2024-2025学年八年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）《数据的分析》20.2数据的波动程度十大题型

2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《数据的分析》 20.2数据的波动程度十大题型（解析版） 知识要点归纳---- 理清教材 提炼方法 知识点1、方差 1. 方差的概念 在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作. 注意：（1）方差的单位是原数据单位的平方。 （2） 方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况。 （3） 对于同类问题的两组数据，方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。 2. 方差的计算公式 3. 求方差的一般步骤 先平均、再做差、然后平方、最后再求平均数。 知识点2、用样本方差估计总体方差 在考察总体方差时，有时考察的总体包含很多个个体，或者考察本身具有破坏性，因此常用样本方差来估计总体方差。 方差只能反映一组数据的稳定程度，不能反映一组数据的一般水平，因而在用样本估计总体时，通常综合考虑样本平均数和样本方差。 知识点3、极差、平均差、标准差 极差的概念：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差。 平均差：一组数据中各个数据与平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的平均差。 标准差：方差的算术平方根. 题型归纳----- 题型分类 考点归纳 【题型1：求方差】 【题型2：利用方差求未知数据的值】 【题型3：利用方差判断稳定性】 【题型4：利用方差做决策】 【题型5：求极差】 【题型6：已知极差求未知数据的值】 【题型7：标准差】 【题型8：平均差】 【题型9：综合应用方差、极差、标准差解决实际问题】 【题型10：统计图表的综合应用】 典例精析专练-----深度剖析 跟踪训练 【题型1：求方差】 【例1】．某校为了选择初二年级的一名同学去参加环保知识竞赛，对他们进行了5次环保知识测试，已知小明的5次测试成绩分别为96分，90分，87分，87分，90分，小白的5次测试成绩的平均数为90分，方差为，请计算并说明选哪位同学参加比赛比较合适？ 【答案】小白参加比赛比较合适，理由见解析 【分析】本题考查方差的意义．方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动越小．先计算得到小明成绩的方差，再与小白选成绩的方差比较，派方差较小的那位． 【详解】解：小明成绩的平均数为（分）， 小明成绩的方差为， 因为小明和小白成绩的平均数相等，且小白成绩的方差小于小明成绩的方差， 所以选小白参加比赛比较合适． 针对训练1 1．小明同学参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分如下表，试求出五次成绩的平均值和方差． 五次测试成绩得分表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 分数 10 13 12 14 16 【答案】， 【分析】本题考查了平均数，方差，先求出平均数，再根据方差公式求方差． 【详解】解：， ． 2．为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名学生表现优异，他们在近六场比赛中的得分如折线图所示． (1)根据折线图中的数据填空： ①甲近六场比赛的平均得分是 分，乙近六场比赛的平均得分是 分； ②甲近六场得分的众数是 分，乙近六场得分的中位数是 分． (2)求甲、乙两名学生近六场得分的方差． (3)你认为甲、乙两名学生谁在这几场比赛中的表现更好，请说明理由． 【答案】(1)①26，26，②24和28，29 (2)甲学生近六场得分的方差为，乙学生近六场得分的方差为 (3)甲、乙两名学生的平均得分相等，说明两人的技能水平相当，但甲得分的方差小于乙得分的方差，说明甲在比赛中发挥更稳定，所以甲的表现更好 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，众数，方差，平均数等知识∶ （1）①根据平均数的定义列式计算即可；②根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据方差的定义列式计算即可； （3）根据平均数和方差的定义判断即可． 【详解】（1）解：①甲近六场比赛的平均得分是：（分）； 乙近六场比赛的平均得分是：（分）； ②甲近六场得分中，28分出现的次数最多，故众数是； 乙近六场得分从小到大排列为：， 故中位数是：； （2）解：甲学生近六场得分的方差：； 乙学生近六场得分的方差：； （3）解：甲、乙两名学生的平均得分相等，说明两人的技能水平相当，但甲得分的方差小于乙得分的方差，说明甲在比赛中发挥更稳定，所以甲的表现更好． 3．某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： (1)_______，_______，______． (2)求该校八（1）班前5名学生成绩的方差． (3)两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 【答案】(1)86，85，85 (2)八（1）班的方差为22.8； (3)八（2）班前5名的整体成绩较好．见解析 【分析】本题考查了求平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的求法及意义是解此题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的定义进行计算即可； （2）根据方差公式进行计算即可； （3）根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】（1）解：八（2）班成绩重新排列为：79，85，85，89，92， ∴， 85出现次数最多， ∴， 八（1）班成绩重新排列为：77，85，85，86，92， ， 故答案为：86，85，85； （2）解：由题意得： 八（1）班的方差为：， 八（1）班的方差为22.8； （3）解：八（2）班的方差为：， 八（1）班的平均数小于八（2）班的平均数，且八（2）班的方差小于八（1）班的方差， 八（2）班前5名的整体成绩较好． 【题型2：利用方差求未知数据的值】 【例2】．在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式： ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据方差的概念，得到这组数据为：3，3，4，6，再根据极差，中位数，众数，平均数的概念，得到其大小，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ∴样本的容量是4，故①说法正确； 这组数据为：3，3，4，6， 则中位数为：，故②说法错误； 样本的众数为：3，故③说法正确； 样本平均数为：，故④说法正确； 方差为：，故⑤说法错误； 则上述信息正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了方差，中位数，众数，算术平均数以及总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握相关概念是解答本题的关键． 针对训练2 1．在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，上述公式中的“38”是这组数据 ． 【答案】平均数 【分析】根据方差的计算公式即可分析求解．此题考查了方差的概念和平均数，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式． 【详解】∵我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：， ∴上述公式中的“38”是这组数据平均数． 故答案为：平均数． 2．用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查方差，算术平均数，由题意知，这组数据分别为5、7、9、m、n，且平均数为6，再根据算术平均数的定义可得答案． 【详解】解：由题意知，这组数据分别为5、7、9、m、n，且平均数为6， ， ， 故答案为：9． 3．已知一组数据的方差：，那么的值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差和算术平均数的定义．由题意知，这组数据分别为4、6、5、、，且平均数为5，再根据算术平均数的定义可得答案． 