6.1.1 构成空间几何体的基本元素 6.1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（北师大版2019）

第六章　立体几何初步 §1　基本立体图形 1.1　构成空间几何体的基本元素 1.2　简单多面体——棱柱、 棱锥和棱台 (教师独具内容) 课程标准：利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 教学重点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 教学难点：通过实物及模型概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征的过程． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　构成空间几何体的基本元素 空间几何体的基本几何元素是___、______________、_______________等． 知识点二　平面 (1)特征：平面是空间最基本的图形，是_____________的． (2)画法：一般地，用______________表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成______，横边长画成邻边长的______． 点 线(直线和曲线) 面(平面和曲面) 无限延展 平行四边形 45° 两倍 核心概念掌握 5 (3)命名：通常用希腊字母α，β，γ等来表示(如图1)，也可以用表示平行四边形顶点的字母表示，还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示(如图2)． 知识点三　线面、面面的位置关系 如图，直线AB与平面A1B1C1D1_______；AA1_________平面ABCD； 平面ABCD和平面A1B1C1D1______；平面ABCD和平面A1ABB1_______． 平行 垂直于 平行 相交 核心概念掌握 6 知识点四　简单多面体 (1)多面体：有些几何体是由_____________围成的，称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点． 平面多边形 核心概念掌握 7 名称 定义 图形表示 相关概念 棱柱 两个面___________________________ _____，其余各面都是____________，由这些面围成的几何体称为棱柱. 侧面平行四边形都是______的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱. 底面是_________的直棱柱称为正棱柱. 底面是____________的棱柱称为平行六面体，侧棱与底面______的平行六面体称为直平行六面体 底面：两个互相平行的面，简称底. 侧面：除底面外的其余各面. 棱：相邻两个面的公共边. 侧棱：相邻侧面的公共边. 顶点：底面与侧面的公共顶点. 高：与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长 是边数相同的多边形，且相互平行 平行四边形 矩形 (2)几种常见的简单多面体 正多边形 平行四边形 垂直 核心概念掌握 8 棱锥 有一个面是多边形，其余各面都是__________________的三角形，由这些面围成的几何体叫作棱锥．底面是__________，各侧面____________________的棱锥叫作正棱锥 底面：棱锥中的多边形面. 侧面：除底面外的其余各面. 侧棱：相邻两个侧面的公共边. 顶点：各个侧面的公共点. 高：顶点到底面的距离. 斜高：正棱锥各侧面底边上的高 有一个公共顶点 都是全等的等腰三角形 正多边形 核心概念掌握 9 棱台 用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台．用正棱锥截得的棱台叫作____ ____，正棱台的侧面是全等的____________ 底面：原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面. 侧面：除底面外的其余各面. 侧棱：相邻两个侧面的公共边. 高：上底面、下底面之间的距离. 斜高：正棱台各侧面底边上的高 正棱台 等腰梯形 核心概念掌握 10 1．平面与平面图形 (1)几何里所说的平面是从现实物体中抽象出来的，是无限延展的，因此是无法度量的． (2)平面图形是指平面上的三角形、正方形等几何图形，它们有面积的大小，是可以度量的． (3)通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限延展的． 核心概念掌握 11 2．要从结构特征去准确理解棱柱、棱锥、棱台的定义．对于棱柱，容易忽略其各个侧面都是公共边互相平行的平行四边形；对于棱锥，容易忽略其各个侧面都是有公共顶点的三角形；对于棱台，容易忽略其与棱锥的关系．切忌只凭图形主观臆断． 3．多面体的分类 (1)按凹凸性分为凹多面体和凸多面体两类． ①凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体为凸多面体，如图中的a，b，c都是凸多面体． 核心概念掌握 12 ②凹多面体：一个多面体如果不是凸多面体，那么它就是凹多面体，如图中的d就是凹多面体． (2)多面体可以按照围成它的面的个数分为四面体、五面体、六面体…… 如果没有特别说明，我们所研究的多面体都是凸多面体． 核心概念掌握 13 4．多面体的结构特征 (1)多面体最少有四个面、四个顶点、六条棱． (2)不是所有的多面体都有体对角线，有些多面体就没有体对角线，如图中的①②③.但如果多面体有体对角线，就可能有多条体对角线，如图中的④⑤，多面体的体对角线和多面体的面对角线是有区别的，所谓面对角线就是指围成多面体的面的对角线，在理解概念时要特别注意． 