2.6.1 菱形的性质 同步练习 2024-2025学年 湘教版数学八年级下册

2.6.1 菱形的性质 同步练习 　班级__________姓名____________总分___________ 本节应掌握和应用的知识点 １．有一组邻边相等的平行四边形叫菱形． ２．菱形的四条边都相等,对角线既互相平分又互相垂直 ． ３．菱形是中心对称图形,又是轴对称 图形,对角线的交点是对称中心,两条对角线所在的直线 是它的对称轴． ４．菱形的面积是它的两条对角线的积的一半 ． 基础知识和能力拓展精练 一、选择题 1．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 2．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线相等 B. 两组对边分别平行 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 3．菱形ABCD的周长是20，对角线AC=8，则菱形ABCD的面积是（　　） A. 12 B. 24 C. 40 D. 48 4．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，且∠CDF＝24°， 则∠DAB等于（ ） A. 102° B. 104° C. 106° D. 114° 5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（　　） A. 4 B. 4 C. 4 D. 28 7．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　） A. 3：1 B. 4：1 C. 5：1 D. 6：1 8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. +1 9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为(　　) A. n-1 B. n C. n D. n-1 二、填空题 10．如图，四边形 是菱形， 于点 ，则线段的长为__________． 11．如图，菱形ABCD的边长为4，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠B＝60°，则EF的长为________. 12．如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的最小值为 _____. 13．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是_____． 14．如图，两条笔直的公路,相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路的距离为4公里，则村庄C到公路的距离是_____公里. 15．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是_______． 16．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，则△CEF的面积最大值是____． 三、解答题 17．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF． 求证：∠ABF=∠CBE． 18．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F，连接EF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）∠BEF=∠BFE． 19．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角． （1）求证：AD⊥BF； （2）若BF=BC，求∠ADC的度数． 20．菱形周长为40cm，它的一条对角线长10cm。 （1）求菱形的每一个内角的度数。 （2）求菱形另一条对角线的长。 （3）求菱形的面积。 21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），以AE为边作∠EAF，使得∠EAF=∠BAD，射线AF交边CD于点F． （1）如图1，当点E是边CB的中点时，判断并证明线段AE，AF之间的数量关系； （2）如图2，当点E不是边BC的中点时，求证：BE=CF． 22．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2． （1）若CE=1，求BC的长； （2）探究AM 与DF、ME有什么数量关系. 参考答案 1．C 【解析】试题解析：∵在菱形ABCD中，AC=8，BD=6， ∴AB=BC，∠AOB=90°，AO=4，BO=3， ∴BC=AB==5， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18． 故选C． 2．A 【解析】解：∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等； ∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等． 故选A． 3．B 【解析】解：∵菱形ABCD的周长是20，∴AB=20÷4=5，AC⊥BD，OA=AC=4，∴OB= =3，∴BD=2OB=6，∴菱形ABCD的面积是： AC•BD=×8×6=24．故选B． 点睛：此题考查了菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是熟练运用勾股定理以及菱形的各种性质． 4．B 【解析】解：如图，连接BD，BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∴∠DAC=∠DCA．∵EF垂直平分AB，AC垂直平分BD，∴AF=BF，BF=DF，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°．∵∠CDF=24°，∴3∠DAC+24°=180°，则∠DAC=52°，∴∠DAB=2∠DAC=104°．故选B． 点睛：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先连接BD，BF，这是解答本题的突破口． 5．A 【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴OH=OB=BD， ∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°， ∴∠ABD=∠OHB=70°， ∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°． 故选A. 6．C 【解析】试题解析：∵E,F分别是AB,BC边上的中点, ∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形ABCD的周长为 故选C. 