冲刺2025年中考数学之阿氏圆最值

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之阿氏圆最值 【模型来源】 所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似． 【模型建立】 使用场景 已知两个定点A，B，动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值 类型 点A，B均在圆外，r=kOB(k<1) 点A，B均在圆内，r=kOB(k>1) 图示 解题策略 第一步:在OB上取点D，使得OD=kr； 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD; 第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值. 第一步:在OB的延长线上取点D，使得OD=kr; 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD; 第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值 大招结论 AD的长即为PA+kPB的最小值 【模型总结】 对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造. 当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造. 题型1、两定点在圆外：向内取点（系数小于1） 例1、如图，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，分别连接AP、BP、CP，且PB=3，则AP﹢PC的最小值为 . 解析：如图，取BQ=1，连接PQ，则△BPQ∽△BAP. ∴,∴PQ=PA. ∴AP﹢PC= PQ﹢PC. 连接CQ，在Rt△BCQ中， CQ===5. 答案：5 例2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=BC=90°，AB=BC=2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为⊙B上任一动点，则PA﹢PC的最小值是 . 解析：连接PB，截取BD=1(点的为BC的中点)连接AD、DP. 易证=. ∴△BDP∽△BPC. ∴DP=PC. 当A、D、P三点共线且点P在AD上时，PA﹢PC = PA ﹢DP的最小值为AD=. 改变一下动点的位置 答案： （2021章丘一模）如图，在正方形ABCD中，AB=3，P为平面内任意一点，CP=1，连接PD，将线段PD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DQ，连接CQ，则DQ+3CQ的最小值为 . 【解答】解：由题意可知DQ＝DP，∠QDP＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADC﹣∠ADP＝∠QDP﹣∠ADP， 即∠QDA＝∠PDC， ∴△QDA≌△PDC（SAS）， ∴QC＝PC＝1， ∴点Q在以点A为圆心，1为半径的圆上运动， 如图所示，在AD上取一点E，使AE＝，则＝＝， ∴△QAE∽△DAQ， ∴QE＝QD，DQ+CQ＝CQ+QE＞CE， 当Q位于Q′的位置时，DQ+CQ取得最小值CE， ∴CE＝＝＝， ∴DQ+3CQ＝3（DQ+CQ）的最小值为， 故答案为：． （2022济南章丘期末）12．如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质可得点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动，在AB上取点G，使得，通过证明得到，即可将的最小值转化为求的最小值，利用两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：连接AF， ∵，，为中点， ∴， ∴点F在以A为圆心，3为半径的圆弧上运动， 在AB上取点G，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， 当G、F、C三点共线时取得最小值，即GC的长度， 在中，， 故选：D． 【解答】解：（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0， ∴（x+1）（ax+3）=0， ∴x=﹣1或﹣， ∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0）， ∴﹣=4， ∴a=﹣． ∵A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为y=kx+b，则， 解得， ∴直线AB解析式为y=﹣x+3． （2）如图1中， ∵PM⊥AB，PE⊥OA， ∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE， ∴△PNM∽△ANE， ∴=， ∵NE∥OB， ∴=， ∴AN=（4﹣m）， ∵抛物线解析式为y=﹣x2+x+3， ∴PN=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m， ∴=， 解得m=2． （3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE． ∵OE′=2，OM′•OB=×3=4， ∴OE′2=OM′•OB， ∴=，∵∠BOE′=∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB， ∴==， ∴M′E′=BE′， ∴AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时）， 最小值=AM′==． （2022年市中期中）如图①，已知在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，以BE 为斜边构造等腰直角△BEF，将△BEF绕点B在平面内作逆时针旋转. （1）如图②，当∠EBC=30°时，若CG=，则BG= ，AG= ； （2）如图③，延长BE，与AC、DC分别相交于点G、N，延长BF，与AC、AD分别相交于点H、M， 求证∶△AMH∽△CGN； （3）如图④，连接CE、DE，请直接写出当DE＋4CE取得最小值时，∠ECB的正切值 【解析】 【分析】（1）过点作于，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形即可； （2）利用三角形外角的性质得，再利用平行线的性质得，即可证明结论； （3）连接，在上取点，使，连接，利用两边成比例且夹角相等得，根据相似三角形的性质得出，得出，从而点三点共线时，最小．进而解决问题． 小问1详解】 解：过点作于， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 连接，在上取点，使，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线时，最小． 过点作于， 设则， ∴， ∴， ∴ （2023烟台中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．    (1)求直线及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． 