精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

南京师大附中2024—2025学年度第2学期 高一年级期中考试数学试卷 命题人：高一数学备课组 审阅人：高一数学备课组 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则（ ） A B. C. D. 4. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 7. 已知正八边形的边长为2，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上的投影向量为 B. 当时， C. 的最小值为2 D. 的最大值为0 11. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（ ） A. 存在唯一的，使得 B. 存在无数个，使得 C. 存在唯一，使得 D. 不存在，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填涂在答题卡相应位置上． 12. 在中，为的中点，为的中点．若，则的值为_________． 13. 若是第一象限角，且，则的值为_________． 14. 设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，已知复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若为实数，且与复数相等，求的值． 16. 在中，已知，，和的夹角为，且． （1）若为的中点，求． （2）已知，若，求实数的值． 17 已知向量，，函数． （1）若，求最小值； （2）若，，求的值． 18. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知． （1）若，求； （2）求的取值范围； （3）设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值． 19. 正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用． 已知函数，，． （1）求的值； （2）设函数，求的值域； （3）本小题你有两个选择，请选择其中一个作答： ①判断函数零点个数，并说明理由； ②判断函数的零点个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京师大附中2024—2025学年度第2学期 高一年级期中考试数学试卷 命题人：高一数学备课组 审阅人：高一数学备课组 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线定理，就可以求出x的值，然后用模长公式求模长. 【详解】因为，所以，即 所以，所以 所以， 故选：B. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 故选：B 3. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，利用两角和的正切公式可得. 【详解】因为， 所以， 因为, 所以. 故选：C. 4. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．若，且，则的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理可得： ， 所以， 所以， 故选：C 5. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由切化弦，再结合两角和差的正弦公式即可求解. 【详解】， 故选：D 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用两角差的余弦公式展开计算即可. 【详解】原式 . 故选：C. 7. 已知正八边形的边长为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正八边形的特征有，确定相关线段长度，再应用向量数量积的定义求值. 【详解】如下图示，由正八边形的特征易知， 所以，， 由. 故选：C 8. 如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过向作垂线，垂足为，设，分别在直角三角形、、中依次求出，，，再由求出即可求解. 【详解】过向作垂线，垂足为，设， 则在直角三角形中可知，在直角三角形中可知， 直角三角形中可知， 因为，所以，即， 因此可得． 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9. 已知，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的概念、模长公式及代数形式的乘除运算逐个判断. 【详解】对于AB，设， 则，所以，故A错误； ，所以，故B正确； 考虑特例，，满足，显然不成立， C错误； 因为，所以，即， 所以，故D正确． 故选：BD 10. 已知，与夹角为，若且（，），则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上投影向量为 B. 当时， C. 的最小值为2 D. 的最大值为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由已知可得，则在上投影向量为，即可判断；对于B，由已知可知P在的中线上，又，则，即可判断；对于C， 由平方可得，又，令，则，即可求得的最小值，即可判断；对于D，由，可得，再由可得，即可判断. 【详解】由题意可知O，M，N三点构成边长为2的等边三角形． 因为，与夹角为， 所以， 对于A，当时，，又因为，所以， 故在上投影向量为，故A错误； 对于B，当时，根据向量的平行四边形法则可知P在的中线上， 又因为是等边三角形，所以，则，故B正确； 对于C， 由平方可得，即， 则，又，所以， 则， 又，令， 则， 因为，所以，即时，取得最小值， 所以的最小值为2，故C正确； 对于D， ， 因为，所以，要求此式子最大，即求最小． 