核心概念掌握 14 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) √ × √ 核心概念掌握 15 2．做一做 (1)若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 (2)棱台不一定具有的性质是(　　) A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点 核心概念掌握 16 核心素养形成 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　) A．长方体的顶点一共有6个 B．线段AA1是长方体的一条棱 C．矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面 D．长方体由六个平面围成 题型一　与多面体有关的概念 核心素养形成 18 解析　长方体的顶点一共有8个，故A错误；矩形ABCD为长方体的一个面，故C错误；长方体由六个矩形(包括它的)内部围成，故D错误；B显然正确．故选B. 核心素养形成 19 【感悟提升】　点是最基本的元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展．要熟记这三种基本元素的特点．在现实生活中多找一些几何体观察一下，加深对构成空间几何体的基本元素的认识． 核心素养形成 20 【跟踪训练】 1．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是(　　) A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，故四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面． 核心素养形成 21 (1)下列说法正确的是(　　) A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 题型二　棱柱的结构特征 解析　由棱柱的定义可判断A，B，C均错误．故选D. 核心素养形成 22 (2)一个棱柱是正四棱柱的条件是(　　) A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．底面是正方形，相邻的两个侧面是矩形 D．每个侧面都是全等的矩形 核心素养形成 23 解析：将正方体ABCD－A1B1C1D1的下底面ABCD水平移动一段距离(上底面A1B1C1D1不动)，形成新的几何体，如下图所示．新的几何体底面ABCD为正方形，侧面B1BCC1与A1ADD1是矩形，且侧面ABB1A1，侧面CDD1C1与底面的垂直关系未发生变化，但它是斜四棱柱，故A，B错误；对于D，底面是菱形的直四棱柱每个侧面都是全等的矩形，但它不是正四棱柱．故选C. 核心素养形成 24 【感悟提升】　 1．棱柱结构特征问题的解题策略 (1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义 ①两个面互相平行； ②其余各面是四边形； ③相邻两个四边形的公共边互相平行． 求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征．三个条件缺一不可． (2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除． 核心素养形成 25 2．几种四棱柱之间关系是判断基础 四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正方体、正四棱柱等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下图所示： 核心素养形成 26 【跟踪训练】 2．下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是________． 解析：三棱柱的两底面都是三角形，所以①②错误．③显然正确．对于④，若用平行于底面的平面截棱柱，则截成的两部分都是棱柱，故④正确． ③④ 核心素养形成 27 下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②棱锥的侧面只能是三角形； ③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 题型三　棱锥、棱台的结构特征 解析　因为棱台的侧棱延长后必交于一点，所以侧面一定不会是平行四边形，故①正确，②③显然也正确．对于④，一个四棱锥沿顶点与底面对角线切开是两个三棱锥，故④错误． ①②③ 核心素养形成 28 【感悟提升】　棱锥、棱台结构特征问题的判断方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 核心素养形成 29 【跟踪训练】 3．判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？ 解：因为图①和图③都不是由棱锥所截得的，故图①，③都不是棱台，虽然图②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台． 核心素养形成 30 如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水面的形状一定是(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 题型四　简单多面体的截面问题 解析　将水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，得到的水面的形状相当于长方体的一个斜截面，一定是矩形． 