第21讲 带电粒子在磁场中的运动【四大题型】（举一反三）-备战2025年高考物理举一反三系列（新高考通用）

第21讲 带电粒子在磁场中的运动 题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 题型二 磁场中的动态圆问题 题型三 带电粒子在组合场中的运动 题型四 带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动 课标要求 命题预测 重难点 1.1.学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。 生活实践类：生活和科技、地磁场、电磁炮、回旋加速器、质谱仪、速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件等 学习探究类：通电导线在安培力作用下的平衡与加速问题，带电粒子在磁场、组合场、叠加场及立体空间中的运动 （1）会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界状问题。 （2）理解电场与磁场叠加场的科技应用实例的原理。 （3）掌握带电粒子在交变电、磁场中运动的解题思路和处理方法。 2.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。 3.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题 4.掌握带电粒子在磁场与磁场的组合场中的运动规律。 5.掌握带电粒子在电场与磁场的组合场中的运动规律。 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 题型一 【典型例题剖析】 【例1】　(多选)(2023·陕西渭南市模拟)如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，氢的同位素氘离子(H)和氚离子(H)都从边界上的O点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成相同的角，不计离子重力及离子间相互作用，则下列说法正确的是(　　) A．运动轨迹的半径之比为2∶3 B．重新回到边界所用时间之比为3∶2 C．重新回到边界时的动量相同 D．重新回到边界时与O点的距离不相等 【答案】　AD 【详解】　根据牛顿第二定律得qvB＝，解得r＝，由题知v、B大小均相同，则轨迹半径r与成正比，故r1∶r2＝2∶3，选项A正确；离子的运动周期为T＝＝，则知T1∶T2＝2∶3，根据左手定则分析和几何知识可知，两离子重新回到边界时的速度方向相同，重新回到边界时两个离子的速度偏向角均为2π－2θ，轨迹的圆心角也为2π－2θ，则运动时间t＝T，可知重新回到边界所用时间之比为2∶3，选项B错误；根据动量p＝mv，由于磁场不改变速度的大小，且两个离子的质量不相等，所以两个离子的动量也不相等，C错误；由几何知识可知离子重新回到边界时的位置与O点距离d＝2rsin θ，由于θ相同，r不同，故d不同，选项D正确。 【高考考点对接】 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 (2)不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 4．多边形边界或角形区域磁场 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。 (2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。 ①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示。 ②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示。 【解题能力提升】 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的周期性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。 (1)找出多解的原因。 (2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。 【跟踪变式训练】 【变式1-1】　(2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【详解】　如图所示， 设圆形磁场区域的半径为R，粒子以v1射入磁场时的轨迹半径为r1，根据几何关系r1＝R，以v2射入磁场时的轨迹半径r2＝R。根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝，所以＝＝，故选B。 【变式1-2】　(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL,0° B.kBL,0° C．kBL,60° D．2kBL,60° 【答案】　BC 【详解】　若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示， 根据几何关系则有R＝L，由qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当离子在两个磁场均运动一次时，如图乙所示，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R＝L， 根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2，3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故B、C正确，A、D错误。 【变式1-3】　(多选)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC是圆的一条直径，D为圆上一点，∠COD＝60°。在A点有一个粒子源，沿与AC成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。则从A点射出的粒子的比荷可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】　AD 【详解】　带电粒子从C点射出磁场，轨迹如图甲所示，由几何关系得sin 30°＝，解得r1＝2R； 　 带电粒子从D点射出磁场，轨迹如图乙所示，由几何关系得AODO2是菱形，所以粒子的轨迹半径r2＝R，所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足r2≤r≤r1，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得从A点射出的粒子的比荷满足≤≤，故选A、D。 磁场中的动态圆问题 题型二 【典型例题剖析】 【例2】　(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　) A．