专题08 计数原理与概率、统计背景下的新定义问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）

专题08 计数原理与概率、统计背景下的新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 计数原理有关新定义】 1 【题型二 概率有关新定义】 3 【题型三 统计有关新定义】 6 【压轴能力测评（12题）】 8 一、概率统计新定义问题 解决计数原理与概率背景下的新定义问题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题． 【题型一 计数原理有关新定义】 一、单选题 1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（    ） A．44 B．32 C．35 D．29 2．（23-24高二下·重庆·期末）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．900个 B．891个 C．810个 D．648个 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．35 C．36 D．45 4．（2025·湖南郴州·三模）定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·江苏镇江·期中）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 三、解答题 6．（2025高二·全国·专题练习）错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利一欧拉的装错信封问题.现在定义错排数为将、、、、共个元素排列在、、、、共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为，，）.容易得到，，，，规定.计算：，. 7．（23-24高二下·山东·期中）组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一.其定义如下：对于序列，，，…，定义为序列，，，…的母函数.母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合.我们用即1代表小球不参与，代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是. (1)假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有个小球的所有组合个数，试写出，，，，的一个与问题对应的母函数； (2)已知，其中.现有一序列，，，…，的母函数，其中，求； (3)在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取位的所有组合个数；分别写出，，，…，和，，，…，的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数. 【题型二 概率有关新定义】 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率、召回率、卡帕（）系数是衡量算法性能的重要指标在对某型号扫雷机器人的测试中，记表示事件“选择的位点实际有雷”，表示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中，则（  ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25高二上·江西·期末）对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，表示在事件发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 不经常喝 18 52 合计 100 (1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联； (2)证明； (3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 32 48 不经常喝 34 18 52 合计 50 50 100 3．（2025·湖北·模拟预测）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. (1)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； (2)设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； (3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 4．（23-24高二下·北京海淀·期末）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 甲生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04 乙生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 0.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． (1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； (2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望； (3)已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． 0 1 2 5．（24-25高二上·安徽亳州·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的信息熵. (1)证明：当且仅当时，； (2)若，且，比较与1的大小； (3)重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为，求. 6．（2025高二·全国·专题练习）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设． (1)若，求； (2)若，求的最小值. 【题型三 统计有关新定义】 一、解答题 1．（23-24高二下·山东青岛·期中）为了研究高二年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了某中学所有高二年级的学生，整理得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于170cm 高于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为该中学高二年级学生的性别与身高有关联？ 附：，n=a+b+c+d α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)考虑以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于的成对分类变量，已知和，和都是互为对立事件．令为零假设或原假设．证明：若零假设成立，则和独立． 2．