信息必刷卷02（江苏淮安专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学(淮安专用） 考情速递 中考·新动向：淮安中考政策2025届物化各增加了10分，语数英各150分，政治历史体育各50分，地理生物各10分，满分780。在命题指导方案中，明确要顺应教育课程教育改革的方向，强调基础性与实践性；加强综合性与创新性；注重学生联系生活和社会实际；重视学科素养的考察，命题会遵循“稳中有进”的原则，来考察学生对基础知识和技能的掌握以及具体情境综合应用知识分析的能力（本卷中6、8、15、20、25最具代表性）。 中考·新情境：中考数学四个新趋势的题型，跨学科实践、开放性试题（20题为例）、代数推理（16题为例）、综合实践与创新（26、27题为例），需要同学们适应并勤加练习这些题型，掌握新方法，把握新中考。 命题·大预测：核心素养导向：强化数学建模、数据分析能力，融入社会热点背景，侧重实际问题的数学转化（20.23.25题） 几何与函数的深度融合，可能会以动态几何为载体，综合考察二次函数、相似三角形、图形坐标的综合应用（15、27题） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．神舟十九号载人飞船是我国首款垂直转运火箭，配备了四个直径米的助推器，总起飞重量约为千克．将数据用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 3．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出了巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．小梅和小天同学从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，两人都选“荆楚文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 4．点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 6．如图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 7．小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，、交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交于点，连接，给出下面三个结论： ①平分； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．因式分解： ． 10．计算： ． 11．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ． 12．将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 13．如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则 ．      14．如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，若，，则的度数为 15．如图，是等边三角形，边长是6，点P是边上一点，且，动点M从点P出发，沿运动到C点，作与相交于点Q，则在点M运动的过程中，点Q的运动路径长为 ． 16．如图，在中，，，，、、…都是正方形，且、、…在边上，、、…在边上．则线段的长为 ． 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题10分）（1）计算：； （2）解方程：． 18．（本题8分）已知，求代数式的值． 19．（本题8分）某商场举行购物抽奖活动，每一位购物的顾客都有一次抽奖的机会，在不透明的盒子里有A、B、C、D四张外形完全相同的卡片（卡片图案为小狗，卡片图案为小猫），抽奖时顾客先后从盒子中抽出两张卡片，如果抽得的两张卡片是同一种动物图片，就可以获得奖励． (1)如果顾客先抽取一张，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张，那么获奖的概率是多少？ (2)如果顾客抽取第一张卡片后放回，然后再抽取第二张，那么顾客获奖的概率是______． 20．（本题8分）某校为选拔学生参加市级的诗歌朗诵比赛，举办“诗歌朗诵”预赛，五位评委进行现场打分，甲、乙、丙三位选手参加了预赛，现将甲、乙、丙三位选手的得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 ①______ 9 8和9 乙 ②______ 9 丙 8 ③______ (2)在预赛中，如果在所有评委给出的分数中去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．求出按此计分规则后甲的方差； (3)如果从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 21．（本题8分）如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 22．（本题8分）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 23．（本题8分）某校在去年购买A，B两种足球，费用分别为2400元和2000元，其中A种足球数量是B种足球数量的2倍，B种足球单价比A种足球单价多80元/个． （1）求A，B两种足球的单价； （2）由于该校今年被定为“足球特色校”，学校决定再次购买A，B两种足球共18个，且本次购买B种足球的数量不少于A种足球数量的2倍，若单价不变，则本次如何购买才能使费用W最少？ 