6.4.2 第1课时 平面与平面平行的性质-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（北师大版2019）

4.2　平面与平面平行 第1课时　平面与平面平行的性质 (教师独具内容) 课程标准：借助长方体，通过直观感知，了解平面与平面平行的关系，归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明． 教学重点：1.平面与平面平行的性质定理的内容.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的性质定理.3.会用平面与平面平行的性质定理证明相关问题.4.理解“平行”与“平行”之间的转化． 教学难点：平面与平面平行的性质定理的应用． 知识点　平面与平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 1．对平面与平面平行的性质定理的理解 (1)该定理中有三个条件：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.这三个条件缺一不可． (2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． (3)该定理提供了证明线线平行的一种方法，应用时要紧扣“两个平行平面同时和第三个平面相交”这个条件． 2．两个平面平行的其他性质 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.(　　) (2)夹在两平行平面间的线段相等．(　　) (3)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行．(　　) (4)若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 (2)如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD和AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________． 答案：(1)A　(2) 题型一　有关面面平行性质定理的证明 　如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求证：D为AC的中点． [证明]　如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点． 因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1， 所以BC1∥D1O，所以D1为线段A1C1的中点，所以D1C1＝A1C1. 因为平面BC1D∥平面AB1D1，且平面AA1C1C∩平面BC1D＝DC1， 平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1， 所以AD1∥DC1. 又因为AD∥D1C1，所以四边形ADC1D1是平行四边形，所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC， 所以D为AC的中点． 【感悟提升】　 (1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交． (2)面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化． 【跟踪训练】 1.如图，多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1. (1)证明：四边形ABED是正方形； (2)判断点B，C，F，G是否共面，并说明理由． 解：(1)证明：因为平面ABC∥平面DEFG，平面ABED∩平面ABC＝AB，平面ABED∩平面DEFG＝DE，所以由面面平行的性质定理，得AB∥DE.同理AD∥BE. 所以四边形ABED为平行四边形． 又AB⊥AD，AB＝AD， 所以平行四边形ABED是正方形． (2)如图，取DG的中点P，连接PA，PF. 因为平面BEF∥平面ADGC，平面EFGD∩平面BEF＝EF，平面EFGD∩平面ADGC＝DG，所以由面面平行的性质定理，得EF∥DG. 又EF＝DP，所以四边形DEFP为平行四边形，所以FP∥DE且FP＝DE. 又AB∥DE，AB＝DE， 所以AB∥FP且AB＝FP， 所以四边形ABFP为平行四边形， 所以AP∥BF. 易得AC∥PG，AC＝PG， 所以四边形ACGP为平行四边形， 所以AP∥CG，所以BF∥CG. 故B，C，F，G四点共面． 题型二　由面面平行的性质定理求线段长 　如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长． [解]　(1)证明：因为PB∩PD＝P， 所以直线PB和PD确定一个平面，记为γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又α∥β，所以AC∥BD. (2)由(1)得AC∥BD， 所以＝，即＝. 所以CD＝ cm， 所以PD＝PC＋CD＝(cm)． 【感悟提升】　 1．应用平面与平面平行的性质定理的步骤 2．关于平行平面分线段 类比平面内的平行直线分线段成比例定理，在空间中有平行平面分线段成比例定理． 【跟踪训练】 2.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长． 解：如图所示，连接AF，交β于点G，连接BG，EG， 则点A，B，C，F，G共面． ∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF， ∴BG∥CF， ∴△ABG∽△ACF， ∴＝. 同理，有AD∥GE，＝，∴＝. 又＝， ∴AB＝AC＝(cm)，BC＝AC＝(cm)． ∴EF＝3DE＝3×5＝15(cm)． 1．已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，下列结论中不一定正确的是(　　) A．m∥β B．n∥α C．m∥n D．m与n不相交 答案：C 解析：m，n平行或异面，一定不相交，故C不一定正确，D一定正确；A，B显然一定正确． 2.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 答案：B 解析：∵三棱柱中，平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1B1C1∩平面A1B1ED＝A1B1，平面ABC∩平面A1B1ED＝DE，∴A1B1∥DE.又AB∥A1B1，∴DE∥AB. 3．若a∥α，b∥β，α∥β，则a与b的位置关系是(　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 答案：D 解析：如图①②③所示，a与b的位置关系分别是平行、异面、相交． 4．两个平行平面与另两个平行平面相交所得的四条直线(　　) A．两两相互平行 B．两两相交于同一点 C．两两相交但不一定交于同一点 D．两两相互平行或交于同一点 答案：A 解析：可以想象四棱柱，由面面平行的性质定理可得． 