19.3矩形菱形正方形讲义2024-2025学年 沪科版八年级数学下册

19.3矩形、菱形、正方形导学案 一、矩形： （1）、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. （2）、性质： 矩形的性质1：矩形的内角都是直角。 矩形的性质2：矩形的对角线相等. 矩形对角线相交所形成的4条较短线段相等； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 1、如图，在矩形中，以点，以点，连接的度数。 解：由题意可知 是等腰直角三角形， 则. 由知 ， 则. 2、如图，矩形 的中点。求证：。 证明:∵四边形是矩形， ∴. ∵点的中点， ∴. 又∵， ∴， ∴ 3.如图，在 。 证明：在的中线， ∴。 又∵， ∴， ∴。 【变式演练】如图，在交。 证明:取如图所示. 在中， 线， ∴， ∴， ∴， ∴ 4、如图,在矩形若的长. 解:在矩形. ∵，∴， ∴ , ∴∠ 在中, ∴. 又∵， ∴ 5、如图，∠ABC∠ADC90°，M，N分别是AC，BD的中点。连接BM，DM。 求证：(1)BMDM. (2)MN⊥BD. 证明:(1)∵∠ABC∠ADC90°，M是AC的中点, ∴BMDMAC. (2)∵N是BD的中点，BMDM，∴MN⊥BD. 6、如图，四边形ABCD是矩形，分别以BC、CD为一边作等边△BCE和等边△CDF，点E在矩形上方，点F在矩形内部,连接AE、EF。 (1)求∠ECF的度数. (2)求证：AEEF. 解:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BCD90°. ∵△BCE和△CDF是等边三角形, ∴∠BCE∠DCF60°， ∴∠BCF90°∠DCF30°，∠ECF∠BCE∠BCF30°。 (2)证明:∵△BCE和△CDF是等边三角形， ∴BECE，ABCDCF。 又∵∠ABE90°∠EBC30°∠ECF， ∴△EBA≌△ECF(SAS)，∴AEEF。 （3）判定： 判定一个四边形是矩形的方法有： ①两组对边分别平行有一个角是直角；②两组对边分别相等有一个角是直角；③一组对边平行且相等有一个角是直角；④对角线互相平分有一个角是直角。 判定定理1：有一个角是直角平行四边形是矩形。 判定定理2：三个角是直角的四边形是矩形。 7、如图,在▱。求证：四边形是矩形。 证明：∵四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形。 又∵， ∴∠， ∴四边形矩形。 8、如图，四边形、 ，分别与。求证：四边形是矩形. 证明：由题意可知 ， ∴， 同理， ∴四边平行四边形。 ∵， ∴∠， ∴平行四边形是矩形。 【变式演练】如图，的中位线，连接。 证明:∵中位线, ∴， ∴四边是平行四边形。 又∵∠， ∴四边形是矩形， ∴。 9、如图，在平行四边. (1)若，求证： (2)若矩形. 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴∠∠ ∵，∴∠∠90°。 在△中， ∴△， ∴。 (2)∵四边形是平行四边形, ∴. ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形。 10、如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE，DC相交于点O，连接DE。求证：四边形ACED是矩形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，ADBC，ABCD. ∵CEBC， ∴ADCE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形. ∵ABCD，AEAB， ∴AECD， ∴四边形ACED是矩形。 11、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，O为BC的中点，OE平分∠AOB，与AB相交于点E，OD平分∠AOC，与AC相交于点D。求证：四边形ADOE为矩形，并求四边形ADOE的周长。 解:∵∠BAC90°，O为BC的中点。 ∴OABCOBOC. ∵OE平分∠AOB，OD平分∠AOC, ∴OE⊥AB，AEBE，ADCD，OD⊥AC， ∴∠AEO∠ADO90°, ∴四边形ADOE为矩形， ∴AEOD，ADOE。 又∵AB8，AC=6，∴ODAEAB4，OEADAC3， ∴四边形ADOE的周长2(ADAE)2(34)=14. 12、如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG=AE，连接CG。 求证：△ABE≌△CDF. (2)当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由。 解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ABCD，AB∥CD，OBOD，OAOC， ∴∠ABE∠CDF. ∵E，F分别为OB，OD的中点， ∴BEOB，DFOD， ∴BEDF。 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)当AC2AB时，四边形EGCF是矩形.理由如下： ∵AC2OA，AC2AB， ∴ABOA。 ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG90°. 同理CF⊥OD， ∴AG∥CF. ∴EG∥CF. ∵EGAE，OAOC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF是矩形。 二、菱形 （1）导入： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分. 当平行四边形的角特殊化时，会产生特殊的平行四边形————矩形； 当平行四边形的边特殊化时，会产生特殊的平行四边形————菱形。 （2）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. （3）性质：菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直， 并且每一条对角线平分一组对角. 菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形. 菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴. 13、已知菱形的两条对角线长分别为a，b，求菱形的面积. 解：如图，设菱形， ， . ∵ 四边形是菱形， ∴ . ∴ 𝑂C 14、在菱形，求菱形的面积. 解：如图，四边形是菱形， ， 则. ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ 菱形的面积BD=4 . 15、在菱形， 求对角线的长. 解：∵ 四边形是菱形， ∴ . ∵， ， ∴ . ∴. 16、如图,四边形ABCD是菱形,点E、F分别在边AB、AD的延长线上,且BE=DF，连接CE、CF.求证:CECF. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=CD，∠ABC=∠ADC。 ∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ADC+∠CDF=180°， ∴∠CBE=∠CDF. 在△CDF和△CBE中, ∴△CDF≌△CBE(SAS), ∴CE=CF. 17、如图,在菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF,交AB于点M，交CB的延长线于点F。如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长。 解：如图，连接BD. ∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC,AC⊥BD. 又∵EF⊥AC，∴BD∥EF, ∴四边形EFBD为平行四边形, ∴FBED2. 又∵E是AD的中点， ∴AD2ED4。 ∴菱形ABCD的周长为4416。 18、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC使得DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F. (1)求证：OE=CD. (2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长。 解:(1)证明:在菱形ABCD中，OC=AC，∴DE=OC. ∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形. 又∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∴OE=CD. (2)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴ACAB2. ∴在矩形OCED中，CEOD， 在Rt△ACE中，AE。 19、如图,在菱形ABCD中，AB4，∠BAD=120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合。 (1)求证：BE=CF。 (2)当点E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化?如果不变，说明理由。 解:(1)证明：∵在菱形ABCD中，∠BAD120°， ∴∠B60°，∠BAC∠BAD60°， ∴△ABC为等边三角形，则ABBCAC. ∵△AEF为等边三角形， ∴AEAF，∠EAF60°， ∴∠BAC∠EACEAF∠EAC，即∠BAE∠CAF， ∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF。 (2)四边形AECF的面积不会发生变化，理由如下： ∵△BAE≌△CAF，∴S△ABES△ACF， ∴S四边形AECFS△AECS△ACFS△AECS△ABES△ABC。 ∵△ABC的面积是定值，∴四边形AECF的面积不会发生变化。 （4）菱形的判定 菱形的判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 菱形的判定2：四条边相等的四边形是菱形. 20、已知线段，你能用尺规作图的方法作一个菱形，使为菱形的一条对角线吗？ 分别以交于点、，依次连接四点. 菱形的判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. (对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.) 21、一个平行四边形的一条边长是，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？ 解：这是一个特殊的平行四边形，是菱形. 理由如下：如图，在中， . ∵四边平行四边形， ∴ . ∵ ，即 ∴ 是直角三角形. ∴. ∴是菱形. 22、已知：如图，两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，求证：重合部分为菱形. 解：作， ∵， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 两条等宽的长纸条倾斜地重叠着， ∴. 又∵， ∴ ， ∴四边形是菱形. 23、如图,在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，EF与AB的延长线交于点E，与CD的延长线交于点F。 求证：四边形AECF是菱形。 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OAOC，∴∠AEO∠CFO. 在△AOE和△COF中， ∠AEO∠CFO，∠AOE∠COF，OAOC， ∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE=OF， 又∵EF⊥AC，OAOC，∴AC与EF互相垂直平分， ∴四边形AECF是菱形. 24、如图,菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，点E在线段OB上(不与点B，点O重合)，点F在线段OD上，且DF=BE，连接AE，AF，CE，CF。 (1)求证：四边形AECF是菱形。 (2)若AC=4，BD=8，当BE=3时，判断△ADE的形状，说明理由。 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AOCO，BODO。 ∵BEDF， ∴BOBEDODF，即OEOF。 ∵AO=CO， ∴四边形AECF是平行四边形。 ∵AC⊥BD， ∴四边形AECF是菱形。 (2)△ADE是直角三角形. 理由：∵AC=4，BD=8，AO=CO，BO=DO， ∴AO2，BODO4。 ∵BE3， ∴OE431，DEDOOE415, 在Rt△AOD中，由勾股定理得AD2=AO2+DO2=22+42=20。 在Rt△AOE中，由勾股定理得AE2=AO2+OE2=22+12=5， ∵DE25225， ∴AD2AE2DE2 ∴∠DAE90°。 即△ADE是直角三角形。 25、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE。 求证：四边形AEPQ为菱形。 (2)当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半? 解：(1)证明：∵EF∥AB，PQ∥AC， ∴四边形AEPQ为平行四边形。 ∵AB=AC,AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠BAD, 又∵EF∥AB，即∠BAD=∠EPA， ∴∠CAD=∠EPA，∴AE=PE，∴平行四边形AEPQ为菱形。 (2)P为EF的中点时，S菱形AEPQ=S四边形EFBQ. ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ。 ∵AD是等腰△ABC的角平分线， ∴AD是BC边上的高，即AD⊥BC，∴EQ∥BC。 又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形，并与菱形AEPQ等高。 当点P为EF的中点时，菱形AEPQ面积是▱EFBQ面积的一半。 三、正方形 （1）定义：有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.  正方形是在平行四边形这个前提下定义的,其定义包括两层意思： 有一个角是直角的平行四边形(矩形)且有一组邻边相等→正方形 ； 有一组邻边相等的平行四边形(菱形)且有一个角是直角→正方形 。 （2）性质 正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。 26、如图,在正方形分别在； ④。 其中正确结论的序号是①②④ 　 　(把你认为正确的都填上).  27、如图，以锐角三角形和正方形。 求证:. . 证明: (图略). ∵四边形为正方形， ∴， ∴∠∠∠∠，即∠∠。 ∴△，∴. (2) 由，则∠∠. 又∵∠∠，∠∠， ∴∠∠，∴∠°，即。 28、如图，在边长点，且，点周长的最小值。 解：如图，连接。 ∵四边正方形， ∴点称， ∴最小值。 ∵， ∴。 ∵，∴， ∴△周长的最小值。 29、如图,在正方形是等边三角形，连接。 (1)求证：. (2)若的长. 解:(1)证明：∵四边正方形， ∴，∠∠， ∵△等边三角形， ∴， 在， ∴， ∴。 又∵， ∴， ∴。 ， ∴△为等腰直角三角形。 ∵四边形正方形， ∴∠， ∴点，。 ∵△， ∴。 在中，由勾股定理得 DG ， ∴。 （3）正方形的判定 判定一个四边形是正方形的方法： 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 矩形、菱形法：先证明四边形是矩形(或菱形)，再证明它是菱形(或矩形)。 矩形法：有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法：有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 利用正方形的定义证明一个四边形是不是正方形。 30、如图，在，外角平分线，，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论。 解：四边形是正方形. 证明如下: ∵， ∴∠∠. ∵∠，角平分线， ∴∠. ∴∠ ∵， ∴∠∠，∴四边形是矩形. ∵∠°，∠°，∴∠∠°， ∴，∴四边正方形. 利用正方形的对角线判定一个四边形是不是正方形。 31、如图,有四个动顶点出发,沿着各点移动. 试判断四边形是否是正方形，并证明. 是否总过某一定点，并说明理由. 解：是正方形. 证明:在正方， ∵，∴. 又∵∠∠∠∠， ∴△. ∴，∠∠，∴四边形是菱形. ∵∠，∴四边形方形. (2)的中点. 理由如下：如图. ∵， ∴四边平行四边形。 ∵中点， ∴的中点。 32、点 DD'。求证：四边形A'B'C'D'是正方形。 证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以 ABBCCDDA. 又 ∵ AA' BB' CC'DD'， ∴ D'AA'BB'C C'D. ∵ ∠A∠B∠C∠D90°， ∴ △AA'D'≌△BB'A' ≌△CC'B'≌△DD'C'. ∴ A'B'B'C'C'D'D'A'. ∴ 四边形A'B'C'D'是菱形. 又 ∵ ∠1∠3，∠1∠290°， ∴ ∠2∠390°. ∴ ∠D'A'B'90°. 所以四边形A'B'C'D'是正方形. 33、如图，垂直平分线。求证：四边正方形。 证明:∵， ∴， ∴∠∠，∠∠。 又∵∠，∠， ∴∠∠∠∠， ∴∠，∠∠， ∴四边形AEDF为矩形。 又∵∴矩形为正方形。 34、如图，四边形到点。求证：四边形是正方形。 证明：∵四边是正方形， ∴， ∵， ∴， 在△中， ∴△)， ∴∠∠， ∴∠， 同理可得△△△△， ∴， ∴四边形方形。 35、在一次数学抢答题环节中，同学们遇到这样一道判断正误题：①一组邻边相等的矩形是正方形；②两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形；③对角线相等的菱形是正方形；④有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形。 学科网（北京）股份有限公司 $$