【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标； （3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，， ∴， 将代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； 将代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在点， ∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点． ∴当时，， ∴， ①当时， 设直线的解析式为，将点A坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 得或， ∴点M的坐标为； ②当时， 设直线的解析式为，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组， 解得或， ∴点M的坐标为 或 综上，点M的坐标为或 或； （3）如图，在上取点，使，连接， ∵， ∴， ∵，、 ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． （2025济南长清一模）某校数学兴趣小组同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【解析】 【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立； （2）连接，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长； （3）如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，，先利用勾股定理求出，，再证明得出，从而得出即可得出最小值． 详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， 在菱形中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， （3）解：如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， 最小值为 题型2、两定点在圆内：外向取点（系数大于1) 例3、如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．延长到T，使得，连接，．利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．利用两点之间线段最短得到，利用勾股定理求出即可解题． 【详解】解：延长到T，使得，连接，． ， ， 点D是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：． （2024·浙江模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本知识，如图所示，延长到E，使得，连接，证明，得到，则，故当B、P、E三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，则的最小值为13． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ∴， ∴的最小值为13． 故答案为： （2022江苏宿迁九上期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值 【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案； （2）连接，在上取点，使，则有，可证，得到，即，从而的最小值为； （3）延长到点，使，连接，可证，得到，得到，当三点共线时，得到最小值． 【详解】（1）解：如图连接， ∵，要使最小， ∴当最小，当点在同一条直线时，最小， ∴的最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图连接，在上取点，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：如图延长到点，使， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值：， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之阿氏圆最值 【模型来源】 所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似． 【模型建立】 使用场景 已知两个定点A，B，动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值 类型 点A，B均在圆外，r=kOB(k<1) 点A，B均在圆内，r=kOB(k>1) 图示 解题策略 第一步:在OB上取点D，使得OD=kr； 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD; 第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值. 第一步:在OB的延长线上取点D，使得OD=kr; 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD; 第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值 大招结论 AD的长即为PA+kPB的最小值 【模型总结】 对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造. 当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造. 题型1、两定点在圆外：向内取点（系数小于1） 例1、如图，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，分别连接AP、BP、CP，且PB=3，则AP﹢PC的最小值为 . 例2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=BC=90°，AB=BC=2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为⊙B上任一动点，则PA﹢PC的最小值是 . （2021章丘一模）如图，在正方形ABCD中，AB=3，P为平面内任意一点，CP=1，连接PD，将线段PD绕着点D顺时针旋转90°，得到线段DQ，连接CQ，则DQ+3CQ的最小值为 . （2022济南章丘期末）12．如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（　　） A．2 B． C． D． （2021槐荫期末）27. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）设周长为，的周长为，若，求的值； （3）如图2，在（2）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． （2023年市中期中）如图①，已知在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，以BE 为斜边构造等腰直角△BEF，将△BEF绕点B在平面内作逆时针旋转. （1）如图②，当∠EBC=30°时，若CG=，则BG= ，AG= ； （2）如图③，延长BE，与AC、DC分别相交于点G、N，延长BF，与AC、AD分别相交于点H、M， 求证∶△AMH∽△CGN； （3）如图④，连接CE、DE，请直接写出当DE＋4CE取得最小值时，∠ECB的正切值 （2023烟台中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．    (1)求直线及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值． （2025济南长清一模）某校数学兴趣小组同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 题型2、两定点在圆内：外向取点（系数大于1) 例3、如图，在中，点A、点B在上，，，点C在OA上，且，点D是的中点，点M是劣弧AB上的动点，则的最小值为 ． （2024·浙江模拟预测）已知扇形中，，，点P是弧上一点，的最小值为 （2022江苏宿迁九上期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$