6.3.1 3.2 第1课时 空间图形基本位置关系的认识与基本事实1～3-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　立体几何初步 §3　空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置 关系的公理 第1课时　空间图形基本位置关系的认识与基本事实1～3 (教师独具内容) 课程标准：借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，了解基本事实1～3和三个推论． 教学重点：1.理解空间中点、线、面的位置关系.2.掌握三个基本事实和三个推论.3.会用集合语言来描述点、直线和平面之间的位置关系，并会用图形表示． 教学难点：运用三个基本事实和三个推论解决问题． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　点、直线、平面的位置关系 (1)点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外． 如图1，点B在直线b____，但在直线a____，记作：B∈b，B∉a. (2)点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外． 如图1，点B在平面α___，点A1在平面α____，记作：B∈α，A1∉α. 上 外 内 外 核心概念掌握 5 (3)直线与直线的位置关系有两种：直线与直线相交和直线与直线不相交． 如图2，直线a和直线l相交，记作：a∩l＝B1；直线b和直线l不相交，记作：_______________． (4)直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行． 如图2，直线a在平面β内，即直线上的________都在平面内，记作：a⊂β；直线l与平面α相交，记作：l∩α＝A1；直线a与平面α_________，称直线a与平面α平行，记作：a∥α. b∩l＝∅ 每个点 无公共点 核心概念掌握 6 (5)平面与平面的位置关系有两种：平面与平面不相交和平面与平面相交． 如图2，平面α与平面β不相交；而在图3中，平面α与平面β相交． 若两个平面α和β不相交，则称这两个平面______，记作：α∥β. 知识点二　三个基本事实 (1)基本事实1：过_______________的三个点，有且只有一个平面．或简单说成：不共线的三点确定一个平面． (2)基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 平行 不在一条直线上 两个点 核心概念掌握 7 符号表示：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α. (3)基本事实3：如果两个________的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 符号表示：P∈α，P∈β⇔α∩β＝l，且P∈l. 知识点三　三个推论 推论1：一条直线和_________________确定一个平面． 推论2：两条_______直线确定一个平面． 推论3：两条_______直线确定一个平面． 不重合 该直线外一点 相交 平行 核心概念掌握 8 1．对基本事实1的理解 (1)“有且只有一个”有两层含义，“有”表示存在，“只有一个”表示唯一，所以“有且只有一个”表示存在并且唯一，这就表明这个图形是确定的，所以也可以说成“确定一个”． (2)值得注意的是，如果给定的三个点在同一直线上，那么有无数个平面通过这三个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面． (3)基本事实1的作用：①确定平面；②证明点、线共面． 核心概念掌握 9 2．对基本事实2的理解 (1)从集合的角度看，基本事实2可以表述为：如果一条直线(点集)上有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内． (2)基本事实2的作用是判断直线是否在平面内，点是否在平面内，也可以用来检验面是否为平面．根据性质，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线在平面内，判断的关键是抓住在平面内的点的个数，因为两点确定一条直线，从而两个点就能够代表整条直线，进而可判断直线是否在平面内． 核心概念掌握 10 3．对基本事实3的理解 (1)基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两面共有一点”，就有“两面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的． (2)从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，公共点一定有无数多个，这无数多个点的集合是一条直线，即两平面的交集是一条直线，也就是两平面的交线． (3)基本事实3的作用：①判断两个平面是否相交．只要两个平面有公共点，则这两个平面就相交．②解决点在线上或点共线问题．若点是某两个平面的公共点，则该点在这两个平面的交线上． 核心概念掌握 11 注意：(1)平面的基本事实也称为公理． (2)三个推论都可看作是基本事实1的变形，它们组成了确定平面的完整体系，也是证明点、线共面的依据． (3)推论1中要注意“点必须是直线外一点”，当点在直线上时，可以确定无数个平面． 核心概念掌握 12 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中两条直线没有交点，则两条直线平行．(　　) (2)若点A在直线m上，直线m在平面α内，则点A在平面α内．(　　) (3)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．(　　) (4)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.(　　) (5)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) √ × × × √ 核心概念掌握 13 2．做一做 (1)下列表述中正确的是(　　) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 (2)空间中，可以确定一个平面的条件是(　　) A．两条直线 B．一点和一条直线 C．一个三角形 D．三个点 (3)空间中的五个点，其中有四个点在同一平面内，但没有任何三点共线，这样的五个点确定的平面最多有________个． 