粒子在磁场中运动的半径为 B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域 C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为 D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为 【答案】　CD 【详解】　带电粒子在磁场中的运动半径r＝＝d，选项A错误；设从某处E进入磁场的粒子，其轨迹恰好与AC相切(如图所示)，则E点与A点的距离为AO－EO＝2d－d＝d，粒子在距A点0.5d处射入，会进入Ⅱ区域，选项B错误；粒子在距A点1.5d处射入，不会进入Ⅱ区域，在Ⅰ区域内的轨迹为半圆，运动的时间为t＝＝，选项C正确；进入Ⅱ区域的粒子，弦长最短时的运动时间最短，且最短弦长为d，与半径相同，故对应圆心角为60°，最短时间为tmin＝＝，选项D正确。 【高考考点对接】 “平移圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 “旋转圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 “放缩圆”模型 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 【跟踪变式训练】 【变式2-1】　(2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求： (1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间； (2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。 【答案】　(1)或　(2) 【详解】　(1)由题意可知，沿x轴正方向出射的离子，经半圆到达N点， 由此可得r＝a，可知通过M点的离子有两个出射方向，如图甲， 一个轨迹转过的圆心角为60°，即t1＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2＝T，离子做匀速圆周运动，周期T＝，即T＝， 解得t1＝，t2＝ (2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为＝。 【变式2-2】　(多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是(　　) A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0 【答案】　AD 【详解】　带电粒子以垂直于cd边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场，则知带电粒子的运动周期T＝2t0。该粒子从O点以与Od成30°角的方向射入磁场，随着粒子速度逐渐增大，轨迹由①→②→③→④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围分别为OG、FE、DC、BA之间，不可能从四个顶点射出，故A正确。 由上述分析知粒子运动周期为2t0，由图分析可知，从ab边射出的粒子所用时间不可能为t0，从bc边射出的粒子所用时间不超过T＝，所有从cd边射出的粒子转过的圆心角都是300°，所用时间为＝，故B、C错误，D正确。 【变式2-3】　(多选)(2023·山西太原市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半圆的直径，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量均为m、电荷量均为q的带负电的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速率射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　) A．可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为 B．可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为 C．在磁场中运动时间最短的粒子速率为 D．在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为 【答案】　BD 【详解】　由R＝可知，粒子速度越大，运动半径越大。如图， 在能到达半圆形边界的粒子中，经过a点的粒子运动半径最小，速度最小，其轨迹如图中轨迹1所示，由＝，解得vmin＝，故A错误；经过b点的粒子运动半径最大，速度最大，其轨迹如图中轨迹2所示，由＝，解得vmax＝，故B正确；由分析可知，轨迹圆弧所对应的弦与ab半圆形边界相切时，圆心角最小，运动时间最短，其轨迹如图中轨迹3所示，圆心恰好位于a点，由R＝，解得v＝；其圆心角为120°，故运动时间为t＝＝，故C错误，D正确。 带电粒子在组合场中的运动 题型三 【典型例题剖析】 【例3】　(2023·河南洛阳市一模)如图所示，三块挡板围成截面边长L＝1.2 m的等边三角形区域，C、P、Q分别是MN、AM和AN中点处的小孔，三个小孔处于同一竖直面内，MN水平，MN上方是竖直向下的匀强电场，电场强度E＝400 N/C。三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B1；三角形AMN以外和MN以下区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B2＝3B1。现将一比荷＝108 C/kg的带正电的粒子，从C点正上方2 m处的O点由静止释放，粒子从MN上的小孔C进入三角形内部匀强磁场，经内部磁场偏转后直接垂直AN经过Q点进入三角形外部磁场。已知粒子最终又回到了O点。设粒子与挡板碰撞过程中没有动能损失，且电荷量不变，不计粒子重力，不计挡板厚度，取π＝3。求： (1)磁感应强度B1的大小； (2)粒子第一次回到O点的过程，在磁场B2中运动的时间。 【答案】　(1)×10－2 T　(2)5.5×10－6 s 【详解】　(1)粒子从O到C在电场中加速，则由动能定理得Eqx＝mv2 解得v＝4×105 m/s 带电粒子在磁场中运动轨迹如图所示 由几何关系可知R1＝＝0.6 m 由qvB1＝m 代入数据解得 B1＝×10－2 T (2)由题可知B2＝3B1＝2×10－2 T， 则qvB2＝m 则R2＝＝0.2 m， 在磁场B2中的运动周期为T2＝＝ 在磁场B2中的运动时间为t＝T2＝×10－6 s＝5.5×10－6 s。 【高考考点对接】 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出带电粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3．常见带电粒子的运动及解题方法 【解题能力提升】 1．先电场后磁场 先电场后磁场的几种常见情形 (1)带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 (2)带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 　 2．