第11章 反比例函数几何综合讲义2024-2025学年苏科版数学八年级下册

专题 反比例函数几何综合讲义 类型一、折叠问题 ( 典型例题 ) 例题1．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象分别交于A，B两点，以为斜边向外作等腰直角三角形，然后将沿直线折叠，点C的对应点刚好落在x轴上，若点的坐标为，点B的纵坐标为2，则该反比例函数表达式中k的值为（    ）    A． B． C．3 D． ( 巩固练习 ) 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，将过点D的双曲线沿y轴对折，得到双曲线，则的值是（    ） A．-4 B．4 C．-8 D．8 2．如图，点A在第一象限，作轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过AB的中点C，过点A作轴，交该函数图象于点是AC的中点，连结OE，将沿直线OE对折到，使恰好经过点D，若，则k的值是 ． 3．如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E． （1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标． 类型二、平移问题 ( 典型例题 ) 例题2．如图，在平面直角坐标系中，的一条边在y轴上，，，将向右平移，某一时刻，反比例函数的图象恰好经过点A和的中点C，则k的值为（        ） A．4 B．5 C．6 D．7 ( 巩固练习 ) 4．如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B，连接AC，AB，则△ABC的面积为 ．    6．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B与原点重合，点A，C分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，将正方形沿x轴正方向平移4个单位长度后得到正方形，已知正方形的边长为2，E为的中点，反比例函数的图象恰好经过点E． (1)求反比例函数的表达式． (2)若反比例函数的图象与正方形的边交于点，连接，，求的面积． (3)连接，判断点E是否在线段上，并说明理由． 类型三、旋转问题 ( 典型例题 ) 例题3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、B的坐标分别是，将绕点O逆时针方向旋转，得到，函数（）的图象过的中点C，则k的值为（    ）    A．4 B． C．8 D． ( 巩固练习 ) 7．如图，直线与轴、轴分别相交于点A、，过点作，使．将绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2024次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A．6 B． C． D．4 8．如图，点A在反比例函数（k＞0， x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将△ABC绕点A旋转180°得到△AED，点C的对应点D恰好落在函数图象上．若△BOC的面积为6，则k的值为 ． 9．（1）如图1，四边形ACDE中，△ABC与△BDE均为直角三角形，且AB⊥BE，∠BEA＝45°，求证：△ABC≌△BED． （2）如图2，点A（1，2），连结OA，将射线OA绕点O按逆时针方方向旋转45°．得到射线OB，AC⊥OA交OB于点C，分别过点A，点C作x轴，AD的垂线，垂足分别为D，E，由（1）得　 　（填写两个三角形全等），所以CE＝　 　，AE＝　 　，C的坐标为　 　，则直线OB的解析式为　 　． （3）如图3，点A（3，3）在反比例函数y＝的图象上，B（0，2）作射线AB，将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象的另一支于点C，求点C的坐标 类型四、最值问题 ( 典型例题 ) 例题4．如图，一次函数y＝x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B． （1）写出反比例函数的解析式：　　 ； （2）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC； （3）若在y轴上存在一点D，使得BD+CD的值最小，求出点D的坐标． ( 巩固练习 ) 10. 如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（m，﹣4）． （1）求反比例函数与一次函数y＝ax+b的解析式． （2）结合图象，请直接写出不等式的解集． （3）在y轴上是否存在一点P，使得△PAC周长最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 11．如图所示，直线y＝﹣x+1与反比例函数的图象交于点A，与y轴交于点B，过A作AD⊥x轴于点D，且． （1）求反比例函数的解析式； （2）设点P（a，0）是x轴上一点，是否存在a，使得|PA﹣PB|最小？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，已知点，，且，是关于的方程的两个根，点是的中点，连接． (1)求点的坐标； (2)若反比例函数的图象经过点，点为轴上一点，点为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图，在线段上取点，使得，是线段上的一动点，是双曲线与线段的交点，且满足，当取得最小值时，求的值 类型五、等腰三角形存在性问题 ( 典型例题 ) 例题5．如图，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）． （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式； （2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）连接AO、BO，求△ABO的面积； （4）在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． ( 巩固练习 ) 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（m，2），点B，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P是y轴一个动点，且△ACP是AC为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数在第一象限内的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． (1)求反比例函数的解析式和点E的坐标； (2)若一次函数与反比例函数在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式的解集． (3)x轴上是否存在点P使得为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由； 15．