6.5.1 第1课时 直线与平面垂直的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

5.1　直线与平面垂直

第1课时　直线与平面垂直的性质

(教师独具内容)

课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的关系，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明．

教学重点：理解直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的性质定理，运用性质定理解决问题，求直线与平面的夹角．

教学难点：直线与平面垂直的性质定理的应用．

知识点一　直线与平面垂直的定义

一般地，如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α．直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足．

过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直．

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．

知识点二　直线与平面垂直的性质定理

知识点三　直线与平面的距离

如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．

知识点四　直线与平面的夹角

立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的投影位置来确定，因此确定这个点的投影位置是解题的关键．一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定．

(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的投影在这个角的平分线上．

(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的投影是这个角的平分线所在的直线．

(3)对于三棱锥A－BCD，有下列结论：

①若AB＝AC＝AD，则点A在平面BCD内的投影为△BCD的外心；

②若点A到BC，CD，BD边的距离相等，且点A的投影在△BCD的内部，则点A在平面BCD内的投影为△BCD的内心；

③若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在平面BCD内的投影为△BCD的垂心．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直．(　　)

(2)到已知平面距离相等的两条直线平行．(　　)

(3)若直线l与平面α的夹角为0°，则直线l∥平面α.(　　)

(4)若直线l垂直于平面α，则直线l与平面α内的任意一条直线的夹角均为90°.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．做一做

(1)△ABC所在的平面为α，直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则直线l，m的位置关系是(　　)

A．相交 B．异面

C．平行 D．不确定

(2)若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________．

(3)矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD的夹角为________．

答案：(1)C　(2)2　(3)30°

题型一　线面垂直概念的理解

　下列命题中，正确命题的序号是________．

①若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．

[解析]　根据线面垂直的定义，知①正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确．

[答案]　①③④

【感悟提升】　

(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直