（2025高二·全国·专题练习）北京冬奥会助推户外冰雪运动发展持续升温，近年来越来越多的青年学生喜爱这一运动，为了研究性别与青年学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校的男、女生中各随机抽取200名进行问卷调查，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男生 200 女生 200 合计 280 120 400 (1)当时，从样本中喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取4人调研喜爱的原因，记这4人中男生的人数为，求的分布列与数学期望． (2)定义，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘列联表的总额数得到的理论频数，如，．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立．根据的计算公式，求解下面问题： ①当时，依据小概率值的独立性检验，分析性别与青年学生是否喜爱冰雪运动有关？ ②当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与青年学生是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？ 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 1 2 3 4 喜爱 不喜爱 合计 男生 150 50 200 女生 130 70 200 合计 280 120 400 3．（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高二（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 (1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； (2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. (3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01） （参考公式：相关系数） 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． (1)求和的值． (2)计算的近似值，保留到小数点后位． (3)求的值． 2．（2024·山东泰安·模拟预测）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2024年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额(单位：亿元)对年盈利额(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近年年研发资金投入额和年盈利额的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①；②，若对于任意一点，过点作与轴垂直的直线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，定义：，，若则用函数来拟合与之间的关系更合适，否则用函数来拟合与之间的关系． （1）给定一组变量，对于函数与函数，试利用定义求，的值，并判断哪一个更适合作为点中的与之间的拟合函数； （2）若一组变量的散点图符合图象，试利用下表中的有关数据与公式求与的回归方程，并预测当时，的值为多少． 表中的， 附：对于一组数据，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 3．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）维空间是一个多维空间，其中包含了个维度，若建立维坐标（，则维空间中任意一点的坐标可表示为，当任意的时，称为维“单位体”的顶点坐标，对应的点称为维“单位体”的顶点. (1)求4维“单位体”的顶点个数. (2)定义：在维空间中两点与的J氏距离为.在3维“单位体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的J氏距离，求随机变量的分布列和数学期望. 4．（2024·浙江杭州·一模）一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 5．（24-25高二上·山东日照·期末）为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． (1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 6．（2024·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． (1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 (2)对任意一次测试，证明：． (3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 7．（23-24高二上·山西朔州·开学考试）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，. (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记，.证明：； （ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 注：参考公式与参考数据. ；；. 8．（2024·江苏南京·二模）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，以单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.现有如下定义：在维空间中，，两点的曼哈顿距离为 (1)在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率； (2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离 （i）求出的分布列与期望； （ii）证明：随机变量的方差小于. 9．（23-24高二下·浙江·期中）假设通过简单随机抽样得到和的抽样数据列联表， 合计 合计 课本中给出统计量计算公式如下： 此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，）， 把，，，称为期望频数，记作， 即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：（Σ表示对后面的代数式求和） 根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示： 教学方法\成绩级别 低 中 高 总计 传统方法 20 30 50 100 在线学习 35 45 20 100 互动式学习 25 15 60 100 总计 80 90 130 300 (1)已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率． (2)（i）求，； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异． 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 10．