（2023•绵阳）如图，过原点O的直线与反比例函数（k≠0）的图象交于A（1，2），B两点，一次函数y2＝mx+b（m≠0）的图象过点A与反比例函数交于另一点C（2，n）． （1）求反比例函数的解析式；当y1＞y2时，根据图象直接写出x的取值范围； （2）在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 类型六、等腰直角三角形存在性问题 ( 典型例题 ) 例题6．如图，反比例函数的图象经过点，直线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），AD⊥y轴，垂足为D． （1）求反比例函数表达式； （2）过B作BH⊥AD于H，试判断△ABH是否为等腰直角三角形？并说明理由． ( 巩固练习 ) 16.如图，直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B，交反比例函数（k≠0）于点P（第一象限）．若点P的纵坐标为2，且∠BAO＝45°． （1）求出反比例函数（k≠0）的解析式； （2）过线段AB上一点C作x轴的垂线，交反比例函数（k≠0）于点D，连接PD，当△CDP为等腰直角三角形时，求点C的坐标． 17．已知一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，交y轴于点C． (1)当A点的横坐标为4时，求反比例函数的表达式和点B的坐标； (2)在（1）的条件下，若点A关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：点P在y轴上，是否存在一点P，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点P．若存在，求出P点坐标及此时的k值；若不存在，请说明理由． 类型七、直角三角形存在性问题 ( 典型例题 ) 例题7．如图矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，C． （1）求反比例函数的表达式及点E的坐标． （2）若点F是OC边上的一点，且△BCF为等腰三角形，求直线FB的表达式． ( 巩固练习 ) 18．如图，在平行四边形ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标． 19．如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为﹣2． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，连接PA、PB，当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时，直接写出点P的坐标． 20．如图，一次函数y1＝k1x+b（k≠0）和交于A（1，6）、B（3，m）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图形，请直接写出y1＜y2时，x的取值范围； （3）在y轴上取一点P，连接PA、PB，请问△ABP能否恰好构成直角三角形？如能，请求出P点坐标；如不能，请说明理由． 类型八、平行四边形存在性问题 ( 典型例题 ) 例题8．如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（4，2），B（﹣1，n）两点． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标． ( 巩固练习 ) 21．如图，正比例函数y＝4x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，4），点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C（2，0）． （1）求反比例函数解析式； （2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 22． 如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y经过C、D两点． （1）a的值为 ，b的值为 ； （2）求k的值； （3）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶边的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点P、Q的坐标． 23．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y经过C、D两点． （1）a＝ ，b＝ ； （2）求反比例函数表达式； （3）点P在双曲线y上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标； （4）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，直接写出其变化范围；若不改变，请直接写出其值． 类型九、面积问题 ( 典型例题 ) 例题9．如图，点，在反比例函数的图象上，连接． (1)求反比例函数的解析式和m的值． (2)在直线l（直线l上各点的纵坐标均为）上是否存在一点P，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标． ( 巩固练习 ) 24．如图，矩形ABEF与反比例函数（k≠0，x＞0）的图象相交于C、D两点，点C的坐标为（m，2），点D的坐标为（1，m+3）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若AB＝8，在反比例函数的图象上是否存在一点P（点P不与点C重合），使得△PFC的面积是矩形面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，直线y＝ax+b（a，b为常数，且a≠0）与双曲线相交于A（1，m），B（6，m﹣5）两点，作AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点C． （1）求直线AB和该双曲线的表达式； （2）在线段CD上是否存在一点M，使△ABM的面积等于7？