精品解析：四川省泸州市泸县普通高中共同体2024-2025学年高二下学期期中联合考试数学试题

泸县普通高中共同体2025年春期高二半期联合考试 数学试题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2.选择题答案使用铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，且，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 2. 双曲线的一条渐近线斜率可以为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A 4 B. 5 C. 6 D. 5. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 6. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最大值 B. 在区间上单调递减 C. 处取得极大值 D. 在区间上有2个极大值点 7. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题：本题共3.小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A B. 取最小值时 C. 数列是等差数列 D. 10. 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（ ） A. 第一组的频率为0.1 B. 该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C. 如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D. 在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减，则 B. 当时，若有2个零点，则实数或 C. 当时，若，则 D. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的导函数为，则______. 13. 记为等差数列的前项和，若，则__________． 14. 在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的最大值. 16. 如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 17. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，记数列的前项和. 18. 已知函数． （1）讨论单调性； （2）当时，证明； （3）若对任意不等正数，总有，求实数的取值范围． 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. （1）求曲线的方程； （2）为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸县普通高中共同体2025年春期高二半期联合考试 数学试题 数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2.选择题答案使用铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效. 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在数列中，，且，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到为公比为2的等比数列，从而求出答案. 【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列， 所以. 故选：C 2. 双曲线一条渐近线斜率可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出给定的双曲线渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的渐近线的斜率为或. 故选：C 3. 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则点的横坐标为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点的横坐标为，根据抛物线定义即可求解. 【详解】抛物线的焦点，设点的横坐标为， 由得, 故选：A. 4. 如图，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，计算可求数量积. 【详解】 . 故选：B. 5. 已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心、半径及圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆C：的圆心，半径， 圆心C到直线l的距离， 所以. 故选：C 6. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在处取得最大值 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在区间上有2个极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的符号确定函数的单调性，由此确定函数的极值. 【详解】由导函数的图象可知： 0 0 非负 递增 极大值 递减 极小值 递增 故选：C 7. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故选：A 8. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”结合递推关系，利用规律求解即可 【详解】, 可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列， 因为， 所以， 故选：B 二、多选题：本题共3.小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 取最小值时 C. 数列是等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的前项和公式，结合等差数列逐项分析求解. 【详解】对于A，当时，， 而满足上式，因此，A正确； 对于B，由选项A知，数列单调递增，由，得，即数列前5项均为负数， 第6项为0，从第7项起为正数，取最小值时或，B错误； 对于C，，数列是等差数列，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：ACD 10. 某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过的部分按照平价收费，超过的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组，，…，制作了频率分布直方图，下列说法正确的有（ ） A. 第一组的频率为0.1 B. 该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25 C. 如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量（吨）的最低标准的估计值为2.7 D. 在该样本中月均用水量少于1吨的6个居民中用随机抽样的方法抽取2人，则抽到的2人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的频率分布直方图，结合众数、百分位数判断ABC；求出概率判断D. 【详解】对于A，第一组的频率为，A错误； 对于B，样本数据在区间的频率最大，该市居民月均用水量的众数的估计值为2.25，B正确； 对于C，样本数据小于2.5的频率， 样本数据小于3的频率， ，由，解得吨， 因此月均用水量的标准定为吨，C正确； 对于D，月均用水量在的人数为：人，记为，， 月均用水量在的人数为：人，记为，，，， 从此人中随机抽取两人所有可能的情况有：,,,,,,,,,,,,,,，共种， 其中月均用水量都在的情况有：,,,,,，共种， 因此两人月均用水量都不低于吨的概率：，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减，则 B. 当时，若有2个零点，则实数或 C. 当时，若，则 D. 若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用给定单调区间求出范围判断A；把代入，求出极值，结合零点个数判断B；求出单调区间判断C；求出对称中心判断D. 【详解】对于A，由函数在上单调递减，得，， 则，而函数在上单调递增，当时，，因此，A正确； 对于B，当时，，当或时，；当时，， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 又有2个零点，因此或，即或，B正确； 对于C，由选项B知在上单调递增，，则，C错误； 对于D， ，则函数的图象关于点成中心对称， 由直线与曲线有3个不同的交点，且，得点， 即，，D正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的导函数为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出代入可得答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 13. 记为等差数列的前项和，若，则__________． 【答案】63 【解析】 【分析】先由等差数列的通项公式结合题意求出，再由等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得， 解得，所以. 故答案为：63. 14. 在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值______________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果． 【详解】由整理得，即，又， 故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得, 不等式，可化为， 令，当时，； 当时，，， 故当时，单调递减，故， 综上，， 所以，故最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的最大值. 【答案】（1）调递增区间为，单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式即得. （2）利用导数求出最大值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得函数在上单调递增，在上单调递减， 而，则， 所以在区间上的最大值为. 16. 如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角余弦值. 【答案】（1）证明见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）以D为原点建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，再利用空间向量求出线面角的正弦即可. 【小问1详解】 在三棱柱中，由底面,平面，得， 由为等边三角形，为的中点，得， 而平面，所以平面. 【小问2详解】 取中点，连结，由为的中点，得， 由（1）知平面，平面，则，而， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， ，，设平面的法向量， 则 ，令，得，而， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 17. 已知数列满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设，记数列前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得出，再利用等差数列的定义可得答案； （2）利用裂项相消求和可得答案； （3）利用错位相减求和可得答案. 【小问1详解】 由已知得， 由得， 即，又， 所以数列是以为首项为公差的等差数列， ， 即； 【小问2详解】 由（1）， 所以 ； 【小问3详解】 因为， 所以， ， 两式相减可得 ， 可得. 18. 已知函数． （1）讨论单调性； （2）当时，证明； （3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据正负可得单调性； （2）由（1）可知，可知需证，将不等式转化为；令，利用导数可求得，由此可得结论； （3）设，将已知不等式转化为，从而可构造函数，知在上单调递增，即恒成立；采用分离变量的方法得到，利用导数可求得在上的最大值，根据可求得结果. 【小问1详解】 由题意得：定义域为，； 当时，，，在上恒成立， 在上单调递增； 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知：； 要证，只需证，即证； 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 又，，即. 【小问3详解】 不妨设，则由得：， 即， 令，则在上单调递增， 在上恒成立， 即，又，； 令，则， 令，解得：（舍）或， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，，解得：； 的取值范围为. 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）. （1）求曲线的方程； （2）为曲线与轴的交点，过点作直线交于两点（与，不重合），直线与交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，并表示出点的坐标，利用坐标代换法求出轨迹方程. （2）（i）设出直线的方程，与的方程联立，利用直线的点斜式方程，结合韦达定理计算推理得证；（ii）由（i）及已知求出点的坐标，进而求出直线方程，再与的方程联立求出的坐标即可. 【小问1详解】 设点的坐标为，由轴于，为线段的中点，得点， 由点在圆上，得，即， 所以点的轨迹的方程是. 【小问2详解】 （i）由（1）不妨令，直线不垂直于轴， 设直线，， 由，得，由，得或， 则，， 直线方程，直线方程为， 联立消去，得， 解得，所以点在直线上. （ii）由，得，则点在以为直径的圆上， 设，则，解得，即， 于是直线的方程为，由消去得， 而点横坐标为，则点横坐标，纵坐标， 所以直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$