精品解析：广西壮族自治区河池市十校协作体2024-2025学年高一下学期第一次联考数学试题

2025年春季学期高一年级校联体第一次联考 数 学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 如图，四边形ABCD斜二测直观图为等腰梯形，已知，则四边形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. 28 B. 58 C. 56 D. 5. 已知两个单位向量，的夹角为30°，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与D，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. z的模为 B. 复数z的虚部等于 C. D. z对应复平面内的点在第三象限 10. 设向量，，则下列叙述正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为 C. 与垂直的单位向量可为 D. 若，则或-2 11. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 的最大值为6 B. △ABC外接圆的半径为4 C. △ABC周长的最大值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量,，若，则_________． 13. 在△ABC中，若点D满足，则＝________（以向量、基底表示向量）． 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非零向量、满足，且． （1）求与夹角； （2）求的值． 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 （1）求角A的大小； （2）若，，求△ABC面积． 17. 已知圆锥的半径，母线长为． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 18. 如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． （1）设，求实数的值； （2）设是上一点，且，求的值． 19. 已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A的值； （2）若，求△ABC周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季学期高一年级校联体第一次联考 数 学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模计算公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：C 2. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求角，利用大边对大角确定角的范围即可求解. 【详解】由可得：，所以， 又，则， 所以． 故选：A 3. 如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则四边形ABCD的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法的规则来还原平面图，即可求解. 【详解】如图①，过作于E， 由等腰梯形可得是等腰直角三角形， 即， 还原平面图，如下图：为直角梯形， 则， 所以四边形ABCD的面积为，即B正确． 故选：B． 4. 底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（ ） A. 28 B. 58 C. 56 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两个正四棱锥的体积公式即可求解，也可用一个棱台公式求解体积. 【详解】方法一（割补法）：由于相似比为，而截去的正四棱锥的高为， 所以原正四棱锥的高为， 所以原正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为. 方法二：（台体的体积公式）棱台的体积为. 故选：C. 5. 已知两个单位向量，的夹角为30°，且满足，则的值为（ ） A 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直时数量积为列方程求解即可. 【详解】由单位向量，的夹角为，则， 由，可得， 即，可得，解得， 故选：B． 6. 长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经900多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与D，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，在中，利用正弦定理求解. 【详解】设，则，且， 在中，， ∴，即， ． 故选：D． 7. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积公式求解即可. 【详解】因为在中，，，， 所以． 故选：A． 8. 如图，在平行四边形中，，为的中点，为上的一点，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件利用向量的加法法则用表示，再利用平面向量基本定理结合条件列出方程组，求解即可. 【详解】，为的中点， ，， 三点共线， 设 ， 又， ，解得. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. z的模为 B. 复数z的虚部等于 C. D. z对应复平面内的点在第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法运算，结合复数的相关概念即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，故A正确； 对于B项：，所以复数z的虚部等于－2，所以B项错误； 对于C项：，所以C项正确； 对于D项：，对应的点在复平面的第三象限，所以D项正确. 故选：ACD． 10. 设向量，，则下列叙述正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为 C. 与垂直的单位向量可为 D. 若，则或-2 【答案】CD 【解析】 【分析】利用向量夹角公式求解判断A；求出模的最小值判断B；求出与垂直的单位向量判断C；由模求出参数判断D. 【详解】对于A，由与的夹角为钝角，得，且， 解得，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，与垂直的单位向量为或，C正确； 对于D，由，得，解得或，D正确 故选：CD 11. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 的最大值为6 B. △ABC外接圆的半径为4 C. △ABC周长的最大值为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用余弦定理结合基本不等式得到的最大值，再运用数量积的定义求得的最大值即可判断；对于B，根据正弦定理得，求得即可判断；对于C，由选项A 得,结合基本不等式得的最大值，进而得△ABC周长的最大值即可判断；对于D，由条件得，再通过正弦定理角化边即可判断. 【详解】对于A，根据余弦定理得，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立．所以，所以A正确． 对于B，因为，所以△ABC外接圆的半径为2，所以B错误. 对于C，由选项A 得，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以，所以C正确． 对于D，因为，所以，所以，所以D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量,，若，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】分析:直接代向量平行的坐标公式即得x的值. 详解：由题得2×（-2）-x=0，所以x=-4.故填-4. 点睛：本题主要考查向量平行的坐标运算公式，属于基础题. 13. 在△ABC中，若点D满足，则＝________（以向量、为基底表示向量）． 【答案】 【解析】 【分析】以向量、为基底，利用向量的三角形法则进行向量运算即可得解. 【详解】， ， . 故答案为：. 14. 已知圆柱的下底面圆的内接正三角形的边长为3，为圆柱上底面圆上任意一点，若三棱锥的体积为，则圆柱的外接球的体积___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，由正三角形性质求出圆柱底面圆半径，利用锥体体积公式求出圆柱的高，再利用圆柱及外接球的结构特征求出球半径即可. 【详解】由圆的内接正的边长为3，得圆的半径， ，三棱锥的高即圆柱的高， 由，解得，圆柱的两底面圆是其外接球的两个截面小圆， 由这两个截面小圆平行且全等，得该球球心到截面小圆距离，则球半径， 所以圆柱的外接球的体积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知非零向量、满足，且． （1）求与的夹角； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，结合向量夹角的取值范围可得出与的夹角； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【小问1详解】 ，，，， ，，， ，与的夹角为． 【小问2详解】 ， 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 （1）求角A的大小； （2）若，，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化成角，化简求得角A； （2）由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求得面积. 【小问1详解】 由正弦定理得． 因为，所以， 因为中，，所以． 【小问2详解】 由，及余弦定理． 得，解得或（舍）， 所以 17. 已知圆锥的半径，母线长为． （1）求圆锥的表面积和体积； （2）如图，过AO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积． 【答案】（1）表面积，体积 （2）体积，表面积 【解析】 【分析】（1）设圆锥的高为h，分别应用表面积和体积公式，求出表面积和体积即可得到答案. （2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，根据圆锥表面积和圆柱侧面积即可得到剩下几何体的表面积，即可得到答案. 小问1详解】 设圆锥的高为h， 由题意得： 圆锥侧面积， 圆锥的底面积， 圆锥的表面积； 圆锥的体积为． 【小问2详解】 由（1）可得：圆锥的体积为 又圆柱的底面半径为，高（母线）为 圆柱的体积为 剩下几何体的体积为； 由（1）得圆锥的表面积； 18. 如图，在中，，是的中点，点满足，与交于点． （1）设，求实数的值； （2）设是上一点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，得到，，利用平面向量基本定量得到，即可求解； （2）根据条件，得到，再利用（1）结果，可得，代入数据化简得到答案. 【小问1详解】 设，，因为， 故，整理得， 又，即，则①， 设，，又是的中点， 所以②， 联立①②，据平面向量其本定理得，解得，， 所以实数的值为. 【小问2详解】 因为， 又，则，得到， 由（1）知，又， 则. 19. 已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A的值； （2）若，求△ABC周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可求解； （2）证明，，证明，证明，证明即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 整理得， 在中，， ，即， ，即； 【小问2详解】 由正弦定理得， ∴，， ∴， ， ∴， 在锐角中 ， ∴，， ∴， ∴周长取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$