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）请直接写出关于x的不等式的解集． 参考答案 类型一、折叠问题 ( 典型例题 ) 例题1．B 【分析】利用全等求出点的横坐标，利用、两点都在反比例函数上，可知点，，利用建立关于的一次方程即可求出． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为，    ， ， ， ，，， ， ，， 点、点在反比例函数图象上，点的坐标为，点的纵坐标为2． ，，， ， ， 解得． 故选：． 【点拨】本题考查反比例函数背景下的折叠问题，运用全等和函数关系式建立关于的方程是本题的关键． ( 巩固练习 ) 1．B 【分析】过点D作x轴的垂线交于点E，根据直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出点和点坐标，根据正方形的性质证明，从而得到点坐标，再根据过点D的双曲线沿y轴对折，得到双曲线，即可求出． 【详解】解：过点D作x轴的垂线交于点E，如图所示： ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴令，可得；令，可得， ∴，， ∴,， ∵四边形ABCD是正方形， ∴,， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴,， ∴， ∵将过点D的双曲线沿y轴对折，得到双曲线 ∴关于y轴的对称点在双曲线上， ∴， 故选B． 【点拨】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、关于y轴对称的点坐标特征、反比例函数图象的性质等知识点，解题的关键是利用正方形的性质构造全等三角形． 2．12 【分析】过D作于F，判定≌△EAG，即可得到AD==BE，依据E是AC的中点，C是AB的中点，即可得到，，设，则，根据反比例函数的图象经过点C点D，可得，求得a的值，进而得到． 【详解】解：如图，过D作于F， 轴，轴， 四边形ABFD是矩形， 由折叠可得，， 又，， ≌， ，， ， 又是AC的中点，C是AB的中点， ，， ，， 设，则， 反比例函数的图象经过点C点D， ， 解得， ， ， 故答案为12． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质的运用，正确掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 3．（1）点E（3，4），过点E的反比例函数的解析式；（2）点D坐标（，） 【分析】（1）由矩形的性质可得两对边分别相等，利用翻折的性质可得OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD，等量代换和等角对等边的性质可得OE＝BE，设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，利用勾股定理可得x的值，继而求得点E坐标，继而设反比例函数解析式，代入即可求解； （2）过点D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，利用三角形等积法求得，利用勾股定理求出，继而即可求解． 【详解】（1）∵长方形OABC中，OA=8，OC=4，∠AOB＝∠CBO ∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4， 由折叠的性质可得：OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD ∴∠CBO＝∠BOD ∴OE＝BE 设CE＝x，则BE＝OE＝8－x， 在Rt△COE中，由勾股定理可得：即 解得： ∴点E（3，4） 设过点E的反比例函数的解析式 将点E（3，4）代入上式可得： ∴ 故过点E的反比例函数的解析式 （2）由（1）知，CE＝3，OE＝BE＝8－CE＝5，DE＝8－OE＝3， 过点D作DF⊥BC， 由翻折的性质可得∠BAO＝∠BDE＝90° ∴ 解得：， ∵在Rt△DEF中，， ∴， ∴， ∴点D坐标（，） 【点拨】本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、反比例函数解析式、等积法，解题的关键是学会做辅助线，求出关键线段的长． 类型二、平移问题 ( 典型例题 ) 例题2．C 【分析】 先求得，，则的中点C的坐标为，得到平移后的相关点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k即可． 【详解】解：由题意得，，则的中点C的坐标为， 设向右平移的距离为a， 则平移后点A的坐标为，点C的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过和， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例图象上点的特征，坐标与图形的变化-平移，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． ( 巩固练习 ) 4．C 【分析】根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和点的坐标，即可确定出a的值． 【详解】解：如图，过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴，过点D作于点F， ，， ，， 四边形为正方形， ，， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， 把C坐标代入反比例函数解析式得：， 反比例函数解析式为， 同理可证 ， ， 把代入反比例函数解析式，解得：，即， 则将正方形沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处， ， 故选：C． 【点拨】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握各个性质是解本题的关键． 5．15 【分析】利用待定系数法可得反比例函数解析式，根据平移表示点坐标，代入反比例函数解析式，可求的值，进而可得点C的坐标，根据对称性，可得点和点关于原点对称，则．