点睛：菱形的四条边相等，对角线互相垂直. 7．C 【解析】如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8， ∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°， ∵AE=1，AE⊥BC， ∴AE= AB， ∴∠B=30°， ∴∠DAB=150°， ∴∠DAB：∠B=5：1； 故选C． 点睛：本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的判定；熟练掌握菱形的性质和含30°角的直角三角形的判定是解决问题的关键． 8．B 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∵∠A=120°， ∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°， 作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值， 由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小， 在Rt△BCP′中， ∵BC=AB=2，∠B=60°， ∴P′Q=CP′=BC•sinB=2×=． 故选：B． 点睛：本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路径问题，熟记菱形的轴对称和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键. 9．D 【解析】第1个矩形的面积为1； 第1个菱形的面积等于 ； 第2个矩形的面积等于； 第2个菱形的面积等于 ； 第3个矩形的面积等于； 第3个菱形的面积等于； 第4个矩形的面积等于; …… 依次类推， 第n个矩形的面积等于 ． 故选D. 点睛：本题考查了图形类的探索与规律，根据题意，可知从第二次起，每一次得到的菱形的面积等于上一次得到的矩形面积的；每一次得到的矩形面积等于上一次得到的菱形面积的. 10． 【解析】试题解析：∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10， ∴AO=12，OD=5，AC⊥BD， ∴AD=AB= =13， ∵DH⊥AB， ∴AO×BD=DH×AB， ∴12×10=13×DH， ∴DH= ， ∴BH= = ． 故答案为： ． 11．2 【解析】解：∵菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，∴∠BAD=120°，∠D=60°，AB=AD．∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠BEA=∠AFD=90°．在△ABE和△ADF中，∵∠AEB=∠AFD，∠B=∠D，AB=AD，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE=AF．又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=AF=EF．∵∠B=60°，∠AEB=90°，∴∠BAE=30°．∵AB=4，∴BE=AB=2，∴AE=，即EF=．故答案为： ． 点睛：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，得出△AEF是等边三角形是解题关键． 12．3 【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P，∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3，∴EP+FP的最小值为3．故答案为：3． 点睛：本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键． 13．80° 【解析】∵正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等， ∴AB=AE，AD=AF， ∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD， ∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D， 又∵在菱形ABCD中，∠B=∠D， ∴∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠EAF=360°-4∠B+∠EAF， 又∵在正△AEF中，∠EAF=60°，在菱形ABCD中，∠B+∠BAD=180°， ∴360°-4∠B+60°+∠B=180°， 解得：∠B=80°. 点睛：本题解题有两个要点：（1）由菱形的对角相等得到∠B=∠D，结合AB=AE，AD=AF把∠BAE和∠DAF都用含“∠B”的式子表达出来；（2）由菱形的邻角互补得到：∠BAD+∠B=180°，结合（1）中的结论和∠EAF=60°就可得到关于“∠B”的方程，解方程即可求得∠B的度数. 14．4 【解析】连接AC,过点C作CE⊥l₂于E,作CF⊥l₁于F， ∵村庄C到公路l₁的距离为4千米， ∴CF=4千米， ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF=4千米， 即C到公路l₂的距离是4千米 故答案为:4. 15． 【解析】解：如图，设CD与AB1交于点O，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，∴AE=，由折叠易得△ABB1为等腰直角三角形，∴S△ABB1=BA•AB1=2，S△ABE=1，∴CB1=2BE﹣BC=，∵AB∥CD，∴∠OCB1=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠B1=∠B=45°，∴CO=OB1=，∴S△COB1=OC•OB1=，∴重叠部分的面积为：2﹣1﹣（）=． 点睛：此题考查了菱形的性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握数形结合思想的应用． 15． 【解析】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB． 在△ABE和△ACF中，∵∠1=∠3，AC=AC，∠ABC=∠4，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=2，∴S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短，∴△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又∵S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大，∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=﹣×× =． 