6.5.2 第1课时 平面与平面垂直的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　立体几何初步 §5　垂直关系 5.2　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的性质 (教师独具内容) 课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面垂直的关系，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明． 教学重点：1.了解二面角的定义.2.掌握二面角的求法.3.能够利用平面与平面垂直的性质定理证明简单的几何命题，并会进行简单应用． 教学难点：灵活运用平面与平面垂直的性质定理解决问题． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　二面角及其平面角 (1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成_______，其中的__________都称为半平面． (2)二面角：从一条直线出发的_____________所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的_____，这两个半平面称为二面角的____． 两部分 每一部分 两个半平面 棱 面 核心概念掌握 5 (3)二面角的记法 如图，以直线AB(l)为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角_________或_________． (4)二面角的平面角 以二面角的棱上________为端点，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角． α－AB－β α－l－β 任一点 垂直于棱 核心概念掌握 6 如图二面角α－l－β，若有 ①O____l； ②OA___α，OB____β； ③OA____l，OB___l， 则∠AOB就是二面角α－l－β的平面角．其中平面角是______的二面角称为直二面角． ∈ ⊂ ⊂ ⊥ ⊥ 直角 核心概念掌握 7 知识点二　两个平面互相垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作：_______． 直二面角 α⊥β 核心概念掌握 8 垂直 a⊥β 知识点三　平面与平面垂直的性质定理 核心概念掌握 9 平面与平面垂直的其他性质 (1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． (2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面． (3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内． 核心概念掌握 10 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．(　　) (2)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．(　　) (3)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面．(　　) (4)如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.(　　) √ × × × 核心概念掌握 11 2．做一做 (1)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β 核心概念掌握 12 (2)给出下列说法： ①两个相交平面组成的图形叫作二面角； ②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所夹角的最小角． 其中正确的是(　　) A．①② B．③ C．①③ D．② 核心概念掌握 13 (3)如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若∠APB＝80°，则二面角α－l－β的大小为__________． 100° 核心概念掌握 14 核心素养形成 题型一　求二面角 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的 中点，求平面B1DE与底面ABCD所成二面角的正切值． 解　延长B1E和BA交于点F，连接DF，则DF是所求二面角的棱， ∵E是AA1的中点， ∴B1E＝EF，从而AF＝AB＝CD， 核心素养形成 16 核心素养形成 17 【感悟提升】　求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角． (2)证明这个角是二面角的平面角． (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小． 核心素养形成 18 【跟踪训练】 1.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平 分SC，且分别交AC，SC于D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角 E－BD－C的大小． 核心素养形成 19 核心素养形成 20 已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC； (2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形． 题型二　面面垂直的性质的应用 核心素养形成 21 (2)连接BE并延长，交PC于点H. ∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE. 又已知AE是平面PBC的垂线， ∴PC⊥AE. 又BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE. ∴PC⊥AB. ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB. ∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形． 核心素养形成 22 【感悟提升】　面面垂直性质定理的转化 面面垂直的性质定理可将面面垂直转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意以下三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在一个平面内；③直线必垂直于它们的交线． 核心素养形成 23 【跟踪训练】 2.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB. 核心素养形成 24 证明 ：(1)如图，连接BD. ∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形． ∵G是AD的中点， ∴BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面 ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD， ∴BG⊥平面PAD. 核心素养形成 25 (2)连接PG， 由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD. 又BG⊥AD，BG∩PG＝G， ∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB. 核心素养形成 26 随堂水平达标 1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－ AB－C的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：易知AB⊥AD，AB⊥AD1，所以∠D1AD就是二面角D1－AB－C的平面角，显然∠D1AD＝45°，所以二面角D1－AB－C的大小是45°. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 28 2．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么(　　) A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b可能垂直，也可能平行 C．