如图，连接，待定系数法求直线的表达式为：，进而可得直线与轴的交点坐标为，根据，求的值，进而可得的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； 由平移可知，点C的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴点C的坐标为， ∵经过两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B， ∴点和点关于原点对称，则， ∴， 如图，连接，      设直线的表达式为：， 将，代入得，解得， ∴直线的表达式为：， ∴直线与轴的交点坐标为， ∴， ∴． 故答案为：15． 【点拨】本题注意考查了反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质． 6．(1) (2) (3)点E在线段上．理由见解析 【分析】 （1）由平移的性质及正方形的性质得的长，由点E是中点可求得点E的坐标，用待定系数法即可求解； （2）由题意可得的长，进而求得点F的纵坐标，即可求得的长，最后由三角形面积公式求解即可； （3）由待定系数法求出直线的函数表达式，即可判断点E是否在线段上． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为2， ∴． 由平移的性质，得． ∵E是的中点， ∴． ∴． ∵将点代入反比例函数中，得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由题意，得． 将代入反比例函数中，得． ∴． ∴． ∴． （3）解：点E在线段上．理由如下： 设直线的函数表达式为， 将点，代入中，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 由（1）得点．将代入中，得． ∴点E在直线上． ∵， ∴点E在线段上． 【点拨】本题考查了正方形的性质，平移的性质，反比例函数的图象与性质，待定系数法求反比例函数表达式及一次函数表达式． 类型三、旋转问题 ( 典型例题 ) 例题3．B 【分析】根据旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状，所得图形与原图形全等求得的坐标，的坐标是，进而求得中点C的坐标，然后根据待定系数法求得k的值． 【详解】解：点A、B的坐标分别是， ， ， ， 的坐标为，的坐标是 的中点， 函数（）的图象过的中点C， ， 故选：B． 【点拨】本题考查了坐标与图形的变化----旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，熟练掌握旋转的性质是解题关键． ( 巩固练习 ) 7．B 【分析】过点C作轴，垂足为D，则是等腰直角三角形，根据，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算的余数，确定最后的坐标，利用横坐标纵坐标计算即可． 【详解】如图，过点C作轴，垂足为D，如图所示： 把，代入得：，解得：， ∴， 把，代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴点， 第一次旋转的坐标为，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为，第四次回到起点， ∴每4次一个循环， ∴， ∴第2024次变化后点的坐标为， ∴，故B正确． 故选：B． 【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键． 8．8 【分析】由旋转得到△ABC≌△AED，AC=AD,即点A为CD的中点，设B（0，m），则OB=m，通过面积表示C的坐标，进一步表示出A，D的坐标，将D代入反比例函数，求出k即可． 【详解】∵AB⊥y轴，OC⊥y轴， ∴AB∥OC, ∵△ABC绕点A旋转180°得到△AED， ∴△ABC≌△AED, ∴AC=AD,即点A为CD的中点， 设B（0，m），则OB=m， ∵, ∴, ∴C的坐标为， ∵点A在上，且AB⊥y轴, ∴A的纵坐标为m， ∴A , ∵点A为CD的中点, ∴D，即， ∵D在上，∴， ∴4k-24=k， ∴k=8． 故答案为：8． 【点拨】本题考查了旋转和反比例函数的图象及性质，解题的关键是利用参数表示出图象上的点带入其表达式． 23．（1）；；（2）1；（3）或． 【分析】（1）根据“影射点”的定义，将，绕点旋转180°，根据中心对称即可求得； （2）根据定义，是轴上的点，先确定直线与轴的交点，根据交点互为“影射点”即可求得； （3）根据点是点的“影射点"，是以为直角边的等腰直角三角形，再根据点是反比例函数图像上一点，分类讨论①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为，证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得，②同①的方法，如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为，先求得点的坐标，进而证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得． 【详解】（1）设的坐标是的坐标是， ，绕点旋转180°， ， ，， ， ；， 故答案为：；， （2）根据定义，是轴上的点，设， 点在一次函数，令，得,则与轴的交点为， 其“影射点”在一次函数，令，得，则与轴的交点为， ， 解得：， 故答案为：1， （3）①如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在上， ， 解得 或者， ， ， ， ， ②如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 解得：， ， ，， 即， ， 在上， ， 解得 ． 综上所述，或． 【点拨】本题考查了中心对称的性质，中点坐标，一次函数与坐标轴交点问题，反比例函数的定义，三角形全等的性质与判定，求一个数的平方根，理解题意，数形结合，分类讨论是解题的关键． 9．（1）详见解析；（2）△AEC≌△ODA， 2（或AD），1（或OD），（﹣1，3），y＝﹣3x；（3）（﹣，﹣6）．． 