10.5分式方程（计算题）2024-2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下10.5分式方程（计算题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（1）解方程：； （2）解不等式组：． 4．解方程： (1) (2) 5．（1）计算； （2）计算． （3）解方程 （4）解方程 6．解方程： (1) (2) 7．先化简，再求值： 其中x 是方程的解． 8．已知． (1)求与的和； (2)若，求的值． 9．已知分式（为常数）满足表格中的信息： 的取值 2 0.5 分式的值 无意义 0 3 (1)则的值是______，的值是______； (2)求出的值． 10．定义新运算：对于任意实数a，b（其中），都有，等式右边是通常的加法、减法及除法运算，例如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 11．数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 12．阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 13．观察下列方程的特征及其解的特点： ①的解为； ②的解为； ③的解为． 解答下列问题． （1）请你写出一个符合上述特征的第4个方程 ，其解为 ． （2）根据这类方程特征，第n个方程为 ，其解为 ． 14．观察下列方程及其解的特征 第1个方程：的解为 第2个方程：的解为 第3个方程的解为 解答下列问题： (1)猜想，第5个方程，方程的解为________． (2)关于的第个方程为________，它的解为________； (3)利用上述规律解关于的分式方程： 15．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解：， ，即， ． 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)解分式方程组； (3)已知、、为实数，，，，求分式的值． 16．阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，则________，________； (2)方程的两个解分别为，，求的值； (3)关于的方程的两个解分别为、，则________（用含的代数式表示）． 17．阅读材料：一般情形下等式不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称是使成立的“倒立数对”，请完成下列问题： (1)数对，中，使成立的“倒立数对”是______； (2)若是使成立的“倒立数对”，求的值； (3)若是使成立的“倒立数对”，且，，求代数式为整数时，的值． 18．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释．我们有如下两个约定： （）方程的整数解称之为“暖根”； （）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”． 已知一元一次方程①与分式方程②： (1)方程①有“暖根”吗？ (2)方程②有“暖根”吗？ (3)它们是“同源方程”吗？_______填（是或不是） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学下10.5分式方程（计算题）》参考答案 1．(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （2）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （3）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （4）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （5）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了； （6）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了． 【详解】（1）解： 解得， 经检验是原方程的解； （2）解： 解得， 经检验是原方程的解； （3）解： 解得， 经检验是原方程的解； （4）解： 解得， 经检验是原方程的解； （5）解： 解得， 经检验是原方程的解； （6）解： 解得， 经检验是原方程的解． 2．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解分式方程，涉及因式分解、解分式方程得方法步骤，熟记分式方程的解法步骤，尤其是注意分式方程需要验根是解决问题的关键． （1）分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验即可得到原分式方程的解； （2）分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验即可得到原分式方程的解； （3）先将分式分子分母因式分解得到，分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验即可得到原分式方程的解； （4）先将分式分子分母因式分解得到，分式两边同时乘以得，解整式方程得到，经检验即可得到原分式方程的解． 【详解】（1）解：， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的解； （2）解：， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的解； （3）解：， ， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的解； （4）解：， ， 分式两边同时乘以得， ， 检验：当时，最简公分母， 是原分式方程的解． 3．（1）；（2） 【分析】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握各自求解方法和解题步骤是解题的关键； （1）通过去分母转化为整式方程，即可求解； （2）分别解两个不等式，再求出其公共解集即可． 【详解】（1）方程两边同乘，得 解得 检验：当时，， ∴原方程的解为． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 4．(1) (2)方程无解 【分析】本题考查解分式方程； （1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程求出整式方程的解，然后检验解题即可； （2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程求出整式方程的解，然后检验解题即可． 【详解】（1）解： 两边同时乘以得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 两边同时乘以得：， 解得：， 经检验：是方程的增根， ∴原方程无解． 5．（1）2；（2）；（3）；（4） 【分析】此题考查了解分式方程、分式的混合运算、负整数指数幂等知识，熟练掌握解方程的步骤和分式的运算法则是关键． （1）利用乘方、负整数指数幂、绝对值等法则计算即可； （2）先计算括号内的减法，再计算分式的除法即可； （3）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可； （4）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） （2） （3） 去分母得， 解得 当时，， ∴是分式方程的解； （4） 去分母得到， 解得 当时，， ∴是分式方程的解 6．