（24-25高二下·湖北武汉·期中）对于正整数和正整数，现定义函数. (1)当时，分别计算在处的取值； (2)为了研究函数的单调性，现定义差分比； ①证明：当时，； ②对于任意正整数，当取到最大值时，求正整数. 11．（24-25高二上·河北保定·开学考试）如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 (1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； (2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 12．（2025高二·全国·专题练习）错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利-欧拉的装错信封问题.现在定义错排数为将共个元素排列在共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为，，）.容易得到，，，，规定. (1)计算，. (2)记，的前项和为，证明：. (3)定义错排概率为随机将共个元素排列在共个位置上，其中恰有个元素不在其对应位置上的概率，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 计数原理与概率、统计背景下的新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 计数原理有关新定义】 1 【题型二 概率有关新定义】 6 【题型三 统计有关新定义】 14 【压轴能力测评（12题）】 19 一、概率统计新定义问题 解决计数原理与概率背景下的新定义问题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题． 【题型一 计数原理有关新定义】 一、单选题 1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（    ） A．44 B．32 C．35 D．29 【答案】A 【分析】首先根据二项式定理求，再计算除以7的余数，再结合选项，即可求解. 【详解】， ， 所以除以7的余数是，除以7的余数是2， 选项中44除以7的余数是2，32除以7的余数是4，35除以7的余数是0，29除以7的余数是1. 故选：A 2．（23-24高二下·重庆·期末）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天，由此定义“回文数”，n为自然数，且n的各位数字反向排列所得自然数与n相等，这样的n称为“回文数”，如：1221，2413142.则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（    ） A．900个 B．891个 C．810个 D．648个 【答案】B 【分析】先求得所有6位 “回文数”的个数，再求得6位 “回文数”中各位数字全相同的个数，进而得到所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的个数. 【详解】6位 “回文数”中个位与十万位数字相同且不为0， 十位与万位数字相同，百位与千位数字相同， 第一步，确定个位与十万位数字，有9种可能， 第二步，确定十位与万位数字，有10种可能， 第三步，确定百位与千位数字，有10种可能， 则6位 “回文数”共有（个）， 又6位 “回文数”中各位数字全相同的共有9个， 则所有6位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有（个）. 故选：B 3．（23-24高二上·江苏常州·期末）定义：“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．35 C．36 D．45 【答案】C 【分析】根据定义分类讨论首位数字,再应用计数原理计算即可. 【详解】“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，故首位最大为8，且首位不为0，则有： 若首位为8，则剩余两位均为0，共有1个“幸运数”； 若首位为7，则剩余两位为，共有个“幸运数”； 若首位为6，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”； 若首位为5，则剩余两位为，或，共有个“幸运数”； 若首位为4，则剩余两位为，或，或，共有个“幸运数”； 若首位为3，则剩余三位为，或，或，共有个“幸运数”； 若首位为2，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”； 若首位为1，则剩余三位为，或，或，或，共有个“幸运数”； 综上所述：共有个“幸运数”. 故选：C. 4．（2025·湖南郴州·三模）定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角不等式可得出当时，、、，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】因为、、，则， 由三角不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 同理可得，，当且仅当、时，等号成立， 又因为， 即，可得、、， 又因为、、都是整数，则、、， 故满足条件的点的个数为个. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二下·江苏镇江·期中）定义“圆排列”：从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形，称为圆排列，所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种，区别于通常的“直线排列”，既无“头”也无“尾”，所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，做击鼓传花的游戏，则（    ） A．共有种排法 B．若两名女生相邻，则有种排法 C．若两名女生不相邻，共有种排法 D．若男生甲位置固定，则有种排法 【答案】ABD 【分析】结合圆排列的定义结合捆绑法，插空法及特殊值法分别判断各个选项即可. 【详解】对于A：现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈，共有种排法，A选项正确； 对于B：若两名女生相邻，则有种排法，B选项正确； 对于C：若两名女生不相邻，共有种排法，C选项错误； 对于D：若男生甲位置固定，考虑以甲为基准的顺逆时针排列，则有种排法，D选项正确. 故选：ABD. 三、解答题 6．（2025高二·全国·专题练习）错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利一欧拉的装错信封问题.现在定义错排数为将、、、、共个元素排列在、、、、共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为，，）.容易得到，，，，规定.计算：，. 【答案】， 【分析】有种排法，讨论的排法，进而讨论可得，的排法，从而可求，类似可求得. 【详解】先考虑的值： 可以排在、、上，有种排法. 不妨设排在上，接下来讨论. 当排在上时，剩下两个元素、的排法有（种）. 当不排在上时，可以排在、上，有种情况. 若排在上，剩下两个元素、只有种排法. 所以. 接下来考虑的值： 可以排在、、、上，有种情况. 不妨设排在上，接下来讨论， ①当排在上时，剩下三个元素、、分别不排在、、上， 则、、的不同排法有（种）. ②当不排在上时，可以排在、、上，有种排法， 若排在上，接下来讨论. （ⅰ）当排在上时，剩下两个元素、的排法有（种）； （ⅱ）当不排在上时，可以排在、上，有种排法， 剩下两个元素、只有种排法. 