核心素养形成 31 【感悟提升】棱柱、棱锥、棱台截面的判断 (1)平行于底面的截面：用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面是与底面全等的多边形；用一个平行于棱锥的底面的平面去截棱锥，得到的截面是与底面相似的多边形；用一个平行于棱台底面的平面去截棱台，得到的截面与棱台的两个底面都相似． (2)纵截面：过棱柱的不相邻的两条侧棱作一个截面，得到的四边形是平行四边形；过棱锥的高和侧棱(或斜高)作截面，得到的截面是三角形；过棱台的高和侧棱(或侧面梯形对应的高)作截面，得到的截面是梯形． (3)正方体的截面：对于正方体的截面，通过尝试、归纳，有如下结论：截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形． 核心素养形成 32 【跟踪训练】 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过点P，Q，R的截面图形是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析　如图所示，连接QP，取C1D1的中点H，连接HR，则HR∥QP，再分别取B1B，D1D的中点M，N，连接HN，NQ，PM，MR，易知六边形HNQPMR即过点P，Q，R的截面图形． 核心素养形成 33 题型五　棱柱、棱锥、棱台的有关计算 核心素养形成 34 3 核心素养形成 35 核心素养形成 36 【感悟提升】求解棱柱、棱锥、棱台问题的常用解题策略 (1)求解棱柱问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形或矩形．立体几何问题的求解最终都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解．若棱柱是斜棱柱，则常过顶点作底面的垂线来构造直角三角形，若棱柱是直棱柱，则可直接应用垂直关系，将问题转化到直角三角形或矩形中求解，即最终都将问题放在一个“合适”的平面图形中求解． (2)有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；正棱锥的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形． (3)有关棱台平行于底面的截面问题常采用“还台为锥”的思想，然后利用棱锥的有关知识解决． 核心素养形成 37 90° 核心素养形成 38 核心素养形成 39 随堂水平达标 1．在三棱锥A－BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：三棱锥的四个面都是三角形都可以作为棱锥的底面． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 41 2．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 解析：由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 42 3．(多选)用一个平面去截正方体，所得截面可能是(　　) A．六边形 B．菱形 C．梯形 D．直角三角形 解析：用一个平面去截正方体，截面可以是六边形，如图1；截面可以是菱形，如图2；截面可以是梯形，如图3；当截面为三角形时，可能为锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，如图4，但不可能为直角三角形． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 43 4．若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的长为________cm. 解析：依题意知该棱柱是五棱柱，所以每条侧棱的长为60÷5＝12(cm)． 12 随堂水平达标 1 2 3 4 5 44 5．一个三棱台的上、下底面面积之比为4∶9，若棱台的高是4 cm，则截得这个棱台的棱锥的高为________cm. 12 随堂水平达标 1 2 3 4 5 45 课后课时精练 一、选择题 1．观察下面的四个几何体，其中判断错误的是(　　) A．①不是棱台 B．②不是棱柱 C．③是棱锥 D．④是棱柱 解析： ①不是棱台，因为侧棱延长线不可能交于一点；②是棱柱；③是棱锥；④是棱柱．故选B. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 52 二、填空题 6．在下面的四个平面图形中，属于侧棱都相等的四面体的展开图的是________(填序号)． 解析： ③④中的图不能组成四面体，只有①②行． ①② 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 53 7.如图，下列各组条件中能推断这个几何体可能是三棱台的是__________(填序号)． ①A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4； ②A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3； ③A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4； ④AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1. ③ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 54 8．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱．这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 55 三、解答题 9．