(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是将分式方程化成整式方程，最后的检验是解题的易错点． （1 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答； （2 ）先通过去分母将分式方程化成整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程的解为：； （2）解：， ， ， 检验，当时，， 所以该分式方程无解． 7．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解分式方程，先把两个分式的分子和分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，接着解方程求出x的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 去分母得，解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴原式． 8．(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）根据异分母的分式相加减的计算法则计算即可； （2）先列出方程，再确定最简公分母，然后求出整式方程的解，检验是否是分式方程的解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， 方程可化为， 方程两边同乘得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以的值是． 9．(1)， (2) 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为零的条件、解分式方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据分式无意义的条件为分母等于零即可求出的值，根据分式的值为零的条件为分子等于零即可求出的值； （2）由（1）可得分式为，当分式的值为3时，，解分式方程即可得解． 【详解】（1）解：∵当时，分式无意义， ∴， ∴， 当时，分式的值为， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：分式为， 当分式的值为3时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴． 10．(1) (2) 【分析】本题考查了新定义实数的运算、解分式方程，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给的运算方式列出式子计算即可得解； （2）根据题干所给运算方式得出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， 解得：， 经检验，符合题意， ∴． 11．(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 12．(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②2，4，0，6 (3) 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组， （1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）①由定义可得，即有，整理可得：的表达式； ②化简，根据为整数，且“和谐式”的值也为整数，得到：是3的因数，从而可得答案； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1），， ， 不是的“和谐式”； （2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ，， ， ， ， ②， 为整数，且的值也为整数， 是的因数， 可能是：，， 的值为：2、4、0、6， 且都满足； （3） ∵是的“和谐式”， ∴设 ∴ ∴ 解得 ∴． ∴关于的“和谐值”是． 13．（1），，；（2），， 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，根据方程和方程解的特征找到规律是解题的关键． （1）根据上述3个方程及其解的规律，可知，，然后写出即可； （2）根据这类方程特征可知，，，然后写出即可． 【详解】解：（1）由题意得： ，， 所以：第四个方程为：，其解为：，， 故答案为：，，； （2）由题意得： ，， 所以：第个方程为：，其解为：，， 故答案为：，，． 14．(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键． （1）仿照题中规律，解答即可； （2）仿照题中规律，解答即可； （3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为，利用得出的规律解答即可． 【详解】（1）解：，即， ∴，， 故答案为：，； （2）解：可猜想第n个方程为：的解为，， 故答案为：，； （3）解：方程两边乘2得，， 移项，得， ∴或， 解得：，， 经检验得，，是原方程的解． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，解分式方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求出的值即可得到答案； （2）先把原方程组化为，令，则，解方程组即可得到答案； （3）先由得到，同理可得，据此可得，则可得到的值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 令，则， 解得， ∴， 经检验，是原方程组的解； （3）解：∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．(1)，1 (2)13 (3) 【分析】此题考查了分式方程的解法，读懂题意并准确计算是解题的关键． （1）根据题意即可得到，； （2）方程的解为，得，，代入 即可得到答案； （3）原方程可变形为，由可得，，则，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的方程有两个解，分别为，．且方程的两个解分别为，， ，； （2）解；∵方程的两个解分别为，， ∴，， ∴， （3）解：∵， ∴， ∴， ∵关于的方程的两个解分别为、， ∴或， ∴， ∴． 17．(1) (2)的值为 (3)或 【分析】本题考查了分式方程在新定义运算下的应用，理解新定义运算是解题的关键． （1）将两点分别代入，即可找到答案； （2）将点代入，然后解方程即可； （3）由题意可知，，，，那么有，，得到，那么代数式可化简为，当其为整数时，可知或，从而解得答案． 【详解】（1）解：将，分别代入，得到，， 使成立的“倒立数对”是； 故答案为：； （2）解：是使成立的“倒立数对”， ， 解得，， 经检验，是的根， ； （3）解：是使成立的“倒立数对”， ， ，， ，， ，， ， ， ， 代数式为整数， 或， 或． 18．(1)有 (2)没有 (3)不是 【分析】（）求出方程①的解，再根据“暖根”的定义即可判断； （）求出方程②的解，再根据“暖根”的定义即可判断； （）由（）、（）的结果及“同源方程”的定义即可判断； 本题考查了方程的解，解一元一次方程，解分式方程，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴方程方程①有“暖根”； （2）解：， 方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解， ∴方程②没有“暖根”； （3）解：由（）、（）可知，方程①②不是“同源方程”， 故答案为：不是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$