7 核心概念掌握 14 核心素养形成 题型一　用文字语言、图形语言、符号语言表示空间中点、线、面的位置关系 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系． (1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB； (3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC； (5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC； (7)直线AB与平面A1C1；(8)平面A1B与平面AC； (9)平面A1C1与平面AC. 核心素养形成 16 解　 (1)P∈AB. (2)C∉AB. (3)M∈平面AC. (4)A1∉平面AC. (5)AB∩BC＝B. (6)AB⊂平面AC. (7)AB∥平面A1C1. (8)平面A1B∩平面AC＝AB. (9)平面A1C1∥平面AC. 核心素养形成 17 【感悟提升】　三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． 核心素养形成 18 C D A B 核心素养形成 19 (2)根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形． ①A∈α，B∉α；②l⊂α，m∩α＝A，A∉l；③P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 解： ①点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①. ②直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②. ③直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③. 核心素养形成 20 题型二　点、线共面问题 如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c和l共面． 证明　证法一(辅助平面法)： ∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面α. ∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. ∵C∈l，∴C∈α， ∴直线a与点C同在平面α内． 核心素养形成 21 又a∥c，∴直线a，c确定一个平面β. ∵C∈c，c⊂β， ∴C∈β，即直线a与点C同在平面β内． 由推论1，可得平面α和平面β重合，则c⊂α. ∴a，b，c，l共面． 核心素养形成 22 证法二(纳入平面法)： ∵a∥b，∴直线a，b确定一个平面α. ∵A∈a，B∈b， ∴A∈α，B∈α. 又A∈l，B∈l，∴l⊂α. 则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内． 同理可证c在a，l确定的平面内． ∵相交直线a与l只能确定一个平面， ∴a，b，c，l共面于a，l确定的平面，即直线a，b，c和l共面． 核心素养形成 23 【感悟提升】　证明点、线共面的常用方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． 核心素养形成 24 【跟踪训练】 2．已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面． 证明：①有三线共点的情况，如图1. 设b，c，d三线相交于点K，与直线a分别交于点N，P，M，且K∉a. ∵K∉a， ∴点K和直线a确定一个平面，设该平面为α. ∵N∈a，a⊂α，∴N∈α.∴NK⊂α，即b⊂α. 同理，c⊂α，d⊂α.∴a，b，c，d共面． 核心素养形成 25 ②无三线共点情况，如图2. 设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S. ∵a∩d＝M，∴直线a，d可确定一个平面α. ∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α， ∴NQ⊂α，即b⊂α. 同理，c⊂α，∴a，b，c，d共面． 由①②知，a，b，c，d共面． 核心素养形成 26 题型三　点共线问题 已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R(如图)．求证：P，Q，R三点共线． 证明　证法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上． 同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P，Q，R三点共线． 核心素养形成 27 证法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC⊂平面APR. 又Q∈直线BC，∴Q∈平面APR. 又Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线． 核心素养形成 28 【感悟提升】　证明点共线问题的方法 证明多点共线主要采用如下两种方法：一是首先确定两个平面，然后证明这些点是这两个平面的公共点，再根据基本事实3，这些点都在这两个平面的交线上；二是选择其中两点确定一条直线，然后再证明其他的点都在这条直线上． 核心素养形成 29 证明：∵D1∈平面ABC1D1， D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1，B∈平面A1D1CB， ∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C⊂平面A1D1CB， ∴Q∈平面A1D1CB，Q∈平面ABC1D1， ∴Q在两平面的交线BD1上， ∴B，Q，D1三点共线． 【跟踪训练】 3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线． 核心素养形成 30 已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点． 题型四　线共点问题 证明　如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3. ∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行， ∴l1与l2必相交． 设l1∩l2＝P， 则P∈l1，P∈l2，∴P∈α，P∈γ， ∴P∈α∩γ＝l3， ∴l1，l2，l3相交于一点P. 核心素养形成 31 【感悟提升】　证明三线共点的方法 证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点． 核心素养形成 32 【跟踪训练】 4.