已知长方体ABCD－A1B1C1D1(如图所示)． (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用截面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 56 解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作底面，这两个面都是四边形且平行，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行． (2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 57 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 61 　　　　　　　　　　　　　 R (1)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．(　　) (2)棱柱的两个底面是全等的多边形．(　　) (3)夹在两个平台的平面之间，其余面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(　　) (1)若长方体的三个面的面积分别是eq \r(2) cm2，eq \r(3) cm2，eq \r(6) cm2，则长方体的体对角线长为________cm. eq \r(6) 解析　设长方体从同一个顶点出发的三条棱的长分别为x cm，y cm，z cm(x<y<z)，由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＝\r(2)，,xz＝\r(3)，,yz＝\r(6)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(2)，,z＝\r(3)，))则长方体的体对角线长l＝eq \r(x2＋y2＋z2)＝eq \r(12＋（\r(2)）2＋（\r(3)）2)＝eq \r(6)(cm)． (2)正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2eq \r(3)，则正三棱锥的高为________． 解析　作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．在Rt△ADO中，AD＝eq \f(3,2)，∠OAD＝30°，故AO＝eq \f(\f(3,2),cos∠OAD)＝eq \r(3).在Rt△SAO中，SA＝2eq \r(3)，AO＝eq \r(3)，故SO＝eq \r(SA2－AO2)＝3，故三棱锥的高为3. (3)把一个正棱台的高分为三等份，过各等分点作平行于底面的截面，已知棱台的两个底面的面积分别是P和Q(Q>P)，求两个截面的面积． 解　将棱台补成棱锥，设棱锥的顶点到棱台上底面的距离为x，棱台的高为3h，截面面积分别为M，N(M<N)，则eq \f(M,P)＝eq \f(（x＋h）2,x2)，eq \f(Q,P)＝eq \f(（x＋3h）2,x2)，所以eq \f(\r(M),\r(P))＝1＋eq \f(h,x)，eq \f(\r(Q),\r(P))＝1＋eq \f(3h,x)，所以eq \f(\r(Q),\r(P))＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(h,x)))－2＝eq \f(3\r(M),\r(P))－2，解得M＝eq \f(1,9)(4P＋4eq \r(PQ)＋Q)． 同理可得N＝eq \f(1,9)(P＋4eq \r(PQ)＋4Q)． 【跟踪训练】 5．(1)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1的大小是________． 解析：设该棱柱的棱长为a，则在Rt△MB1C1中，MC1＝2,1)eq \r(B1C＋B1M2) ＝eq \f(\r(5),2)a，在Rt△MBN中，MN＝eq \r(MB2＋BN2)＝eq \f(\r(2),2)a，连接C1N，CN，则CC1⊥CN，在Rt△C1NC中，C1N＝eq \r(C1C2＋CN2)＝eq \r(a2＋\f(3,4)a2)＝eq \f(\r(7),2)a，所以MCeq \o\al(2,1)＋MN2＝C1N2，所以∠NMC1＝90°. (2)如图所示，等腰直角三角形A2B2C2的三个顶点分别在正三棱柱ABC－A1B1C1的三条侧棱上，且∠B2A2C2＝90°，已知正三棱柱的底面边长为2，则B2C2＝________． 2eq \r(3) 解析：如图所示，过点C2作C2E⊥AA1，垂足为E，过点B2作B2F⊥AA1，垂足为F.由题可设A2E＝A2F＝x.在Rt△A2B2C2中，A2B2＝A2C2＝eq \r(x2＋4).过点F作FG⊥CC1，垂足为G，易得C2G＝EF＝2x，连接B2G，在Rt△GB2C2中，B2C2＝eq \r(C2G2＋B2G2)＝eq \r(（2x）2＋4).所以在Rt△A2B2C2中，由勾股定理得2(x2＋4)＝4x2＋4，解得x2＝2，所以B2C2＝2eq \r(3). 解析：如图所示，将棱台还原为棱锥．设PO是原棱锥的高，O1O是棱台的高．因为棱台的上、下底面面积之比为4∶9，所以它们的底面对应边之比A1B1∶AB＝2∶3，所以PA1∶PA＝2∶3.由题意得A1O1∥AO，故eq \f(PA1,PA)＝eq \f(PO1,PO)，即eq \f(PO－O1O,PO)＝eq \f(PO－4,PO)＝eq \f(2,3)，所以PO＝12(cm)． 2．一个直平行六面体的侧棱长是9，底面是有一个角为60°，边长为6的菱形，则此平行六面体的体对角线长是(　　) A．3eq \r(13) B．3eq \r(21) C．3eq \r(13)或3eq \r(21) D.eq \r(166) 解析：易得直平行六面体底面菱形的对角线长分别是6和6eq \r(3)，当底面对角线的长为6时，体对角线的长为eq \r(62＋92)＝3eq \r(13)；当底面对角线的长为6eq \r(3)时，体对角线的长为eq \r(（6\r(3)）2＋92)＝3eq \r(21). 解析：两个eq \a\vs4\al( )不能相邻，B，D错误；两个eq \a\vs4\al( )不能相邻，C错误，故选A.