等边三角形的边长为a，则它的周长为 ，等边三角形共有 条对称轴． 【变式1-2】．等边三角形是（     ）. A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 题型2:三角形的分类（图示类） 【典例2】．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式2-3】．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【变式2-4】．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 题型3:等边三角形的性质（易） 【典例3】．如图，在等边中，交于点，若，则（  ） A．2 B．3 C． D．4 【变式3-1】．如图，是等边的角平分线，，则 ． 【变式3-2】．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型4:等边三角形的性质（中等） 【典例4】．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，则∠ADE的度数为 ． 【变式4-1】．如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 【变式4-2】．如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 题型5:等边三角形的性质——延长线类 【典例5】．如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】．如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（   ） A．7 B．8 C． D．9 【变式5-2】．如图，在等边中，，平分，点E在的延长线上，且，则的长 ． 【变式5-3】．如图，是等边三角形，B、C、D、E四点共线，G、H分别在、上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型6:等边三角形的性质——内部线段交叉类 【典例6】．等边三角形两条中线所夹锐角为 ． 【变式6-2】．如图，在等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则 ． 题型7:等边三角形的判定辨析 【典例7】．下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-3】．如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-4】．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有 （填序号）． 题型8:等边三角形的性质解答证明题 【典例8】．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 【变式8-1】．如图，为等边三角形，，，求的度数． 【变式8-2】．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式8-3】．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数； (2)求证：M是的中点． 【变式8-4】．如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 题型9:等边三角形的判定解答证明题 【典例9】．如图，在中，，求证：是等边三角形． 【变式9-1】．如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【变式9-2】．如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【变式9-3】．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式9-4】．如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【变式9-5】．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 题型10:等边三角形的其他应用 【典例10】．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是(    ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-1】．已知，，是的三边长，且，试判断的形状． 【变式10-2】．如图，，，动点P从点A出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为．若，则t的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-3】．已知：如图，lm，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为25°，则∠α的度数为 ． 题型11:等边三角形的判定与性质综合 【典例11】．在中，，则的周长是 ． 【变式11-1】．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为 ． 【变式11-2】．如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 【变式11-3】．如图，，点，分别在，上，且，连接，，交于点，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．平分 D．若点为的中点，则 【变式11-4】．如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 【变式11-5】．如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 一、单选题 1．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 2．如图，在等边中，交于点，若，则（  ） A．2 B．3 C． D．4 3．如图，是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 4．下列条件不能得到等边三角形的是（   ） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 5．如图，等边中，点D是上一点，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，D、E是等边的BC边和AC边上的点，，AD与EE相交于P点，则的度数是（    ） A．45° B．55° C．60° D．75° 7．如图，在等边三角形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 10．如图，为线段上一动点(不与点，重合)，在同侧分别作正三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，以下结论一定正确的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．等边三角形的周长为6 cm，则它的边长为 cm． 12．一个等腰三角形的腰长是5cm，一个外角是120°，则它的底边长是 cm． 13．如图，是等边三角形，于D，若，则 ． 14．如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 15．