专题11 二项展开式及系数和问题-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第三册）

专题11 二项展开式及系数和问题 高二数学专项强化与检测 专题11 二项展开式及系数和问题 一、知识填空： 1.赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令x＝ 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝ 即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为 ， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ；偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ . 2.整除和余数问题： (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的 的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的 ． 自检自纠： 1. (1)1 (2) 1 (3) f(1) 2. (1) 和或差 (2) 二项式 二、专题训练： 题组一：二项式展开式 1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．8 2．下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 3．的二项展开式为 ． 4．若，则　 A．60 B．70 C．80 D．90 5．化简（    ） A． B． C． D． 6．化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 7．的值为 ． 8．（    ） A． B． C． D． 9．（ ） A． B． C． D． 10．设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为(　　) A．128 B．129 C．47 D．0 题组二：二项式展开式系数和 1．在二项式的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（   ） A． B． C．1 D．32 2．已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A．31 B．32 C．15 D．16 4．若，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．， 下列说法正确的是（      ） A．各项的二项式系数和为256 B． C． D． 6．（多选）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则 ， . 8．已知，则的值是 . 9．已知中，，且.则. 10．已知，若，则（ ） A．240 B．－240 C．280 D．－280 题组三：整除与余数 1．被9除所得的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 3．今天是星期天，则天后是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 4．今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 5．的个位数字为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．设为奇数，那么除以13的余数是（    ） A． B．2 C．10 D．11 7．已知，则除以10的余数为（    ） A．0 B．1 C．8 D．9 8．已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为， 若，，则b的值可以是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．计算等于（ ） A． B． C． D． 2．(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝（ ） A．x5 B．x5－1 C．x5＋1 D．(x－1)5－1 3．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．被8除的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．已知，下列命题中，不正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有奇次项系数的和为 C．展开式中所有偶次项系数的和为 D． 6．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若，则被8整除的余数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．若，且，则实数的值可以为（ ） A．1或 B． C．或3 D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共6项 B．常数项为64 C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64 10．若且，则实数m的值可以为（    ） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 11．若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，所有项系数的绝对值的和为 . 13．已知，，若，则 ． 14．若， 则的值为 . 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$专题11 二项展开式及系数和问题 高二数学专项强化与检测 专题11 二项展开式及系数和问题 一、知识填空： 1.赋值法在求各项系数和中的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令x＝ 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝ 即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为 ， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ；偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ . 2.整除和余数问题： (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的 的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的 ． 自检自纠： 1. (1)1 (2) 1 (3) f(1) 2. (1) 和或差 (2) 二项式 二、专题训练： 题组一：二项式展开式 1．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．8 【答案】B 【详解】因为(x＋2)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有11项，所以n＝10.故选:B. 2．下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由二项式定理可知，，故不是展开式的项.故选：B 3．的二项展开式为 ． 【答案】 【解析】由二项式定理，得 ，所以的二项展开式是． 4．若，则　 A．60 B．70 C．80 D．90 【答案】B 【详解】，∴，故选：B． 5．化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】．故选：B 6．化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【答案】A 【详解】.故选：A. 7．的值为 ． 【答案】0 【详解】．故答案为：. 8．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 两边求导数，， 令，得， 取，得.故选：D. 9．（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 .选B. 10．设A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，则A－B的值为(　　) A．