先磁场后电场 先磁场后电场的几种常见情形 常见情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图 在电场中的运动性质 加速或减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 【跟踪变式训练】 【变式3-1】　(2023·辽宁卷·14)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O′点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O′点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 【答案】　(1)　(2)(或60°)　(3)见【详解】图 【详解】　(1)设板间距离为d，则板长为d，带电粒子在板间做类平抛运动，两板间的电场强度为E＝，根据牛顿第二定律得qE＝ma，解得a＝ 设粒子在平板间的运动时间为t0，根据类平抛运动的规律得＝at02, d＝v0t0 联立解得U＝ (2)设粒子出电场时与水平方向夹角为α，则有 tan α＝＝，故α＝ 则出电场时粒子的速度为v＝＝v0 粒子出电场后做匀速直线运动，接着进入磁场，根据牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝ 已知圆形磁场区域半径为R＝，故r＝R 粒子沿PO方向射入磁场，轨迹如图所示， 即沿半径方向射入磁场，故粒子将沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为θ，则粒子在磁场中运动圆弧轨迹对应的圆心角也为θ，由几何关系可得θ＝2α＝，故粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向的夹角为(或60°)； (3)粒子在该磁场中运动的半径与圆形磁场半径关系为r＝R，根据几何关系可知，粒子在该磁场中运动的轨迹一定为劣弧，故劣弧所对应轨迹圆的弦为磁场圆的直径时粒子在磁场中运动的时间最长，则相对应的运动轨迹以及圆心M的位置如图所示。 【变式3-2】　(2023·福建龙岩市第一次质检)如图所示，在xOy平面(纸面)内，x＞0空间存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限空间存在方向沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以大小为v、方向与y轴正方向的夹角为θ＝60°的速度沿纸面从坐标为(0，L)的P1点进入磁场中，然后从坐标为(0，－L)的P2点进入电场区域，最后从x轴上的P3点(图中未画出)垂直于x轴射出电场。求： (1)磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从P1点运动到P2点所用的时间t； (3)电场强度的大小E。 【答案】　(1)　(2)　(3) 【详解】　(1)带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示， 其圆心为O1，对应轨道半径为R， 由几何关系可得 Rsin θ＝L，解得R＝2L 由洛伦兹力提供向心力有qvB＝ 联立可得B＝ (2)带电粒子从P1点运动到P2点所用的时间为 t＝T，T＝＝ 联立可得t＝ (3)设带电粒子在电场中的运动时间为t′，由运动的合成与分解有vcos θ·t′＝L，vsin θ－at′＝0 由牛顿第二定律有qE＝ma 联立可得E＝。 【变式3-3】　如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【详解】　设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示， 对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m、T＝，可得R1＝、R2＝、T1＝、T2＝，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝，在第一象限中运动的时间为t2＝T2，又由几何关系有cos θ＝＝，可得t2＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝，选项B正确，A、C、D错误。 带电粒子在交变电、磁场中的运动 题型四 【典型例题剖析】 【例4】　如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入叠加场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出叠加场。不计一切阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小； (2)磁感应强度B的大小； (3)微粒在叠加场中的运动时间。 【答案】　(1)　(2)　(3)(＋1) 【详解】　(1)微粒到达A(l，l)之前做匀速直线运动，对微粒受力分析如图甲， 可知Eq＝mg， 得E＝。 (2)由平衡条件得： qvB＝mg 电场方向变化后，微粒所受重力与静电力平衡，微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，运动轨迹如图乙，有qvB＝m 由几何知识可得： r＝l 联立解得：v＝， B＝。 (3)微粒做匀速直线运动的时间：t1＝＝ 微粒做匀速圆周运动的时间： t2＝＝ 微粒在叠加场中的运动时间： t＝t1＋t2＝(＋1)。 【高考考点对接】 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 【解题能力提升】 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 【跟踪变式训练】 【变式4-1】　(多选)(2022·广东卷·8)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有(　　) A．电子从N到P，电场力做正功 B．N点的电势高于P点的电势 C．电子从M到N，洛伦兹力不做功 D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 【答案】　BC 【详解】　由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知，N点的电势高于P点的电势，故B正确；由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M到N，洛伦兹力不做功，故C正确；由于M点和P点在同一等势面上，故从M点到P点电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点所受电场力相等，即所受合力相等，故D错误。 【变式4-2】　如图甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示(设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向)。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力及离子间的相互作用力。求： (1)磁感应强度B0的大小。 (2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【答案】　(1)　(2)(n＝1,2,3…) 【详解】　(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，有B0qv0＝，做匀速圆周运动的周期T0＝ 由以上两式得磁感应强度B0＝ (2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示， 两板之间正离子只运动一个周期T0时，有R＝；当两板之间正离子运动n个周期即nT0时， 有R＝(n＝1,2,3…) 联立解得正离子的速度的可能值为 v0＝＝(n＝1,2,3…)。 