【详解】解：由题意知，这组数据分别为4、6、5、、，且平均数为5， ， 解得：， 故答案为：10 【题型3：利用方差判断稳定性】 【例3】．某学校劳动实践基地种植了甲、乙、丙、丁四个品种的蓝莓，收获时统计并计算这四种蓝莓平均每棵树的产量（单位：kg）和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 1.51 1.44 1.32 1.51 0.65 0.81 0.94 0.72 根据表中数据，从中挑选一个产量既高又稳定的品种作为下一年种植的品种，应该选择的品种是 （填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 【答案】甲 【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义．先比较平均数得到甲组和丁组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定． 【详解】解：且， ∴应该选择的品种是甲． 故答案为：甲． 针对训练3 1．某农科院从甲、乙、丙、丁四个品种的枣树中各随机抽取10棵，每个品种枣树产量的平均数及方差如下表所示．该农科院计划选取一个产量既高又稳定的枣树品种推广种植，应选取的品种是 ． 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 120 120 140 140 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 【答案】丙 【分析】本题主要考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数的意义． 先比较平均数得到丙组和丁组产量较好，然后比较方差得到乙、丙组的状态稳定，综合分析即可确定． 【详解】解：因为甲品种、乙品种的平均数比丙品种、丁品种小，而乙、丙组的方差比甲、丁组的小， 所以丙组的产量比较稳定，所以丙组的产量既高又稳定， 故答案为：丙． 2．甲，乙两台机床生产同种零件，为了了解机床的性能，随机抽查了10天生产零件的次品个数分别是： 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 已知，，，，则机床性能比较稳定的是 机床． 【答案】乙 【分析】本题考查了方差的计算，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 由方差定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴机床性能比较稳定的是乙机床， 故答案为：乙． 3．在实验中学运动会的跳高比赛中，甲、乙两位选手进行了五轮比赛，小红对他们的比赛成绩（单位：分，满分10分）进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则成绩的稳定性更好的选手是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：由折线图可知，甲选手的成绩波动范围较小（从最低分到最高分，差值为），而乙选手的成绩波动范围更大（从分到分，差值为），因此，甲选手的成绩更稳定． 故答案为：甲． 【题型4：利用方差做决策】 【例4】．某校举办“学生讲堂”，九年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙两位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分分）分别是分、分．在面试中，十位评委对甲、乙两位同学的表现进行打分，每位评委最高打分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙两位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲、乙两位同学打分的折线统计图 信息二：甲、乙两位同学面试情况统计表 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：____________分． (2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的波动越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对______________的评价更一致（填“甲”或“乙”）． (3)按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙两位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 【答案】(1)； (2)乙； (3)选甲同学参赛． 【分析】本题考查了折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是解题的关键． （）根据中位数的定义可得答案； （）根据方差的意义解答即可； （）根据加权平均数公式计算即可． 【详解】（1）解：十位评委对乙同学的表现打分：，，，，，，，，，， ∴从小到大排序为：，，，，，，，，，， ∴中位数， 故答案为：； （2）解：由折线统计图可知，甲的数据在和之间波动，乙的数据在和之间波动， ∴评委对乙同学的评价更一致， 故答案为：乙； （3）解：甲的综合成绩，（分）， 乙的综合成绩，（分）， ∵， ∴选甲同学参赛． 针对训练4 1．中国人有在元宵节这一天吃汤圆的传统，某食品加工厂家为迎接元宵节的到来，组织员工举行包汤圆比赛，规定所包汤圆质量为时符合标准，其中质量为优秀．现从甲、乙两位员工所包汤圆中各随机抽取个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：，，，，，，，，， 乙：，，，，，，，，， 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ． (2)在此次比赛中，甲员工共包了个汤圆，乙员工共包了个汤圆，请你估计两位员工各自所包汤圆中质量属于“优秀”的个数． (3)若要给所包汤圆质量较好的员工颁发奖品，你认为哪位员工应该获得奖品？请说明理由． 【答案】(1)， (2)甲、乙两位员工各自所包汤圆中质量属于“优秀”的个数分别为， (3)见解析 【分析】本题考查了中位数、众数的定义，利用样本估计总体以及用统计量作决策，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据中位数、众数的定义解答即可； （2）利用样本估计总体解答即可； （3）根据优秀率或者平均数、方差作决策解答即可． 【详解】（1）解：甲员工所包汤圆的中位数为， 乙员工所包汤圆的众数为， 故答案为：，； （2）解：甲：（个）， 乙：（个）， 甲、乙两位员工各自所包汤圆中质量属于“优秀”的个数分别为，； （3）解：甲员工应该获得奖品， 理由如下：甲员工所包汤圆的优秀率比乙员工高，所以甲员工应该获奖； （或乙员工应该获得奖品，理由如下：甲、乙两位员工的平均数相同，但乙员工的方差比甲员工小，所以乙员工所包汤圆的质量更加稳定，所以乙员工应该获奖．）（理由合理即可）． 2．某校为选拔学生参加市级的诗歌朗诵比赛，举办“诗歌朗诵”预赛，五位评委进行现场打分，甲、乙、丙三位选手参加了预赛，现将甲、乙、丙三位选手的得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 ①______ 9 8和9 乙 ②______ 9 丙 8 ③______ (2)在预赛中，如果在所有评委给出的分数中去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．求出按此计分规则后甲的方差； (3)如果从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 【答案】(1)①8.8，②9，③8 (2) (3)选甲更合适；理由见解析 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握平均数，中位数，众数，方差的计算，方程作决策是关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法即可求解； （2）根据题意，算出平均数，再由方差公式计算即可； （3）根据方差作决策即可． 【详解】（1）解：甲的平均分为， 乙的分数从低到高分别为：，则中位数为， 丙分数中8分的占，则众数为， 故答案为：①8.8，②9，③8 （2）解：甲的分数为：， ∴去掉一个最低分和一个最高分，甲的成绩为：， ∴甲的平均数为：， ∴； （3）解：选甲更合适；理由如下： 三人的平均分相同，但甲的方差最小，成绩最稳定，故选甲更合适（合理即可）． 3．