二项式定理——2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 二项式定理 高频考点分析 1.二项式定理 （1）二项式定理： （2）上述公式右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式子中的叫做二项展开式的通项，用表示，即二项展开式的第项. 2.二项式系数的性质 （1）对称性： （2）增减性与最大值 因为，即. 所以，当，即时，随的增加而增大；由对称性可知当时，随的增加而减小. 当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与取得最大值. （3）常见结论 ①若已知所有二项式系数之和为，则令，此时； ②若已知所有奇（偶）次项二项式系数之和为，则令，此时； ③若已知所有系数之和为，则，求解得； ④若已知第项和第项和二项式系数相等，则，此时； ⑤若已知只有第项的二项式系数最大，则最大，此时前后各有项，； ⑥若已知第项的二项式系数最大，则需分为只有第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大三种情况分类讨论； ⑦，. 3.高频考点 题型 解题步骤 型 步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式. 步骤2：令展开式次数等于题目所求次数，求. 步骤3：将代入展开式得系数. 型 步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式. 步骤2：分类讨论，令展开式与的次数分别等于题目所求次数，分别求. 步骤3：分别将代入展开式与得系数. 型 方法一： 利用二项式定理展开，令展开式次数等于题目所求次数，求与，代入展开式得系数. 方法二：将题目所求次数依次分配给、、，再利用二项式定理展开. 4. 二项展开式各项的系数和 已知 ①令，得； ②令，得； ③令，得； ④令，得； ⑤令，得； ⑥令，得； ⑦ 令，. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 3．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 4．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 实战演练一：型 1．（2025·四川泸州·模拟预测）的展开式中，常数项等于（   ） A． B．15 C． D．20 【答案】B 【详解】二项式的通项为， 即 ， 令，解得. 可得常数项为. 故选：B. 2．（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为的通项为， 令，解得， 则，解方程得：. 故选：D. 3．（2025·北京朝阳·一模）在的展开式中，常数项为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中的常数项为. 故选：D. 4．（2025·宁夏陕西·模拟预测）的展开式的第3项的系数是（    ） A． B．15 C．20 D． 【答案】B 【详解】由题设，展开式通项为，， 所以，即第3项的系数是15. 故选：B 5．（2025·山西临汾·二模）二项式的展开式的常数项是 . 【答案】 【详解】的展开式的通项为 令，解得， 所以展开式的常数项. 故答案为：. 6．（2025·黑龙江大庆·三模）的展开式中的系数为 . 【答案】40 【详解】根据二项式定理，对于，其展开式的通项公式为. 进行化简， 所以.   令.解得. 将代入到中，所以，即的系数为40. 故答案为：40. 7．（2025·上海松江·二模）的二项展开式中的常数项为 . 【答案】135 【详解】由题，二项展开式的通项为. 令，得. 所以常数项为. 故答案为：135. 8．（2025·安徽蚌埠·二模）在的展开式中，常数项为 . 【答案】672 【详解】由题意得， 令，解得，故常数项为. 故答案为： 实战演练二：型 1．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 【答案】D 【详解】， 的通项为， 所以的系数是. 故选：D． 2．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【详解】展开式的通项， 显然，则当，即时，， 所以的展开式中常数项为. 故选：A 3．（2025·四川广安·二模）关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】展开式中项系数为：，项系数为：, 所以展开式中含的项的系数， 解得， 故选：D 4．（2025·福建泉州·一模）已知的展开式中的系数为0，则的值为（    ） A． B． C．640 D．1280 【答案】A 【详解】依题意，展开式中项为，其系数为， 展开式中项，其系数为，由展开式中的系数为0，得， 所以. 故选：A 5．（2025·黑龙江·二模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】展开式的通项公式为， 当时，，当时，， 所以展开式中含的项为， 故展开式中的系数. 故选：D 6．（2025·山东泰安·二模）已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为 . 【答案】 【详解】， 的二项展开式的通项为， 令得，， 的展示式中的系数为； 令得，， 的展开式中的系数为40， 依题意，解得， 故答案为：． 7．（2025·山东聊城·模拟预测）的展开式中的系数为，则 ． 【答案】 【详解】由多项式的展开式中的系数为， 可得，即，解得. 故答案为：． 8．（2025·江苏南通·二模）在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【详解】因为的通项公式为， 则的展开式中的项为或， 所以常数项为， 故答案为：. 9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）展开式中的系数为 . 【答案】 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，的展开式通项为， 由，可得或或或， 故展开式中含的系数为. 故答案为：. 10．（2025·湖北·二模）的展开式中的系数为 . 【答案】20 【详解】展开式的通项是， 分别令得， 所以展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：20. 