a与b不可能垂直，但可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行 解析：当a，b都与l平行时，则a∥b，∴A，D错误；如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，∵α⊥β，∴a′⊥β，又b⊂β，∴a′⊥b，∴b⊥α，而l⊂α，∴b⊥l，与b和l不垂直矛盾，∴a与b不可能垂直，B错误． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 29 3．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　) A．平行 B．共面 C．垂直 D．不垂直 解析：如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD，所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.易得BD与CC1是异面直线．故选C.椭 随堂水平达标 1 2 3 4 5 30 4.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 31 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 课后课时精练 一、选择题 1.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝ 90°，则二面角B－PA－C的大小为(　　) A．90° B．60° C．45° D．30° 解析：因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC为二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°，故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出如下命题，其中正确的是(　　) A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n∥β B．若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α C．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β 解析：根据平面与平面垂直的性质知A不正确；B中，m还可能在α内或m∥α或m与α相交但不垂直，故B不正确；C中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，故C正确；D中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，故D不正确．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 5.(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是(　　) A．在线段AD上存在一点M，使AD⊥平面PMB B．异面直线AD与PB的夹角为90° C．二面角P－BC－A的大小为45° D．BD⊥平面PAC 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 解析：连接AC，BD交于点O，连接VO，则VO⊥平面ABCD，取AB的中点E，连接VE，OE，则VE⊥AB，OE⊥AB，所以∠VEO是二面角V－AB－C的平面角．由题意，知OE＝1，VE＝2，所以∠VEO＝60°. 60° 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 7．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为________． 60° 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 8．在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝BC＝CD＝1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB的中点，则线段CM的长为________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 43 三、解答题 9.如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA，SB， SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥ 平面BSC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 10.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 证明：(1)在平面ABD内， 因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以AB∥EF. 又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 (2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC， BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面的夹角为45°，点E是PD的中点． 解：(1)证明：连接AE. 因为PA⊥底面ABCD， 所以∠PDA是PD与底面ABCD的夹角， 所以∠PDA＝45°， 所以PA＝DA. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 又因为点E是PD的中点， 所以AE⊥PD. 因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD， 所以PA⊥AB. 因为∠BAD＝90°，所以AB⊥AD. 又因为PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PDA. 又因为PD⊂平面PDA，所以AB⊥PD. 又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE. 因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥PD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 解：(1)证明：如图，取BC，B1C1的中点分别为D和D1，连接A1D1，DD1，AD，A1D，AD1. 由条件可知，BC⊥AD，B1C1⊥A1D1. 又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面A1B1C1⊥平面BB1C1C， 所以AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C， 因此AD∥A1D1， 即AD，A1D1确定平面AD1A1D. 因为DD1∥BB1，BB1⊥BC，所以DD1⊥BC. 又AD⊥BC，AD∩DD1＝D，所以BC⊥平面AD1A1D， 又AA1⊂平面AD1A1D，故AA1⊥BC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 52 　　　　　　　　　　　　　 R 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面_______ 符号语言 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a⊂α,a⊥l))⇒_________ 图形语言 作用 ①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线 又AF∥CD， ∴四边形FACD为平行四边形，∴DF∥CA. ∵CA⊥DB，∴DF⊥DB. ∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥DF. 又DB∩BB1＝B， ∴DF⊥平面BB1D，故B1D⊥DF. ∴∠B1DB是所求二面角的平面角． 在Rt△B1BD中，tan∠B1DB＝eq \f(BB1,DB)＝eq \f(\r(2),2). 故平面B1DE与底面ABCD所成二面角的正切值为eq \f(\r(2),2). 解：∵SA⊥平面ABC， ∴SA⊥AC，SA⊥BC，SA⊥AB，SA⊥BD. ∵SE＝EC，SB＝BC，∴SC⊥BE. ∵SC⊥DE，DE∩BE＝E，∴SC⊥平面BED，∴SC⊥BD. 又BD⊥SA，SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC. ∵AC⊂平面SAC， ∴BD⊥AC.