故. 7．（23-24高二下·山东·期中）组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一.其定义如下：对于序列，，，…，定义为序列，，，…的母函数.母函数的计数方法与二项式定理的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每个小球是否参与组合.我们用即1代表小球不参与，代表小球参与，根据分类加法计数原理，代表一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式表示三个小球是否参与组合的情况，所以母函数为，例如其中中的系数3就是由两个小球构成的所有组合个数，而总的组合个数就是. (1)假设有四个不同的小球，令为由它们组成的含有个小球的所有组合个数，试写出，，，，的一个与问题对应的母函数； (2)已知，其中.现有一序列，，，…，的母函数，其中，求； (3)在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令为从8位男同学中选取位的所有组合个数，令为从5位女同学中选取位的所有组合个数；分别写出，，，…，和，，，…，的与问题对应的母函数和，并求总的组合个数. 【答案】(1) (2) (3)，，3328 【分析】（1）根据母函数的定义写母函数； （2）根据母函数和得到，然后根据组合数的性质计算； （3）根据母函数的定义写和，然后求总的组合数. 【详解】（1） . （2）∵， 故展开式中的系数为 ， ∵ 故的系数为 . （3）显然， ，，，，， 故， 同样，，，， 故， 令 中的系数为符合要求的个人组成的小组的数目， 所有组合的个数为 . 【点睛】关键点睛：（2）的解题关键在于组合数性质的运用；（3）的解题关键在于题目中母函数的定义，根据组合和母函数的定义得到和，然后求总的组合数即可. 【题型二 概率有关新定义】 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率、召回率、卡帕（）系数是衡量算法性能的重要指标在对某型号扫雷机器人的测试中，记表示事件“选择的位点实际有雷”，表示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用并事件概率公式及条件概率公式进行化简即可求解. 【详解】由已知得：， 根据， 所以有， 则上式又可化为： ， 故选：A. 二、解答题 2．（24-25高二上·江西·期末）对于样本空间中的随机事件A和随机事件B，定义：表示在事件A发生的条件下事件B的发生强度，表示在事件发生的条件下事件B的发生强度．某著名生物科研所为研究上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”的关系，随机调查了某地区100位上班族，统计数据如下表所示． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 不经常喝 18 52 合计 100 (1)完善上述列联表并判断是否有99.5%的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝“肥宅快乐水”之间有关联； (2)证明； (3)从该地区的上班族中任取一位，记事件A为“此人患有肥胖症”，B为“此人经常喝肥宅快乐水”，利用调查的样本数据，估计的值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出与临界值比较即可判断； （2）由条件概率计算公式即可求证； （3）由样本数据得到，再由条件概率公式代入计算即可； 【详解】（1）解：完善列联表如下． 患有肥胖症 不患有肥胖症 合计 经常喝 16 32 48 不经常喝 34 18 52 合计 50 50 100 根据列联表数据可得 所以有的把握认为该地区上班族患有肥胖症与经常喝＂肥宅快乐水＂有关联． （2）证明：由， ， 左，右两边展开相同，故得证． （3）由样本数据可得，又， 故． 3．（2025·湖北·模拟预测）一电动玩具汽车需放入电池才能启动.现抽屉中备有6块规格相同的电池，其中3块为一次性电池，另外3块为可反复使用的充电电池.每次使用时随机取一块电池，若取出的是一次性电池，则使用后作废品回收，若取出的是可充电电池，则使用后充满电再放回抽屉. (1)在已知第2次取出一次性电池的条件下，求第1次取出的是可充电电池的概率； (2)设X，Y是离散型随机变量，X在给定事件条件下的期望定义为，其中为X的所有可能取值的集合，表示事件“”与“”均发生的概率.设X表示玩具汽车前4次使用中取出一次性电池的块数，Y表示前2次使用中取出可充电电池的块数，求； (3)若已用完一块一次性电池后，记剩下电池再使用次后，所有一次性电池恰好全部用完的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池，求出和即可求解； （2）求出的可能取值，求出、和即可求解； （3）分别求出可充电池和一次性电池可使用的数量，求出和，求出时即可求解. 【详解】（1）设事件表示第一次取出时为可充电池，事件表示第一次取出时为一次性电池，事件B表示第二次取出时为一次性电池， 则，， 所以； （2）由题意，的可能取值为1，2，3， ，，， 所以； （3）由题意，现有3块可充电池和2块一次性电池可使用， 经分析可得，， 时， . 4．（23-24高二下·北京海淀·期末）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为，定义产品的指标偏差，数据如下表： 甲生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02 2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02 0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04 乙生产线抽样产品编号 指标 1 2 3 4 5 6 7 8 1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01 2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.04 0.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05 假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立． (1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足且的概率； (2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设表示这两件产品中满足的产品数，求的分布列和数学期望； (3)已知的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，数学期望； (3)甲生产线上的产品质量更好，理由见解析. 【分析】（1）根据给定数据，利用频率估计概率即得； （2）先分别得出甲、乙的项指标值大于2的产品的概率，再利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式分别求解相应概率，列出分布列，最后求解期望即可； （3）比较甲乙两生产线上值的平均值大小可得.(其他理由也可，如:求出甲生产品的值小于乙的概率，再比较该概率值与的大小.) 