【分析】（1）在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB，即可求解； （2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS），则CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，3），即可求解； （3）利用△AEF≌△FDB求出a＝1，则F（2，1），再求出直线AF的解析式，进而求解． 【详解】（1）∵AB⊥BE，∠AEB＝45°， ∴AB＝BE， ∵∠BED+∠EBD＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°， ∴∠BED＝∠ABC， 在△ABC和△BED中，∠BED＝∠ABC，∠EDB＝∠ACB，BE＝AB， ∴△ABC≌△BDE（AAS）； （2）由（1）同理可得：△AEC≌△ODA（AAS）， ∴CE＝AD＝2，AE＝OD＝1，C的坐标为（﹣1，3）， 则直线OB的解析式为t＝﹣3x； 故答案为：△AEC≌△ODA；2（或AD）；1（或OD）；（﹣1，3）；y＝﹣3x； （3）如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E， 则△ABF为等腰直角三角形， 根据（1）同理可得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a， ∵点A（3，3）和点B（0，2）， ∴DF＝3﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a， ∵AE+OD＝3， ∴3﹣a+2﹣a＝3， 解得a＝1， 则OD＝2﹣1＝1，DF＝3﹣a＝3﹣1＝2， ∴F（2，1）， 设直线AF的解析式为y＝kx+b，则，解得， ∴y＝2x﹣3①， 把点A点坐标代入y＝并解得：k＝9， 故反比例函数的表达式为：y＝②， 联立①②并解得：（舍去）或， ∴C（﹣，﹣6）， 故点C的坐标为：（﹣，﹣6）． 【点拨】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等等，综合性强，难度适中． 类型四、最值问题 ( 典型例题 ) 例题3．解：（1）∵反比例函数过点A（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数的关系式为； 故答案为：； （2）由， 解得或， 又∵A（2，3）， ∴点B（﹣3，﹣2）， 又∵BC⊥x轴， ∴点C（﹣3，0），BC＝2， ∴； （3）作C关于y轴的对称点C′，连接BC′交y轴于点D，连接CD，则C′D＝CD，此时BD+CD最小， ∵C（﹣3，0）， ∴C′（3，0）， 设直线BC′的关系式为y＝mx+n， 将B（﹣3，﹣2），C′（3，0）代入得： ， 解得， ∴一次函数的关系式为， 当x＝0，y＝﹣1， ∴点D（0，﹣1）． 10.解：（1）把A（2，1）代入反比例解析式得：，即k＝2， 则反比例解析式为； ∵点B的坐标为（m，﹣4）， ∴， 解得：， ∴， 把A与B坐标代入一次函数解析式得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝2x﹣3； （2）由（1）得A（2，1），， ∵ax+b，即为直线在反比例函数下面的部分， ∴x或0＜x≤2； （3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′C交y轴于点P，此时三角形PAC周长最小， 根据题意和作图可知A′（﹣2，1），C（，0）， 设直线A′C解析式为y＝mx+n， ，解得， ∴直线A′C解析式为yx， ∴P（0，）． 【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及的知识有：待定系数法确定反比例解析式与一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 11.解：（1）由y＝﹣x+1可得B（0，1），即OB＝1， ∴BODO， ∴OD＝2， ∵AD⊥x轴于点D， ∴点A的横坐标为﹣2， ∵点A在直线y＝﹣x+1上， ∴点A的纵坐标为3，即A（﹣2，3）， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为y（x＜0）． （2）存在a，使得|PA﹣PB|最小，此时点P在线段AB的中垂线与x轴的交点上． ∵点A坐标为（﹣2，3），点B坐标为（0，1）， ∴线段AB的中点Q坐标为（﹣1，2）， 设直线PQ解析式为y＝x+b， 将点Q（﹣1，2）代入，得b＝3， ∴直线PQ的解析式为y＝x+3． 令y＝0，得x＝﹣3， ∴P点坐标为（﹣3，0）， ∴a＝﹣3． 【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，确定点P的位置是解此题的关键． 12．(1)； (2)存在，，，理由见详解； (3)当取得最小值时，的值为． 【分析】（）本题考查解一元二次方程及矩形的性质，解一元二次方程即可得到答案； （）本题考查反比例函数上点围城特殊图形问题，根据中点得到，当以为边时，求出点坐标，结合平行四边形对边想等结合点坐标即可得到答案，当为对角线时，根据直接求解即可得到答案； （）分别表示出所有点，利用两点间距离求得，再理由勾股定理构造图象根据两点之间线段最短求出最小值时得情形即可得解． 【详解】（1）解：解得， ，， ∴，， ∴； （2）解：存在，，，理由如下： 由（）得，将代入得， ，解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上， 当以为边时，如图， 当时，， ∴， ， ∴， 当点P在第三象限时如图，过作， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 当为对角线时如图， ， ， ∴， 综上所述：，，； （3）解：当时，， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长至，使，    ∴， 此时， ∴，， ∴， 如下图，作线段，分别过点、作，，并取连接交于点，则    由勾股定理得 ∴， 当与重合时，即、、三点重合时，取最小值，即取最小值 ∵， ∴ ∴ ∴ 解得：， ∴当取得最小值时，的值为． 【点拨】本题考查解一元二次方程，反比例函数动点围成平行四边形问题及最短距离和问题，解题的关键是求出解析式，表示出动点，分类讨论 类型五、等腰三角形存在性问题 ( 典型例题 ) 例题5．