5.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，求的值． 解：∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB， ∴AB∥A′B′，同理B′C′∥BC， 易得△ABC∽△A′B′C′， ∴＝＝＝. 课后课时精练 一、选择题 1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中(　　) A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 答案：A 解析：当直线a在平面β内且经过点B时，可使直线a∥平面α，但这时在平面β内过点B的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都存在唯一一条与a平行的直线． 2．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点．当点A，B分别在α，β内运动时，所有的动点C(　　) A．不共面 B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面 C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面 D．不论点A，B如何移动都共面 答案：D 解析：根据面面平行的性质，不论A，B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上，故选D. 3.用一个截面去截正三棱柱ABC－A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于E，F，G，H，已知A1A>A1C1，则截面的形状可以为(　　) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．一般的平行四边形 答案：A 解析：由题意知，当截面平行于侧棱时，所得截面为矩形；当截面与侧棱不平行时，所得截面是梯形，即EF∥HG且EH不平行于FG. 4.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　) A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形 C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对 答案：B 解析：由题意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β，由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′. 5.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．3 答案：A 解析：因为平面α∥平面BC1E，两平面与平面AA1B1B的交线分别为A1F，BE，所以A1F∥BE，又A1E∥BF，所以四边形A1FBE为平行四边形，所以A1E＝BF.又A1B1＝AB，所以AF＝B1E＝1. 二、填空题 6.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________． 答案：平行四边形 解析：由夹在两平行平面间的平行线段相等可得． 7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________． 答案： 解析：∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，∴MN＝AC，即＝. 8.如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝________，ED与AF相交于点H，则GH＝________． 答案：1　 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，且AB＝CD.又E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA＝AB＝PB＝2，所以PE＝，GH＝PE＝. 三、解答题 9.如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，求△A′B′C′的面积． 解：AA′，BB′相交于O，所以AA′，BB′确定的平面与平面α，平面β的交线分别为AB，A′B′， 有AB∥A′B′，且＝＝， 同理可得＝＝，＝＝， 所以△ABC，△A′B′C′面积的比为9∶4， 又△ABC的面积为，所以△A′B′C′的面积为. 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E在PC上，PC＝3PE，PD＝3. (1)证明：CD∥平面ABE； (2)若M是BC的中点，点N在PD上，MN∥平面ABE，求线段PN的长． 解：(1)证明：∵底面ABCD是平行四边形，∴CD∥AB. ∵CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴CD∥平面ABE. (2)∵MN∥平面ABE，∴可设过MN与平面ABE平行的平面β与PC交于点F，与AD交于点G，如图所示，则MF∥BE，MG∥AB. 又CD∥AB，∴MG∥CD， ∴CD∥平面MFNG，∴CD∥FN. ∵M是BC的中点，BE∥MF， ∴F是CE的中点． ∵PC＝3PE，∴PF＝PC， ∴PN＝PD＝2. 11.如图，平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，N，线段AD分别交α，β于C，D，线段BF分别交α，β于F，E，若AM＝9，MN＝11，NB＝15，S△FMC＝78.求△END的面积． 解：因为平面α∥β，又平面AND∩平面α＝MC，平面AND∩平面β＝ND， 所以MC∥ND，同理EN∥FM， 又AM＝9，MN＝11，NB＝15， 所以＝＝，＝＝， 又∠FMC＝∠END， 所以＝＝×＝， 因为S△FMC＝78，所以S△END＝100. 故△END的面积为100. 12.如图，直线AC，DF被三个平行平面α，β，γ所截． (1)是否一定有AD∥BE∥CF? (2)求证：＝. 解：(1)若AB，DE异面，则A，B，D，E不在同一个平面上，则AD不平行于BE. ∴不一定有AD∥BE∥CF. (2)证明：①若AC与DF共面，则AC与DF确定平面ACFD，由α∥β∥γ，得AD∥BE∥CF， 从而＝. ②若AC与DF异面，过点A作AH∥DF分别交β，γ于G，H两点． 过两条平行线AH，DF的平面分别交平面α，β，γ于AD，GE，HF. 根据两平面平行的性质定理，得AD∥GE∥HF.如图． ∵AG∥DE，AD∥GE， ∴四边形AGED为平行四边形， ∴AG＝DE.同理GH＝EF. 又过AC，AH两相交直线的平面与平面β，γ的交线分别为BG，CH. 根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH. 在△ACH中，＝. 而AG＝DE，GH＝EF，∴＝. 13 学科网（北京）股份有限公司 $$