某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86  94  79  84  71  90  76  83  90  87 八年级：88  76  90  78  87  93  75  87  87  79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； (2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； (3)你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 【答案】(1)85，87，七 (2)估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人 (3)我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好，理由见解析 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【详解】（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 故该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多，有3人，所以众数． A同学得了86分，大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生． 故答案为：85，87，七． （2）解：（人）， 答：估计两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为660人． （3）解：我认为八年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好． 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差， 所以八年级的学生掌握的总体水平较好．（答案不唯一） 【题型5：求极差】 【例5】．为了解八年级女生体质变化的情况，体育老师本学期从八年级全体女生中随机抽取20名女生进行体质测试，并调取这20名女生上学期的体质测试成绩，对两次成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：，，，）： 上学期：80  82  85  85  85  86  88 本学期：80  82  83  86  86  86  88  89 ③两个学期样本测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众数 上学期 84 85 本学期 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值是____________； (2)下列关于本学期样本测试成绩的结论：①；②；③成绩的极差可为41；④有可能等于80．其中正确结论的序号是______________； (3)从两个不同角度分析这20名女生从上学期到本学期体质变化情况． 【答案】(1) (2)① (3)见解析 【分析】（1）根据所给数据和直方图、中位数的定义即可得； （2）分别根据平均数、中位数、众数、极差的定义逐个判断即可得； （3）从中位数、频数分布直方图的角度分析即可得． 【详解】（1）解：由中位数的定义得：上学期样本测试成绩按从小到大的顺序排序后，第10个数和第11个数的平均数为其中位数， 则； （2）解：由中位数的定义得：本学期样本测试成绩按从小到大的顺序排序后，第10个数和第11个数的平均数为其中位数， 则，结论①正确， 由本学期测试成绩频数分布直方图可知，的人数为2人，的人数为4人，的人数为8人，的人数为6人， 成绩在的这部分数据中，86出现的次数最多，为3次，但在区间的成绩，有可能某个成绩的次数不少于3次，在区间的成绩，有可能某个成绩的次数不少于3次，则不一定等于86，即结论②错误， 由极差的定义得：本学期样本测试成绩的极差的最大值为， 则测试成绩的极差不可能为41，即结论③错误， 设的成绩和为，的成绩和为，的成绩和为，的成绩和为， 则，，， 即，，， ， 则， 由平均数的公式得：， 则， 即， 因此，没有可能等于80，即结论④错误， 综上，正确结论的序号是①， 故答案为：①； （3）解：从中位数上看，由上学期的分到本学期的86分，表明一半以上的女生体质情况有较大提升， 从成绩达到80分的女生数上看，本学期的人数为，上学期的人数为，即本学期比上学期增加3人，且90分以上的多2人，表明体质训练有效果． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数、中位数、平均数、极差等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 针对训练5 1．改变数据，，，中的某个数字的值后，新数据的下列统计量，与原数据相比，一定发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 【答案】A 【分析】本题考查了根据平均数、中位数、众数和极差的概念，解决要本题的关键是根据定义进行分析求解即可． 【详解】解：A选项：如果修改一个数字，总和改变，平均数必然改变， ， 如果只修改一个数， 则修改后的总和变为（新值原值）， 平均数一定变化， 故A选项符合题意； B选项：中位数的定义是，把一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，中间的一个数或两个数的平均数，是这一组数据的中位数， 改变一个数字后不一定改变中间的一个或两 数， 中位数不一定改变， 故B选项不符合题意； C选项：众数是这一组数据中出现次数最多的一个数， 只改变数据中的一个数字，不一定影响这组数据中出现次数最多的那个数字， 众数不一定改变， 故C选项不符合题意； D选项：极差是一组数据中最大值与最小值的差， 只改变一个数字，不一定影响这组数据中的最大值和最小值， 这组数据的极差不一定改变， 故D选项不符合题意． 故选： A． 2．挑选5名同学组成一个舞蹈队，已选中的4名同学的身高分别为：162，162，164，168（单位：）．要使所选5名同学的身高看上去最整齐，则第5名同学的身高最好为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数据变化的大小，要使5名同学的身高看上去最整齐，就要使5名同学身高差距变化比较小即可． 【详解】解：∵已选中的4名同学的身高分别为：162，162，164，168，升高差为， ∴要使所选5名同学的身高看上去最整齐，则第5名同学的身高最好为164和168之间的数字，各项中只有符合要求， 故选：C． 3．一组数据的极差是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查极差的概念，掌握极差的概念及计算是解题的关键．根据极差的概念“一组数据中最大数与最小数的差”求解． 【详解】解：∵数据的最大数为3、最小数为， ∴这组数据的极差为， 故答案为：5． 【题型6：已知极差求未知数据的值】 【例6】．如果一组数据1，3，5，x的极差为6，求这组数据的平均数． 【答案】4或2 【分析】根据极差的定义求解．分两种情况：x为最大值或最小值．再根据平均数的公式求解即可． 【详解】解：一组数据1，3，5，x的极差是6， 当x为最大值时，x-1=6，则x=7，平均数是：（1+3+5+7）÷4=4； 当x是最小值时，5-x=6，解得：x=-1，平均数是：（-1+1+3+5）÷4=2． 故答案为：4或2． 【点睛】本题考查了极差的定义和算术平均数，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键． 针对训练6 1．如果一组数据﹣1，0，2，3，x的极差为6 （1）求x的值； （2）求这组数据的平均数． 【答案】（1）x=5或x=-3；（2）或 【分析】（1）根据极差的定义求解.分两种情况：x为最大值或最小值.（2）根据平均数的公式求解即可． 【详解】解：（1）∵3+1＝4＜6，∴x为最大值或最小值． 当x为最大值时，有x+1＝6，解得x＝5． 当x为最小值时，3﹣x＝6，解得x＝﹣3； （2）当x为5时，平均数为 ． 当x为﹣3时，平均数为 ． 【点睛】本题考查了极差的定义和算术平均数，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键. 2．若一组数据5，，2，x，的极差为13，则x的值为 ． 【答案】9或-8/-8或9 【分析】根据极差的定义分两种情况进行讨论，当x是最大值时，x-（-4）=13，当x是最小值时，5-x=13，再进行计算即可． 【详解】解：∵5，−4，2，x，−1的极差为13， ∴当x是最大值时，x-（-4）=13，当x是最小值时，5-x=13， 解得x=9或x=-8， 故答案为：9或-8． 【点睛】本题考查了极差，解题的关键是分情况讨论x． 3．