2.5.2 矩形的判定 同步练习 2024-2025学年 湘教版数学八年级下册

2.5.2 矩形的判定 同步练习 　班级__________姓名____________总分___________ 本节应掌握和应用的知识点 1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．三个角是直角的四边形是矩形． 3．对角线相等的平行四边形是矩形． 基础知识和能力拓展精练 一、选择题 1．若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD，则四边形ABCD是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 2．下列判断正确的是（　　） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线互相平分的四边形是矩形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形 3．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A. AB=CD B. OA=OC，OB=OD C. AC⊥BD D. AB∥CD，AD=BC 4．下列检查一个门框是否为矩形的方法中，正确的是（ ） A. 测量两条对角线，是否相等 B. 测量两条对角线，是否互相平分 C. 用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角 D. 用曲尺测量对角线，是否互相垂直 5．平行四边形四个内角平分线相交所构成的四边形一定是（ ） A. 一般的平行四边形 B. 一般四边形 C. 对角线互相垂直的四边形 D. 矩形 6．若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ） A. 一般平行四边形 B. 对角线互相垂直的四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 矩形 7．如图，已知四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 8．如已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业： 对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） A. 两人都对 B. 两人都不对 C. 甲对，乙不对 D. 甲不对，乙对 9．矩形ABCD中，E，F，M为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM，则EM的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 二、填空题 10．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是________；若AC＝5 cm，则BD＝________． 11．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件____________(只添加一个即可)，使▱ABCD是矩形． 12．如图，在△ABC，AB=AC，点D为BC的中点，AE是∠BAC外角的平分线，DE//AB交AE于E，则四边形ADCE的形状是___________. 13．已知：线段， ， . 求作：矩形. 以下是甲、乙两同学的作业： 甲：① 以点为圆心， 长为半径作弧； ② 以点为圆心， 长为半径作弧； ③ 两弧在上方交于点，连接， . 四边形即为所求矩形.（如图） 乙：① 连接，作线段的垂直平分线，交于点； ② 连接并延长，在延长线上取一点，使，连接， . 四边形即为所求矩形.（如图） 老师说甲、乙同学的作图都正确. 则甲的作图依据是：__________________________________________________； 乙的作图依据是：__________________________________________________. 三、解答题 14．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形 15．如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE. 16．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点连接. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则当 时，四边形是矩形. 17．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线． 18．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=6，∠AOB=120°，求BC的长． 19．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE． （1）求证：△ACD≌△EDC； （2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形． 20．如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E为AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF. (1)求证:BD=CD; (2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论. 21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE=OF； （2）若CE=8，CF=6，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？ 并说明理由． 参考答案 1．B 【解析】试题解析：∵OA=OB=OC=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. 故选B. 2．C 【解析】试题解析：A.有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误； B.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误； C.有三个角是直角的四边形是矩形，原说法正确； D.两条对角线互相垂直的四边形也可能是菱形或等腰梯形，原说法错误. 故选C. 3．B 【解析】解：A．由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确； C．由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误． D．由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误． 故选B． 点睛：本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型． 4．C 【解析】A.两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形，故选项A错误； B.两条对角线互相平分的四边形可能是平行四边形，故选项B错误； C.利用三个角是直角的四边形是矩形.故选项C正确； D.两条对角线互相垂直的四边形可能是菱形，故选项D错误. 故选：C. 5．D 【解析】如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形EFGH是它的四个内角平分线所围成的四边形. ∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠ADC+∠DAB=180°， ∵AG、DE分别平分∠DAB、∠ADC， ∴∠ADH=∠ADC，∠DAH=∠DAB， ∴∠ADH+∠DAH=（∠ADC+∠DAB）=90°， ∴∠DHA=180°-90°=90°， ∴∠GHE=90°. 同理可得：∠G=∠E=∠GFE=90°， ∴四边形EFGH为矩形. 故选D. 6．C 【解析】因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，而中点四边形的两组对边分别是和原四边形的两条对角线平行的，矩形相邻两边是互相垂直的，所以原四边形的对角线应该互相垂直. 故选C. 7．A 【解析】如图所示：AC⊥BD，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点； ∵在△DAC中，根据三角形中位线定理知，HG∥AC且HG= AC， 同理，在△ABC中，EF∥AC且EF= AC， ∴HG∥EF∥AC，且HG=EF， ∴四边形EFGH是平行四边形； 同理，HE∥DB； 又∵AC⊥BD， ∴HE⊥HG， ∴▱EFGH是矩形； 故选A． 8．A 【解析】由甲同学的作业可知，CD=AB，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC=90°， ∴▱ABCD是矩形． 所以甲的作业正确； 由乙同学的作业可知，CM=AM，MD=MB， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠ABC=90°， ∴▱ABCD是矩形． 所以乙的作业正确； 故选A． 9．B 【解析】 过E作EG⊥CD于G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°， 又∵EG⊥CD， ∴∠EGD=90°， ∴四边形AEGD是矩形， ∴AE=DG，EG=AD， ∴EG=AD=BC=7，MG=DG−DM=3−2=1， ∵EF⊥FM， ∴△EFM为直角三角形， ∴在Rt△EGM中, EM====. 故选B. 点睛：本题考查了矩形的判定、勾股定理等知识，过E作EG⊥CD于G，利用矩形的判定可得，四边形AEGD是矩形，则AE=DG，EG=AD，于是可求MG=DG-DM=1，在Rt△EMG中，利用勾股定理可求EM． 10． 矩形 5cm 【解析】试题解析：∵AO＝OC，BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形。 ∴AC=BD ∵AC=5cm ∴BD=5cm 11．OA＝OB(答案不唯一) 【解析】解：添加的条件是OA＝OB．