精品解析：江苏省沭阳华冲高级中学2024-2025学年高一下学期期中调研测试数学试卷

2024~2025学年度第二学期期中调研测试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，则（ ）. A. B. C. D. 5. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则有（ ） A B. C. D. 7. 若非零向量满足，且，则（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边与腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若都是单位向量，则 B. 在四边形中，若，则四边形是平行四边形 C. 若，则 D. 若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底 10. 已知圆O内接四边形中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形面积为 C. 该外接圆的直径为 D. 11. 在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有一解 B. 若，则有两解 C. 面积的最大值为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围为. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i是虚数单位，则_______ 13. 点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心． 14. 已知，且，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，. （1）若实数，求； （2）在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足． （1）若，求； （2）若，求的坐标． 17. 设分别为三个内角，，的对边， 已知. （1）求； （2）若，是的平分线且交于点， 求线段的长. 18. 已知向量，，设函数. （1）求函数的最小正周期： （2）若，且，求的值; （3）在中， 若，求的取值范围. 19. 如图，已知矩形钢板PABQ，AB=6米，AP长不限，现截取一块直角梯形模板EABN(E、N分别在AP、BQ上)，且满足腰AB 上存在点M， 使得 设 米. （1）设 求f(θ)表达式： （2）当AM 的长为多少时，模板EABN的面积S最小，并求出这个最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期中调研测试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法法则得到，利用模长公式求出答案. 【详解】， 故. 故选：D 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用诱导公式和两角和的正弦公式即可求解. 【详解】. 故选：C 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案. 【详解】因为，由大角对大边可得， 由正弦定理得，且， 所以，故，充分性成立， 同理当时，，， 由正弦定理可得， 由大边对大角可得，必要性成立， “”是“”的充要条件. 故选：C 4. 设，则（ ）. A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据的范围，判断和的大小，去绝对值即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查平方关系和二倍角正弦公式的应用，以及，考查学生对三角恒等变换公式的掌握，属于基础题. 5. 已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量在向量上的投影向量的定义求解. 【详解】因为平面向量，，则， 所以向量在方向上的投影向量的坐标为： ， 故选：D. 6. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可. 【详解】 因为当时，为增函数， 所以，故 故选：C. 7. 若非零向量满足，且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 底边与腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由判断出，由判断出可得答案． 【详解】设的中点为，连接， 由，所以垂直平分， ， ，， ，， 三角形为等边三角形． 故选：D． 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据平面向量基本定理求，再利用基底表示和，再结合数量积运算，即可求解. 【详解】由条件可知，， 则，即，则， ， 所以， . 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若都是单位向量，则 B. 在四边形中，若，则四边形是平行四边形 C. 若，则 D. 若是平面内的一组基底，则和也能作为一组基底 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平面向量的概念逐项判断即可. 【详解】若都是单位向量，则模长相等，方向不一定相等，A说法错误； 在四边形中，若，则与平行且相等，四边形是平行四边形，B说法正确； 向量不能比较大小，C说法错误； 若是平面内的一组基底，则不共线， 假设和共线，即， 所以，此时无解， 所以和不共线，和也能作为一组基底，D说法正确； 故选：BD 10. 已知圆O内接四边形中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形的面积为 C. 该外接圆的直径为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质，以及余弦定理，正弦定理，以及三角形的面积公式，即可判断ABC，再根据平面向量数量积的几何意义，即可判断D. 【详解】A.由题意可知，，， 所以， 即，且， 所以，则，，故A正确； B.，故B正确； C.中，根据余弦定理，即， 设四边形外接圆的半径为，则，即，故C错误； D.取的中点，由垂径定理，结合向量数量积的几何意义可知， ，故D正确. 故选：ABD 11. 在中， 角，，的对边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有一解 B. 若，则有两解 C. 面积的最大值为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦定理，即可判断AB，根据余弦定理，面积公式，结合基本不等式，即可判断C，根据正弦定理，转化为三角函数问题，即可判断D. 【详解】A.根据正弦定理，，即，得, 且，则，则有一解，故A正确； B.若，则，可得，得，则有一解，故B错误； C.由余弦定理，，当时等号成立， 所以，所以面积的最大值为，故C正确； D.由，则，，且，得， 所以，, 所以范围是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 已知i是虚数单位，则_______ 【答案】0 【解析】 【分析】根据的运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为：0 13. 点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的__________心． 【答案】垂 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律可整理出，即；同理可得，，由垂心定义可知为垂心. 【详解】 ，即 同理可得：， 点为的垂心 本题正确结果：垂 【点睛】本题考查三角形垂心的判断，关键是能够通过向量数量积的运算律整理出垂直关系. 14. 已知，且，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据角的变换，再根据两角和差的余弦公式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即， 得，且 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设复数，. （1）若是实数，求； （2）在复平面内，复数所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求，再根据复数的乘法运算公式，以及共轭复数，即可求解； （2）首先根据复数的除法计算公式求解，再根据复数的几何意义，列不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 若是实数，则，得， 所以，，， 则； 【小问2详解】 ， 因为复数表示第四象限的点，所以， 得. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，点满足． （1）若，求； （2）若，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量垂直的坐标表示，列出方程求解即可； （2）由平面向量平行的坐标表示，列出方程求解即可． 【小问1详解】 由题可得，，， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 由题可知，， 因为，所以，解得， 所以，即的坐标为． 17. 设分别为三个内角，，的对边， 已知. （1）求； （2）若，是的平分线且交于点， 求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角函数变换公式，即可求解； （2）根据三角形面积公式，结合（1）的结果，列式求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， 所以，即，则， 因为，所以，则， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 则，解得. 18 已知向量，，设函数. （1）求函数的最小正周期： （2）若，且，求值; （3）在中， 若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，以及三角函数恒等变换和性质，即可求解； （2）根据条件代入后得，再根据两角差的正弦公式，即可求解； （3）首先求角，再根据三角函数恒等变换和性质，求函数的最值. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期； 【小问2详解】 ， 由，则，则， 则 ； 【小问3详解】 ，，， 所以，则， ， 由，， 所以，则， 所以的取值范围是. 19. 如图，已知矩形钢板PABQ，AB=6米，AP长不限，现截取一块直角梯形模板EABN(E、N分别在AP、BQ上)，且满足腰AB 上存在点M， 使得 设 米. （1）设 求f(θ)的表达式： （2）当AM 的长为多少时，模板EABN的面积S最小，并求出这个最小值. 【答案】（1） （2）；面积的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由，求得，在直角和中，求得和，结合，列出方程，即可求解； （2）在直角和中，求得和，利用直角梯形的面积公式，求得梯形的面积为，结合基本不等式，即可求得取得最小值. 【小问1详解】 解：如图所示，因为，可得， 所以， 在直角中，， 在直角中，， 由，可得，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知： 在直角中，， 在直角中，， 所以直角梯形的面积为：， 因为，所以，所以， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 当时，（米），此时取得最小值为平方米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$