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【详解】因为， 其中展开式的通项为（）， 所以的展开式中的系数为. 故答案为： 12．（2025·辽宁·二模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【详解】的展开式通项为， 因为， 在的展开式通项中，令， 在的展开式通项， 令，可得， 因此，展开式中的的系数为. 故答案为：. 实战演练二：型 1．（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 【答案】C 【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项为（）. 要求的系数，则的次数，此时. 同样根据二项式定理，展开式的通项为（）. 要得到，则令，解得. 当，时，的系数为 在的展开式中，的系数为60. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（   ） A．60 B．20 C．-20 D．-60 【答案】D 【详解】，展开式的通项公式为， 令，故， 的展开式的通项公式为， 令，则， 故的系数为， 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏镇江·期中）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 由可得， 因此，展开式中的系数为. 故选：D. 4．（24-25高二下·河北衡水·期中）展开式中，的系数为（    ） A． B．32 C． D．24 【答案】C 【详解】展开式中，的项为. 故选：C. 5．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）的展开式中常数项为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及二项式定理写出相关展开式通项，进而令确定参数，即可得常数项. 【详解】由题设，， 对于，有，且为正整数， 令，则，故或或， 所以常数项为. 故选：A 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）展开式中的系数为 . 【答案】 【分析】表示6个因式相乘的乘积，分类讨论因式的搭配即可得解. 【详解】得项类型一：从6个因式中选择1个提供，5个提供2， 此时的系数为； 类型二：从6个因式中选择2个提供，4个提供2， 此时的系数为； 合并同类项，含的项为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·上海·期中）在在展开式中，不含的所有项的系数和为 （用数值作答）. 【答案】 【分析】先将问题转化为各项的系数之和，再通过赋值法即可得到答案. 【详解】二项式， 其展开式的通项为， 令，则， 则不含的项的系数和等于的各项系数之和， 令，则. 故答案为：. 8．（2025·河北廊坊·模拟预测）的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】由，只需求展开式中的的系数即可. 【详解】由，所以， 只需求展开式中的的系数， 即 . 故答案为：. 9．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中的系数为 . 【答案】30 【分析】先将看作一个整体，求出其展开式的通项确定的次数，再确定的次数即可求解. 【详解】由， 其展开式的通项为，，， 令，得的展开式的通项为，，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故答案为：30. 10．（24-25高三下·广西柳州·阶段练习）展开式中的项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式计算得解. 【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用， 该项为，所以展开式中的项的系数为. 故答案为： 实战演练四：系数和问题 1．（2025·山西晋城·二模）已知，若，则展开式中含项的系数为（    ） A． B． C．90 D．270 【答案】B 【详解】令，，得，解得． 又的展开式的通项为， 所以，解得， 所以展开式中含项的系数为． 故选：B． 2．（2025·江苏·模拟预测）已知，若，，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】A 【详解】由题意可知：， 且， 可得，其中， 且，根据组合数的性质可知当，即时，取到最大值， 若，所以. 故选：A. 3．（2025·四川自贡·二模）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由， 令，得， 令，得， . 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，若，则的值为（    ） A．3 B．22 C．43 D．45 【答案】C 【详解】已知， 而. . 等式两边对求导数可得，， 再令，可得，即. 故选：C 5．（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）， 下列说法正确的是（      ） A．各项的二项式系数和为256 B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：各项的二项式系数和为：，故A错误； 令可得：. 令可得：①. 所以，故B正确； 令可得：② ①②可得：，故D错误； ①②可得：，故C错误. 故选：B 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的展开式中偶数项的二项式系数之和为 D．的展开式中二项式系数最大项为 【答案】D 【详解】对于A，令可得，故A正确； 对于B，展开式的通项为， 所以系数， 所以， 令，即可得，所以，故B正确； 对于C，因为，的展开式中偶数项的二项式系数之和为，故C正确； 对于D，因为为偶数，的展开式中二项式系数最大项为第6项， 即，故D错误. 故选：D. 7．（24-25高二下·江苏南京·期中）设，则的值为（    ） A．128 B．-128 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，的通项公式为， 则都为负数，都为正数， 因此 ，取，得， 所以. 