也可通过制作模型来判断． 4．正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为l，则eq \f(l,a)的取值范围为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞)) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：考虑极端情况，当顶点在底面上时，eq \r(2)a＝2l，则eq \f(l,a)＝eq \f(\r(2),2)，此时eq \f(l,a)的值最小，所以eq \f(l,a)>eq \f(\r(2),2). 5．(多选)已知集合I＝{四棱柱}，M＝{平行六面体}，N＝{直平行六面体}，P＝{正四棱柱}，Q＝{长方体}，R＝{直四棱柱}，S＝{正方体}，则下列关系中正确的是(　　) A．SPQR B．SQNM C．(M∩R)Q D．(M∪R)I 解析：各个集合中的元素首先都是四棱柱，所以D中的关系是正确的；正方体是侧棱与底面边长都相等的正四棱柱，而正方形是矩形的特例，所以正四棱柱是特殊的长方体，再由长方体的定义知A中的关系是正确的；同理B中的关系也正确；而M∩R＝N，且直平行六面体的底面不一定是矩形，所以C中的关系不正确；设A＝{底面是梯形的斜棱柱}，MI，RI，AM，AR，AI，所以(M∪R)I，故D中的关系正确． 解析：①中eq \f(A1B1,AB)≠eq \f(B1C1,BC)，故①不符合题意；②中eq \f(B1C1,BC)≠eq \f(A1C1,AC)，故②不符合题意；③中eq \f(A1B1,AB)＝eq \f(B1C1,BC)＝eq \f(A1C1,AC)，故③符合题意；④中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台． 解析：如图所示，设正三棱锥P－ABE的各棱长为a，则正四棱锥P－ABCD的各棱长也为a，于是h1＝eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2)a，h2＝eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a×\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(6),3)a＝h，故h1∶h2∶h＝eq \r(3)∶2∶2. ∶2∶2 10．已知正四棱锥的高为eq \r(3)，侧棱长为eq \r(7)，求过该正四棱锥的斜高和高的截面面积． 解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，则E为AB的中点，F为CD的中点，连接SE，SF，则SE，SF为斜高，△SEF为所求截面． 在正四棱锥S－ABCD中，高SO＝eq \r(3)，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq \r(7). ∴在Rt△SOA中，OA＝eq \r(SA2－SO2)＝2， ∴AC＝2OA＝4， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2eq \r(2). 易知EB綊FC，∴EF＝BC. ∴S△SEF＝eq \f(1,2)EF·SO＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×eq \r(3)＝eq \r(6). 11.如图，在侧棱长为2eq \r(3)的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值． 解：沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图． 则AA′的长即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°. 在△VAA′中，AA′＝2×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6， 故截面△AEF周长的最小值为6. 12.如图所示，在正三棱台ABC－A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面的面积为eq \f(20\r(3),3)，O1，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接A1O1，AO并延长，分别交B1C1，BC于点D1，D，∠D1DA＝60°，求上底面的边长． 解：∵AB＝10，由题意得，△ABC，△A1B1C1为等边三角形，D，D1分别为BC，B1C1的中点， ∴AD＝eq \f(\r(3),2)AB＝5eq \r(3)， OD＝eq \f(1,3)AD＝eq \f(5\r(3),3). 设上底面的边长为x(x>0)，则O1D1＝eq \f(\r(3),6)x. 如图所示，连接O1O，过D1作D1H⊥AD于点H， 则四边形OHD1O1为矩形，且OH＝O1D1＝eq \f(\r(3),6)x， ∴DH＝OD－OH＝eq \f(5\r(3),3)－eq \f(\r(3),6)x，在Rt△D1DH中，D1D＝eq \f(DH,cos60°)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)－\f(\r(3),6)x)). ∵四边形B1C1CB的面积为eq \f(1,2)(B1C1＋BC)·D1D， ∴eq \f(20\r(3),3)＝eq \f(1,2)(x＋10)×2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(3),3)－\f(\r(3),6)x))， 即40＝(x＋10)(10－x)，解得x＝2eq \r(15). 故上底面的边长为2eq \r(15). $$