24．（本题8分）如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接交于，若，，求的值． 25．（本题10分）李华准备用自己学习到的三角函数知识来测算一下自家楼前景观花坛的宽．如图，李华在阳台处观察到花坛的一边点处的俯角，花坛的另一边点处的俯角，且花坛与地面平行，测得点与李华居住的楼之间的距离，点，，在同一条直线上．求花坛的宽．（精确到，参考数据：，，，） 26．（本题12分）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 27．（本题14分）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1．对于坐标平面内的点，⊙O和图形给出如下定义：将⊙O绕点顺时针旋转得到⊙，若⊙与图形有公共点，则称图形是⊙O的“顺关联图形”． (1)已知，若点是⊙O的“顺关联图形”，则点，，中，可以作为点的是 ； (2)若，，点是线段上的动点，且．若直线是⊙O的“顺关联图形”，则的取值范围是 ； (3)若，，，⊙D的半径为，对于⊙D上任意一点，线段都不是⊙O的“顺120°关联图形”，直接写出的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（淮安专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A C D B D D 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，请把答案直接填写在横线上 9． 10． 11． c＞9 12． 3 13． 14． 52 15． 7 16． 三、解答题:本大题有11个小题,共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题10分） 【答案】（1）3；（2） 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， 是原方程的解． 18．（本题8分） 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19．（本题8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中获奖的结果有：，，，，共4种， 获奖的概率为； （2）解：列表如下： 共有16种等可能的结果，其中获奖的结果有：，，，，，，，，共8种， 获奖的概率为， 故答案为：． 20．（本题8分） 【答案】(1)①8.8，②9，③8 (2) (3)选甲更合适；理由见解析 【详解】（1）解：甲的平均分为， 乙的分数从低到高分别为：，则中位数为， 丙分数中8分的占，则众数为， 故答案为：①8.8，②9，③8 （2）解：甲的分数为：， ∴去掉一个最低分和一个最高分，甲的成绩为：， ∴甲的平均数为：， ∴； （3）解：选甲更合适；理由如下： 三人的平均分相同，但甲的方差最小，成绩最稳定，故选甲更合适（合理即可）． 21．（本题8分） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 22．（本题8分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵轴，，且点A在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，. 设与x轴交于D，则， ∴，, ∴． 23．（本题8分） 【答案】（1）A种足球单价为120元/个，B足球单价为200元/个．（2）本次购买A种足球6个，B种足球12个，才能使购买费用W最少． 【详解】解：（1）设A种足球单价为x元/个，则B足球单价为（x+80）元/个， 根据题意，得： 解得：x=120， 经检验：x=120是方程的解， 答：A种足球单价为120元/个，B足球单价为200元/个． （2）设再次购买A种足球x个，则B种足球为（18﹣x）个； 根据题意，得：W=120x+200（18﹣x）=﹣80x+3600， ∵18﹣x≥2x， ∴x≤6， ∵﹣80＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x=6时，W最小，此时18﹣x=12， 答：本次购买A种足球6个，B种足球12个，才能使购买费用W最少． 24．（本题8分） 【答案】(1)见解析 (2)2 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 （2）解：如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 25．（本题10分） 【答案】花坛的宽为 【详解】解：由题意得：，， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， 故花坛的宽为． 26．（本题12分） 【答案】活动一：见解析；活动二：见解析 【详解】解：活动一：如图所示，四边形是所求作的平行四边形． 活动二：证明：∵在中，， ∴是菱形， ∴，，， ∴，， ，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴点F是线段的黄金分割点． 27．