【详解】（1）记表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足且”． 用频率估计概率，则． 所以该产品满足且的概率为． （2）由表格数据，用频率估计概率， 可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为； “从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足”的概率为. 由题意，的所有可能取值为． ， ． 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为． （3）甲生产线上的产品质量更好， 因为甲生产线上值的平均值， 乙生产线上值的平均值， 所以甲生产线上值的平均值明显比乙小， 所以甲生产线上的产品质量更好． 其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则 甲生产品的值小于乙的概率为， 所以甲生产线上的产品质量更好． 5．（24-25高二上·安徽亳州·期末）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的信息熵. (1)证明：当且仅当时，； (2)若，且，比较与1的大小； (3)重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛20次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）当时，，当时，由可得，由此可说明结论成立. （2）根据条件可计算的值，由此可计算，进而比较大小. （3）根据题意表示，利用错位相减法计算. 【详解】（1）若，则，所以. 当时，因为，所以，所以. 综上可知：当且仅当时，. （2）由得，由，得. 因为，所以，解得，于是，.. 因为，所以. （3）由题意知，表示前次都正面朝上，第次反面朝上，表示前19次都正面朝上， 则，，，…， ，. 所以，. 所以. 设，则， 两式相减得， 所以， 故. 6．（2025高二·全国·专题练习）设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设． (1)若，求； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用定义，结合二项分布的概率公式与对数的运算法则即可得解； （2）利用定义，结合对数的运算法则得到关于的关系式，再利用导数求得其最小值，从而得解. 【详解】（1）不妨设，则. 所以 . （2）当时，， 记 ， 则 ， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则单调递增，而， 所以在为负数，在为正数， 则在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为. 【题型三 统计有关新定义】 一、解答题 1．（23-24高二下·山东青岛·期中）为了研究高二年级学生的性别和身高是否大于170cm的关联性，调查了某中学所有高二年级的学生，整理得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于170cm 高于170cm 女 14 7 21 男 8 11 19 合计 22 18 40 (1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为该中学高二年级学生的性别与身高有关联？ 附：，n=a+b+c+d α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)考虑以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于的成对分类变量，已知和，和都是互为对立事件．令为零假设或原假设．证明：若零假设成立，则和独立． 【答案】(1)不能认为该中学高二年级学生的性别与身高有关联； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的数表，求出的观测值，再与临界值比对作答. （2）利用零假设的意义，结合对立事件、概率的性质计算判断作答. 【详解】（1）假设：该中学高二年级学生的性别与身高无关联，则由列联表数据可得： ， 依据的独立性检验，即，但是， 即在样本数据中没有足够的证据拒绝，依据的独立性检验，不能认为该中学高二年级学生的性别与身高有关联， 在犯错误概率不超过0.05的情况下，不能认为该中学高二年级学生的性别与身高有关联. （2）由条件概率的定义可知，零假设等价于， 或①， 注意到和为对立事件，于是， 再由概率的性质，我们有， 由此推得①式等价于， 因此零假设等价于与独立. 2．（2025高二·全国·专题练习）北京冬奥会助推户外冰雪运动发展持续升温，近年来越来越多的青年学生喜爱这一运动，为了研究性别与青年学生是否喜爱冰雪运动之间的关系，从某高校的男、女生中各随机抽取200名进行问卷调查，得到如下列联表． 喜爱 不喜爱 合计 男生 200 女生 200 合计 280 120 400 (1)当时，从样本中喜爱冰雪运动的学生中，按性别采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取4人调研喜爱的原因，记这4人中男生的人数为，求的分布列与数学期望． (2)定义，其中为列联表中第行第列的实际数据，为列联表中第行与第列的总频率之积再乘列联表的总额数得到的理论频数，如，．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设（变量相互独立），然后计算的值，当时，我们推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立．根据的计算公式，求解下面问题： ①当时，依据小概率值的独立性检验，分析性别与青年学生是否喜爱冰雪运动有关？ ②当时，依据小概率值的独立性检验，若认为性别与青年学生是否喜爱冰雪运动有关，则至少有多少名男生喜爱冰雪运动？ 附： 0.1 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 【答案】(1)分布列见解析， (2)①无关联；②151名 【分析】（1）由条件可得的所有可能取值为1，2，3，4，然后分别求得其对应概率，即可得到分布列，从而得到期望； （2）由的公式代入计算，即可判断； 【详解】（1）当时，样本中喜爱冰雪运动的学生中男生有160人，女生有120人， 则采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取的7人中，男生有4人，女生有3人． 由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 的分布列为 1 2 3 4 故． （2）零假设为：性别与青年学生是否喜爱冰雪运动独立， 即性别与青年学生是否喜爱冰雪运动无关联． 当时，列联表如下： 喜爱 不喜爱 合计 男生 150 50 200 女生 130 70 200 合计 280 120 400 ，，，，，，，， ． ，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立， 即认为性别与青年学生是否喜爱冰雪运动无关联． ， 由题意可知，，整理得．又，， ，的最大值为9． 又，至少有151名男生喜爱冰雪运动． 3．