已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，如图，E，F分别为AA′，AB上的点(E，F不与A′，B重合)且EF∥CD′，求证：CF，D′E，DA三线共点于P. 证明 ：由EF∥CD′知E，F，C，D′四点共面． ∵E，F不与A′，B重合， ∴EF≠CD′，即四边形EFCD′为梯形． 设D′E∩CF＝P， ∵D′E⊂平面AA′D′D，P∈D′E， ∴P∈平面AA′D′D. 核心素养形成 33 ∵CF⊂平面ABCD，P∈CF， ∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA′D′D的公共点． 又平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD， ∴P∈AD，即CF，D′E，DA三线共点于P. 核心素养形成 34 如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的 棱CC1和AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线． 题型五　确定两个平面的交线 解　如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M. 因为M∈D1F，M∈DA，D1F⊂平面BED1F，DA⊂ 平面ABCD， 所以M是平面BED1F与平面ABCD的一个公共点． 又B是平面BED1F与平面ABCD的一个公共点， 连接MB，则直线MB为所求两平面的交线． 核心素养形成 35 【感悟提升】　基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线．因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点． 核心素养形成 36 【跟踪训练】 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线，并作出平面α与平面ABCD的交线． 解：平面α与长方体表面的交线(A1P，C1P，A1C1)如图1所示． 平面α与平面ABCD的交线可以这样确定：延长C1P，则它与CB的延长线一定相交，设交点为M，则M是平面α与平面ABCD的一个公共点；同理，延长A1P交AB的延长线于点N，则N也是平面α与平面ABCD的一个公共点，连接MN，则直线MN就是平面α与平面ABCD的交线，如图2所示． 核心素养形成 37 随堂水平达标 1．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了(　　) A．三点确定一平面 B．不共线三点确定一平面 C．两条相交直线确定一平面 D．两条平行直线确定一平面 解析：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 39 2．若点A∈平面α，点B∈平面α，点C∈直线AB，则(　　) A．C∈α B．C∉α C．AB⊄α D．AB∩α＝C 解析：因为点A∈平面α，点B∈平面α，所以AB⊂α.又点C∈直线AB，所以点C∈α. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 40 3．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　) A．1条或2条 B．2条或3条 C．1条或3条 D．1条或2条或3条 解析：当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 41 4．若a表示直线，α表示平面，则下列命题中正确的是(　　) ①直线a在平面α内，即a与α有无数个公共点； ②直线a不在平面α内，即直线a与α有一个公共点； ③直线a不在平面α内，即直线a与α没有公共点； ④a与α的关系可分为a在α内或a不在α内． A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 解析：直线a不在平面α内，即直线a与α平行或相交，无公共点或有一个公共点，故②③错误，显然①④正确． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 42 5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________． 解析：命题①错误，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错误，若交于同一点时，可以不共面，如正方体同一顶点的三条棱；命题③错误，这三个不同公共点可能在它们的交线上；命题④错误，两两平行的三条直线也可在同一个平面内．所以正确命题的个数为0. 0 随堂水平达标 1 2 3 4 5 43 课后课时精练 一、选择题 1.如图所示，用符号语言可表示为(　　) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 解析：很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选A. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 2.如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是(　　) A．直线AC B．直线BC C．直线CR D．直线AR 解析：∵C∈平面ABC，AB⊂平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC，而C∈β，l⊂β，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 3．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论不正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1四点共面 C．A，O，C，M四点共面 D．B，B1，O，M四点共面 解析：因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A，B，C均正确．故选D. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线(　　) A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条 解析：如图，在直线CD上任取一点H，则直线A1D1与点H确定一平面A1D1HG.显然EF与平面A1D1HG有公共点O且A1D1∥HG.又O∉HG.连接HO并延长，则一定与直线A1D1相交．由于点H有无数个，所以与A1D1，EF，CD都相交的直线有无数条． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 5．