（本题14分） 【答案】(1)，； (2) (3)或 【详解】（1）解：如图： 将分别绕点，，顺时针旋转，只有，才能使得点是⊙O的“顺关联图形”， 故答案为：，； （2）解：当绕点旋转与直线相切，切线为，且在直线的下方，过点作，连接，延长交于，作，如图所示： 不妨设， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， 是的切线， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当绕点旋转与直线相切，切线为，且在直线的上方，如图所示： 同理可求得， 综上所述，当时，直线是⊙O的“顺关联图形”； 故答案为：； （3）解：作直线，当时，，令为点，如图 ，， ， ，⊙D的半径为，在上运动， ，， 不妨设，过点作于， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点为定点， 在以点为圆心，半径为3的圆上运动， 则以点为圆心，分别以半径为2和4画圆，可知在点为圆心，半径为2和4的圆环中运动，如图所示， 当点在半径为4的上时，连接，作的延长线于点， ，，，， ， ， ； 同理当点在半径为4的上时，可得； 综上所述，当或时，对于⊙D上任意一点，线段都不是⊙O的“顺120°关联图形”． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学(淮安专用） 考情速递 中考·新动向：淮安中考政策2025届物化各增加了10分，语数英各150分，政治历史体育各50分，地理生物各10分，满分780。在命题指导方案中，明确要顺应教育课程教育改革的方向，强调基础性与实践性；加强综合性与创新性；注重学生联系生活和社会实际；重视学科素养的考察，命题会遵循“稳中有进”的原则，来考察学生对基础知识和技能的掌握以及具体情境综合应用知识分析的能力（本卷中6、8、15、20、25最具代表性）。 中考·新情境：中考数学四个新趋势的题型，跨学科实践、开放性试题（20题为例）、代数推理（16题为例）、综合实践与创新（26、27题为例），需要同学们适应并勤加练习这些题型，掌握新方法，把握新中考。 命题·大预测：核心素养导向：强化数学建模、数据分析能力，融入社会热点背景，侧重实际问题的数学转化（20.23.25题） 几何与函数的深度融合，可能会以动态几何为载体，综合考察二次函数、相似三角形、图形坐标的综合应用（15、27题） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B． 该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C． 该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； D． 该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选C． 2．神舟十九号载人飞船是我国首款垂直转运火箭，配备了四个直径米的助推器，总起飞重量约为千克．将数据用科学记数法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出了巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．小梅和小天同学从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，两人都选“荆楚文化”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率． 画出树状图，用题意的情况数除以总的情况数即可． 【详解】解：树状图如下： 设巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化分别为A，B，C， 共有 9 中等可能情况，其中两人恰好都选择B “荆楚文化”的情况有 1 种， 故两人都选B “荆楚文化”的概率为． 故选：A． 4．点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数，求出y1、y2、y3的值，再根据比较大小，即可得到答案． 【详解】解：∵，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5．下列运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握以上运算法则；根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方的运算法则计算即可； 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 故选：． 6．如图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，整式加减的应用．根据题意结合正方体的展开图确定哪个面和哪个面相对应是解题关键．根据相对面上的多项式的和相等，列出关于A的算式进行计算即可． 【详解】解：∵A所在的面与的面相对，所在的面与所在的面相对， ∴ ． 故选：B． 7．小天同学按如下步骤作图： （1）画矩形，使得，连接； （2）分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于E，F两点； （3）画直线，分别与交于点、，连接． 则四边形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图和性质、矩形的性质、勾股定理等知识． 利用基本作图可判断垂直平分，则，，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，同理可得，然后计算四边形的周长． 【详解】解：由作法得垂直平分， ，， 设，则，， ∵四边形是矩形， ∴ 在中，， 解得， 即， 同理可得， 四边形的周长为． 故选：D． 8．如图，在正方形中，、交于点，为延长线上的一点，且，连接，分别交于点，连接，给出下面三个结论： ①平分； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】由正方形的性质可得垂直平分，，可得，由角的数量关系可求，即平分，故正确；由，故正确；通过证明，可得，根据勾股定理可得故正确，即可求解． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分，， ， ， ， 平分，故①正确； ，故②正确； ，， ， ， ， ， ，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形的知识，角平分线的定义，平行线的性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、因式分解等知识点．先运用多项式乘多项式计算，然后再合并同类项，最后根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，先化简二次根式，再计算二次根式减法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ． 【答案】c＞9 【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c＜0，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根， ∴△=（-6）2-4c＜0， 即36-4c＜0， 解得：c＞9． 故答案为c＞9． 12．将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点，则平移后的直线解析式为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点， ∴平移后的直线解析式为， ∴， ∴， 故答案为：3． 13．如图，在中，，若沿图中虚线剪去，则 ．      【答案】/250度 【分析】本题考查了三角形及四边形的内角和．熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵沿图中虚线剪去后的图形为四边形，且四边形的内角和度数为 ∴ 故答案为： 14．如图，过四边形的顶点A，C，D的圆，分别交于点E，若，，则的度数为 【答案】52 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆圆周角定理是解题的关键． 连接，根据圆内接四边形的性质求出，再根据三角形的外角性质计算求出，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， 是的外角，， ， 的度数为：， 故答案为：． 15．如图，是等边三角形，边长是6，点P是边上一点，且，动点M从点P出发，沿运动到C点，作与相交于点Q，则在点M运动的过程中，点Q的运动路径长为 ． 【答案】7 【分析】分类讨论①当点M在上运动时，Q点的运动路径为由向C运动，此时运动路径长即为长，结合题意求即可；②当点M在上运动时，且在中点之前时，此时Q点沿射线方向运动，由题意可证，得出结论．设，则．由此即可列出关于和x的二次函数关系式．利用二次函数的性质求出的最大值即为此时点Q的运动路径长．③当点M在上运动，且在中点之后时，此时Q点沿射线方向运动，根据②可知，此时Q的运动路径长还是的最大值；最后将三个讨论的结果相加即可． 【详解】解： ①当点M在上运动时，作交于点，如图． ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴当点M由P向B运动时，点Q由向C运动． ∴此时Q点运动路径长为长， ∵， ∴． ②当点M在上运动，且在中点之前时，此时Q点沿射线方向运动，如图． ∵，，． ∴， ∵， ∴．　 ∴． ∴， 设，则． ∴，即． ∵， ∴当时，有最大值为． 即此时Q点运动路径长为． ③当点M在上运动，且在中点之后时，此时Q点沿射线方向运动，如图． 根据②可知． 即此时Q点运动路径长为． 综上，Q点运动路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及二次函数的几何应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解答本题的关键． 16．如图，在中，，，，、、…都是正方形，且、、…在边上，、、…在边上．则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据正方形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，同理可得，的长，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， 同理可得：，， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题10分）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握运算法则并正确计算是解题的关键． （1）先计算算术平方根、有理数的乘方、零指数幂，再进行加减运算即可； （2）先去分母化为一元一次方程，求解后验根即可得到原方程的解． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， 是原方程的解． 18．（本题8分）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握运算法则和正确计算是解题的关键． 先进行括号内分式加法计算，再将除法化为乘法，进行分式乘法计算，化至最简，再将变形，整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19．（本题8分）某商场举行购物抽奖活动，每一位购物的顾客都有一次抽奖的机会，在不透明的盒子里有A、B、C、D四张外形完全相同的卡片（卡片图案为小狗，卡片图案为小猫），抽奖时顾客先后从盒子中抽出两张卡片，如果抽得的两张卡片是同一种动物图片，就可以获得奖励． (1)如果顾客先抽取一张，再从盒子中剩下的3张中随机抽取第二张，那么获奖的概率是多少？ (2)如果顾客抽取第一张卡片后放回，然后再抽取第二张，那么顾客获奖的概率是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）列表可得出所有等可能的结果数以及获奖的结果数，再利用概率公式可得出答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及获奖的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中获奖的结果有：，，，，共4种， 获奖的概率为； （2）解：列表如下： 共有16种等可能的结果，其中获奖的结果有：，，，，，，，，共8种， 获奖的概率为， 故答案为：． 20．（本题8分）某校为选拔学生参加市级的诗歌朗诵比赛，举办“诗歌朗诵”预赛，五位评委进行现场打分，甲、乙、丙三位选手参加了预赛，现将甲、乙、丙三位选手的得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)完成表格： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 ①______ 9 8和9 乙 ②______ 9 丙 8 ③______ (2)在预赛中，如果在所有评委给出的分数中去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．求出按此计分规则后甲的方差； (3)如果从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由． 【答案】(1)①8.8，②9，③8 (2) (3)选甲更合适；理由见解析 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握平均数，中位数，众数，方差的计算，方程作决策是关键． （1）根据平均数，中位数，众数的计算方法即可求解； （2）根据题意，算出平均数，再由方差公式计算即可； （3）根据方差作决策即可． 【详解】（1）解：甲的平均分为， 乙的分数从低到高分别为：，则中位数为， 丙分数中8分的占，则众数为， 故答案为：①8.8，②9，③8 （2）解：甲的分数为：， ∴去掉一个最低分和一个最高分，甲的成绩为：， ∴甲的平均数为：， ∴； （3）解：选甲更合适；理由如下： 三人的平均分相同，但甲的方差最小，成绩最稳定，故选甲更合适（合理即可）． 21．（本题8分）如图，在平行四边形中，，，垂足分别是E，F．      (1)求证：； (2)连接，请添加一个与角度相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由平行四边形得到，，然后得到，即可证明； （2）如图所示，连接，由得到，等量代换得到，证明出，即可得到四边形四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）如图所示，连接，    添加条件为： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形四边形是平行四边形． 22．（本题8分）如图，双曲线与直线交于A，C两点，轴于B，且． (1)求直线的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此求解即可； （2）先求出反比例函数解析式，再求出点C坐标，设与x轴交于D，则，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，，且点A在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，. 设与x轴交于D，则， ∴，, ∴． 23．（本题8分）某校在去年购买A，B两种足球，费用分别为2400元和2000元，其中A种足球数量是B种足球数量的2倍，B种足球单价比A种足球单价多80元/个． （1）求A，B两种足球的单价； （2）由于该校今年被定为“足球特色校”，学校决定再次购买A，B两种足球共18个，且本次购买B种足球的数量不少于A种足球数量的2倍，若单价不变，则本次如何购买才能使费用W最少？ 【答案】（1）A种足球单价为120元/个，B足球单价为200元/个．（2）本次购买A种足球6个，B种足球12个，才能使购买费用W最少． 【分析】（1）设A种足球单价为x元/个，则B足球单价为（x+80）元/个，根据：A种足球个数=2×B种足球个数，列分式方程求解可得； （2）设再次购买A种足球x个，则B种足球为(18-x)个，购买总费用为W，根据：总费用=A种足球单价×A种足球数量+B种足球单价×B种足球数量，列出W关于x的函数关系式，由B种足球的数量不少于A种足球数量的2倍可得x的范围，继而根据一次函数性质可得最值情况． 【详解】解：（1）设A种足球单价为x元/个，则B足球单价为（x+80）元/个， 根据题意，得： 解得：x=120， 经检验：x=120是方程的解， 答：A种足球单价为120元/个，B足球单价为200元/个． （2）设再次购买A种足球x个，则B种足球为（18﹣x）个； 根据题意，得：W=120x+200（18﹣x）=﹣80x+3600， ∵18﹣x≥2x， ∴x≤6， ∵﹣80＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x=6时，W最小，此时18﹣x=12， 答：本次购买A种足球6个，B种足球12个，才能使购买费用W最少． 【点睛】本题主要考查分式方程与一次函数的实际应用能力，根据题意找到相等关系并据此列出方程或函数关系式是解题的关键． 24．