（2024·湖北·一模）在某一次联考中，高二（9）班前10名同学的数学成绩和物理成绩如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 116 131 124 126 121 110 106 99 118 117 数学名次 7 1 3 2 4 8 9 10 5 6 物理成绩 80 78 79 81 74 65 63 70 73 84 物理名次 3 5 4 2 6 9 10 8 7 1 (1)从这10名同学任取一名，已知该同学数学优秀（成绩在120分（含）以上），则该同学物理也优秀（物理成绩在78分（含）以上）的概率； (2)已知该校高中生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，经计算这10名同学的数学成绩和物理成绩的样本相关系数约为0.8，已知这10名同学物理成绩与化学成绩的样本相关系数约为，分析相关系数的向量意义，求的样本相关系数的最大值. (3)设为正整数，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同，按照由大到小的顺序，记在中排名是位在中的排名是位.定义变量和变量的斯皮尔曼相关系数（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数.记，其中，证明：，并用上述公式求这组学生的数学成频和物理成绩的斯皮尔曼相关系数（精确到0.01） （参考公式：相关系数） 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式可求概率； （2）设，，分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为，结合已知计算可求得结论； （3）由已知得，计算可得，再结合图表可求. 【详解】（1）由题意可得数学优秀的学生有4名，这4名中物理优秀的有3名同学， 由条件根概率公式可得； （2）分析r的向量意义，设，则， 分别令的样本相关系数，的样本相关系数，与的样本相关系数为， 则， ，， ， 夹角余弦值最大值为； （3）都是的一个排列， 同理 . 结合图表 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）我们学过组合数的定义，，其中，并且．牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数中的下标推广到任意实数，规定广义组合数是组合数的一种推广，其中，且规定．于是广义二项式定理可写成：，其中．等式右端有无穷项． (1)求和的值． (2)计算的近似值，保留到小数点后位． (3)求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据广义组合数公式代入即可求解； （2）根据，代入广义二项式定理的展开式即可求解； （3）分析式子特征，考虑的展开式中，的系数即可求解. 【详解】（1），. （2） （3）根据已知条件所给式子， 考虑的展开式中，的系数． 左式为，的系数为， 右式中的系数为， 所以． 2．（2024·山东泰安·模拟预测）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2024年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．现该企业为了了解年研发资金投入额(单位：亿元)对年盈利额(单位：亿元)的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近年年研发资金投入额和年盈利额的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：①；②，若对于任意一点，过点作与轴垂直的直线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，定义：，，若则用函数来拟合与之间的关系更合适，否则用函数来拟合与之间的关系． （1）给定一组变量，对于函数与函数，试利用定义求，的值，并判断哪一个更适合作为点中的与之间的拟合函数； （2）若一组变量的散点图符合图象，试利用下表中的有关数据与公式求与的回归方程，并预测当时，的值为多少． 表中的， 附：对于一组数据，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】（1）；；函数更适合；（2）；． 【分析】（1）由分别取时对应的函数值，再根据变量，分别求得，比较下结论； （2）在中，令，得到，然后利用最小二乘法求得，写出关于的线性回归方程，进而得到关于的回归方程即可. 【详解】（1）对于函数，当分别取时对应的函数值为， 此时 对于函数，当分别取时对应的函数值为， 此时 从而有， 因此由定义得选用函数更适合作为点中的与之间的拟合函数． （2）在中，令，所以有， 于是可建立关于的线性回归方程为， 所以， ， 所以关于的线性回归方程为， 因此关于的回归方程为， 当时，，即可预测当时，的值为． 3．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）维空间是一个多维空间，其中包含了个维度，若建立维坐标（，则维空间中任意一点的坐标可表示为，当任意的时，称为维“单位体”的顶点坐标，对应的点称为维“单位体”的顶点. (1)求4维“单位体”的顶点个数. (2)定义：在维空间中两点与的J氏距离为.在3维“单位体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的J氏距离，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1)16个 (2)分布列见解析， 【分析】（1）由分步计数原理结合定义可求得4维“单位体”的顶点的个数； （2）设M，N为3维“单位体”的任意两个不同的顶点，则点与点的组合数共有个，进而确定随机变量的值可以取，求得对应的概率可得分布列，利用数学期望的计算公式可求得数学期望. 【详解】（1）由已知，在4维空间中，任意一点的坐标可表示为， 当）时，称为4维“单位体”的顶点坐标. 故4维“单位体”的顶点有个. （2）由题意，在维空间中两点与的J氏距离为 ，可得在3维空间中两点与的J氏距离为. 设M，N为3维“单位体”的任意两个不同的顶点，则点与点的组合数共有个， 由题意随机变量的值可以取. 当时，有1个第维坐标值不同，点M，N的组合数共有（个）， 当时，有2个第维坐标值不同，点M，N的组合数共有（个）， 当时，有3个第维坐标值不同，点M，N的组合数共有（个）， 所以. 故分布列为： 1 得. 【点睛】关键点点睛：理解J氏距离的含义，得到点与点的组合数共有，进而确定随机变量的值，进而求得分布列，难度较大. 4．（2024·浙江杭州·一模）一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）通过条件求出的值，代入信息熵的公式化简得到结果； （2）由参考不等式及题意得到不等式，取出最大对应的的值，即可证明，由题意可以分析得到取等号时的实际意义. 【详解】（1）当时，，且， ∴， ∴ （2）令，则， ∴ 有题意可知当时，风险最小（最合理）的决定， ∴ 当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的. 5．（24-25高二上·山东日照·期末）为弘扬中华民族的传统美德，增强老年人的幸福感和归属感，某市开展学生志愿服务活动．现有来自甲，乙，丙，丁四个地区的学生各一名，分配到甲，乙，丙，丁四个地区的养老院进行志愿服务，要求每个地区分配一名学生． (1)求甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量，定义协方差为．如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关． 