【变式4-3】　如图甲所示的坐标系中，在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁场，交变电场的电场强度大小为E0，交变磁场的磁感应强度大小为B0，取x轴正方向为电场的正方向，垂直纸面向外为磁场的正方向。在t＝0时刻，将一质量为m、带电荷量为q、重力不计的带正电粒子，从y轴上A点由静止释放。粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直打在x轴上。求： (1)粒子第一次在磁场中运动的半径； (2)粒子打在x轴负半轴上到O点的最小距离； (3)起点A与坐标原点间的距离d应满足的条件； (4)粒子打在x轴上的位置与坐标原点O的距离跟粒子加速和偏转次数n的关系。 【答案】　(1)　(2)(π＋2) (3)d＝(n＝1,2,3…) (4)xP＝(π＋2)(n＝1,2,3…) 【详解】　(1)粒子第一次在电场中有qE0＝ma v1＝at0，t0＝，粒子第一次进入磁场中有 qv1B0＝，联立解得R1＝ (2)由题意可知粒子经2次加速和偏转后打在x轴负半轴上到O点的距离最小，如图甲所示 第一次加速的位移为Δx1＝＝ 第二次加速的位移Δx2＝3Δx1，v2＝2at0＝， 则R2＝＝ ΔxP＝Δx2－Δx1＋R2＝(π＋2) (3)分析带电粒子运动轨迹，如图乙所示 可知A与坐标原点间的距离d应满足 d＝n2R1＝(n＝1,2,3…) (4)若粒子经过n次加速和偏转后打在x轴上 xP＝n(Δx1＋R1)＝(π＋2)(n＝1,2,3…)。 1．(多选)如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界．已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则(　　) A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹半径相等 C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D．在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ 【答案】　AD 【详解】　由左手定则可判断，该匀强磁场的方向垂直纸面向里，A正确；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，整理得r＝，电子的轨迹半径与速度大小有关，速率不同，半径不同，B错误；由周期公式T＝可知，电子在磁场中的运动周期相同，由几何关系可知，在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ，即轨迹圆心角为2θ，电子在磁场中的运动时间t＝T，故不同速率的电子在磁场中的运动时间都相同，C错误，D正确。 2．(多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则(　　) A．粒子1与粒子2的动能之比为1∶2 B．粒子1与粒子2的动能之比为1∶4 C．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶1 D．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶2 【答案】　BD 【详解】　由题意可知，粒子1和2在磁场中圆周运动轨迹对应的弦长之比为1∶2，则粒子1和2运动半径之比为1∶2，根据qvB＝m，得v＝，即速度之比为1∶2，又Ek＝mv2，可知粒子1与粒子2的动能之比为1∶4，故A错误，B正确；由题意可知，两粒子在磁场中圆周运动的圆心角相等，由数学知识可知，粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比等于运动半径之比为1∶2，故C错误，D正确。 3．(多选)(2024·北京市模拟)如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m、电荷量为q、初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略粒子重力，下列说法正确的是(　　) A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．圆形磁场区域的半径为tan θ 【答案】　BC 【详解】　根据粒子的偏转方向，由左手定则可以判断出粒子带正电，A错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，解得粒子在磁场中运动时，其轨迹的半径为r＝，由几何关系可知其对应的圆心角为θ，则粒子在磁场中运动的轨迹长度为s＝θr＝，B正确；粒子做圆周运动的周期为T＝＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝，C正确；设圆形磁场区域的半径为R，由tan＝，解得R＝rtan＝tan，D错误。 4．如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 【答案】　B 【详解】　电子从a点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝，由洛伦兹力提供向心力，有evaB＝m，又＝k，解得va＝；电子从d点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有rd2＝l2＋(rd－)2，解得：rd＝，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝m，又＝k，解得vd＝，选项B正确。 5．如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　) A.　 B.　 C.　 D.　 【答案】　A 【详解】　若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y轴最远为|x|＝2r＝，离x轴最远为y＝2r＝，所以A项正确。 6．(2023·江苏泰州市靖江高级中学模拟)如图所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，半径为R，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场，恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°，要使电子从弧AD之间射出(不包括A、D两点)，电子从O点射入的初速度可能是(不计电子的重力)(　　) A. B. C．2v D．3v 【答案】　B 【详解】　根据题意，速度为v时，恰好由A点射出，如图中轨迹Ⅰ， 由几何关系可得r＝，由牛顿第二定律有qvB＝m，联立可得R＝，要使电子恰好从D点射出，如图中轨迹Ⅱ，根据几何关系可得r′＝R，则有R＝，解得v′＝2v，要使电子从弧AD之间射出，电子从O点射入的初速度应大于v，小于2v。故选B。 7．(2023·北京市一模)如图所示，边长为L的正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M垂直于ad边、以一定速率射入磁场，仅在洛伦兹力的作用下，正好从ab边中点N射出磁场。忽略粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　) A．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子将从b点射出 B．