(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 解析：两平面有公共点，则两平面有一条交线，故C错误．A，B，D均正确．故选ABD. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 二、填空题 6．如图所示是一个正方体表面的展开图，图中线段AB与EF 在原正方体中的位置关系是________，线段HG与CD在原正方体 中的位置关系是______. 解析：选择一个面为底面，将图形向上折成正方体， 如图，点G与点C重合，点F与点B重合，则线段AB与EF 相交，线段HG与CD相交． 相交 相交 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 7．有下列几种说法： ①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内； ⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面． 其中正确说法的序号是________(把你认为正确的序号都填上)． ③④ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 51 解析：①中线段可与平面α相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A与α内的任意直线都能确定一个平面． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 52 8．四条平行直线最多可以确定________个平面，四条相交于一点的直线最多可以确定________个平面． 解析：要使四条平行直线确定的平面最多，只需这四条直线中任意两条直线所确定的平面互不相同，故四条平行直线最多可以确定6个平面．由平面的基本事实的推论2知，四条相交于一点的直线最多可以确定6个平面． 6 6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 53 三、解答题 9.如图，四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 55 10.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线． 证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P， ∴AB∩CD＝P. ∴AB，CD可确定一个平面，设为β. ∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD， ∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β. ∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交． ∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R， ∴P，Q，R三点都是平面α与平面β的公共点． ∴点P，Q，R都在平面α与平面β的交线上，故P，Q，R三点共线． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 56 11.如图，在底面是平行四边形的四棱锥S－ABCD中，O为AC，BD的交点，P，Q分别为△SAD，△SBC的重心．求证：S，P，O，Q四点共面． 解：如图，连接SP，SQ并延长，分别交AD，BC于点M，N，连接MN. 因为P，Q分别为△SAD，△SBC的重心， 所以M，N分别为AD，BC的中点， 所以O∈MN. 由棱锥的性质，知点S，M，N不共线，所以确定一个平面SMN， 所以MN⊂平面SMN，所以O∈平面SMN. 又P∈SM，Q∈SN，SM⊂平面SMN，SN⊂平面SMN， 所以P∈平面SMN，Q∈平面SMN，所以S，P，O，Q四点共面． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 57 12．正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题： (1)直线EF，GH，DC能交于一点吗？ (2)若E，F，G，H四点共面，画出过点E，F，G， H的平面截正方体所得的截面； (3)若正方体的棱长为a，那么(2)中的截面面积是多少？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 60 　　　　　　　　　　　　　 R eq \x(a∥α⇔a∩α＝∅) eq \x(α∥β⇔α∩β＝∅) 【跟踪训练】 1．(1)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上． ①A∉α，a⊂α：________； ②α∩β＝a，P∉α且P∉β：________； ③a⊄α，a∩α＝A：________； ④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________． 证明：如图所示，连接GE，HF， ∵E，G分别为BC，AB的中点， ∴GE∥AC，GE＝eq \f(1,2)AC. ∵DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3， ∴HF∥AC，HF＝eq \f(2,5)AC， ∴GE∥HF，GE>HF. ∴G，E，F，H四点共面． ∴EF与GH相交，设交点为O. 则O∈平面ABD∩平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD， ∴O∈BD.即EF，GH，BD交于一点． 解：(1)如图，直线EF，GH，DC能交于一点．理由如下： 因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD，且EF与CD相交，设交点为P. 由△EBF≌△PCF， 可得PC＝BE＝eq \f(1,2)AB. 同理，直线GH与直线CD相交，设交点为P1， 同样可得P1C＝C1G＝eq \f(1,2)C1D1＝eq \f(1,2)AB. 所以点P1与点P重合．因此直线EF，GH，DC能交于一点． (2)如图，延长HG交DD1的延长线于点R，延长FE交DA的延长线于点Q，则点R，Q是截面所在平面与平面ADD1A1的公共点，连接RQ，与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图中的阴影部分所示． (3)截面为正六边形，其面积为6×eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a)) eq \s\up12(2)＝eq \f(3\r(3),4)a2. $$