解：（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，∴k＝3， ∵B在y的图象上， ∴n＝﹣3． ∵A（1，3），B（﹣3，﹣1）在一次函数图象上， ∴ 解得m＝1，b＝2． ∴两函数关系式分别是：y和y＝x+2． （2）由图象得：当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）设一次函数y＝x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD＝2， ∵A（1，3），B（﹣3，﹣1） ∴S△DBO＝0.5×3×2＝3，S△DAO＝0.5×1×2＝1 ∴S△ABO＝S△DBO+S△DAO＝4． （4）由图象得，P（0，6）或P（0，）或 P（0， ）或P（0，）． 【点评】解答此题时函数的关系式易求，直接运用待定系数法即可解答．同时要注意反比例函数的图象关于原点对称． 13.解：（1）∵点A（m，2）在一次函数的图象上， ∴m﹣1＝2， 解得m＝6， ∴A（6，2）， ∵A（6，2）在反比例函数的图象上， ∴2， 解得k＝12， ∴反比例函数的解析式为y； （2）∵直线AB的解析式为， ∴当x＝0时，y＝﹣1， ∴C（0，﹣1）， ∵A（6，2）， ∴AC3， 当AC＝PC时，设P（0，y），则|y+1|＝3，解得y＝31或y＝﹣31， ∴P1（0，31），P2（0，﹣31）； 当AC＝AP时，过点A作AD⊥y轴于点D，则CD＝3， ∴PD＝CD＝3， ∴P（0，5），即P3（0，5）， 综上所述，点P的坐标为P1（0，31），P2（0，﹣31），P3（0，5）． 【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，等腰三角形的判定，根据题意的出A、C两点的坐标是解题的关键． 14．(1)， (2)或 (3)存在点，坐标为或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再由是的中点得到，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E的坐标即可； （2）根据一次函数与反比例函数图像求解即可． （3）分情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点在坐标轴上， 轴，轴． ，且为的中点， ∴点的纵坐标为2． 反比例函数的图象过和点， ∴反比例函数的解析式为 把代入，得 （2）解：由图像可得，当 或时，， 故的解集为或． （3）解：存在，理由如下： 设点，由题可知 ①当时，则 解得． ②当时，则 解得，或 当时，三点共线，不能构成三角形，所以（舍） ③当时，则 解得，或 或 综上所述：存在点，且坐标为或或或． 15.解：（1）由题知， 将A点坐标代入反比例函数解析式得， k＝1×2＝2， 所以反比例函数的解析式为． 由函数图象可知， 在直线x＝0和x＝1之间的部分及直线x＝2右侧的部分， 反比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方， 即y1＞y2． 所以x的取值范围是：0＜x＜1或x＞2． （2）将x＝2代入反比例函数解析式得， y＝1， 所以点C的坐标为（2，1）． 则OC． 当OC＝OM时， OM， 所以点M坐标为（0，）或（0，）． 当CM＝CO时， 点C在OM的垂直平分线上， 又因为点C坐标为（2，1）， 所以点M坐标为（0，2）． 当MO＝MC时， 点M在OC的垂直平分线上， 过点C作CN⊥y轴于点N， 令MO＝m，则MC＝m，MN＝m﹣1， 在Rt△CMN中， CN2+MN2＝MC2， 即22+（m﹣1）2＝m2， 解得m． 所以点M的坐标为（0，）． 综上所述：点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，2）或（0，）． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及巧妙利用分类讨论的数学思想是解题的关键． 类型六、等腰直角三角形存在性问题 ( 典型例题 ) 例题6．解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）△ABH为等腰直角三角形． 证明：∵反比例函数图象经过点B（1，a）， ∴， ∴点， ∵AD⊥y轴，BH⊥AD， ∴，，∠BHA＝90°， ∴△ABH为等腰直角三角形． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 16.解：（1）直线AB交x轴于点A（4，0），∠BAO＝45°， ∴直线AB的解析式为y＝x﹣4， 当y＝2时，x＝6， ∴P（6，2）， ∵点P在反比例函数y（k≠0）的图象上， ∴k＝6×2＝12， ∴反比例函数的解析式为y； （2）如图，作PF⊥CD，垂足为F， 设点C（m，m﹣4），则D（m，），F（m，2）， ∵PD＝PC，PF⊥CD， ∴DF＝CF， ∴， ∴m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6（舍去）， ∴当C（2，﹣2）时，△CDP为等腰三角形． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． 17．(1)， (2)24 (3) 【分析】 本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入解析式可求出，联立方程组即可得到答案． （2）求出点的坐标，再由三角形的面积公式即可得到答案． （3）过点A作轴于E，轴于D，设点，联立方程组求出点B的坐标，得到，证明，得到，从而得到，利用得到关于a的方程，求出a的值即可求解． 【详解】（1）解：设点， 一次函数图象过点A， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴，交与Q，： ， 点A关于原点的对称点为的坐标为， 当时，， ∴，， 又， ， 即的面积是24； （3）解：如图，过点A作轴于E，轴于D， ， 设点， ，， 联立方程组可得： ∴， 解得：(点A的横坐标)， 当时，， 点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 类型七、直角三角形存在性问题 ( 典型例题 ) 例题7．解：（1）∵点B的坐标为（2，3），点D是BC的中点， ∴D（1，3）， ∵点D在反比例函数y（k＞0）上， ∴3， 解得：m＝3， ∴反比例函数的解析式为y． ∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，3）， ∴当x＝2时，y， ∴E点坐标为（2，）； （2）∵△BCF为等腰三角形， ∴BC＝CF＝2， ∵点B的坐标为（2，3）， ∴F（0，1）， 设直线BF的解析式为y＝ax+b（a≠0）， ∴， 解得：， ∴直线FB的解析式为y＝x+1． 