如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上的任意一点，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝CD，则∠E＝ 度． 16．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则 ; 17．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 . 18．在中，，，将绕点C旋转得到，点A，B分别与，对应，当时，记直线与直线交点为E，那么 的度数是 ． 三、解答题 19．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E． 求证：是等边三角形． 20．如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接． (1)等于多少度？ (2)说明与相等的理由． 21．如图，是等边三角形，是等腰三角形，，，平分． (1)的度数为________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 22．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 23．如图，为等边三角形，点D是边上的一个动点，点E为延长线上的点，且，过点D作的垂线，交于点F． (1)如图①，若点D是的中点，则与的数量关系为______，和的数量关系为______； (2)如图②，若点D是边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立．请给出证明；若不成立．请说明理由； (3)如图③，若点G和点B关于对称，延接，若，请直接写出的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 等边三角形（十一大题型） 学习目标 1. 回顾等边三角形的定义，再次强化对三角形的分类的理解； 2. 掌握等边三角形的性质及其几何应用； 3．熟悉等边三角形的判定. 知识点1 等边三角形 1.复习回顾 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形. 要点：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形. 2.三角形的分类（按边分类） 知识点2 等边三角形的性质 由等腰三角形的性质，得到： 定理1 等边三角形的每个内角都等于60°. 我们还可以类比等腰三角形的性质得到如下结论： ①等边三角形有“三组三线合一”（注意对应关系）. ②等边三角形也是轴对称图形，它的对称轴是每一个内角的平分线（每一边上的中线 、每一边上的高）所在的直线. 知识点3 等边三角形的判定 由等腰三角形的判定定理，得到： 定理2 三个内角都相等的三角形是等边三角形. 请自行证明定理1、定理2. 另外， ①有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. ②根据定义，三边都相等的三角形是等边三角形，也是判定等边三角形的方法。 例1 证明：有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 分析 在图18-3-1中，设AB=AC,需要对三个内角分别等于60°的各种情况进行讨论，其中∠B=60°和∠C=60°是类似的，故只要分两种情况讨论. 如图18-3-1,已知：在△ABC中，AB=AC. (1)当∠B=60°时，求证：△ABC是等边三角形； (2)当∠A=60°时，求证：△ABC是等边三角形. 证明(1)∵ AB=AC,∠B=60°, ∴ ∠C=∠B=60°(等边对等角). 又∵∠A=180°-∠C-∠B=60°(三角形的内角和等于180°), ∴ ∠A=∠B=∠C. ∴ △ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形). (2)∵ AB=AC, ∴∠C=∠B(等边对等角). 又∵ ∠A+∠C+∠B=180°(三角形的内角和等于180),∠A=60°, ∴ ∠B=∠C=∠A=60°. ∴△ABC是等边三角形(三个内角都相等的三角形是等边三角形). 【即学即练1】已知等边的一边长为4，则它的周长是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，根据等边三角形的三边相等可得答案． 【解析】解：等边的一边长为4，则它的周长是， 故选：C 【即学即练2】下列直线不是等边三角形的对称轴的是（　　） A．三条边所在的直线 B．三条高所在的直线 C．三条中线所在的直线 D．三条角平分线所在的直线 【答案】A 【分析】根据对称轴的定义和等边三角形的性质依此作答即可． 【解析】A.三条边所在的直线，不是等边三角形的对称轴，故A错误，符合题意； B.三条高所在的直线，是等边三角形的对称轴，故B正确，不符合题意； C.三条中线所在的直线，是等边三角形的对称轴，故C正确，不符合题意； D.三条角平分线所在的直线，是等边三角形的对称轴，故D正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了对称轴的定义和等边三角形的性质，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 【即学即练3】已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为，则它的周长是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定．有一个角是的等腰三角形是等边三角形．根据等边三角形三边相等即可求解． 【解析】解∶等腰三角形的一个内角为， 此等腰三角形是等边三角形． 一边长为6， 它的周长为． 故选：D． 【即学即练4】如图，已知等边三角形，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，平行线的性质，先证明，再利用平行线的性质可得答案． 【解析】解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选C 【即学即练5】中，①若，则是等边三角形；②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；③顶角为的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是的三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【解析】解：①若，则是等边三角形；正确； ②一个底角为的等腰三角形是等边三角形；正确； ③顶角为的等腰三角形是等边三角形；正确； ④有两个角都是的三角形，则另一个角也是，故是等边三角形；正确； 故选D． 题型1:概念辨析、填空 【典例1】．三边都相等的三角形叫做 ．等边三角形的内角都等于 度，各条 所在的直线都是它的对称轴． 【答案】 等边三角形 边上的高（中）线 【分析】根据等边三角形的定义和性质，进行作答即可． 【解析】解：三边都相等的三角形叫做等边三角形．等边三角形的内角都等于度，各条边上的高（中）线所在的直线都是它的对称轴． 故答案为：等边三角形，，边上的高（中）线． 【点睛】本题考查等边三角形的定义和性质．熟练掌握等边三角形的定义和性质是解题的关键． 【变式1-1】．等边三角形的边长为a，则它的周长为 ，等边三角形共有 条对称轴． 【答案】 3a 3 【分析】根据周长公式求解即可，根据轴对称图形的概念及对称轴求解即可. 【解析】解：因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为a，所以它的周长为3a；等边三角形共有对称轴有3条． 