故选：B 8．（2025·江西上饶·二模·多选）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，令，得；令，得， 因此，A错误； 对于B，，因此，B正确； 对于C，令，即，得，C错误； 对于D，原等式两边求导得， 令，得，D正确. 故选：BD 9．（2025·甘肃平凉·模拟预测·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意，， 知，，故A，B正确； 分别令，1和，得，， ， 所以，， 即，，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 10．（2025·江西赣州·一模·多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由， 所以的展开式中最高次项为次项，即，故A正确； 的展开式中，的系数为，的系数为， 则，故B错误； 令，得，故C正确； 令，得， 所以，，故D 正确； 故选：ACD. 11．（24-25高二上·江苏无锡·期末·多选）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．除以8所得的余数为1 D． 【答案】BCD 【详解】根据题意可知，故， 故， 对于A，令，则，令，则，故，故A错误， 对于B，， 故为负值，为正，且令时，， 因此，B正确， 对于C, ,故除以8所得的余数为1，C正确， 对于D，对求导可得 ，令可得，故D正确， 故选：BCD 12．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末·多选）已知，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A.令，得，即，A正确. B.令，则原等式变形为， 由二项式定理得，， 令，得， 等式两侧同乘，得， ∴，B错误. C.令，得，故，C错误. D.对等式两侧同时求导函数得， ， 令，得，D正确. 故选：AD. 实战演练五：二项式定理的性质 1．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 2．（2025·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【详解】易知的展开式的各项系数分别为， 由二项式系数的对称性可知系数最大的项为第四项. 故选：B. 3．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）若（）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为（    ） A．210 B．252 C．462 D．10 【答案】A 【详解】由于展开式中只有第6项的系数最大，且展开式的通项为，其系数等于其二项式系数， 所以展开式项数为11，从而，所以展开式的通项为. 令，得，于是得其常数项为. 故选：A 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 故选：A. 5．（2025·甘肃·模拟预测）在的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则 . 【答案】 【详解】在的展开式中，各二项式系数的和为； 令，得的展开式中各项系数的和为. 根据题意，得，解得. 故答案为： 6．（24-25高二下·湖南·期中）已知的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为 . 【答案】12 【详解】根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13，即，解得. 故答案为：12. 7．（2025·西藏拉萨·二模）若的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则 ． 【答案】或1 【详解】由题知二项式系数之和为， 令，系数之和为． 取，得， 所以，解得或1． 故答案为：或1 8．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【详解】由的展开式中，仅第项的二项式系数最大，得展开式共项，则， 所以的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即 解得，而，所以，， 所以展开式中系数最大的项是, 故答案为：. 9．（24-25高三下·江苏·阶段练习）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为 【答案】 【详解】由题意知，展开式中所有项的二项式系数和为， 令得，展开式中所有项的系数和为， 由题意知它们相等得，， 再根据展开式通项公式：， 当时，解得， 所以展开式中的常数项为， 故答案为：. 10．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）若展开式中的系数与的系数相等，则 . 【答案】8 【详解】由题设，，且，， 由题意，即，则， 所以，可得. 故答案为：8 11．（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中，各项的二项式系数中第三项和第四项相等且最大，则的系数为 ． 【答案】40 【详解】依题意可得，得， 因为的通项公式为， 令，即，则的系数为. 故答案为：40. 12．（24-25高三·上海·阶段练习）的二项展开式中，系数最大的是第 项． 【答案】9 【详解】由题意，的展开式的通项为，则系数最大项在奇数项， 设二项展开式中第项的系数的绝对值最大， 则，即，解得， 因此系数绝对值的最大值的项是第项和第项，而系数最大项在奇数项， 所以系数最大的是第9项. 故答案为： 实战演练六：二项式定理的应用 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若正整数，满足等式，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2023 D．2024 【答案】D 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 2．（2025·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题意得, ， 而一定能被整除， 只需保证能被整除即可，而， 得到， 故， 而一定能被整除，只需保证能被整除即可， 若使最小，则满足，解得，故C正确. 