在参加志愿服务活动的4名学生中，记在本地区参加志愿服务的学生人数为，不在本地区参加志愿服务的学生人数为． （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明之间的线性相关关系． 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见详解；（ⅱ），随机变量之间具有负相关关系 【分析】（1）设相应事件，结合计数原理求，根据古典概型即可得结果； （2）（i）分析可知随机变量的可能取值为0，1，2，4，求相应概率即可得分布列；（ⅱ）根据题意可得，，设，求其分布列和期望，结合题意分析判断. 【详解】（1）记“甲地区的学生不在甲地区参加志愿服务，且乙地区的学生不在乙地区参加志愿服务”为事件A，样本空间为， 则，， 所以. （2）由题意可知：随机变量的可能取值为0,1,2,4， 则， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 4 由题意可知：，即， 因为，则， 令， 可知随机变量的可能取值为， 则， 可得随机变量的分布列为 0 可得， 因为，所以随机变量之间具有负相关关系. 6．（2024·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中． (1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率． 实际有雷 实际无雷 总计 检测到有雷 40 24 64 检测到无雷 10 26 36 总计 50 50 100 (2)对任意一次测试，证明：． (3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果． 【答案】(1)；． (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可； （2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可； （3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可. 【详解】（1）， ． （2）， 要证明， 需证明． 等式右边： ． 等式左边： 因为， 所以 ． 等式左右两边相等，因此成立． （3）由（2）得，因为， 所以（1）中机器人的检测效果一般． 7．（23-24高二上·山西朔州·开学考试）某校20名学生的数学成绩和知识竞赛成绩如下表： 学生编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数学成绩 100 99 96 93 90 88 85 83 80 77 知识竞赛成绩 290 160 220 200 65 70 90 100 60 270 学生编号i 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 数学成绩 75 74 72 70 68 66 60 50 39 35 知识竞赛成绩 45 35 40 50 25 30 20 15 10 5 计算可得数学成绩的平均值是，知识竞赛成绩的平均值是，并且，，. (1)求这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数（精确到0.01）； (2)设，变量和变量的一组样本数据为，其中两两不相同，两两不相同.记在中的排名是第位，在中的排名是第位，.定义变量和变量的“斯皮尔曼相关系数”（记为）为变量的排名和变量的排名的样本相关系数. （i）记，.证明：； （ii）用（i）的公式求得这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的“斯皮尔曼相关系数”约为0.91，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势. 注：参考公式与参考数据. ；；. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用相关系数的公式进行计算即可； （2）（i）根据题意即相关系数的公式进行计算即可证明；（ii）只要能说出斯皮尔曼相关系数与一般的样本相关系数相比的优势即可. 【详解】（1）由题意，这组学生数学成绩和知识竞赛成绩的样本相关系数为 ； （2）（i）证明：因为和都是1，2，，的一个排列，所以 ， ， 从而和的平均数都是． 因此，， 同理可得， 由于 ， 所以. （ii）这组学生的数学成绩和知识竞赛成绩的斯皮尔曼相关系数是0.91， 答案①：斯皮尔曼相关系数对于异常值不太敏感，如果数据中有明显的异常值，那么用斯皮尔曼相关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系； 答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值无关，只与排名有关．如果一组数据有异常值，但排名依然符合一定的线性关系，则可以采用斯皮尔曼相关系数刻画线性关系． 【点睛】方法点睛；新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 8．（2024·江苏南京·二模）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中.而在维空间中，以单位立方体的顶点坐标可表示为维坐标，其中.现有如下定义：在维空间中，，两点的曼哈顿距离为 (1)在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率； (2)在维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离 （i）求出的分布列与期望； （ii）证明：随机变量的方差小于. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题意结合古典概型的概率公式求解； （2）（i）对于的随机变量，所对应情况数为种，从而可求出所对应的概率，进而可求出的布列与期望；（ii）先求出，然后根据化简可证得结论. 【详解】（1）记“所取两点的曼哈顿距离为1为事件A”，则 答：所取两点的曼哈顿距离为1的概率为. （2）（i）对于的随机变量，在坐标与中有个坐标值不同，即，剩下个坐标值满足. 此时所对应情况数为种.即 故分布列为： 1 2 … … 数学期望 倒序相加得， 即. （ii） ， 设， 两边求导得，， 两边乘以后得，， 两边求导得，， 令得，， 所以 ． 【点睛】关键点点睛：此题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查离散型随机变量的方差，第（2）问解题的关键是根据题意求出时所对应情况数为种，考查计算能力，属于较难题. 9．（23-24高二下·浙江·期中）假设通过简单随机抽样得到和的抽样数据列联表， 合计 合计 课本中给出统计量计算公式如下： 此处我们把列联表中的，，，称为观察频数，记作，（例如，）， 把，，，称为期望频数，记作， 即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如，）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：（Σ表示对后面的代数式求和） 根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示： 教学方法\成绩级别 低 中 高 总计 传统方法 20 30 50 100 在线学习 35 45 20 100 互动式学习 25 15 60 100 总计 80 90 130 300 (1)已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的、、，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率． (2)（i）求，； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异． 