故答案为：3a，3． 【点睛】本题利用了等边三角形的三边相等的性质以及轴对称图形的对称轴的概念． 【变式1-2】．等边三角形是（    ）. A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据等边三角形的分类判断即可. 【解析】等边三角形是锐角三角形，无直角，无钝角，，是特殊的等腰三角形， 故选：B. 【点睛】此题考查等边三角形的性质，正确理解性质即可解题. 题型2:三角形的分类（图示类） 【典例2】．下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【解析】解：根据三角形按边分类情况： 等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项B错误，不符合题意； 分类混乱，故选项C错误，不符合题意； 分类正确，故选项D正确，符合题意． 故选项为：D． 【变式2-1】．用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的分类，即可求解． 【解析】解：三角形按边可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形可以分为两边相等的三角形和三边相等的三角形（等边三角形）， ∴集合正确的是D． 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟练掌握三角形可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形可以分为两边相等的三角形和三边相等的三角形（等边三角形）是解题的关键． 【变式2-2】．用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【解析】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 【变式2-3】．三角形按边的相等关系分类用如图所示的集合来表示，则图中，分别表示的三角形是（   ）    A．等边三角形、等腰三角形 B．等腰三角形、等边三角形 C．锐角三角形、等腰三角形 D．等腰三角形、锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．根据三角形按边的分类方法即可确定． 【解析】解：三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形，等腰三角形包括腰和底不相等的等腰三角形和等边三角形， 故选：B． 【变式2-4】．小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内处填上一个适当的条件 ．（只需填上一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据是等腰三角形，且，结合三边相等的三角形是等边三角形、有一个角是等腰三角形是等边三角形添加条件判定即可得到答案，熟记等边三角形的判定是解决问题的关键． 【解析】解：是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或． 题型3:等边三角形的性质（易） 【典例3】．如图，在等边中，交于点，若，则（  ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由条件可知D为BC的中点，可求得BC，然后求得AC． 【解析】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AC =BC， ∵AD⊥BC， ∴BC=2BD=4， ∴AC=BC=4， 故选：D. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线，这三条线段是同一条线段是解题的关键． 【变式3-1】．如图，是等边的角平分线，，则 ． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形的三线合一及等边三角形的定义即可得到答案． 【解析】解：∵是等边三角形，， ∴AC=AB=10 ∵是等边的角平分线， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握等边三角形的相关性质． 【变式3-2】．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可 【解析】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选： 题型4:等边三角形的性质（中等） 【典例4】．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE＝AD，则∠ADE的度数为 ． 【答案】75° 【分析】根据等边三角形的性质可得平分，即，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解析】解：△ABC是等边三角形，∴， ∵AD⊥BC ∴平分，即 又∵ ∴ ∴ 故答案为 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 【变式4-1】．如图，是等边三角形，为上一点，在上取一点，使，且，则的度数是（   ） A．10° B．20° C．15° D．5° 【答案】A 【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理求出，最后根据等边三角形的性质即可求解． 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 【解析】解：∵，且， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 【变式4-2】．如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 题型5:等边三角形的性质——延长线类 【典例5】．如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． 由是等边三角形得到，，从而得到，，因此，，再根据三角形外角的性质求出，，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【解析】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ，， ∴，， ． 故选：A． 【变式5-1】．如图，是等边三角形，是的平分线，延长到E，使，则的长为（   ） A．7 B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质，可得，，即可求解． 【解析】解：由题意可知：， ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式5-2】．如图，在等边中，，平分，点E在的延长线上，且，则的长 ． 【答案】2cm/2厘米 【分析】根据题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【解析】解：∵是等边三角形，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为2cm． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【变式5-3】．如图，是等边三角形，B、C、D、E四点共线，G、H分别在、上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的内角的和得到然后根据解题即可． 