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍 C．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子将从a点射出 D．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍 【答案】　C 【详解】　由题意结合左手定则可知，粒子带正电，带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，如图所示， 则有，Bqv＝m，r＝，T＝，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，即v′＝2v，则粒子的半径将增大为原来的2倍，由图可知，粒子不会从b点射出，A错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝，由图可知，若粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子的半径将增大为原来的2倍，可粒子在磁场中运动的圆心角将减小，周期不变，则粒子在磁场中运动的时间将减小，B错误；若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子的运动半径将减小为原来的，将从a点射出，C正确；结合C选项，由T＝可知，若仅将磁感应强度大小增大为原来的2倍，粒子在磁场中运动的周期T′＝，在磁场中运动时间t＝，与从N点射出时的运动时间相同，即时间将不变，D错误。 8．(多选)(2023·辽宁沈阳市模拟)圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A点有一带正电粒子源，半径OA竖直，MN与OA平行，且与圆形边界相切于B点，在MN的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为E。当粒子的速度大小为v0且沿AO方向时，粒子刚好从B点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的总时间为 D．粒子在电场中运动的总时间为 【答案】　ABD 【详解】　根据题意可知，粒子从A点进入磁场从B点离开磁场时，根据左手定则可知，圆形区域内磁场方向垂直纸面向外，故A正确；根据题意可知，粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示， 根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为R，粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，根据洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m， 可得＝，故B正确；根据题意可知，粒子从B点进入电场之后，先向右做减速运动，再向左做加速运动，再次到达B点时，速度的大小仍为v0，再次进入磁场，运动轨迹如图乙所示。 则粒子在磁场中运动的总时间为t磁＝＝，故C错误；粒子在电场中，根据牛顿第二定律有Eq＝ma，解得a＝＝，根据v0＝at结合对称性可得，粒子在电场中运动的总时间为t电＝＝，故D正确。 9．如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度大小为E、方向竖直向下；该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　) A．液滴带正电 B．液滴比荷＝ C．液滴沿顺时针方向运动 D．液滴运动速度大小v＝ 【答案】　C 【详解】　液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的叠加场中做匀速圆周运动，可知qE＝mg，得＝，选项B错误；静电力方向竖直向上，液滴带负电，选项A错误；由左手定则可判断液滴沿顺时针方向运动，选项C正确；对液滴有qE＝mg，qvB＝m， 联立得v＝，选项D错误。 10．(多选)(2024·吉林长春市外国语学校开学考)如图所示，在竖直平面内的虚线下方分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小为10 N/C，方向水平向左；磁场的磁感应强度大小为2 T，方向垂直纸面向里。现将一质量为0.2 kg、电荷量为＋0.5 C的小球，从该区域上方的某点A以某一初速度水平抛出，小球进入虚线下方后恰好做直线运动。已知重力加速度为g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．小球平抛的初速度大小为5 m/s B．小球平抛的初速度大小为2 m/s C．A点距该区域上边界的高度为1.25 m D．A点距该区域上边界的高度为2.5 m 【答案】　BC 【详解】　小球受竖直向下的重力与水平向左的静电力作用，小球进入电磁场区域做直线运动，小球受力如图所示， 小球做直线运动，则qvBcos θ＝mg，小球的速度vcos θ＝v0，代入数据解得v0＝2 m/s，故A错误，B正确；小球从A点抛出到进入叠加场过程，由动能定理得mgh＝mv2－mv02，根据在叠加场中的受力情况可知(mg)2＋(qE)2＝(qvB)2，解得h＝，代入数据解得h＝1.25 m，故C正确，D错误。 11．(2023·广东梅州市期末)如图甲所示，在竖直平面内建立xOy坐标系(y轴竖直)，在x>0区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E＝；在x>0区域，还有按图乙规律变化的磁场，磁感应强度大小为B0，磁场方向以垂直纸面向外为正方向。t＝0时刻，有一质量为m、带电荷量为＋q的小球(可视为质点)以初速度2v0从原点O沿与x轴正方向夹角θ＝的方向射入第一象限，重力加速度为g。求： (1)小球从上往下穿过x轴的位置到坐标原点的可能距离； (2)小球与x轴之间的最大距离。 【答案】　(1)(8＋π)＋(n＝0,1,2，3，…)　(2) 【详解】　(1)带电小球从原点进入x>0区域后有Eq＝mg， 所以在此区域内，带电小球在有磁场时做匀速圆周运动，在无磁场时做匀速直线运动，其轨迹如图所示 在0～时间内，有q·2v0B0＝m 即r＝，小球沿x轴正方向前进的距离L1＝r 在～时间内，小球沿x轴正方向前进的距离L2＝2v0tcos ＝ 在～时间内，小球沿x轴正方向前进的距离为L1 在～时间内，小球沿x轴正方向前进的距离为L2 以此类推，小球从上往下穿过x轴时的位置到坐标原点的距离x＝n(2L1＋2L2)＋L1＝(8＋π)＋(n＝0,1,2,3，…)。 (2)由轨迹图可知，小球与x轴的最大距离位置在第四象限 小球与x轴之间的最大距离 d＝L2＋r(1－cos )＝。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲 带电粒子在磁场中的运动 题型一 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 题型二 磁场中的动态圆问题 题型三 带电粒子在组合场中的运动 题型四 带电粒子在叠加场和交变电、磁场中的运动 课标要求 命题预测 重难点 1.1.学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。 