故选：C 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）今天是星期日，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】C 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除， 只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期日，再过天，是星期四. 故选：C. 4．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 【答案】C 【详解】因为， 所以除以13所得余数为1，则； 因为， 所以除以14所得余数为13，则，因此． 故选：C 5．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）设，其中，且，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【详解】 ， 每一项都可被整除， 所以， 所以， 故选：D. 6．（2025·湖北武汉·一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【详解】， 而，故最后一位数为7， 故选：D. 7．（24-25高二下·安徽马鞍山·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ）    A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 【答案】ABD 【详解】对于A：第行，第行，第行的第个数字分别为：，，， 其和为；而第行第个数字就是，故A正确； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：由图可知：第行有个数字， 如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大； 如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大， 所以第行的第个数最大，故C错误； 对于D：依题意：第行从左到右第个数为， 第行从左到右第个数为， 所以第行中从左到右第个数与第个数之比为，故D正确. 故选：ABD. 8．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ）      A．第2025行共有2025个数 B．第3斜列为：，则该数列的前项和为 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则. 【答案】BCD 【详解】对于A：行数比每行的个数少1，所以第2025行共有2026个数，所以A错误； 对于B：由公式得： ，所以B正确. 对于C：由组合数可知只有，所以C正确， 对于D，记第行的第个数为，则， 则，D正确； 故选：BCD 9．（24-25高二下·山东济宁·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中．除每行（不含第0行）两边的数都是1外．其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（   ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第行的所有数字之和为 C．第2025行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 【答案】ACD 【详解】对A，根据规律，第6行从左到右第4个数等于第5行的第3、第4个数之和， 即，A正确； 对B，第行的数字即为的展开式的二项式系数， 所以其所有数字之和为，B错误； 对C，第2025行从左到右的数分别为展开式中的二项式系数， 其中从左到右第1013个数和第1014个数分别为， 由二项式系数的性质可知，且在中二项式系数中最大，C正确； 对D，因为，，所以的可能取值有， 当时，，此时为常数列，不满足题意； 当时，，此时为公差为1的等差数列； 当时，，显然不是等差数列. 综上，若（且）为公差不为0的等差数列，则. 则 ，D正确. 故选：ACD 10．（24-25高二下·湖北武汉·期中）除以26所得余数为 . 【答案】1 【详解】 ， 因为都能被26整除， 所以除以26所得余数为1. 故答案为：1 11．（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）的末三位数是 ． 【答案】481 【详解】因 ， 因是正整数， 故被1000除之后得到的余数为，即的末三位数是481. 故答案为：481. 12．（24-25高二下·山西·阶段练习）若，则的值被4除的余数为 ． 【答案】3 【详解】令，得， 因为， 所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即， 当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即， 所以， 又， 故被4除余3． 故答案为：. 13．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以令时，， 令时，， 所以， 又， 所以除以的余数是 故答案为： 14．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知为等比数列，且，.从，，…，这2025个数中任取两个数，则这两个数之和能被3整除的概率为 . 【答案】 【详解】由题意可知，记取到的两个数分别为，则，其中 为整数， 所以当为奇数时，为3的倍数， 当为偶数时，不是3的倍数， 因此为奇数时满足条件，此时与的奇偶性不相同，从1到2025包含1012个偶数和1013个奇数，所以与的组合共有种， 所以所求的概率为 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 二项式定理 高频考点分析 1.二项式定理 （1）二项式定理： （2）上述公式右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式子中的叫做二项展开式的通项，用表示，即二项展开式的第项. 2.二项式系数的性质 （1）对称性： （2）增减性与最大值 因为，即. 