【解析】解：∵， ∴，即 又∵， ∴ 又∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 题型6:等边三角形的性质——内部线段交叉类 【典例6】．等边三角形两条中线所夹锐角为 ． 【答案】/60度 【分析】如图，等边三角形中，根据等边三角形的性质知，底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合，所以，再根据三角形外角的性质即可得出结论． 【解析】解：如图，    ∵在等边三角形中，、分别是中线， ∴、分别是角平分线， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【变式6-1】．如图，在等边中，、分别为边、上的点，与相交于点，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，三角形的外角的性质；证明得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【解析】∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型7:等边三角形的判定辨析 【典例7】．下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【解析】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】．在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解析】解：在中，， 如果添加条件，可判定为等边三角形．故A选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故B选项不符合题意； 如果添加条件，不能判定为等边三角形． 例如：，时，仍然可以作出，此时就不是等边三角形． 故C选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】．下面给出几种三角形：（1）有两个角为的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理：有两个角都是的三角形或有三边相等的三角形或有一个角是的等腰三角形是等边三角形，分析并作答即可． 【解析】解：①有两个角为的三角形是等边三角形，故①正确； ②∵三个外角都相等， ∴相邻的三个内角都相等， 又∵三角形的内角和为， ∴三个内角都是， ∴三个外角都相等的三角形是等边三角形，故②正确； ③一边上的高也是这边上的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故③错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故④正确， ∴能证得等边三角形的有①②④，共3个， 故选：B． 【变式7-3】．如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）进行判断，解答即可．本题考查了等腰三角形的判定与等边三角形的判定． 【解析】解：A、，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； B、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，该选项符合题意； D、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-4】．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】根据等边三角形的判定判断． 【解析】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确； ②这是等边三角形的判定2，故正确； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，故正确； ④根据线段的垂直平分线的性质．可以证明三边相等，故正确． 所以都正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定的掌握情况． 题型8:等边三角形的性质解答证明题 【典例8】．如图，在等边中，点D，E分别在边上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．由等边三角形的性质，得到，，根据证出即可； 【解析】证明：∵是等边三角形， ∴，， 在与中， ∴， ∴． 【变式8-1】．如图，为等边三角形，，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答． 【解析】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 的度数为． 【变式8-2】．如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【解析】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 【变式8-3】．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为． (1)求的度数； (2)求证：M是的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答的关键； （1）由等边△的性质可得，然后根据等边对等角可得，最后根据外角的性质可求的度数； （2）连接，由等边三角形的三线合一的性质可得：，结合（）的结论可得，然后根据等角对等边，可得，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：是的中点． 【解析】（1）解：三角形是等边， ， 又， ， 又， ； （2）证明：连接， 等边中，是的中点， ， 由（1）知， ， ， 又， 是的中点． 【变式8-4】．如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． (1)求证：； (2)分别求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 【解析】（1）证明:是等边三角形 在和中 （2）解： 题型9:等边三角形的判定解答证明题 【典例9】．如图，在中，，求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定等知识，先根据等角对等边证明，然后根据并结合等边三角形的定义即可得证． 【解析】证明：， ， 又， 是等边三角形． 【变式9-1】．如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【解析】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 【变式9-2】．如图，在中，，点D，E分别在的延长线上，且，．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定．利用证明，得到，推出，利用等角对等边求得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【解析】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【变式9-3】．如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【解析】（1）解：， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 【变式9-4】．