5.3 用频率估计概率-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com. 您身边的互联网+教辅专家 第5章 概率 DIWU ZHANG 5.3 用频率估计概率 课园新法(教师独具内容) 课程标准:结合实例,会用频率估计概率. 教学重点:了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性. 教学难点:题率与概率的区别与联系 核心素养:通过实例抽象出频率的稳定性,理解频率与概率的区别与联系发展数学抽象和逻 辑推理素养 核概掌握 -HE XN GAI NANHANG WC 知识导学 知识点 频率与概率之间的关系 设Q是某个试验的样本空间,A是0的事件,在supl(01)相同的条件下将该试验独立地重复; 次,则称F.(A)一n次试验中A发生的次数n是n次独立重复试验中事件A发生的频率. 在相同的条件下,将一试验独立重复n次,若用E(4)表示事件A在这n次试验中发生的频 率,则当n增加时,F(4)将向一个固定的数值p靠近,这个数值p就可看作事件A发生的概 率P(A),即F(A)是P(4)的supI(02)估计 频率和概率都是随机事件spl(03)发生可能性大小的定量刻画,但频率与试验次数及具体的 试验有关,因此频率具有spl(04)随机性;而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值, 是一个sp1(05)固定的量,不具有随机性,因此频率不能完全反映概率. -i评价自测三 1.判一判(正确的打“”,错误的打“×”) (1)随机事件的频率和概率不可能相等.( (2)概率能反映随机事件发生可能性的大小,而频率则不能。( _~ (③)频率是概率的估计值.( (4)概率是频率的稳定值.( 答案(1)×(2)×(③)V(4) 2.做一做 (1)下列说法正确的是( _ A.任何事件的概率总是在(0,1]之间 B. 频率是客观存在的,与试验次数无关 _ 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C. 随着试验次数的增加,事件发生的频率一般会稳定于概率 D. 概率是随机的;在试验前不能确定 (2)下列说法正确的是( ) A. 某事件A发生的概率为1.09 B. 不可能事件发生的概率为0,必然事件发生的概率为 C. 随机事件发生的频率是一个确定的值 D. 随机事件发生的概率随着试验次数的变化而变化 (3)历史上有些学者做了成千上万次掷硬币试验,结果如下表 试验者 抛掷次数(n) 正面朝上次数(m) 频率alvs4allcoI(fimn) 德摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 费 10000 4979 0. 4979 皮尔逊 12000 6019 0. 5016 皮尔 24000 12012 0. 5005 由上表可知,掷硬币试验中,正面朝上的概率为 A.0.51 B.0. 49 C.0. 50 D.0. 52 答案(1)C(2)B 3(3)C 核素养形成 题型一 对概率的正确理解 例1 经统计,某篮球运动员的投篮命中率为90%,对此有人解释为其投篮100次一定有90 次命中,10次不中,你认为这种解释正确吗?说说你的理由. [解] 这种解释不正确,理由如下: 因为“投篮命中”是一个随机事件,投篮命中率为90%,是指该运动员投篮命中的概率,是 一种可能性,就一次投篮而言,可能发生也可能不发生,而不是说投篮100次就一定命中90 次. 感语提开 (1)随机事件中某种结果发生的概率针对的是大量的重复试验,对单独的一次或多次试验而言 ,很有可能该事件不发生或发生的可能性与经过大量试验得出的值相差很大,因而随机事件 的发生与否需要看试验的次数,也不能将概率值当作是必然发生的值来理解 (2)概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件的本质属性,随机事件在一次试验中 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映 [跟踪训练1] 有以下说法: ①昨天没有下雨,则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的; ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖; ③做10次抛硬币的试验,结果3次正面朝上,因此正面朝上的概率为310; ④某广产品的次品率为2%,该广的50件产品中可能有2件次品 其中错误说法的序号是 答案 ①②③ 解析 ①中降水概率为95%,仍有不降水的可能,故①错误;②中“彩票中奖的概率是1%” 表示在设计彩票时,有1%的机会中奖,但不一定买100张彩票一定有1张会中奖,故②错 误;③中正面朝上的频率为310,概率仍为12,故③错误;④中次品率为2%,但50件产品 中可能没有次品,也可能有1件或2件或3件..次品,故④正确 题型二 用频率估计概率 例2 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单 位:小时)进行了统计,统计结果如表所示: 分组 频数 频率 48 [500.900) ())误。 [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) 1900及以上 2 (1)求各组的频率 (2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500小时的概率 [解](1)频率依次是:0.048,0.121,0. 208,0.223,0.193,0.165,0.042. (2)样本中寿命不足1500小时的频数是48+121+208+223-600 所以样本中寿命不足1500小时的频率是6001000-0.6. 即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6. 感悟提开 (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率,频率 本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近左右摆动,这个稳定值就是概率. rn 学科网书城 _ 品牌书店·知名教辅·正版资源 B.zxxk.Com 您身边的互联网+教辅专家 (2)解决此类问题的步骤是先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值,再确定频率的稳定 值即为概率。 [跟踪训练2]有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计,结果如下表: 一发次数n 10 100 200 50 20 500 92 甲一发成功次数 9 44 179 17 450 一发成功的频率 一发次数n 10 20 50 100 200 500 177 乙一发成功次数 19 44 93 8 453 一发成功的频率 请根据以上表格中的数据回答下列问题: (1)分别计算出两位运动员一发成功的频率,完成表格; (2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率. 