所以，当，即时，随的增加而增大；由对称性可知当时，随的增加而减小. 当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项与取得最大值. （3）常见结论 ①若已知所有二项式系数之和为，则令，此时； ②若已知所有奇（偶）次项二项式系数之和为，则令，此时； ③若已知所有系数之和为，则，求解得； ④若已知第项和第项和二项式系数相等，则，此时； ⑤若已知只有第项的二项式系数最大，则最大，此时前后各有项，； ⑥若已知第项的二项式系数最大，则需分为只有第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大三种情况分类讨论； ⑦，. 3.高频考点 题型 解题步骤 型 步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式. 步骤2：令展开式次数等于题目所求次数，求. 步骤3：将代入展开式得系数. 型 步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式. 步骤2：分类讨论，令展开式与的次数分别等于题目所求次数，分别求. 步骤3：分别将代入展开式与得系数. 型 方法一： 利用二项式定理展开，令展开式次数等于题目所求次数，求与，代入展开式得系数. 方法二：将题目所求次数依次分配给、、，再利用二项式定理展开. 4. 二项展开式各项的系数和 已知 ①令，得； ②令，得； ③令，得； ④令，得； ⑤令，得； ⑥令，得； ⑦ 令，. 真题速递 1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 3．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 4．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ． 实战演练一：型 1．（2025·四川泸州·模拟预测）的展开式中，常数项等于（   ） A． B．15 C． D．20 2．（2025·北京东城·一模）在的展开式中，的系数为10，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（2025·北京朝阳·一模）在的展开式中，常数项为（  ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏陕西·模拟预测）的展开式的第3项的系数是（    ） A． B．15 C．20 D． 5．（2025·山西临汾·二模）二项式的展开式的常数项是 . 6．（2025·黑龙江大庆·三模）的展开式中的系数为 . 7．（2025·上海松江·二模）的二项展开式中的常数项为 . 8．（2025·安徽蚌埠·二模）在的展开式中，常数项为 . 实战演练二：型 1．（2025·辽宁沈阳·二模）在的展开式中，的系数是（   ） A． B． C．20 D．40 2．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中常数项为（    ） A． B． C．5 D．10 3．（2025·四川广安·二模）关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．-1 4．（2025·福建泉州·一模）已知的展开式中的系数为0，则的值为（    ） A． B． C．640 D．1280 5．（2025·黑龙江·二模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东泰安·二模）已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为 . 7．（2025·山东聊城·模拟预测）的展开式中的系数为，则 ． 8．（2025·江苏南通·二模）在的展开式中，常数项为 . 9．（2025·甘肃张掖·模拟预测）展开式中的系数为 . 10．（2025·湖北·二模）的展开式中的系数为 . 11．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）在的展开式中，的系数为 ． 12．（2025·辽宁·二模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 实战演练二：型 1．（2025·江西·二模）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．60 D．30 2．（24-25高二下·浙江·期中）的展开式中的系数为（   ） A．60 B．20 C．-20 D．-60 3．（24-25高二下·江苏镇江·期中）在的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河北衡水·期中）展开式中，的系数为（    ） A． B．32 C． D．24 5．（24-25高二下·宁夏银川·阶段练习）的展开式中常数项为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）展开式中的系数为 . 7．（24-25高二下·上海·期中）在在展开式中，不含的所有项的系数和为 （用数值作答）. 8．（2025·河北廊坊·模拟预测）的展开式中的常数项为 （用数字作答）. 9．（2025·河南南阳·模拟预测）的展开式中的系数为 . 10．（24-25高三下·广西柳州·阶段练习）展开式中的项的系数为 ．（用数字作答） 实战演练四：系数和问题 1．（2025·山西晋城·二模）已知，若，则展开式中含项的系数为（    ） A． B． C．90 D．270 2．（2025·江苏·模拟预测）已知，若，，则（   ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 3．（2025·四川自贡·二模）若，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知，若，则的值为（    ） A．3 B．22 C．43 D．45 5．（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）， 下列说法正确的是（      ） A．各项的二项式系数和为256 B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）若，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．的展开式中偶数项的二项式系数之和为 D．的展开式中二项式系数最大项为 7．