如图，是的角平分线，，交于点F．已知． (1)求的度数． (2)若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定； （1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）由（1）得：，从而得到，再由点F是的中点，可得，然后根据，即可得到答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：是等边三角形，理由： 由（1）得：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式9-5】．如图，已知和，点C在线段上，． (1)求证； (2)若，连接，求证是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定． （1）由，，，根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则可得出结论． 【解析】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， 是等边三角形． 题型10:等边三角形的其他应用 【典例10】．三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是(    ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：a-b=0，b-c=0，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状． 【解析】∵（a-b）2+|b-c|=0， ∴a-b=0，b-c=0， ∴a=b=c， ∴以a，b，c，为三边长的三角形是等边三角形， 故选C． 【点睛】考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定． 【变式10-1】．已知，，是的三边长，且，试判断的形状． 【答案】的形状是等边三角形． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的定义，解题关键是利用因式分解给条件式变形． 先利用完全平方公式把等式左边分解因式从而得到，由此即可证明，则是等边三角形． 【解析】解：， ， ， ， ， ， 的形状是等边三角形． 【变式10-2】．如图，，，动点P从点A出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为．若，则t的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题出来一元一次不等式的应用，等边三角形的判定和性质．根据等边三角形的性质求出的长，再列不等式求解． 【解析】解：在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当点P在射线上时， ， 此时， 解得：， 故选：D． 【变式10-3】．已知：如图，lm，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为25°，则∠α的度数为 ． 【答案】35°/35度 【分析】过点作，根据两直线平行，内错角相等求出，再求出，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【解析】解：如图，过点作， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，此类题目，过拐点作辅助线是解题的关键． 题型11:等边三角形的判定与性质综合 【典例11】．在中，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定定理．根据等边三角形的判定和性质即可解决问题． 【解析】解：，， 是等边三角形． ， 的周长为． 故答案为：． 【变式11-1】．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得出，，得出是等边三角形，进而得出即可． 【解析】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故答案为：3． 【变式11-2】．如图，在中，，，，若，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．10 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解答本题的关键．先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形得到，再根据三线合一得到，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【解析】解：在中，，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， 即． 故选：D． 【变式11-3】．如图，，点，分别在，上，且，连接，，交于点，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．平分 D．若点为的中点，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的性质和判定，熟练掌握灵活选择方法证明两个三角形全等是解题关键． 根据全等三角形的性质和判定分别证明、、即可判断选项A、B、C正确．连接，结合等腰三角形的性质、等边三角形的性质“三线合一”——顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合即可判断选项D缺乏条件支持． 【解析】解：在和中， ， ． A正确，但不符合题意； ，， ， ， 在和中， ， ． B正确，但不符合题意； 在和中， ， ， 平分． C正确，但不符合题意； 如图：连接， 若点为的中点且， 则需（等腰三角形的性质“三线合一”）或（或或，等边三角形的性质“三线合一”）， 题干和推论缺乏此条件． D错误，但符合题意． 故选：D． 【变式11-4】．如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等边三角形的判定方法进行判断即可； （2）证明，得出即可． 【解析】（1）解：是等边三角形． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式11-5】．如图，已知和是等边三角形，且三点共线，连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得到，，，进而得到，即可得证； （2）在上取点Q使得，连接，得为正三角形，得到，，证明，得到，根据，即可得证． 【解析】（1）证明：∵与是正三角形， ∴，，， ∴， 在与中 ， ∴； （2）在上取点Q使得，连接，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为正三角形， ∴，， 又∵为正三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 一、单选题 1．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有（  ） A．1条 B．2条 C．3条 D．6条 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质以及轴对称图形的定义：一个图形沿某条直线翻折与原图形能够完全重合的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【解析】解：等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有3条， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的定义以及等边三角形的性质，题目比较简单． 