同理BD⊥DE， ∴∠EDC是二面角E－BD－C的平面角． 设SA＝1，则SA＝AB＝1，∴SB＝BC＝eq \r(2). ∵AB⊥BC，SA⊥BC，AB∩SA＝A， ∴BC⊥平面SAB， ∴BC⊥SB，∴SC＝2. 在Rt△SAC中，SA＝1，SC＝2， ∴∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°. ∴二面角E－BD－C为60°. 证明　(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F， ∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC. 又PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA. 作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA， 又DG，DF都在平面ABC内且交点为D， ∴PA⊥平面ABC. 解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq \r(PA2＋AB2)＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5). eq \r(5) 5.如图，在四面体ABCD中，BD＝eq \r(2)a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a，求证：平面ABD⊥平面BCD. 证明：因为△ABD与△BCD是全等的等腰直角三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.∠AEC是二面角A－BD－C的平面角． 在△ABD中，AB＝a， BE＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(2),2)a， 所以AE＝eq \r(AB2－BE2)＝eq \f(\r(2),2)a. 同理CE＝eq \f(\r(2),2)a， 在△AEC中，AE＝CE＝eq \f(\r(2),2)a，AC＝a. 由于AC2＝AE2＋CE2， 所以AE⊥CE，即∠AEC＝90°， 所以二面角A－BD－C为直二面角， 所以平面ABD⊥平面BCD. 2．将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则折叠后A与C之间的距离为(　　) A．a B.eq \f(1,2)a C.eq \f(\r(3),2)a D.eq \r(3)a 解析：设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BD⊥CE，BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1－BD－C的平面角．故∠A1EC＝60°.因为A1E＝CE，所以△A1EC是等边三角形．所以A1E＝CE＝A1C＝eq \f(\r(3),2)a. 3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成锐二面角A1－BD－A的正切值为(　　) A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D.eq \r(3) 解析：如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD.又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角．设AA1＝1，则AO＝eq \f(\r(2),2).所以tan∠A1OA＝eq \f(1,\f(\r(2),2))＝eq \r(2). 解析：对于A，如图，取AD的中点M，连接PM，BM，连接AC，BD，交于点O.∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD.又底面ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BM⊥AD.又PM∩BM＝M，PM，BM⊂平面PMB，∴AD⊥平面PMB，故A正确；对于B，∵AD⊥平面PMB，∴AD⊥PB，即异面直线AD与PB的夹角为90°，故B正确；对于C，∵平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，∴BC⊥平面PMB.∵PB，BM⊂平面PMB，∴BC⊥PB，BC⊥BM，∴∠PBM是二面角P－BC－A的平面角．设AB＝1，则BM＝eq \f(\r(3),2)，PM＝eq \f(\r(3),2).在Rt△PBM中，tan∠PBM＝eq \f(PM,BM)＝1，即∠PBM＝45°，故二面角P－BC－A的大小为45°，故C正确；对于D，∵BD与PA不垂直，∴BD与平面PAC不垂直，故D错误．故选ABC. 二、填空题 6．在正四棱锥V－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为eq \r(5)，则二面角V－AB－C的大小为________． 解析：如图所示，是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱，折成直二面角后的图形，折叠后AD⊥CD，BD⊥CD，∠ADB即所成二面角的平面角，故∠ADB＝90°.设AD＝a，则有BD＝CD＝a，所以AB＝AC＝BC＝eq \r(2)a，所以△ABC是等边三角形，所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC，BC的夹角为60°. 解析：取BD的中点O，连接OA，OC.∵AB＝AD＝BC＝CD＝1，∴OA⊥BD，OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，∴OA⊥OC，∵AB⊥AD，∴BD＝eq \r(2).取OB的中点N，连接MN，CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD，∴MN⊥CN.∵CN2＝ON2＋OC2，∴CM＝eq \r(MN2＋CN2)＝eq \f(\r(3),2). 证明：取BC的中点D，连接SD，AD(图略)，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA. 所以AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS是二面角A－BC－S的平面角． 令SA＝1，因为∠BSC＝90°， 则SD＝eq \f(\r(2),2)，AD＝eq \f(\r(2),2)，所以SD2＋AD2＝SA2. 所以∠ADS＝90°，所以平面ABC⊥平面BSC. (2)连接AC.在直角梯形ABCD中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，所以AC＝CD＝eq \r(2). 因为AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD， 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD. 因为AC∩PA＝A，所以CD⊥平面PAC. 又因为PC⊂平面PAC，所以PC⊥CD， 所以∠PCA为二面角P－CD－A的平面角． 在Rt△PCA中，PC＝eq \r(PA2＋AC2)＝eq \r(22＋（\r(2)）2)＝eq \r(6). 所以cos∠PCA＝eq \f(AC,PC)＝eq \f(\r(2),\r(6))＝eq \f(\r(3),3). 所以所求二面角的余弦值为eq \f(\r(3),3). 12．平面图形ABB1A1C1C如图1所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝eq \r(2)，A1B1＝A1C1＝eq \r(5).现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题． (1)证明：AA1⊥BC； (2)求AA1的长． (2)如图，延长A1D1到点G，使GD1＝AD，连接AG. 因为AD綊GD1，所以四边形AGD1D是平行四边形， 从而AG綊DD1綊BB1.因为A1D1⊥平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C， 所以A1D1⊥BB1. 又BB1⊥B1C1，B1C1∩A1D1＝D1，B1C1，A1D1⊂平面A1B1C1， 所以BB1⊥平面A1B1C1，所以AG⊥平面A1B1C1，所以AG⊥A1G. 由条件可知，A1G＝A1D1＋D1G＝3，AG＝4. 所以AA1＝eq \r(A1G2＋AG2)＝eq \r(32＋42)＝5. $$