理由是：∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵OA＝OB ，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．故答案为：OA＝OB（答案不唯一）． 点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一． 12．矩形 【解析】∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE=∠EAC， ∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC， ∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC， ∴AE∥CD， 又∵DE∥AB， ∴四边形EABD是平行四边形， ∴AE平行且等于BD， 又∵BD=DC， ∴AE平行且等于DC， 故四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC=90°， ∴平行四边形EADC是矩形． 即四边形EADC是矩形． 故答案是：矩形。 【点睛】首先利用外角性质得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形． 13． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】由甲的作图方法可知AB=CD，BC=AD，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD为平行四边形，又因∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形 即可判定平行四边形ABCD为矩形；由乙的作图方法可知AM=BM，BM=DM，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形ABCD为平行四边形，又因∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形 即可判定平行四边形ABCD为矩形. 14．证明见解析. 【解析】试题分析：欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角． 试题解析：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F． ∵∠F=45°，∴∠DAE=45°． ∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°． 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形． 15．证明见解析. 【解析】试题分析：先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论． 试题解析：证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE． 点睛：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键． 16．（1）证明见解析；（2）100° 【解析】试题分析：（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE=OD，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出∠BCD=∠A=50°，由三角形的外角性质求出∠ODC=∠BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论． 试题解析:（1）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB=CD， ∴∠OEB=∠ODC， 又∵O为BC的中点， ∴BO=CO， 在△BOE和△COD中， ， ∴△BOE≌△COD（AAS）； ∴OE=OD， ∴四边形BECD是平行四边形； （2）若∠A=50°，则当∠BOD=100°时，四边形BECD是矩形．理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD=∠A=50°， ∵∠BOD=∠BCD+∠ODC， ∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD， ∴OC=OD， ∵BO=CO，OD=OE， ∴DE=BC， ∵四边形BECD是平行四边形， ∴四边形BECD是矩形； 17．（1）证明见解析；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）根据已知条件易证四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可得结论；（2）根据已知条件证明AD＝DF，根据等腰三角形的性质可得∠DAF＝∠DFA；再由AB∥CD，可得∠DFA＝∠FAB.即可得∠DAF＝∠FAB，结论得证. 试题解析： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. 又∵CF＝AE， ∴BE＝DF. 又∵BE∥DF， ∴四边形BFDE为平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°. ∴四边形BFDE是矩形． （2）∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°. 在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10. ∴AD＝BC＝10. 又∵DF＝10， ∴AD＝DF. ∴∠DAF＝∠DFA. ∵AB∥CD， ∴∠DFA＝∠FAB. ∴∠DAF＝∠FAB. ∴AF是∠DAB的平分线． 18．（1）见解析；（2）2． 【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质求出AO=OC，BO=OD，求出AC=BD，根据矩形的判定推出即可； （2）根据矩形性质求出∠ABC=90°，求出∠CAB=30°，解直角三角形求出即可． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵OA=OB， ∴OA=OB=OC=OD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵∠AOB=120°，OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴AC=2BC， ∴AB= ， ∴BC=AB=6×=2． 19．(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析. 【解析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD； （2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形． 证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形 ∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC； 又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB， ∴∠EDC=∠ACD ∴△ADC≌△ECD（SAS）； （2）∵四边形ABDE是平行四边形 ∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD； 又∵BD=CD，∴AE=CD（等量代换） ∴四边形ADCE是平行四边形； 在△ABC中， AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形． 20．（1）证明见解析；（2）当AB=AC时，四边形AFBD是矩形，证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质得到∠AFE=∠DCE，由中点的定义得到AE=DE，根据三角形全等的判定易证得△AFE≌△DCE，利用全等三角形的性质得AF=DC，而AF=BD，即可得到D是BC的中点； （2）在（1）的基础上，根据全等三角形的性质和有三个角都是直角的四边形是矩形. 试题解析：证明:∵AF∥BC，∴∠AFE=∠ECD. 又∵E为AD的中点，∴AE=DE. 在△AFE与△DCE中，∵ ∴△AFE≌△DCE(AAS)，∴AF=CD. 又∵AF=BD，∴BD=CD. (2)解:当AB=AC时，四边形AFBD是矩形. 证法一:由(1)知，D为BC的中点，又∵AB=AC， ∴AD⊥BC. ∵AF∥BC，∴∠DAF=∠ADB=90°. ∵△AFE≌△DCE(已证)，∴CE=EF. ∴DE为△BCF的中位线，∴DE∥BF. ∴∠FBD=∠EDC=90°， ∴四边形AFBD是矩形. 证法二:∵AF=BD，AF∥BD， ∴四边形AFBD是平行四边形. 由(1)知，D为BC的中点，又∵AB=AC， ∴AD⊥BC(三线合一)，即∠BDA=90°. ∴▱AFBD是矩形. 21．（1）证明见解析；（2）5；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明见解析. 【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可． 试题解析：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F， ∴∠2=∠5，∠4=∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，∠3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF； （2）∵∠2=∠5，∠4=∠6， ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°， ∵CE=8，CF=6， ∴EF==10， ∴OC=EF=5； （3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 证明：当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$