2．如图，在等边中，交于点，若，则（  ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由条件可知D为BC的中点，可求得BC，然后求得AC． 【解析】解：∵△ABC为等边三角形， ∴AC =BC， ∵AD⊥BC， ∴BC=2BD=4， ∴AC=BC=4， 故选：D. 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形底边上的中线、高线和顶角的平分线，这三条线段是同一条线段是解题的关键． 3．如图，是等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质，以及平角的性质即可求得． 【解析】∵是等边三角形， ∴， ∴, 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 4．下列条件不能得到等边三角形的是（   ） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可． 【解析】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形， 所以A选项符合题意，B选项不符合题意； 因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形， 所以C不符合题意； 因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形， 所以D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的判定、等腰三角形的性质． 5．如图，等边中，点D是上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质，三角形内角和定理以及平角的定义，即可求得 【解析】∵是等边三角形， ∴， 在中，， 即， 又∵， 即， ∴． 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理以及平角的定义，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 6．如图，D、E是等边的BC边和AC边上的点，，AD与EE相交于P点，则的度数是（    ） A．45° B．55° C．60° D．75° 【答案】C 【分析】根据条件先可以得出△ABD≌△BCE，由全等三角形的性质就可以得出∠BAD＝∠DBP．由∠APE＝∠ABP+∠BAP，就可以得出∠APE＝60°． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°． 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠DBE． ∵∠APE＝∠ABP+∠BAP， ∴∠APE＝∠ABP+∠DBE． 即∠APE＝∠ABD． ∴∠APE＝60°． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的外角与内角的关系的运用． 7．如图，在等边三角形中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【解析】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，是等边三角形，，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由△ABC是等边三角形，CB＝BD得出∠DCB＝∠CDB，由∠ACD＝110°，得出∠DCB＝50°，由AB＝BC，BC＝BD，得出AB＝BD，根据三角形的内角和定理即可求得． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形，CB＝BD，∠ACD＝110°， ∴ ∠DCB＝50° ， ∵CB＝BD，AB＝BC， ∴AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解答． 9．如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【解析】解：∵图中是三个等边三角形， ∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝180°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键． 10．如图，为线段上一动点(不与点，重合)，在同侧分别作正三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，以下结论一定正确的有（    ）个 ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据等边三角形性质得出AB＝BC＝AC，DC＝CE＝DE，∠BCA＝∠DCE＝∠EDC＝∠DEC＝60，推出∠ACD＝∠BCE，根据SAS证△ACD≌△BCE即可依次判断． 【解析】∵等边△ABC和等边△DCE， ∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠DEC＝∠BCA＝∠DCE＝60， ∴，③正确； ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS），①正确； ∴∠CBE＝∠DAC，AD＝BE，④⑤正确； ∵∠ABC＝60≠∠BAP，∴，②错误 故选C． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点，得到三角形全等是正确解答本题的关键． 二、填空题 11．等边三角形的周长为6 cm，则它的边长为 cm． 【答案】2 【分析】等边三角形三边相等. 【解析】等边三角形三边相等，其周长为6，所以边长为2. 【点睛】知道等边三角形的含义和性质是解题的关键. 12．一个等腰三角形的腰长是5cm，一个外角是120°，则它的底边长是 cm． 【答案】5 【分析】先求出与已知外角相邻的内角为，从而判定出该三角形是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求解． 【解析】解：∵等腰三角形一个外角等于120°， ∴与这个外角相邻的内角是， ∴该等腰三角形是等边三角形， 腰长为5cm， 该三角形的底边长5cm． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，求出与外角相邻的内角恰好是60°是解题的关键． 13．如图，是等边三角形，于D，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据等边三角的性质，即可求解． 【解析】解：∵是等边三角形，， ∴． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了等边三角的性质，熟练掌握等边三角的性质是解题的关键． 14．如图，在中，B为边上一点，连接，恰为等边三角形，，则的长度为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，根据等边三角形的性质求出，然后根据等角对等边得出，即可求解． 【解析】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为∶14． 15．