生活实践类：生活和科技、地磁场、电磁炮、回旋加速器、质谱仪、速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件等 学习探究类：通电导线在安培力作用下的平衡与加速问题，带电粒子在磁场、组合场、叠加场及立体空间中的运动 （1）会用平移圆法、旋转圆法、放缩圆法分析临界状问题。 （2）理解电场与磁场叠加场的科技应用实例的原理。 （3）掌握带电粒子在交变电、磁场中运动的解题思路和处理方法。 2.会分析带电粒子在匀强磁场中的多解问题。 3.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题 4.掌握带电粒子在磁场与磁场的组合场中的运动规律。 5.掌握带电粒子在电场与磁场的组合场中的运动规律。 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 题型一 【典型例题剖析】 【例1】　(多选)(2023·陕西渭南市模拟)如图所示，空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，氢的同位素氘离子(H)和氚离子(H)都从边界上的O点以相同速度先后射入磁场中，入射方向与边界成相同的角，不计离子重力及离子间相互作用，则下列说法正确的是(　　) A．运动轨迹的半径之比为2∶3 B．重新回到边界所用时间之比为3∶2 C．重新回到边界时的动量相同 D．重新回到边界时与O点的距离不相等 【高考考点对接】 1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) 2．平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 3．圆形边界(进出磁场具有对称性) (1)沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 (2)不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 4．多边形边界或角形区域磁场 带电粒子在多边形边界或角形区域磁场运动时，会有不同的临界情景，解答该类问题主要把握以下两点： (1)射入磁场的方式：①从某顶点射入；②从某边上某点以某角度射入。 (2)射出点的判断：经常会判断是否会从某顶点射出。 ①当α≤θ时，可以过两磁场边界的交点，发射点到两磁场边界的交点距离为d＝2Rsin α，如图甲所示。 ②当α>θ时，不能通过两磁场边界的交点，临界条件为粒子的运动轨迹恰好和另一个边界相切，如图乙所示。 【解题能力提升】 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的周期性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。 (1)找出多解的原因。 (2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。 【跟踪变式训练】 【变式1-1】　(2021·全国乙卷·16)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°，不计重力，则为(　　) A. B. C. D. 【变式1-2】　(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL,0° B.kBL,0° C．kBL,60° D．2kBL,60° 【变式1-3】　(多选)如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC是圆的一条直径，D为圆上一点，∠COD＝60°。在A点有一个粒子源，沿与AC成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。则从A点射出的粒子的比荷可能是(　　) A. B. C. D. 磁场中的动态圆问题 题型二 【典型例题剖析】 【例2】　(多选)如图所示，在Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场，磁场方向分别垂直于纸面向外和向里，AD、AC边界的夹角∠DAC＝30°，边界AC与边界MN平行，Ⅱ区域宽度为d。质量为m、电荷量为＋q的粒子可在边界AD上的不同点射入，入射速度垂直AD且垂直磁场，若入射速度大小为，不计粒子重力，则(　　) A．粒子在磁场中运动的半径为 B．粒子在距A点0.5d处射入，不会进入Ⅱ区域 C．粒子在距A点1.5d处射入，在Ⅰ区域内运动的时间为 D．能够进入Ⅱ区域的粒子，在Ⅱ区域内运动的最短时间为 【高考考点对接】 “平移圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示 轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行 界定方法 将半径为R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法 “旋转圆”模型 适用条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 “放缩圆”模型 适用条件 粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 【跟踪变式训练】 【变式2-1】　(2023·浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一xOy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0,2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求： (1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间； (2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。 【变式2-2】　(多选)如图所示，正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，O点是cd边的中点。若一个带正电的粒子(重力忽略不计)从O点沿纸面以垂直于cd边的某一速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是(　　) A．该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场 B．若该带电粒子从ab边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 C．若该带电粒子从bc边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是t0 D．若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是t0 【变式2-3】　(多选)(2023·山西太原市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，其边界如图中虚线所示，ab为半圆的直径，ac、bd与直径ab共线，a、c间的距离等于半圆的半径R。一束质量均为m、电荷量均为q的带负电的粒子，在纸面内从c点垂直于ac以不同速率射入磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是(　　) A．可以经过半圆形边界的粒子的速率最小值为 B．可以经过半圆形边界的粒子的速率最大值为 C．在磁场中运动时间最短的粒子速率为 D．