由，得， 故，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 在中，内角，，所对应的边分别为，，．已知，且，，为连续正整数，则（ ） A. 存在唯一的，使得 B. 存在无数个，使得 C. 存在唯一的，使得 D. 不存在，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意设，，，结合倍角公式及余弦定理逐个判断即可. 【详解】设，，，且， 由于边c最长，所以需满足，即，解得，故A正确；B错误； 由得，即，即， 因此有，即，所以， 代入本题数据有，解得，故C正确； 由得，即， 即，即， 即，即， 化简有，整理得，又，， 即，由求根公式可得：， 故无解，D正确． 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填涂在答题卡相应位置上． 12. 在中，为的中点，为的中点．若，则的值为_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由平面向量线性运算及基本定理即可求解. 【详解】因为在中，为的中点，为的中点． 所以，， 所以， 又因为， 所以，则， 故答案为： 13. 若是第一象限角，且，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数关系及倍角公式即可求解. 【详解】因为，又是第一象限角，易得， 原式， 故答案为： 14. 设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：由的几何意义借助三角形面积公式即可求解；法二：设，由正弦定理求得，再结合新定义即可求解. 【详解】 设，则，因为与的夹角为 如图由向量减法法则可知，已知一边长，其对角为， 设，则由余弦定理得， 由基本不等式得，所以，即，当且仅当时取等号， 因为，即的几何意义即为三角形面积的两倍， 所以 所以的最大值为； 【法二】 设，，则，因为与的夹角为 则 由正弦定理可知 ． 当时，取得最大值，所以的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，已知复数． （1）若对应的点在第一象限，求的取值范围； （2）若为实数，且与复数相等，求的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）由题设列出关于x的不等式组即可计算求解； （2）由复数相等得方程组，解方程组即可得解. 【小问1详解】 由对应的点在第一象限得，解得， 所以的取值范围是； 【小问2详解】 由得，即， 所以，解得或． 16. 在中，已知，，和的夹角为，且． （1）若为的中点，求． （2）已知，若，求实数的值． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）首先可得，再由数量积的运算律及定义计算可得； （2）用、表示，再由数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为，，和的夹角为，且， 所以 因为为中点，所以， 所以； 【小问2详解】 因为 ， 所以， 即有， 代入已知条件有，解得． 17 已知向量，，函数． （1）若，求的最小值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用数量积的坐标运算、二倍角公式、辅助角公式化简，再求的范围，即可求最值； （2）先根据以及，缩小的范围，进而求出，最后变形，利用两角和差的余弦公式即可. 【小问1详解】 由题意可得， 由，得， 所以当，即时，取最小值； 【小问2详解】 因，得， 又，得， 所以，即， 所以， 因此 . 18. 在中，内角，，的对边分别为，，．已知． （1）若，求； （2）求的取值范围； （3）设是边上一点，若，，记，的面积分别为，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由和差化积公式及中角之间的关系化简已知等式，可得，得，再由，，即可求出； （2）（1）知，中角之间的关系求得，利用正弦定理可得的取值范围； （3）利用已知条件和三角形的面积公式化简，即可求得的值． 【小问1详解】 因为在中，， 由和差化积公式得， 又在中，，则， 因为，所以， 则， 所以或（舍去），所以， 已知，所以，则. 【小问2详解】 由（1）知， 在三角形中，所以，即， 则， 所以，由正弦定理， 即的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）知，又， 则，， 在中，由正弦定理得，， 所以 又， 所以. 即. 19. 正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用． 已知函数，，． （1）求的值； （2）设函数，求的值域； （3）本小题你有两个选择，请选择其中一个作答： ①判断函数的零点个数，并说明理由； ②判断函数的零点个数，并说明理由． 【答案】（1）0 （2） （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意写出函数解析式，根据正弦函数的和差公式，可得答案； （2）由题意写出函数解析式，根据正弦函数的和角公式与二倍角公式，整理函数解析式，利用换元，结合三角函数与二次函数的性质，可得答案； （3）由三角函数的诱导公式，可得函数的周期性，利用积化和差公式，可得函数值与零的大小关系，可得答案. 【小问1详解】 由题意可， . 【小问2详解】 由题意可得，， ， ， 令，则，即，值域为. 小问3详解】 选① ， 故只要关注时的零点个数， 根据和差化积公式可得 由得，即 故时恒大于零，即无零点， 根据对称性得时恒小于零，即无零点， 当时，， 综上所述，在上有且仅有唯一的零点． 选② ， 故只要关注时的零点个数， 根据和差化积公式可得 由得，即 故时恒大于零，即无零点， 根据对称性得时恒小于零，即无零点， 当时，， 综上所述，在上有且仅有唯一的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$