一组数据3，2，1，4，的极差为5，则为 . 【答案】－1或6 【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论． 【详解】解：当x是最大值，则x-（1）=5， 所以x=6； 当x是最小值，则4-x=5， 所以x=－1； 故答案为－1或6． 【点睛】本题考查极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，同时注意分类的思想的运用． 【题型7：标准差】 【例7】．数据12，13，14，16，x，已知平均数是14，则这组数据的标准差为 ． 【答案】 【分析】本题考查求标准差，根据平均数求出的值，根据标准差的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 针对训练7 1．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差． 【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为， 则原来的方差， 现在的方差 ， 所以方差不变，标准差为2． 故答案为：2． 2．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求平均数、标准差、方差的方法，理解并掌握平均数、标准差和方差的定义是解题关键．方差和标准差的关系．标准差是方差的平方根． 分别列出二组数据的平均数和方差的数学式子，进行对比容易得出方差，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，数据的平均数为5，方差为16， 即， ， 则的平均数 ， 另一组数据的方差 ， ∴标准差． 故答案为：12． 3．小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了平均数与方差，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．先根据平均数的定义求出，再代入公式求出方差，然后求出方差的算术平方根即标准差的值． 【详解】解：根据题意知，， 则， ． 故答案为． 【题型8：平均差】 【例8】．小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 【答案】23% 【分析】根据增长率=今年的增加的支出÷去年的支出总数即可求出． 【详解】去年的支出总数=3600+1200+7200=12000元， 则今年的增加的支出=3600×10%+1200×20%+7200×30%=2760元， ∴小明家今年的总支出比去年增长的百分数=2760÷12000=23%． 故答案为23%． 【点睛】本题考查了增长率的计算．增长率=今年的增加的量÷去年的总量． 针对训练8 1．我县某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我太康”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b． 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% （1）请依据图表中的数据，求a，b的值； （2）直接写出表中的m，n的值； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）m＝6；n＝20%；（3）八年级队比七年级队成绩好，理由见解析． 【分析】（1）根据题意，得到关于字母的方程组，解二元一次方程组即可； （2）一组数据，按顺序排列，位于中间的数（偶数个数，取中间两个数的平均值）就是中位数m，再用优秀的人数除以总人数即可得到n的值； （3）根据表格中的平均数、中位数进行说明比较即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得a＝5，b＝1； （2）七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6，即m＝6； 优秀率为＝20%，即n＝20%； （3）八年级平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定， 故八年级队比七年级队成绩好． 【点睛】本题考查平均数、中位数、方差、条形统计图等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数,即T=(|x1-|+|x2-|+…+|xn-|)叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它代替方差来比较数据的离散程度.最大值与最小值的差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量. 一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的质量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况.为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞,分开养殖或出售.他从甲、乙两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得质量(单位:千克)如下: 甲鱼塘:3、5、5、5、7、7、5、5、5、3 乙鱼塘:4、4、5、6、6、5、6、6、4、4 (1)分别计算从甲、乙两个鱼塘中抽取的10条鱼的质量的极差(极差:最大值与最小值的差)、方差、平均差.完成下面的表格: 极差(千克) 方差 平均差(千克) 甲鱼塘 乙鱼塘 (2)如果你是技术人员,你会告诉李大爷哪个鱼塘的风险更大些?哪些量更能说明鱼质量的离散程度? 【答案】（1）（6分） 极差 方差 平均差 A 4 1.6 0.8 B 2 0.8 0.8 （2）极差与方差 （4分） 【详解】试题分析：（1）根据极差、方差、平均差的定义分别计算即可；（2）因为要防止出现“大鱼吃小鱼”的情况，所以注意了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，即波动大小，波动大的风险更大，根据（1）中的数据可得极差与方差更能说明鱼重量的离散程度. 试题解析：（1）甲组数据中最大的值7，最小值3，故极差=7-3=4， 甲=（3×2+6×5+2×7）÷10=5，S2甲==1.6， =（|3-5|+|5-5|+…+|3-5|）=0.8； 乙组数据中最大的值6，最小值4，故极差=6-4=2；乙=（4×4+6×4+5×2）÷10=5， =（|4-5|+|4-5|+…+|4-5|）=0.8； S2乙=[（4-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（6-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（6-5）2+（4-5）2+（4-5）2]÷10=0.8， 极差 方差 平均差 A 4 1.6 0.8 B 2 0.8 0.8 （2）∵S2甲＜S2乙；所以根据A，B的极差与方差可以得出A鱼塘风险更大．极差与方差更能说明鱼重量的离散程度 考点：1. 极差；2. 方差；3. 平均差. 【题型9：综合应用方差、极差、标准差解决实际问题】 【例9】．周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： (1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． (2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． (3)你建议周老师应如何选择上班路线？ 【答案】(1)22 (2)路线所用的时间更稳定，理由见解析 (3)周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线 【分析】本题主要考查了极差、方差的意义、折线统计图等知识点，掌握方差和折线统计图的意义成为解题的关键． （1）先确定这两周用时最多和最少时间，然后作差即可解答； （2）先根据方差公式求出方差，再根据方差的意义分析即可解答； （3）直接分析折线统计图即可解答． 【详解】（1）解：这十天中周老师上班路上所用时间最多的为40分钟，最少为18分钟，则这十天中周老师上班路上所用时间最多相差分钟． 故答案为：22． （2）解：路线所用的时间更稳定，理由如下： 记第一周上班选择路线A用时的平均数，方差分别为，，第二周上班选择路线用时的平均数，方差分别为，． ，． ， ． 因为，即， 所以路线所用的时间更稳定． （3）解：对比这两周的折线统计图：可建议周老师周一上班选择路线，周二到周五上班选择路线A． 针对训练9 1．某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名同学参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢个以上（含）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）． 1号 2号 3号 4号 5号 总分 甲班 乙班 统计两班总分相等，此时有同学建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考，请你解答下列问题： (1)甲班比赛数据的中位数为 ，乙班比赛数据的极差为 ； (2)分别计算出甲乙两班比赛数据的方差； (3)根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由． 【答案】(1)， (2)， (3)甲班，甲、乙两班平均数相同，甲班方差小，成绩稳定 【分析】此题主要考查了方差、中位数、极差等知识． （1）根据中位数和极差的含义和求法，分别求出答案即可． （2）根据方差的含义和求法，求出两个比赛数据的方差各是多少即可． （3）根据以上信息，判断出哪个班的成绩稳定，就应该把冠军奖状发给哪一个班级． 【详解】（1）解：甲班比赛数据从小到大排列为：，，，，， ∴中位数为， 乙班比赛数据的最大值为，最小值为， ∴乙班比赛数据的极差为， 故答案为：， （2）甲班5名学生踢毽子的个数的平均数是：（个）； 乙班5名学生踢毽子的个数的平均数是：（个）； ； （3）甲班，理由：∵甲、乙两班平均数相同，甲班方差小，成绩稳定， ∴把冠军奖状发给甲班． 2．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息： A B C D E 平均分 方差 数学 71 72 69 68 70 2 英语 88 82 94 85 76 85 （公式：方差，其中是平均数．） (1)求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差． (2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分个人成绩平均成绩标准差（说明：标准差为方差的算术平方根）．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 【答案】(1)数学成绩的平均分为70分，英语成绩的方差为36分； (2)A同学在本次考试中，数学学科考得更好，理由见解析 【分析】（1）由平均数的概念计算平均数，再根据方差的定义得出即可； （2）根据标准分的计算公式：标准分个人成绩平均成绩标准差，计算数学和英语的标准分，然后比较． 【详解】（1）解：数学成绩的平均分为：； 英语成绩的方差为：； 答：数学成绩的平均分为70分，英语成绩的方差为36分； （2）解：A同学数学标准分为：， A同学英语标准分为：， 因为，所以，A同学在本次考试中，数学学科考得更好． 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算，正确把握方差的定义是解题关键． 3．世界最大的水利枢纽三峡工程，在年5月日大坝下闸蓄水前，大坝库区内的巴东、巫山、万县等8个地点的水位的海拔分别为（m）： ． 而在6月1日下闸后半月内上述地点的水位的海拔分别为（m）： ． (1)分别求出上述两组数据的平均数、方差和标准差（精确到）． (2)利用什么统计量可以说明大坝不闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象？这种景象在下闸前后有哪些主要的变化？ 【答案】(1)下闸蓄水前平均数为，方差为，标准差为；下闸蓄水后平均数为，方差为，标准差为 (2)平均数，这种景象在下闸前后海拔明显增加 【分析】（1）根据平均数，方差，标准差的定义计算即可； （2）根据平均数的定义解决问题即可． 【详解】（1）下闸蓄水前： 平均数， 方差， 标准差； 下闸蓄水后： 平均数， 方差， 标准差． （2）利用平均数可以说明大坝下闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象，这种景象在下闸前后海拔明显增加． 【点睛】本题考查统计量的选择，平均数，方差，标准差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【题型10：统计图表的综合应用】 【例10】．在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（每位测试员打分不超过10分），各位测试员打分之和作为该款智能机器人运动能力测试成绩．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p (1)填空：　　　，　　　； (2)通过比较方差，判断测试员对　　　（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； (3)按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 【答案】(1)， (2) (3)综合成绩最高的是B款机器人 【分析】本题考查扇形统计图，折线统计图和统计表，解题的关键是读懂题意，掌握中位数，众数，方差等概念． （1）把A款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，即，由表知，即可得测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； （3）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴A款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分， ∴， 故答案为：9；8； （2）解：由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴， 由表知， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； 故答案为：B； （3）解：∵A款机器人的综合成绩为（分）， B款机器人的综合成绩为（分）， C款机器人的综合成绩为（分）， ∵， ∴综合成绩最高的是B款机器人． 针对训练10 1．某校九年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：），数据整理如下： ．1班  168  171  172  174  174  176  177  179    2班  168  171  175  176  176  176  177  177 ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如表： 班级 平均数 中位数 众数 1班 173.875 174 174 2班 174.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高越整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是 班（填“1”或“2”）； (3)1班的6位首发选手的身高分别为168，172，174，174，176，177．如果2班已经选出4位首发选手，身高分别为168，175，176，176，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则选出的另外两名选手的身高分别是 和 ． 【答案】(1)176，176 (2)2 (3)171，176 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键． （1）根据中位数和众数概念，即可作答； （2）根据方差的概念，即可作答； （3）先求出1班6位首发选手的平均身高，再求出2班另外两名选手的身高取值范围；接着根据题意，从方差的概念入手，确定第六位选手的身高． 【详解】（1）2班数据从小到大排列为168，171，175，176，176，176，177，177， 从中可以看出一共八个数，第四个数据为176、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：，故； 其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故； 故答案为：176，176． （2）根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然． 1班的身高分布于，2班的身高分布于， 从中可以看出，2班的数据较1班的数据波动较小，更加稳定，所以2班的选手身高比较整齐， 故答案为：2． （3）（厘米） 设2班另外两名选手的身高分别为厘米，厘米， 则， ， ∵方差要尽可能小， 则2班6位首发选手的身高数据应分布于， 即：另外两名选手的身高分别是和， 故答案为：171，176． 2．为积极响应国家科技创新驱动发展战略，检验高校计算机专业在人工智能方向的学科建设成效，加速培养适应新兴科技领域学术专业人才．某省对甲，乙两所重点高校各抽取50名计算机专业学生，进行人工智能算法应用能力测试，满分为50分．根据测试成绩，规定测试成绩不低于35分为达标． 数据整理： ①甲校学生成绩的频数分布表如下： 组别 成绩x（分） 频数（人数） 第一组 3 第二组 4 第三组 a 第四组 13 第五组 20 ②甲校抽取学生的成绩在这一组的具体数据是35、35、36、37、38、39、39、39、40、40、41、42、43． ③乙校学生成绩频数分布直方图如下： 数据分析：对甲、乙两校学生的成绩进行如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 达标率 甲校 b 39 乙校 38 39 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ． (2)小明认为甲、乙两校成绩的平均数相等，因此两校成绩一样好，小夏认为小明的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 【答案】(1)，， (2)甲校的中位数大于乙校的中位数，甲校的达标率大于乙校的达标率，当甲校的方差大于乙校的方差，甲校的成绩相当较好，但不稳定，乙校的成绩比较稳定（言之有理即可） 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数，根据调查数据作决策的方法是关键． （1）根据中位数，众数的计算方法求解即可； （2）根据调查数据作决策即可． 【详解】（1）解：对甲，乙两所重点高校各抽取50名计算机专业学生， ∴， ∴中位数落在第25，26为同学的成绩的平均数， ∴， ∵测试成绩不低于35分为达标，乙班打标的人数为（人）， ∴， 故答案为：，，； （2）解：甲校、乙校的平均数相等，众数相同，甲校的中位数大于乙校的中位数，甲校的达标率大于乙校的达标率，但甲校的方差大于乙校的方差， ∴甲校的成绩相当较好，但不稳定，乙校的成绩比较稳定（言之有理即可）． 3．某果园今年种植的苹果喜获丰收，该果园种植了甲、乙两种品种的苹果，现随机选取两种品种的苹果树各10棵，对苹果个数进行统计并记录如下： 甲品种： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 个数 68 76 65 47 65 71 65 78 70 75 乙品种； (1)填空： 品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差 甲 68 ②___________ 69 0 69.4 乙 ①___________ 45 ③___________ ④___________ 329 (2)根据上述材料分析： ①如果果园计划扩大种植面积，在两种品种苹果销量和价格一致的情况下，增加哪个品种的苹果种植面积更好？请说明理由； ②如果农科所要选取其中一个品种研究以获得更高产量，应该选取哪个品种？请说明理由． 【答案】(1)①68，②65，③68，④0.4 (2)①选甲，理由见解析；②应该选取乙品种，理由见解析 【分析】本题考查求平均数，众数，中位数和频率，利用方差作决策： （1）根据平均数，众数，中位数和频率的计算方法进行计算即可； （2）①利用方差做决策即可；②根据频率作决策即可． 【详解】（1）解：乙的平均数为：； 甲的数据中出现次数最多的是，故众数为65； 乙的数据排序后，中位数为：； 乙品种中不低于80个的频率为：； 填表如下： 品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差 甲 68 65 69 0 69.4 乙 68 45 68 0.4 329 （2）①甲品种平均产量和乙品种一致，但甲品种方差更小，稳定性更好，同时它的众数和中位数均高于乙品种，大面积种植风险更小，故选甲． ②应该选取乙品种，因为乙品种不低于80个的高产苹果频率为40%，甲品种为0，故乙品种更容易出现高产苹果． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下题型技巧培优系列 （人教版）八年级数学下册《数据的分析》 20.2数据的波动程度十大题型 知识要点归纳---- 理清教材 提炼方法 知识点1、方差 1. 方差的概念 在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作. 注意：（1）方差的单位是原数据单位的平方。 （2） 方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况。 （3） 对于同类问题的两组数据，方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。 2. 方差的计算公式 3. 求方差的一般步骤 先平均、再做差、然后平方、最后再求平均数。 知识点2、用样本方差估计总体方差 在考察总体方差时，有时考察的总体包含很多个个体，或者考察本身具有破坏性，因此常用样本方差来估计总体方差。 方差只能反映一组数据的稳定程度，不能反映一组数据的一般水平，因而在用样本估计总体时，通常综合考虑样本平均数和样本方差。 知识点3、极差、平均差、标准差 极差的概念：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差。 平均差：一组数据中各个数据与平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的平均差。 标准差：方差的算术平方根. 题型归纳----- 题型分类 考点归纳 【题型1：求方差】 【题型2：利用方差求未知数据的值】 【题型3：利用方差判断稳定性】 【题型4：利用方差做决策】 【题型5：求极差】 【题型6：已知极差求未知数据的值】 【题型7：标准差】 【题型8：平均差】 【题型9：综合应用方差、极差、标准差解决实际问题】 【题型10：统计图表的综合应用】 典例精析专练-----深度剖析 跟踪训练 【题型1：求方差】 【例1】．某校为了选择初二年级的一名同学去参加环保知识竞赛，对他们进行了5次环保知识测试，已知小明的5次测试成绩分别为96分，90分，87分，87分，90分，小白的5次测试成绩的平均数为90分，方差为，请计算并说明选哪位同学参加比赛比较合适？ 针对训练1 1．小明同学参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分如下表，试求出五次成绩的平均值和方差． 五次测试成绩得分表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 分数 10 13 12 14 16 2．为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在九年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名学生表现优异，他们在近六场比赛中的得分如折线图所示． (1)根据折线图中的数据填空： ①甲近六场比赛的平均得分是 分，乙近六场比赛的平均得分是 分； ②甲近六场得分的众数是 分，乙近六场得分的中位数是 分． (2)求甲、乙两名学生近六场得分的方差． (3)你认为甲、乙两名学生谁在这几场比赛中的表现更好，请说明理由． 3．某校八（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名学生的成绩（满分：100分）如下： 八（1）班：92，86，85，85，77； 八（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名学生成绩的有关统计数据如表： 平均分 中位数 众数 方差 八（1）班 85 b 85 八（2）班 a 85 c 19.2 请解决下面问题： (1)_______，_______，______． (2)求该校八（1）班前5名学生成绩的方差． (3)两个班中，哪个班前5名学生的整体成绩更好？为什么？ 【题型2：利用方差求未知数据的值】 【例2】．在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式： ，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ． 针对训练2 1．在国际数学奥林匹克比赛中，中国队荣获团体总分第一名，我国参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：，上述公式中的“38”是这组数据 ． 2．用方差公式计算一组数据的方差：，则的值为 ． 3．已知一组数据的方差：，那么的值为 ． 【题型3：利用方差判断稳定性】 【例3】．某学校劳动实践基地种植了甲、乙、丙、丁四个品种的蓝莓，收获时统计并计算这四种蓝莓平均每棵树的产量（单位：kg）和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 1.51 1.44 1.32 1.51 0.65 0.81 0.94 0.72 根据表中数据，从中挑选一个产量既高又稳定的品种作为下一年种植的品种，应该选择的品种是 （填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 针对训练3 1．某农科院从甲、乙、丙、丁四个品种的枣树中各随机抽取10棵，每个品种枣树产量的平均数及方差如下表所示．该农科院计划选取一个产量既高又稳定的枣树品种推广种植，应选取的品种是 ． 品种 甲 乙 丙 丁 平均数 120 120 140 140 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 2．甲，乙两台机床生产同种零件，为了了解机床的性能，随机抽查了10天生产零件的次品个数分别是： 甲 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 已知，，，，则机床性能比较稳定的是 机床． 3．在实验中学运动会的跳高比赛中，甲、乙两位选手进行了五轮比赛，小红对他们的比赛成绩（单位：分，满分10分）进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则成绩的稳定性更好的选手是 （填“甲”或“乙”）． 【题型4：利用方差做决策】 【例4】．某校举办“学生讲堂”，九年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．在笔试中，甲、乙两位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分分）分别是分、分．在面试中，十位评委对甲、乙两位同学的表现进行打分，每位评委最高打分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、乙两位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息一：评委给甲、乙两位同学打分的折线统计图 信息二：甲、乙两位同学面试情况统计表 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：____________分． (2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的波动越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对______________的评价更一致（填“甲”或“乙”）． (3)按笔试成绩占，面试成绩占确定甲、乙两位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛同学． 针对训练4 1．中国人有在元宵节这一天吃汤圆的传统，某食品加工厂家为迎接元宵节的到来，组织员工举行包汤圆比赛，规定所包汤圆质量为时符合标准，其中质量为优秀．现从甲、乙两位员工所包汤圆中各随机抽取个进行评测，质量分别如下（单位：）： 甲：，，，，，，，，， 乙：，，，，，，，，， 分析数据如表： 员工 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ． (2)在此次比赛中，甲员工共包了个汤圆，乙员工共包了个汤圆，请你估计两位员工各自所包汤圆中质量属于“优秀”的个数． (3)若要给所包汤圆质量较好的员工颁发奖品，你认为哪位员工应该获得奖品？请说明理由． 2．某校为选拔学生参加市级的诗歌朗诵比赛，举办“诗歌朗诵”预赛，五位评委进行现场打分，甲、乙、丙三位选手参加了预赛，现将甲、乙、丙三位选手的得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 ①______ 9 8和9 乙 ②______ 9 丙 8 ③______ (2)在预赛中，如果在所有评委给出的分数中去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．求出按此计分规则后甲的方差； (3)如果从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 3．某校组织七、八年级学生参加了“中华传统文化知识”问答测试．已知七、八年级各有学生600人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级：86  94  79  84  71  90  76  83  90  87 八年级：88  76  90  78  87  93  75  87  87  79 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 a 90 44.4 八年级 84 87 b 36.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是______年级的学生； (2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； (3)你认为哪个年级的学生掌握中华传统文化知识的总体水平较好？（请从平均数、中位数、众数、方差等角度分析，写出一条理由即可） 【题型5：求极差】 【例5】．为了解八年级女生体质变化的情况，体育老师本学期从八年级全体女生中随机抽取20名女生进行体质测试，并调取这20名女生上学期的体质测试成绩，对两次成绩进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： ①两次测试成绩（百分制）的频数分布直方图如下（数据分组：，，，）： 上学期：80  82  85  85  85  86  88 本学期：80  82  83  86  86  86  88  89 ③两个学期样本测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 学期 平均数 中位数 众数 上学期 84 85 本学期 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值是____________； (2)下列关于本学期样本测试成绩的结论：①；②；③成绩的极差可为41；④有可能等于80．其中正确结论的序号是______________； (3)从两个不同角度分析这20名女生从上学期到本学期体质变化情况． 针对训练5 1．改变数据，，，中的某个数字的值后，新数据的下列统计量，与原数据相比，一定发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 2．挑选5名同学组成一个舞蹈队，已选中的4名同学的身高分别为：162，162，164，168（单位：）．要使所选5名同学的身高看上去最整齐，则第5名同学的身高最好为（　　） A． B． C． D． 3．一组数据的极差是 ． 【题型6：已知极差求未知数据的值】 【例6】．如果一组数据1，3，5，x的极差为6，求这组数据的平均数． 针对训练6 1．如果一组数据﹣1，0，2，3，x的极差为6 （1）求x的值； （2）求这组数据的平均数． 2．若一组数据5，，2，x，的极差为13，则x的值为 ． 3．一组数据3，2，1，4，的极差为5，则为 . 【题型7：标准差】 【例7】．数据12，13，14，16，x，已知平均数是14，则这组数据的标准差为 ． 针对训练7 1．已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是 ． 2．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ． 3．小明利用公式计算若干个数的方差，则这些数的标准差为 ． 【题型8：平均差】 【例8】．小明家去年的旅游、教育、饮食支出分别出3600元，1200元，7200元，今年这三项支出依次比去年增长10%，20%，30%，则小时家今年的总支出比去年增长的百分数是 ． 针对训练8 1．我县某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我太康”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b． 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 6.7 m 3.41 90% n 八年级 7.1 7.5 1.69 80% 10% （1）请依据图表中的数据，求a，b的值； （2）直接写出表中的m，n的值； （3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由． 2．在一组数据x1,x2,…,xn中,各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数,即T=(|x1-|+|x2-|+…+|xn-|)叫做这组数据的“平均差”.“平均差”也能描述一组数据的离散程度.“平均差”越大说明数据的离散程度越大.因为“平均差”的计算比方差的计算要容易一点,所以有时人们也用它代替方差来比较数据的离散程度.最大值与最小值的差、方差(标准差)、平均差都是反映数据离散程度的量. 一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的质量的离散程度,因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况.为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况,在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞,分开养殖或出售.他从甲、乙两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得质量(单位:千克)如下: 甲鱼塘:3、5、5、5、7、7、5、5、5、3 乙鱼塘:4、4、5、6、6、5、6、6、4、4 (1)分别计算从甲、乙两个鱼塘中抽取的10条鱼的质量的极差(极差:最大值与最小值的差)、方差、平均差.完成下面的表格: 极差(千克) 方差 平均差(千克) 甲鱼塘 乙鱼塘 (2)如果你是技术人员,你会告诉李大爷哪个鱼塘的风险更大些?哪些量更能说明鱼质量的离散程度? 【题型9：综合应用方差、极差、标准差解决实际问题】 【例9】．周老师平时上班有A，两条路线可以选择，她记录了两周共十天的上班路上所用的时间并绘制了如下统计图： (1)这十天中周老师上班路上所用时间最多相差______． (2)哪一条上班路线用时更稳定？请通过计算说明． (3)你建议周老师应如何选择上班路线？ 针对训练9 1．某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名同学参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢个以上（含）为优秀，下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）． 1号 2号 3号 4号 5号 总分 甲班 乙班 统计两班总分相等，此时有同学建议，可以通过考查数据中的其他信息作为参考，请你解答下列问题： (1)甲班比赛数据的中位数为 ，乙班比赛数据的极差为 ； (2)分别计算出甲乙两班比赛数据的方差； (3)根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由． 2．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息： A B C D E 平均分 方差 数学 71 72 69 68 70 2 英语 88 82 94 85 76 85 （公式：方差，其中是平均数．） (1)求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差． (2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分个人成绩平均成绩标准差（说明：标准差为方差的算术平方根）．从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 3．世界最大的水利枢纽三峡工程，在年5月日大坝下闸蓄水前，大坝库区内的巴东、巫山、万县等8个地点的水位的海拔分别为（m）： ． 而在6月1日下闸后半月内上述地点的水位的海拔分别为（m）： ． (1)分别求出上述两组数据的平均数、方差和标准差（精确到）． (2)利用什么统计量可以说明大坝不闸蓄水后长江出现“高峡出平湖”的景象？这种景象在下闸前后有哪些主要的变化？ 【题型10：统计图表的综合应用】 【例10】．在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域．某科研团队研发了A，B，C三款智能机器人．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A，B，C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（每位测试员打分不超过10分），各位测试员打分之和作为该款智能机器人运动能力测试成绩．现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优． 【数据收集与整理】 A，B，C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 B 8 87 C 8 n p (1)填空：　　　，　　　； (2)通过比较方差，判断测试员对　　　（填“A”“B”或“C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； (3)按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你通过计算判断A，B，C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 针对训练10 1．某校九年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高（单位：），数据整理如下： ．1班  168  171  172  174  174  176  177  179    2班  168  171  175  176  176  176  177  177 ．每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如表： 班级 平均数 中位数 众数 1班 173.875 174 174 2班 174.5 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中的值； (2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高越整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是 班（填“1”或“2”）； (3)1班的6位首发选手的身高分别为168，172，174，174，176，177．如果2班已经选出4位首发选手，身高分别为168，175，176，176，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则选出的另外两名选手的身高分别是 和 ． 2．为积极响应国家科技创新驱动发展战略，检验高校计算机专业在人工智能方向的学科建设成效，加速培养适应新兴科技领域学术专业人才．某省对甲，乙两所重点高校各抽取50名计算机专业学生，进行人工智能算法应用能力测试，满分为50分．根据测试成绩，规定测试成绩不低于35分为达标． 数据整理： ①甲校学生成绩的频数分布表如下： 组别 成绩x（分） 频数（人数） 第一组 3 第二组 4 第三组 a 第四组 13 第五组 20 ②甲校抽取学生的成绩在这一组的具体数据是35、35、36、37、38、39、39、39、40、40、41、42、43． ③乙校学生成绩频数分布直方图如下： 数据分析：对甲、乙两校学生的成绩进行如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 达标率 甲校 b 39 乙校 38 39 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ． (2)小明认为甲、乙两校成绩的平均数相等，因此两校成绩一样好，小夏认为小明的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 3．某果园今年种植的苹果喜获丰收，该果园种植了甲、乙两种品种的苹果，现随机选取两种品种的苹果树各10棵，对苹果个数进行统计并记录如下： 甲品种： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 个数 68 76 65 47 65 71 65 78 70 75 乙品种； (1)填空： 品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差 甲 68 ②___________ 69 0 69.4 乙 ①___________ 45 ③___________ ④___________ 329 (2)根据上述材料分析： ①如果果园计划扩大种植面积，在两种品种苹果销量和价格一致的情况下，增加哪个品种的苹果种植面积更好？请说明理由； ②如果农科所要选取其中一个品种研究以获得更高产量，应该选取哪个品种？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$