在磁场中运动时间最短的粒子运动时间为 带电粒子在组合场中的运动 题型三 【典型例题剖析】 【例3】　(2023·河南洛阳市一模)如图所示，三块挡板围成截面边长L＝1.2 m的等边三角形区域，C、P、Q分别是MN、AM和AN中点处的小孔，三个小孔处于同一竖直面内，MN水平，MN上方是竖直向下的匀强电场，电场强度E＝400 N/C。三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B1；三角形AMN以外和MN以下区域有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B2＝3B1。现将一比荷＝108 C/kg的带正电的粒子，从C点正上方2 m处的O点由静止释放，粒子从MN上的小孔C进入三角形内部匀强磁场，经内部磁场偏转后直接垂直AN经过Q点进入三角形外部磁场。已知粒子最终又回到了O点。设粒子与挡板碰撞过程中没有动能损失，且电荷量不变，不计粒子重力，不计挡板厚度，取π＝3。求： (1)磁感应强度B1的大小； (2)粒子第一次回到O点的过程，在磁场B2中运动的时间。 【高考考点对接】 1．组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．分析思路 (1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出带电粒子的运动轨迹图。 (2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键。 (3)划分过程：将带电粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 3．常见带电粒子的运动及解题方法 【解题能力提升】 1．先电场后磁场 先电场后磁场的几种常见情形 (1)带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直磁场方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图甲。 (2)带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直磁场方向进入磁场做匀速圆周运动，如图乙。 　 2．先磁场后电场 先磁场后电场的几种常见情形 常见情境 进入电场时粒子速度方向与电场方向平行 进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直 进入电场时粒子速度方向与电场方向成一定角度(非直角) 运动示意图 在电场中的运动性质 加速或减速直线运动 类平抛运动 类斜抛运动 分析方法 动能定理或牛顿运动定律结合运动学公式 平抛运动知识，运动的合成与分解 斜抛运动知识，运动的合成与分解 【跟踪变式训练】 【变式3-1】　(2023·辽宁卷·14)如图，水平放置的两平行金属板间存在匀强电场，板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域，其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间，恰好从下板边缘P点飞出电场，并沿PO方向从图中O′点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为，不计粒子重力。 (1)求金属板间电势差U； (2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ； (3)仅改变圆形磁场区域的位置，使粒子仍从图中O′点射入磁场，且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦，标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。 【变式3-2】　(2023·福建龙岩市第一次质检)如图所示，在xOy平面(纸面)内，x＞0空间存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限空间存在方向沿x轴正方向的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，以大小为v、方向与y轴正方向的夹角为θ＝60°的速度沿纸面从坐标为(0，L)的P1点进入磁场中，然后从坐标为(0，－L)的P2点进入电场区域，最后从x轴上的P3点(图中未画出)垂直于x轴射出电场。求： (1)磁场的磁感应强度大小B； (2)粒子从P1点运动到P2点所用的时间t； (3)电场强度的大小E。 【变式3-3】　如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　) A. B. C. D. 带电粒子在交变电、磁场中的运动 题型四 【典型例题剖析】 【例4】　如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的方向水平向右，磁感应强度的方向垂直纸面向里。一带电荷量为＋q、质量为m的微粒从原点出发，以某一初速度沿与x轴正方向的夹角为45°的方向进入叠加场中，正好做直线运动，当微粒运动到A(l，l)时，电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间)，微粒继续运动一段时间后，正好垂直于y轴穿出叠加场。不计一切阻力，重力加速度为g，求： (1)电场强度E的大小； (2)磁感应强度B的大小； (3)微粒在叠加场中的运动时间。 【高考考点对接】 1．叠加场 电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2．带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 粒子所受合力为0 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 【解题能力提升】 解决带电粒子在交变电、磁场中的运动问题的基本思路 先读图 看清并且明白场的变化情况 受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况 过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况 找衔接点 找出衔接相邻两过程的物理量 选规律 联立不同阶段的方程求解 【跟踪变式训练】 【变式4-1】　(多选)(2022·广东卷·8)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有(　　) A．电子从N到P，电场力做正功 B．N点的电势高于P点的电势 C．电子从M到N，洛伦兹力不做功 D．电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力 【变式4-2】　如图甲所示，M、N为竖直放置且彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示(设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向)。有一群正离子在t＝0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力及离子间的相互作用力。求： (1)磁感应强度B0的大小。 (2)要使正离子从O′垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。 