（本题8分）如图，在中，，以为直径作，分别交于点，交于点，过作于，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接交于，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角，掌握相关知识点是解题关键． （1）连接，根据等边对等角的性质，得到，从而得出，即可证明结论； （2）连接，先证明，，从而得到，，再结合直径所对的圆周角是直角，得到，推出，从而得出点是的中点，求出，最后证明，得到，即可求出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线 （2）解：如图，连接， ， ，， ， ，， ，， ，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 25．（本题10分）李华准备用自己学习到的三角函数知识来测算一下自家楼前景观花坛的宽．如图，李华在阳台处观察到花坛的一边点处的俯角，花坛的另一边点处的俯角，且花坛与地面平行，测得点与李华居住的楼之间的距离，点，，在同一条直线上．求花坛的宽．（精确到，参考数据：，，，） 【答案】花坛的宽为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得，，在，求出的长，在中，求出的长，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， 故花坛的宽为． 26．（本题12分）学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点C把线段分成和两部分，如果那么称点C为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 活动一：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点E，F分别落在边上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） 活动二：在活动一的条件下，若，求证：点F是线段的黄金分割点． 【答案】活动一：见解析；活动二：见解析 【分析】活动一：作，，如图，四边形是所求作的平行四边形； 活动二：利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点F是线段的黄金分割点． 【详解】解：活动一：如图所示，四边形是所求作的平行四边形． 活动二：证明：∵在中，， ∴是菱形， ∴，，， ∴，， ，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴点F是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，利用相似三角形得线段比例关系是解题的关键． 27．（本题14分）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1．对于坐标平面内的点，⊙O和图形给出如下定义：将⊙O绕点顺时针旋转得到⊙，若⊙与图形有公共点，则称图形是⊙O的“顺关联图形”． (1)已知，若点是⊙O的“顺关联图形”，则点，，中，可以作为点的是 ； (2)若，，点是线段上的动点，且．若直线是⊙O的“顺关联图形”，则的取值范围是 ； (3)若，，，⊙D的半径为，对于⊙D上任意一点，线段都不是⊙O的“顺120°关联图形”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】（1）将分别绕点，，顺时针旋转，观察图形可知答案； （2）当绕点旋转与直线相切，切线为，且在直线的下方，过点作，连接，延长交于，作，不妨设，通过，可得，通过，可得，推导出，通过，接着证明，推出，得到，通过，可得，接着计算出，得到，最后利用勾股定理得到；当绕点旋转与直线相切，切线为，且在直线的上方，同理可算得，最后得到的范围； （3）作直线，当时，，令为点，可证，推出，联合，得到，利用相似三角形对应边成比例，得到，由点为定点，可知在以点为圆心，半径为3的圆上运动，则以点为圆心，分别以半径为2和4画圆，可知在点为圆心，半径为2和4的圆环中运动， 当点在半径为4的上时，连接，作的延长线于点，利用勾股定理，可求得，； 同理当点在半径为4的上时，可得；那么当或时，对于⊙D上任意一点，线段都不是⊙O的“顺120°关联图形”． 【详解】（1）解：如图： 将分别绕点，，顺时针旋转，只有，才能使得点是⊙O的“顺关联图形”， 故答案为：，； （2）解：当绕点旋转与直线相切，切线为，且在直线的下方，过点作，连接，延长交于，作，如图所示： 不妨设， ， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ， 是的切线， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当绕点旋转与直线相切，切线为，且在直线的上方，如图所示： 同理可求得， 综上所述，当时，直线是⊙O的“顺关联图形”； 故答案为：； （3）解：作直线，当时，，令为点，如图 ，， ， ，⊙D的半径为，在上运动， ，， 不妨设，过点作于， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点为定点， 在以点为圆心，半径为3的圆上运动， 则以点为圆心，分别以半径为2和4画圆，可知在点为圆心，半径为2和4的圆环中运动，如图所示， 当点在半径为4的上时，连接，作的延长线于点， ，，，， ， ， ； 同理当点在半径为4的上时，可得； 综上所述，当或时，对于⊙D上任意一点，线段都不是⊙O的“顺120°关联图形”． 【点睛】本题考查了图形是⊙O的“顺关联图形”，解直角三角形，平行线的判定与性质，平行线的距离处处相等，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，读懂题意，数形结合，作出合适的辅助线是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$