【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、一次函数的性质等知识是解答此题的关键． 18.解：（1）∵A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0）， ∴OA＝1，OB＝2，OD＝2， ∴AD＝OA+OD＝3， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝3，BC∥AD， ∴点C的坐标为（﹣3，2）， ∵反比例函数在第二象限内的图象经过点C， ∴k＝﹣3×2＝﹣6， ∴反比例函数的表达式为：； （2）∵点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形， ∴有以下两种情况： ①当∠CED＝90°时，如图1所示： ∴∠CED＝∠BOA＝90°， ∴CE∥OB， ∵BC∥AD， ∴四边形CEOB是矩形， ∴CE＝OB＝2， 设点E的坐标为（t，0），则DE＝﹣2﹣t， ∵CD2＝（﹣3+2）2+（2﹣0）2＝5， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+DE2＝CD2， ∴22+（﹣2﹣t）2＝5， 整理得：（2+t）2＝1， ∴2+t＝1，2+t＝﹣1， 由2+t＝1，解得：t＝1（不合题意，舍去）， 由2+t＝﹣1，解得：t＝﹣3， ∴点E的坐标为（﹣3，0）； ②当∠DCE＝90°时，如图2所示： 设E（a，0）， 则DE＝﹣2﹣a， ∵CE2＝（﹣3﹣a）2+（2﹣0）2＝a2+6a+13， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2+CD2＝DE2， ∴a2+6a+13+5＝（﹣2﹣a）2， 解得：a＝﹣7， ∴点E的坐标为（﹣7，0）． 综上所述：点E的坐标为（﹣3，0）或（﹣7，0）． 【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标，平行四边形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 19.解：（1）当x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）＝4， ∴点A的坐标为（﹣2，4）， ∵点A（﹣2，4）在反比例函数 的图象上， ∴k＝﹣8， ∴反比例函数的表达式为：， 又∵点A，B关于原点O对称，且点A的坐标为 （﹣2，4）， ∴点B的坐标为（2，﹣4）； （2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜2时，正比例函数y＝﹣2x的图象在反比例函数 的图象上方， ∴不等式的解集为 x≤﹣2或0＜x≤2； （3）点P的坐标为（10，0）或（﹣10，0）． 设P（m，0）， ∵A（﹣2，4），B（2，﹣4）， ∴AB2＝（2+2）2+（4+4）2＝80， PA2＝（m+2）2+42，PB2＝（m﹣2）2+42， 当△PAB是直角三角形且以AB为直角边时， 则当PA边为斜边时，PA2＝AB2+PB2， 即（m+2）2+42＝80+（m﹣2）2+42， 解得：m＝10； 当PB边为斜边时，PB2＝AB2+PA2， 即（m﹣2）2+42＝80+（m+2）2+42， 解得：m＝﹣10， 故点P的坐标为：P（10，0）或P（﹣10，0）． 【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查了待定系数法求函数解析式，求一次函数与反比例函数的交点，利用坐标求坐标系中的线段的长度，以及运用数形结合的数学思想解决函数与不等式关系的相关问题，数形结合是解题的关键． 20.解：（1）反比例函数过点A（1，6）、B（3，m）， 把A（1，6）代入中，得：， 解得：k2＝6， ∴反比例函数的解析式为：， 把B（3，m）代入中，得：， ∴B（3，2）， 把A（1，6），B（3，2）代入y1＝k1x+b中，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为：y1＝﹣2x+8； （2）观察图象可知，当y1＜y2，直线在反比例函数的下方， 又∵A（1，6），B（3，2）， ∴0＜x＜1，x＞3， ∴x的取值范围是：0＜x＜1或x＞3； （3）设点P（0，y）， ∵A（1，6），B（3，2）， ∵AB2＝（1﹣3）2+（6﹣2）2＝20， PA2＝（0﹣1）2+（y﹣6）2＝y2﹣12y+37， PB2＝（0﹣3）2+（y﹣2）2＝y2﹣4y+13， 当∠P1AB＝90°时，如图： ∴，即20+y2﹣12y+37＝y2﹣4y+13， 解得：， ∴点， 当∠AP2B＝90°时，如图： ∴，即y2﹣12y+37+y2﹣4y+13＝20， 整理得：y2﹣8y+15＝0， 解得：y2＝3或y2＝5， ∴点P2（0，3）或P2（0，5）， 当∠ABP3＝90°时，如图： ∴，即20+y2﹣4y+13＝y2﹣12y+37， 解得：， ∴点， 综上所述，△ABP为直角三角形时，点P坐标为或（0，3）或（0，5）或． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 类型八、平行四边形存在性问题 ( 典型例题 ) 例题8．解：（1）把A（4，2）代入 得：， ∴m＝8． ∴反比例函数关系式为 ． 把B（﹣1，n）代入 得：， ∴B（﹣1，﹣8）． ∴． ∴． ∴一次函数的关系式为y＝2x﹣6． ∴反比例函数关系式为 ，一次函数的关系式为y＝2x﹣6． （2）在y＝2x﹣6中，令x＝0得y＝﹣6． ∴C（0，﹣6）． 设M（x，），N（y，2y﹣6），而O（0，0），四边形OCNM是平行四边形， ∴CM、ON的中点重合． ∴． ∴M（2，4）或（﹣2，﹣4）． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题时需要熟练掌握并灵活运用． 21.解：（1）∵正比例函数y＝4x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A（a，4）， ∴4＝4a， ∴a＝1， ∴A（1，4）， ∴k＝4×1＝4． ∴反比例函数的表达式为：y． （2）当x＝2时，y2， ∴B（2，2）． ∴BC＝2． ∵D在第一象限，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2， ∵BC⊥x轴， ∴D的坐标为（1，2）或（1，6）． 【点评】本题考查求反比例函数表达式及点的坐标，掌握待定系数法，充分利用平行四边形性质是求解本题的关键． 22.解：（1）∵a、b满足0， 则，解得， 故答案为：﹣1；﹣2； （2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2）， ∵E为AD中点， ∴xD＝1， 设D（1，t）， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴C（2，t﹣2）． ∴t＝2t﹣4． ∴t＝4． ∴D（1，4）， ∵D（1，4）在双曲线y上， ∴k＝xy＝1×4＝4． （3）∵点P在双曲线y上，点Q在y轴上， ∴设Q（0，y），P（x，）， ①当AB为边时：如图1所示： 若ABPQ为平行四边形，则0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）； 如图2所示： 若ABQP为平行四边形，则x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）； ②如图3所示： 当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ； ∴，解得x＝﹣1， ∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）； 综上所述，P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）． 【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、平行四边形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 23.解：（1）∵a、b满足（a+b+3）2＝0， 则，解得， 故答案为：﹣1；﹣2； （2）∴A（﹣1，0），B（0，﹣2）， ∵E为AD中点， ∴xD＝1， 设D（1，t）， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴C（2，t﹣2）． ∴t＝2t﹣4． ∴t＝4． ∴D（1，4）， ∵D（1，4）在双曲线y上， ∴k＝xy＝1×4＝4． ∴反比例函数的解析式为y； （3）∵点P在双曲线y上，点Q在y轴上， ∴设Q（0，y），P（x，）， ①当AB为边时：如图1所示： 若ABPQ为平行四边形，则0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）； 如图2所示： 若ABQP为平行四边形，则x，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）； ②如图3所示： 当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ； ∴，解得x＝﹣1， ∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）； 综上所述，Q1（0，6）；Q2（0，﹣6）；Q3（0，2）； （4）如图4，连接NH、NT、NF， ∵MN是线段HT的垂直平分线， ∴NT＝NH， ∵四边形AFBH是正方形， ∴∠ABF＝∠ABH， 在△BFN与△BHN中，BF＝BH，∠ABF＝∠ABH，BN＝BN， ∴△BFN≌△BHN（SAS）， ∴NF＝NH＝NT， ∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN， 四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN， 所以，∠ATN+∠AHN＝180°， 因为四边形ATNH内角和为360°， 所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°． ∴MNHT， ∴． 即为定值，等于． 【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度较大． 类型九、面积问题 ( 典型例题 ) 例题9．(1)， (2)存在， 【分析】 本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点、待定系数法，三角形的面积公式． （1）把点，代入计算即可； （2）根据可得，据此求解即可． 【详解】（1）∵点，在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ∴． （2）存在． 由（1）可得，，． 设经过点A，B的直线的解析式为． 则 解得 ∴直线的解析式为． 过点O作，交直线于一点，则这个点即为点P． 由平行线之间的距离处处相等，可以得出． ∴直线的直线解析式为． ∴当时，， 此时点． 24.解：（1）∵C（m，2）、D（1，m+3）在反比例函数（k≠0，x＞0）的图象上， ∴k＝2m＝m+3， ∴m＝3， ∴C（3，2）、D（1，6）， ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数解析式为y； （2）存在，如图， ∵C（3，2）、D（1，6）， ∴BE＝3﹣1＝2， ∵AB＝8， ∴S矩形ABEF＝2×8＝16，FC＝8﹣2＝6， ∵△PFC的面积是矩形面积的一半， ∴S△PFC＝8， 设P（m，），则FC•|3﹣m|＝8， 即， 解得m或m， ∴P（，18）或（，）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． 25.解：（1）直线与双曲线相交于A（1，m），B（6，m﹣5）两点， 把点A（1，m），B（6，m﹣5）代入反比例函数解析式得， ∴， 解得，， ∴反比例函数解析式为， ∴A（1，6），B（6，1）， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+7； （2）由条件可知D（0，6），C（0，1）， ∴CD＝6﹣1＝5，AD＝1，BC＝6， ∴， 如图所示， 设M（0，m）（1≤m≤6）， ∴MC＝m﹣1，DM＝6﹣m， ∴，， ∴S△ABM＝S四边形ADCB﹣S△ADM﹣S△BCM＝7， ∴， 解得，， ∴线段CD上存在一点M，使△ABM的面积等于7，点； （3）已知A（1，6），B（6，1）， ∴当0＜x＜1或x＞6时，． 【点评】本题主要考查待定系数法求解析式，一次函数、反比例函数与几何图形面积的综合，图象法求不等式的解集，掌握一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$