精品解析：江苏省宿迁市沭阳县2024-2025学年高二下学期4月期中调研测试数学试卷

2024~2025学年度第二学期期中调研测试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则正整数m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4 （ ） A. B. C. D. 5. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲，乙，丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 8. 若正整数，满足等式，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2023 D. 2024 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 用数字0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的是（ ） A. 共可组成360个四位数 B. 四位偶数有156个 C. 能被25整除的四位数有21个 D. 从小到大排列第89个数2340 11. 已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为，直线l是平面与的交线，则下列说法正确的是（ ） A. 平面α的一个法向量为 B. 直线l经过点 C. 直线l的一个方向向量为 D. 直线l与平面α所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 13. 的展开式中的系数为____________（用数字作答）. 14. 设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为______.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知. （1）求； （2）当时，求实数k的值. 16. 高二某班准备从7名班委中（其中男生4人，女生3人）选择4人参加活动. （1）共有多少种不同选法？（结果用数字作答） （2）若要求至少有两名女生，共有多少种不同选法？（结果用数字作答） （3）若7名班委中班长和副班长两人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种？（结果用数字作答） 17. 如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点. （1）用，，表示； （2）若为棱的中点，求； （3）是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 18. 已知. （1）若，求： ①的值， ②的值； （2）若，求最小值. 19. 如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，. （1）证明：； （2）若，动点矩形内（含边界），且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期中调研测试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.本卷满分150分，考试时长120分钟，考试结束后，只需上交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则正整数m的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合排列数公式列方程求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以，得. 故选：C 2. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 3. 在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，N为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何关系，结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】 . 故选：D 4. （ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由组合数的运算性质即可求解. 【详解】， 故选：B 5. 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 6. 若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】由题意可知：，且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 故选：A. 7. 学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲，乙，丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】通过分类讨论甲地去一组或两组，结合分组分配法求解. 【详解】若甲地去一组，从B，C，D选一组，剩下3组分成2组去两地即可， 则有， 若甲地去两组，从B，C，D选两组，剩下2组分成2组去两地即可， 则有， 故共有种， 故选：B 8. 若正整数，满足等式，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】由，再根据二项式定理展开后可求的值. 【详解】∵ ， ∴. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 10. 用数字0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的是（ ） A. 共可组成360个四位数 B. 四位偶数有156个 C. 能被25整除的四位数有21个 D. 从小到大排列第89个数为2340 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由特殊元素优先法，先选定最高位为非零数，其余数位全排，可得正误；对于B，由偶数个位的特征，分为个位为零与非零两种情况，结合分类加法原理，可得正误；对于C，由能被整除数的后两位的特征，分为两种情况，结合分类加法原理，可得正误；对于D，由高到低的数位，排列由小到大的数，依次计数，可得答案. 详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由能被整除的数后两位为，则，故C正确； 对于D，最高位为的四位数有，前两位为的四位数有， 前两位为的四位数有，前三位为的四位数有， 由，且，，则从小到大排列第个数为，故D错误. 故选BC. 11. 已知：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面α的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为，直线l是平面与的交线，则下列说法正确的是（ ） A. 平面α的一个法向量为 B. 直线l经过点 C. 直线l的一个方向向量为 D. 直线l与平面α所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的运算即可求解各选项. 【详解】由平面的方程为，所以可得平面法向量为，故A正确； 因为直线l是平面与的交线， 所以直线l经过的点必在这两个平面上，经检验： 满足方程，也满足， 故直线l经过点，故B正确； 设直线l的一个方向向量为， 而平面与的法向量分别为， 则有，可得， 令，则，所以，故C错误； , 故直线l与平面α所成角的正弦值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 【答案】##2.5 【解析】 分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 13. 的展开式中的系数为____________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】因为的二项展开式为， 令，可得； 令，可得； 可得， 所以的展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 设集合，若I的非空子集满足，我们称有序集合对为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为______.（用数字作答） 【答案】602 【解析】 【分析】通过讨论中元素个数，对应的为的补集的非空子集.即可求解. 【详解】若中只有一个元素，有种选择，此时对应的为的补集中个元素的非空子集有个，故有， 若中只有2个元素，有种选择，此时对应的为的补集中4个元素的非空子集有个，故有， 若中只有3个元素，有种选择，此时对应的为的补集中3个元素的非空子集有个，故有， 若中只有4个元素，有种选择，此时对应的为的补集中2个元素的非空子集有个，故有， 若中只有5个元素，有种选择，此时对应的为的补集中1个元素的非空子集有个，故有， 所以共有， 故答案为：602 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求； （2）当时，求实数k的值. 【答案】（1）2 （2）－1 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【小问1详解】 ， 所以 小问2详解】 因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 16. 高二某班准备从7名班委中（其中男生4人，女生3人）选择4人参加活动. （1）共有多少种不同选法？（结果用数字作答） （2）若要求至少有两名女生，共有多少种不同选法？（结果用数字作答） （3）若7名班委中班长和副班长两人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种？（结果用数字作答） 【答案】（1）35 （2）22 （3）25 【解析】 【分析】（1）由组合数计算，可得答案； （2）由女生人数，分为选或个女生，利用分类加法原理，可得答案； （3）由正难则反的思想，利用总的情况数减去两人同时参加的情况数，可得答案. 【小问1详解】 （种） 【小问2详解】 （种） 【小问3详解】 （种） 17. 如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点. （1）用，，表示； （2）若为棱的中点，求； （3）是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，为的中点 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可； （2）根据向量线性运算计算得，结合向量模长计算公式以及向量数量积计算公式计算即可； （3）设，根据向量线性运算计算得，再根据题意建立等式，计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 若P为棱的中点，则，， 所以 ； 【小问3详解】 设， 则，由（1）知 所以， 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 18. 已知. （1）若，求： ①的值， ②的值； （2）若，求的最小值. 【答案】（1）①153②78 （2）85 【解析】 【分析】（1）由赋值法，分别令，，即可求解； （2）由，得到，再通过和两类情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，所以 ①令得，， 令得，， 所以， ②令得，， 由①得，， 所以； 【小问2详解】 由得，， 所以， 当时，，， 当时，， 结合二次函数的性质可知当时， 所以的最小值为85 19. 如图，直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，，，. （1）证明：； （2）若，动点在矩形内（含边界），且. ①求动点的轨迹的长度； ②设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）①② 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，可完成证明； （2）①如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求长度；由①可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【小问1详解】 证明：直角梯形和矩形所在的平面互相垂直，且交线为，， 平面，所以平面, 因为平面，所以， 因为， 所以，可知， 又因，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. 【小问2详解】 ①因为平面，， 以为坐标原点，直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以，即， 整理可得：， 可知动点M的轨迹是以为圆心，半径为1的半圆， 所以动点M的轨迹的长度， ②由①可设：， 可得， 设平面的法向量， 则，则，取，可得， 则， 因为，则，可得， 所以， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$