故答案为： . 点睛：本题主要考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，根据△ABE≌△ACF，得出四边形AECF的面积是定值是解题的关键． 17．证明见解析. 【解析】试题分析：根据菱形的性质可得AB=BC，∠A＝∠C，再证明ΔABF≌CBE，根据全等三角形的性质可得结论． 试题解析：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠A=∠C， ∵在△ABF和△CBE中， ， ∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠ABF=∠CBE． 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用菱形的性质得到AD=CD，∠A=∠C，进而利用AAS证明两三角形全等； （2）根据△ADE≌△CDF得到AE=CF，结合菱形的四条边相等即可得到结论． 试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠A=∠C，∵DE⊥BA，DF⊥CB，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDE，∵AD=CD，∠A=∠C，∠AED=∠CFD=90°，∴△ADE≌△CDE； （2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE． 点睛：本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等． 19．（1）证明见解析；（2）150°． 【解析】试题分析：（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF； （2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°． （1）证明：如图，连结DB、DF． ∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA． 在△BAD与△FAD中，∵AB=AF，∠BAD=∠FAD，AD=AD，∴△BAD≌△FAD，∴DB=DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB=AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF； （2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°． 点睛：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明出AD是线段BF的垂直平分线是解题的关键． 20．（1）60°和120°（2）10cm（3）50cm2 【解析】试题分析：(1)证明等边三角形，可以得到菱形内角. (2)勾股定理计算对角线长度. (3)对角线乘积的二分之一计算面积. 试题解析： 如图，(1)周长是40，边长是10，对角线是10，AB=BD=AD,所以菱形内角是60°，120°. （2）AB=10,BO=5,勾股定理知，AO=，另一条对角线长10cm. （3）菱形面积为=50cm2. 点睛： 包含30°-60°-90°直角三角形，三角边比例是1： 45°-45°-90°直角三角形，三边比例是1:1： ，需要熟练掌握，有些题目中出现120°，135°的题，也可以归为此类问题，特别是在解析正方形，菱形，矩形，等边三角形问题，往往包含此类模型，可以快速找出题目中的数量关系，从而把复杂问题简单化，更容易求解. 21．见解析 【解析】分析：（1）AE=AF，易证△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形即可；（2）由（1）可知∠B=60°，△ABC是等边三角形，∠EAF=60°，再结合已知条件可证明△ABE≌△ACF（ASA），由全等三角形的性质即可得到BE=CF． 本题解析： 解：（1）AE=AF，理由如下： 连接AC．如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC， ∵∠BAD=120°，∴∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°． ∴∠B=∠ACF=60°． ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD． ∴∠AEB=∠AFC． 在△ABE和△ACF中， ∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，AB=AC， ∴△ABE≌△ACF（AAS）． ∴AE=AF． （2）证明：由（1）得：∠B=60°，△ABCA是等边三角形，∠EAF=60°， ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAF﹣∠EAC， ∴∠BAE=∠CAF， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°， ∴∠BCD=∠BAD=120°， ∴∠ACD=∠BCD﹣∠BAC=60°， ∴∠ACD=∠B=60°， 在△ABE和△ACF中， ∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF， ∴△ABE≌△ACF（ASA）． ∴BE=CF． 点睛：本题考查了菱形的性质，（1）中利用平行线和外角的性质证明△ABE≌△ACF，是解题的关键；（2）熟掌握菱形的性质，证明△ABE≌△ACF是解题的关键． 22．（1）2；（2）AM=DF+ME. 【解析】试题分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度； （2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠1=∠ACD， ∵∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2， ∴MC=MD， ∵ME⊥CD， ∴CD=2CE， ∵CE=1， ∴CD=2， ∴BC=CD=2； （2）AM=DF+ME 证明：如图， ∵F为边BC的中点， ∴BF=CF=BC， ∴CF=CE， 在菱形ABCD中，AC平分∠BCD， ∴∠ACB=∠ACD， 在△CEM和△CFM中， ∵， ∴△CEM≌△CFM（SAS）， ∴ME=MF， 延长AB交DF的延长线于点G， ∵AB∥CD， ∴∠G=∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠G， ∴AM=MG， 在△CDF和△BGF中， ∵ ∴△CDF≌△BGF（AAS）， ∴GF=DF， 由图形可知，GM=GF+MF， ∴AM=DF+ME． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$