如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上的任意一点，点B，C，E在同一条直线上，且CE＝CD，则∠E＝ 度． 【答案】30． 【分析】根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求得∠E． 【解析】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠E＝＝30°， 故答案为30． 【点睛】本题考查等边三角形的性质,关键在于牢记基础知识,通过题目找到关键性质. 16．如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则 ; 【答案】60° 【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△BCE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CBE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AFE=∠ABC，从而得解． 【解析】解：在等边△ABC中，AB=BC，∠ABC=∠C=60°， 在△ABD和△BCE中， ∵， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABF中，∠AFE=∠BAD+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°， 即∠AFE=60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，证明△ABD和△BCE全等是解本题的难点，也是关键． 17．如图，等边的边长为，、分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 . 【答案】3 【分析】根据折叠的性质可得，，则阴影部分图形的周长即可转化为等边的周长. 【解析】解：由折叠性质可得，， 所以. 故答案为：3. 【点睛】本题结合图形的周长考查了折叠的性质，观察图形，熟练掌握折叠的性质是解答关键. 18．在中，，，将绕点C旋转得到，点A，B分别与，对应，当时，记直线与直线交点为E，那么 的度数是 ． 【答案】或． 【分析】根据中，，可知是等腰直角三角形，，再根据顺时针旋转，或逆时针旋转两种情况，进行作图分析讨论，然后得到结果． 【解析】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ①如下图示，当顺时针绕点C旋转得到时， ∵，则有， ∴是等边三角形， ∴ ∴； ②如下图示，当逆时针绕点C旋转得到时， ∵，则有， ∴是等边三角形， ∴ ∴； 综上所述，的度数是：或， 故答案是：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质、外角的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质，并能进行分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题 19．如图，等边中，分别交BC，AC于点D、E． 求证：是等边三角形． 【答案】证明见详解 【分析】先由等边三角形的性质得到，然后根据平行线的性质得到，，从而证明是等边三角形． 【解析】∵ 是等边三角形， ∴  ， ∵  ， ∴  ，， ∴ ， ∴  是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定定理是关键． 20．如图，是等边三角形，是的中点，连接，延长至，使，连接． (1)等于多少度？ (2)说明与相等的理由． 【答案】(1) (2)理由见解析 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，由可知，再根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据等边三角形三线合一的性质得出，在由在同一三角形中等角对等边的性质即可得出结论． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 21．如图，是等边三角形，是等腰三角形，，，平分． (1)的度数为________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质，，，可得，由此即可求解； （2）根据等腰三角形的“三线合一”可得，由（1）知，则，根据垂直于同一条直线的两直线平行即可求解． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：，理由如下： ∵是等边三角形，平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 22．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）60° 【分析】（1）依据等边三角形的性质，由SAS即可判定△ABD≌△ACE； （2）依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出BD=CE，DE=AE，进而得到AE+CE=BE，代入数值即可得出结果； （3）依据等边三角形的性质可得∠ADE=60°，进而可得∠ADB=120°，由全等三角形的性质可得∠AEC=120°，由∠BEC=∠AEC-∠AED即可得出∠BEC的度数． 【解析】（1）证明∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE＝AE， ∵DE+BD＝BE， ∴AE+CE＝BE， ∴BE＝2+3＝5； （3）解：∵△ADE 是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠AEC＝∠ADB＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23．如图，为等边三角形，点D是边上的一个动点，点E为延长线上的点，且，过点D作的垂线，交于点F． (1)如图①，若点D是的中点，则与的数量关系为______，和的数量关系为______； (2)如图②，若点D是边上的任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立．请给出证明；若不成立．请说明理由； (3)如图③，若点G和点B关于对称，延接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)结论依然成立．理由见解析 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到，，，证明为等腰三角形，即可得出结论； （2）过点D作，证明是等边三角形，推出，进而得到，根据三线合一，得到即可； （3）根据对称，得到，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【解析】（1）解：，． 理由：如图①中 ∵是等边三角形，点D是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为，． （2）结论依然成立．理由如下： 如图②中，过点D作，交AB于点H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图③中， ∵B，G关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 2 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $$