精品解析：江西省抚州市金溪县实验中学、锦绣中学2024-2025学年九年级下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年度下学期九年级4月份考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡的相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 据统计，今年1月至6月，瑞金市开展红色研学有177批学生参与，约50500人．50500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可； 【详解】解：50500用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 如图是一个“U”形工件，则其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看得到的视图，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看可得到长方形少了一个半圆，即主视图为 ， 故选：A 4. 定期举行马拉松可以提高全民的身体素质．选手李华在比赛中匀速跑步，运动的路程h（米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，根据匀速跑步可知路程h将随时间t的增大而变增大，且相同时间内路程的变化量相同，据此可得答案． 【详解】解：李华匀速跑步， 路程h将随时间t的增大而变增大，且相同时间内路程的变化量相同， 用上升趋势的直线型表示， 只有B符合题意， 故选：B 5. 为促进全民阅读，市阅读协会在全市各学校开展阅读活动．某学校赵莉同学统计了 l—8月全班同学的课外阅读时间(单位：小时)绘制了折线统计图，下列说法不正确的是（ ） 学生 1—8月份全班课外阅读时间拆线统计图 A. 每月阅读时间的平均数是58小时 B. 众数是58小时 C. 中位数是58小时 D. 每月阅读时间超过58小时有3个月 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了求平均数，中位数，众数，根据各数的定义分别求值判断，正确理解折线统计图，掌握各定义是解题的关键． 【详解】A. 每月阅读时间的平均数是小时，故该项错误，符合题意； B. 众数是58小时，故该项正确，不符合题意； C. 将各数据从小到大排列后居中的两个数是，故中位数是58小时，故该项正确，不符合题意； D. 每月阅读时间超过58小时的有3个月，故该项正确，不符合题意； 故选：A． 6. 如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. _______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．根据求解算术平方根即可得． 【详解】解：， 故答案为：4． 8. 因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【分析】直接找出公因式，进而提取公因式得出即可． 【详解】 故答案为： 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 9. 在坐标平面内，先将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平移方式，求点的坐标，熟练掌握平移特点，是解题的关键．根据点向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点，求出的坐标即可． 【详解】解：将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点，则点的坐标是，即． 故答案为： 10. 按一定规律，，，，则第个单项式是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题的关键． 直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案即可． 【详解】解：∵，，，， ， ∴第个单项式， ∴第个单项式是， 故答案为：． 11. 如图1，小言用七巧板拼了一正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形（如图2所示），连接矩形对角线，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了考查了求三角函数．根据七巧板得到①和②板块为全等的等腰直角三角形，矩形对角线分割的直角三角形三边比，即可求出的值． 【详解】解：如图，①和②板块为全等的等腰直角三角形， 矩形对角线分割的直角三角形三边比， 故答案为： 12. 如图，正方形的边长为2，以边上的动点O为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的直径为________． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键． 分三种情况讨论，设的半径为r，分别根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设的半径为r， 当经过的中点，即经过的中点． ， 当经过的中点，则， ，， 在中，， ， 解得：（负值舍去）， 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为M， ，，， ， 解得：， 综上所述，直径为，，， 故答案为：，，． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、解二元一次方程组，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． （1）计算乘方和特殊角的三角函数即可求解； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ①得：③． ②③得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 原方程组的解为：． 14. 请仅用无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①，在菱形中，点E是的中点，请过E作出的平行线． （2）如图②，在中，点E，是的中点，请找出的中点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理： （1）如图所示，连接交于O，连接并延长，交于F，则直线即为所求； （2）如图所示，连接交于O，连接并延长，交于G，连接交于H，连接并延长交于F，点F即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，连接交于O，连接并延长，交于F，则直线即为所求； 由菱形的性质可得O为中点，得是中位线，则； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于O，连接并延长，交于G，连接交于H，连接并延长交于F，点F即为所求． 由菱平行四边形的性质可得O为中点，得是中位线，则，则四边形是平行四边形，则为中点，则，可证明四边形为平行四边形，则，即F为的中点． 15. 贵州是避暑胜地，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到贵州旅游，两人分别从“黄果树瀑布”、“荔波小七孔”、“梵净山”三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点“荔波小七孔”的概率是________； （2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式即可直接求得； （2）画出树状图，根据概率所求情况数与总情况数之比即可求解． 【小问1详解】 解：甲选择“荔波小七孔”的概率是， 故答案为：． 小问2详解】 解：画树状图如下：记“黄果树瀑布”、“荔波小七孔”、“梵净山”三个景点分别为A、B、C．共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个景点的结果有3种， 甲、乙两人选择同一个景点的概率为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B在函数的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，，连结、． （1）求B点的坐标． （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键． （1）将点A的坐标代入求出k的值，然后求出点B的坐标即可； （2）利用计算解题． 【小问1详解】 解：将点A的坐标代入可得， 的值为8； 函数的解析式为， ，， ， ， 点B的横坐标为6，将代入，得， 点B的坐标． 【小问2详解】 ． 17. 如图，点C是以为直径的与直线l的交点，，过点A作，垂足为D，连接、． （1）求证：直线l是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，利用等腰三角形的性质得到，再利用圆周角定理得到，进而得到，然后利用切线到判定可得结论； （2）先利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形到性质求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图． ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线l是的切线； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ，， ， 即， ， 的半径为． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 中秋佳节，亲戚好友互相走动送礼物，已知购买1盒月饼和2盒蛋黄酥共需200元；购买2盒月饼和3盒蛋黄酥共需360元． （1）求一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格； （2）小红计划购买月饼和蛋黄酥共15盒，总费用不超过1600元，问最多可以购买月饼多少盒？ 【答案】（1）一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格分别为120元，40元 （2）最多可以购买月饼12盒 【解析】 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键； （1）设一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格分别为x元，y元，，根据题意可以列出关于x、y的方程，求解即可； （2）设月饼a盒，则购买蛋黄酥盒，根据总费用不超过1600元列出关于a的不等式，求解可得a的取值范围； 再结合a为整数，确定a的最大整数解，从而得到最多可以购买多少盒月饼． 【小问1详解】 解：设一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得， 答：一盒月饼和一盒蛋黄酥的价格分别为120元，40元； 【小问2详解】 解：设月饼a盒，则购买蛋黄酥盒， 根据题意，得， 解得， 为正整数， 的最大值为12． 答：最多可以购买月饼12盒． 19. 如图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为E，该支架的边与的夹角，又测得米．（参考数据：，，，，，） （1）求该支架的边长； （2）求支架的边的顶端D到地面的距离．（结果精确到1米） 【答案】（1）该支架的边的长为6米 （2）支架的边的顶端D到地面的距离为8米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）解直角三角形可求出； （2）根据的长进而得出的长，再解直角三角形即可得到的长；过点作于，过点作于，则四边形是矩形，得米，，进而得，即得，解直角三角形得到的长，即可求出的顶端到地面的距离； 【小问1详解】 解：在中，，，米， 米， 该支架的边的长为6米； 【小问2详解】 解：米， 米， ， ， 在中，米． 如图，过点D作于H，过点B作于点G， 则四边形是矩形． 米，， ． ， 在中，米， 米， 支架的边的顶端D到地面的距离为8米． 20. 农业科研人员小钟在试验田里种植了新品种水稻，为考察水稻长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小钟计划从试验田里抽取100株水稻，将抽取的这100株水稻的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是________；（只填序号） ①抽取长势最好的100株水稻的长度作为样本 ②抽取长势最差的100株水稻的长度作为样本 ③随机抽取100株水稻的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小钟采用合理的调查方式获得该试验田100株水稻（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100株水稻长度频率分布表 试验田100株水稻长度频数分布直方表 长度 频率 合计 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的________； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）已知长度不小于的水稻为合格水稻，在该试验田中约有1200株水稻，请你估计在试验田中合格水稻有多少株？ 【答案】（1）③ （2）① ②图见解析 （3）估计在试验田中合格水稻有1008株 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性、频数分布表、用样本估计总体，掌握抽样调查以及读懂频数分布表是解题的关键． （1）根据抽样调查的特点回答即可； （2）用总数减去其他频数即可求； （3）根据用样本估计总体求解． 【详解】解：（1）抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性， 故答案为：③； （2）①频率分布表中的， 故答案为：； ②水稻长度频率分布在之间的频数有：，频数分布直方图补全如下： （3）水稻长度不小于的频率为：， ∴在试验田中合格水稻估计有：（株）， 答：估计在试验田中合格水稻有1008株． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现： 如图1，是的中位线．求证：，．小明思考了一会，觉得可以通过证从而得到该定理的证明． 定理证明： （1）请你根据小明的思路，结合图1，给出该定理的证明过程． （2）如图2，在中，，，D是边的中点，E是边上一点．若平分的周长，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据两边成比例且夹角相等可得，则，，即可证明结论； （2）延长至点F，使，连接，证明是的中位线，得，再证明，过点C作于点H，求出，从而可得结论． 【小问1详解】 证明：是的中位线， 点D、E分别、的中点， ， 又， ， ，， ，． 【小问2详解】 解：延长至点F，使，连接， 是的中点， ． 平分的周长， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 又， ， 过点C作于点H， ， ∴ ． 22. 某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点C处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图．已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离米． （1）请求出抛物线的函数表达式； （2）求点的坐标． （3）点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 【答案】（1）； （2）； （3）石头到轴的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解一元二次方程，一次函数的应用，熟练掌握二次函数性质是解题的关键． （）将代入，得，然后根据抛物线的顶点横坐标为，再代入即可求解； （）联立，然后解方程即可； （）由题意可得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：由题可得，将代入，得， ∴， ∵抛物线的顶点横坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 得（负值舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得，， 解得，（舍去）， ∴此时石头到轴的距离为米． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点． （1）如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若，点从点移动到点过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合即可求解； （2）在上截取，连接，交于点H，连接，先证明，再证明四边形是平行四边形，可得，记与的交点为点N，则由轴对称可知：，，再解即可； （3）连接，记与的交点为点N，由轴对称知，，，，当点G在边上时，由于，当为等腰三角形时，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；当点G在延长线上时，只能是， 设，在中，，解得，设，解直角三角形求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 在上截取，连接，交于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 记与的交点为点N， 则由轴对称可知：，， ∴中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，记与的交点为点N， ∵， ∴， 由轴对称知， 当点G在边上时，由于， ∴当为等腰三角形时，只能是， 同（1）方法得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴中，，解得， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点G在延长线上时，只能，如图： 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 解得， ∴， 设，则，， 在中，，由勾股定理求得， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的分类讨论，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期九年级4月份考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡的相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 据统计，今年1月至6月，瑞金市开展红色研学有177批学生参与，约50500人．50500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个“U”形工件，则其主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 定期举行马拉松可以提高全民的身体素质．选手李华在比赛中匀速跑步，运动的路程h（米）与时间t（分）这两个变量之间的关系用图象可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 为促进全民阅读，市阅读协会在全市各学校开展阅读活动．某学校赵莉同学统计了 l—8月全班同学的课外阅读时间(单位：小时)绘制了折线统计图，下列说法不正确的是（ ） 学生 1—8月份全班课外阅读时间拆线统计图 A. 每月阅读时间的平均数是58小时 B. 众数是58小时 C. 中位数是58小时 D. 每月阅读时间超过58小时的有3个月 6. 如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A. 4种 B. 3种 C. 2种 D. 1种 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. _______． 8. 因式分解：___________ 9. 在坐标平面内，先将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到点的坐标是________． 10. 按一定规律，，，，则第个单项式是______． 11. 如图1，小言用七巧板拼了一正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形（如图2所示），连接矩形对角线，则的值为________． 12. 如图，正方形的边长为2，以边上的动点O为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的直径为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程组 14. 请仅用无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①，在菱形中，点E是的中点，请过E作出的平行线． （2）如图②，在中，点E，是的中点，请找出的中点． 15. 贵州是避暑胜地，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到贵州旅游，两人分别从“黄果树瀑布”、“荔波小七孔”、“梵净山”三个景点中随机选择一个景点游览． （1）甲选择景点“荔波小七孔”概率是________； （2）请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个景点的概率． 16. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B在函数的图象上（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C，，连结、． （1）求B点的坐标． （2）求四边形的面积． 17. 如图，点C是以为直径的与直线l的交点，，过点A作，垂足为D，连接、． （1）求证：直线l是的切线； （2）若，，求的半径． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18 中秋佳节，亲戚好友互相走动送礼物，已知购买1盒月饼和2盒蛋黄酥共需200元；购买2盒月饼和3盒蛋黄酥共需360元． （1）求一盒月饼和一盒蛋黄酥价格； （2）小红计划购买月饼和蛋黄酥共15盒，总费用不超过1600元，问最多可以购买月饼多少盒？ 19. 如图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为E，该支架的边与的夹角，又测得米．（参考数据：，，，，，） （1）求该支架的边长； （2）求支架的边的顶端D到地面的距离．（结果精确到1米） 20. 农业科研人员小钟在试验田里种植了新品种水稻，为考察水稻长度的分布情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小钟计划从试验田里抽取100株水稻，将抽取的这100株水稻的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是________；（只填序号） ①抽取长势最好的100株水稻的长度作为样本 ②抽取长势最差100株水稻的长度作为样本 ③随机抽取100株水稻的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小钟采用合理的调查方式获得该试验田100株水稻（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 试验田100株水稻长度频率分布表 试验田100株水稻长度频数分布直方表 长度 频率 合计 根据以上图表信息，解答下列问题： ①频率分布表中的________； ②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） 【作出合理估计】 （3）已知长度不小于的水稻为合格水稻，在该试验田中约有1200株水稻，请你估计在试验田中合格水稻有多少株？ 五、解答题（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 课本再现： 如图1，是的中位线．求证：，．小明思考了一会，觉得可以通过证从而得到该定理的证明． 定理证明： （1）请你根据小明的思路，结合图1，给出该定理的证明过程． （2）如图2，在中，，，D是边的中点，E是边上一点．若平分的周长，求的长． 22. 某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点C处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图．已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为，米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离米． （1）请求出抛物线函数表达式； （2）求点的坐标． （3）点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点． （1）如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$