（24-25高二下·江苏南京·期中）设，则的值为（    ） A．128 B．-128 C． D． 8．（2025·江西上饶·二模·多选）若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·甘肃平凉·模拟预测·多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·江西赣州·一模·多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江苏无锡·期末·多选）已知的展开式的二项式系数的和为512，且，下列选项正确的是（   ） A． B． C．除以8所得的余数为1 D． 12．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末·多选）已知，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 实战演练五：二项式定理的性质 1．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 2．（2025·四川成都·二模）的展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 3．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）若（）的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为（    ） A．210 B．252 C．462 D．10 4．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2025·甘肃·模拟预测）在的展开式中，各二项式系数的和与各项系数的和之比为，则 . 6．（24-25高二下·湖南·期中）已知的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为 . 7．（2025·西藏拉萨·二模）若的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则 ． 8．（24-25高三下·广东深圳·阶段练习）在的展开式中，仅第项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是 ． 9．（24-25高三下·江苏·阶段练习）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为 10．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）若展开式中的系数与的系数相等，则 . 11．（24-25高二上·甘肃·期末）在的展开式中，各项的二项式系数中第三项和第四项相等且最大，则的系数为 ． 12．（24-25高三·上海·阶段练习）的二项展开式中，系数最大的是第 项． 实战演练六：二项式定理的应用 1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若正整数，满足等式，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2023 D．2024 2．（2025·重庆·模拟预测）若能被整除，则的最小正整数取值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）今天是星期日，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 4．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）已知除以13所得余数为m，除以14所得余数为n，则（   ） A．1 B． C．13 D．14 5．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）设，其中，且，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 6．（2025·湖北武汉·一模）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237.现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 7．（24-25高二下·安徽马鞍山·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ）    A．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数 B． C．第2020行的第1010个数最大 D．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 8．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ）      A．第2025行共有2025个数 B．第3斜列为：，则该数列的前项和为 C．70在杨辉三角中共出现了3次 D．记第行的第个数为，则. 9．（24-25高二下·山东济宁·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中．除每行（不含第0行）两边的数都是1外．其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（   ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第行的所有数字之和为 C．第2025行中从左到右第1013个数和第1014个数相等，且是该行中最大的数 D．若存在，使得（且）为公差不为0的等差数列，则 10．（24-25高二下·湖北武汉·期中）除以26所得余数为 . 11．（24-25高三下·广东梅州·阶段练习）的末三位数是 ． 12．（24-25高二下·山西·阶段练习）若，则的值被4除的余数为 ． 13．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是 ． 14．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知为等比数列，且，.从，，…，这2025个数中任取两个数，则这两个数之和能被3整除的概率为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$