128 B．129 C．47 D．0 【答案】A 【详解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝.故选A. 题组二：二项式展开式系数和 1．在二项式的展开式中，二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（   ） A． B． C．1 D．32 【答案】B 【详解】由二项式的展开式的二项式系数的和是，可得，解得， 令，则展开式中各项系数的和为.故选：B． 2．已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以，解得：. 所以奇数项的二项式系数和为.故选：A. 3．已知，则（ ） A．31 B．32 C．15 D．16 【答案】A 【解析】逆用二项式定理得，即，所以n=5，所以．故选:A 4．若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由，令，得， 令，得，.故选：D. 5．， 下列说法正确的是（      ） A．各项的二项式系数和为256 B． C． D． 【答案】B 【详解】对A：各项的二项式系数和为：，故A错误； 令可得：.令可得：①. 所以，故B正确； 令可得：② ①②可得：，故D错误； ①②可得：，故C错误. 故选：B 6．（多选）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 7．已知，则 ， . 【答案】 15 【详解】空一：因为，所以该二项式的通项公式为：， 令，所以； 空二：在中，令，所以，令，所以，因此，故答案为：15； 8．已知，则的值是 . 【答案】 【详解】令，则，即 令，则， 即，两式相加可得. 故答案为： 9．已知中，，且.则.（答案可保留指数式不必计算） 【答案】（1）（或29524） 【详解】因为，，，， 因为，所以，得. 令得：.① 令得：.② 由①②得：，即. 又，所以. 10．已知，若，则（ ） A．240 B．－240 C．280 D．－280 【答案】D 【详解】令，则有，即，故， 即有， 对，有， 令，则有，即.故选：D. 题组三：整除与余数 1．被9除所得的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【详解】由题意，的展开式为，当时，均可被9整除；当时，被9除所得的余数为7；综上所述：被9除所得的余数为7.故选：D. 2．被8除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．5 【答案】A 【详解】，因为能被8整除， 所以被8除所得的余数为1．故选：A. 3．今天是星期天，则天后是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一 【答案】B 【详解】因为，所以除以7的余数为6，所以天后是星期六．故选：B. 4．今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六 【答案】D 【详解】，由于括号中，除了最后一项外，其余各项都能被7整除，故整个式子除以4的余数为， 故经过天后是是星期六，故选：D． 5．的个位数字为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】因为， 而个位数均为0，所以的个位数字与相同，而因为个位数均为0，所以的个位数字与相同，故的个位数字为7.故选：B 6．设为奇数，那么除以13的余数是（    ） A． B．2 C．10 D．11 【答案】C 【详解】 因为为奇数，则上式=. 所以除以13的余数是10.故选：C. 7．已知，则除以10的余数为（    ） A．0 B．1 C．8 D．9 【答案】A 【详解】由可得， ， 则得，， 即.故m除以10的余数为0.故选：A. 8．已知，则被4除的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】令，由已知可得，，令，可得， 所以. 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0，故选：D. 9．若能被5整除，则x，n的一组值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，， 对于A，，，不能被5整除，A不是； 对于B，，，不能被5整除，B不是； 对于C，，，能被5整除，C是； 对于D，，，不能被5整除，D不是. 故选：C 10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为， 若，，则b的值可以是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】A 【详解】依题意， ，显然是正整数，因此被5除得的余数是1，而被5除得的余数分别是1，2，3，4，所以b的值可以是2021.故选：A 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．计算等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式可变为（+）-=．选项D. 2．(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝（ ） A．x5 B．x5－1 C．x5＋1 D．(x－1)5－1 【答案】B 【详解】逆用二项式定理，得原式＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.故选B. 3．已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为， 令，得，故选：B 4．被8除的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】 其中是8的整数倍，故被8除的余数为3.故选：B 5．已知，下列命题中，不正确的是（    ） A．展开式中所有项的二项式系数的和为 B．展开式中所有奇次项系数的和为 C．展开式中所有偶次项系数的和为 D． 【答案】B 【详解】对于A，二项式展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确； 对于B，令，则，， 所以展开式中所有奇次项系数的和为，B不正确； 对于C，由选项B知，展开式中所有偶次项系数的和为，C正确； 对于D，由选项B知，，，D正确. 故选：B 6．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，代入可得， ，则.故选：A. 7．若，则被8整除的余数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】在已知等式中，取得，取得， 两式相减得，即， 因为 因为能被8整除， 所以被8整除的余数为5， 即被8整除的余数为5，故选：B. 8．若，且，则实数的值可以为（ ） A．1或 B． C．或3 D． 【答案】A 【详解】令可得，即， 令，可得， ∵， ∴， ∴，整理得，解得或．故选：A. 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式共6项 B．常数项为64 C．所有项的系数之和为729 D．所有项的二项式系数之和为64 【答案】CD 【详解】展开式的总项数是7，A不正确；展开式的常数项为，B不正确； 取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确.故选：CD 10．若且，则实数m的值可以为（    ） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】AD 【详解】因为，令，则，令，则，则，故即或.故选：AD． 11．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对选项A， ，令，得，令，得，所以，故A错误.对选B，因为，所以表示的各项系数之和，令，则，故B正确. 对选项C，，所以，故C错误.对选项D，因为，，令，则， 则，故D正确.故选：BD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．在的展开式中，所有项系数的绝对值的和为 . 【答案】243 【详解】由的展开式中所有项系数的绝对值之和等于的展开式中所有项的系数和，所以令可得，故答案为：243. 13．已知，，若，则 ． 【答案】-5 【详解】令，∴，∴，中 .故答案为 14．若， 则的值为 【答案】1 【详解】由，令，则，令，则，则.故答案为：1. 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$