【变式4-3】　如图甲所示的坐标系中，在x轴上方的区域内存在着如图乙所示周期性变化的电场和磁场，交变电场的电场强度大小为E0，交变磁场的磁感应强度大小为B0，取x轴正方向为电场的正方向，垂直纸面向外为磁场的正方向。在t＝0时刻，将一质量为m、带电荷量为q、重力不计的带正电粒子，从y轴上A点由静止释放。粒子经过电场加速和磁场偏转后垂直打在x轴上。求： (1)粒子第一次在磁场中运动的半径； (2)粒子打在x轴负半轴上到O点的最小距离； (3)起点A与坐标原点间的距离d应满足的条件； (4)粒子打在x轴上的位置与坐标原点O的距离跟粒子加速和偏转次数n的关系。 1．(多选)如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B。一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场。其中某一速率为v的电子从Q点射出边界．已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则(　　) A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹半径相等 C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长 D．在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ 2．(多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则(　　) A．粒子1与粒子2的动能之比为1∶2 B．粒子1与粒子2的动能之比为1∶4 C．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶1 D．粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶2 3．(多选)(2024·北京市模拟)如图所示，匀强磁场限定在一个圆形区域内，磁感应强度大小为B，一个质量为m、电荷量为q、初速度大小为v的带电粒子沿磁场区域的直径方向从P 点射入磁场，从Q 点沿半径方向射出磁场，粒子射出磁场时的速度方向与射入磁场时相比偏转了θ角，忽略粒子重力，下列说法正确的是(　　) A．粒子带负电 B．粒子在磁场中运动的轨迹长度为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．圆形磁场区域的半径为tan θ 4．如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外。ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子。已知电子的比荷为k。则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为(　　) A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 5．如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为(　　) A.　 B.　 C.　 D.　 6．(2023·江苏泰州市靖江高级中学模拟)如图所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，半径为R，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场，恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°，要使电子从弧AD之间射出(不包括A、D两点)，电子从O点射入的初速度可能是(不计电子的重力)(　　) A. B. C．2v D．3v 7．(2023·北京市一模)如图所示，边长为L的正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M垂直于ad边、以一定速率射入磁场，仅在洛伦兹力的作用下，正好从ab边中点N射出磁场。忽略粒子受到的重力，下列说法正确的是(　　) A．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子将从b点射出 B．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍 C．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子将从a点射出 D．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来的2倍 8．(多选)(2023·辽宁沈阳市模拟)圆心为O、半径为R的圆形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面的匀强磁场(未画出)，磁场边缘上的A点有一带正电粒子源，半径OA竖直，MN与OA平行，且与圆形边界相切于B点，在MN的右侧有范围足够大且水平向左的匀强电场，电场强度大小为E。当粒子的速度大小为v0且沿AO方向时，粒子刚好从B点离开磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　) A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外 B．粒子的比荷为 C．粒子在磁场中运动的总时间为 D．粒子在电场中运动的总时间为 9．如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知该电场的电场强度大小为E、方向竖直向下；该磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　) A．液滴带正电 B．液滴比荷＝ C．液滴沿顺时针方向运动 D．液滴运动速度大小v＝ 10．(多选)(2024·吉林长春市外国语学校开学考)如图所示，在竖直平面内的虚线下方分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场的电场强度大小为10 N/C，方向水平向左；磁场的磁感应强度大小为2 T，方向垂直纸面向里。现将一质量为0.2 kg、电荷量为＋0.5 C的小球，从该区域上方的某点A以某一初速度水平抛出，小球进入虚线下方后恰好做直线运动。已知重力加速度为g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．小球平抛的初速度大小为5 m/s B．小球平抛的初速度大小为2 m/s C．A点距该区域上边界的高度为1.25 m D．A点距该区域上边界的高度为2.5 m 11．(2023·广东梅州市期末)如图甲所示，在竖直平面内建立xOy坐标系(y轴竖直)，在x>0区域有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E＝；在x>0区域，还有按图乙规律变化的磁场，磁感应强度大小为B0，磁场方向以垂直纸面向外为正方向。t＝0时刻，有一质量为m、带电荷量为＋q的小球(可视为质点)以初速度2v0从原点O沿与x轴正方向夹角θ＝的方向射入第一象限，重力加速度为g。求： (1)小球从上往下穿过x轴的位置到坐标原点的可能距离； (2)小球与x轴之间的最大距离。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$