参考数据： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86 【答案】(1) (2)（i）,（ii）存在显著差异 【分析】（1）由条件中概率，代入全概率公式，即可求解； （2）（ⅰ）根据和公式，即可条件中的数据，即可求解； （ⅱ）根据公式，分别计算和，再代入求和，并和临界值比较大小，即可判断. 【详解】（1）记“传统式学习方法中成绩级别为低的同学概率”为事件A， “传统式学习方法中成绩级别为中的同学概率”为事件B， “传统式学习方法中成绩级别为高的同学概率”为事件C， “传统式学习方法中参加数学兴趣小组同学的概率”为事件D． 则， ，． （2）（i）， ； （ii）．， ， ，， ，， ， ， ，， ，， ，，； 所以这三种教学方法对学生数学成绩影响存在显著差异． 10．（24-25高二下·湖北武汉·期中）对于正整数和正整数，现定义函数. (1)当时，分别计算在处的取值； (2)为了研究函数的单调性，现定义差分比； ①证明：当时，； ②对于任意正整数，当取到最大值时，求正整数. 【答案】(1)，，， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题意依次计算； （2）①根据题意得，即可证明； ②由①可知，对于任意正整数，在时，严格递减，在时，严格递增，接着分为偶数和奇数进行研究即可. 【详解】（1）由题意，，，， . （2）① ，即 当时，. ②由①可知，对于任意正整数，， 即在时，严格递减. 当时，，， 即在时，严格递增. 故对于任意正整数，总在附近取到最大值. 当为偶数时，设，此时，故仅比较与的大小， ， 当时，取到最大值； ②当为奇数时，设，此时， 当时，仅比较与的大小， ， 当时，仅有. 故当时，取到最大值； 综上，当取到最大值时，. 【点睛】方法点睛：对于新定义题型，一般分为以下几步： （1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法，有时能够追求临近的知识点，明确它们的共同点与不同点； （3）对新定义中提取的知识进行变换，有效的输出；假如是新定义的运算，直接依据运算法则计算即可； 假如是新定义的性质，一般要判断性质的合用性，可否利用定义的外延. 11．（24-25高二上·河北保定·开学考试）如果离散型随机变量的取值为，离散型随机变量的取值为，，则称为二维离散型随机变量.称取，的概率为的联合分布律.记分别称为关于和关于的边缘分布律.用表格形式表示如下： 边缘分布律 边缘分布律 1 (1)现袋中有质地大小均相同的2只白球，3只黑球，现先后随机摸球两次，定义分别求有放回和不放回取球下的联合分布律和边缘分布律（表格形式表示）； (2)若二维离散型随机变量的联合分布律与边缘分布律满足则称随机变量与相互独立. （i）那么（1）中有放回和不放回取球下的（）是否相互独立并说明理由； （ii）证明：若与相互独立，则分布律中任意两行（或任意两列）对应成比例. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）有放回与相互独立，不放回与不是相互独立，理由见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）由定义计算二维离散型随机变量的联合分布律和边缘分布律，列出表格； （2）（i）由相互独立的定义验证数据即可；（ii）由二维离散型随机变量与相互独立，满足，验证分布律中任意两行（或任意两列）比例相同即可. 【详解】（1）有放回取球下的联合分布律和边缘分布律； ， ， ， 0 1 边缘分布律 0 1 边缘分布律 1 不放回取球下的联合分布律和边缘分布律； ， ， ， 0 1 边缘分布律 0 0.3 0.3 0.6 1 0.3 0.1 0.4 边缘分布律 0.6 0.4 1 （2）（i）由（1）知有放回取球下的联合分布律和边缘分布律中， ， ， 经检验，满足. 所以与相互独立. 在不放回摸球联合分布律中， ，不满足满足，，则与不是相互独立. （ii）任取分布律中的一行为， 另一行为，其中 因为二维离散型随机变量与相互独立，的联合分布律与边缘分布律满足， 所以 因为 所以，则分布律中任意两行对应成比例. 同理可证分布律中任意两列也对应成比例. 【点睛】方法点睛：解决“新定义”问题的方法： 在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决! 12．（2025高二·全国·专题练习）错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利-欧拉的装错信封问题.现在定义错排数为将共个元素排列在共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为，，）.容易得到，，，，规定. (1)计算，. (2)记，的前项和为，证明：. (3)定义错排概率为随机将共个元素排列在共个位置上，其中恰有个元素不在其对应位置上的概率，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）有种排法, 讨论的排法，进而讨论可得的排法，从而可求，类似可求得. （2）得到的通项，转化要证明的等式，根据（1）的提示，寻找递推关系，进而运算可得结论； （3）由定义得到与之间的关系，寻找与的关系，变形并求的表达式，运算可得结论. 【详解】（1）可以排在上，有种排法.不妨设排在上，接下来讨论. 当排在上时，剩下两个元素的排法有（种）. 当不排在上时，可以排在上，有种情况. 若排在上，剩下两个元素只有1种排法. 所以. 可以排在上，有种情况. 不妨设排在上，接下来讨论， ①当排在上时，剩下三个元素分别不排在上，则的不同排法有（种）. ②当不排在上时，可以排在上，有种排法. 若排在上，接下来讨论. （i）当排在上时，剩下两个元素的排法有（种）； （ii）当不排在上时，可以排在上，有种排法，剩下两个元素只有1种排法. 故. （2）当时，，满足. 当时，要证明，只需证明， 所以只需证明，. 当时，，成立. 回到定义，当时，对于，不妨从开始排列， 设排在上，有种排法.接下来讨论， ①当排在上时，剩下共个元素分别不在上，共有种排法. ②当不排在上时， 因为分别不在上， 所以共个元素分别不在上， 共有种排法. 所以. （第（1）问中对于的递推关系以及证明有所提示，， ，可以从第（1）问的计算方法入手，得出递推关系） 所以，， 即，. 综上，成立. （3）根据定义，. 先从个元素中选出个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上， 所以.（由于在第（2）问中已求出的递推关系，因此可以尝试由此得到的表达式） 所以. 不妨记， 则，且，，， 得， 则，（难点：将递推关系转化为容易处理的等比数列形式） 故是等比数列，且公比为， 又，所以， 变形得，（难点：同时除以，使其结构上易于处理） 则当时，，，，， 累加得， 经检验也符合上式， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算，使得问题得以解决. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$