解(1) 一发次数n 10 20 50 100 200 500 甲一发成功次数 17 4 92 179 450 发成功的频率 0.9 0.85 0.88 0.92 0.895 009 一发次数n 10 20 100 200 50 500 19 44 93 177 乙一发成功次数 8 453 一发成功的频率 0.8 0. 95 0.88 0. 93 0. 885 0. 906 (2)由(1)中的数据可知,随着一发次数的增多,两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0 .9附近,所以估计两人一发成功的概率均为0.9. 题型三 频率的稳定性在实际生活中的应用 例3 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年 度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示: 上年度出险次数 4 0. 2 25 保费 0. 85a a 1. 25a 1. 5a 1. 75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到统计表: 出险次数 2 4 3 25 频数 6050 03020 030 010 (1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(4)的估计值; 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 B.zxxk.Com 您身边的互联网+教辅专家 (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B 的估计值: (③)求续保人本年度平均保费的估计值 [解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2 的频率为60+50200-0.55,故P(4)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大 于1且小于4的频率为30+30200=0.3,故P(B的估计值为0.3 (③)由所给数据得 保费 0. 85d 1. 25a 1. 5a 1.75a 2 频率 0.250.15 0. 30 0.150.10 1 0.05 调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0 15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a. 感提升 (1)解决这类问题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数,计算频率,用频率 估计概率。 (2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常 用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐 趋近于某一个常数(概率),因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值 [跟踪训练3] 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同:进货成本每瓶4元,售价每 瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完,根据往年销售经验 每天需求量与当天最高气温(单位:C)有关,如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如 果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶:如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为 了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表 最高气温[10,15) [15.20) [20,25) 天数 2 16 36 最高气温 [25,30) [30,35) [35.40) 天数 25 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率, (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxkcom 您身边的互联网+教辅专家 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最 高气温低于25的频率为2+16+3690=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概 率的估计值为0.6. (②)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25,则Y-6×450-4×450-900: 若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300 若最高气温低于20,则Y-6×200+2(450-200)-4×450--100. 所以)的所有可能值为900,300,一100. Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为36+25 +7十490-0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0. 8. 随堂水平达标 1. 下列说法正确的是( ) A. 一个人打靴,打了10发子弹,有7发子弹中把,因此这个人中靴的概率是710 B. 一个同学微掷硬币试验,掷了6次,一定有3次正面向上 C. 某地发行彩票,其回报率为47%,有人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报 D. 大量试验后,可以用频率近似估计概率 答案 D 解析 注意概率与频率的区别及正确理解概率的含义是解题的关键,A的结果是频率,不是 概率;B,C两项都没有正确理解概率的含义,D正确 2. 从存放号码分别为1,2,..,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片 并记下号码,统计结果如下: 卡片号码 。 3 4 5 取到的次数 10 1 8 8 。 卡片号码 7 8 C 10 取到的次数 10 18 11 9 则取到号码为奇数的频率是( 、 A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0. 37 答案 A 解析 取到的卡片号码为奇数的频数为10+8+6+18+11-53,则所求的频率为53100-0 53. 故选A. 3.(多选)下列说法中正确的是( ) A. 频率反映的是事件发生的频繁程度,概率反映的是事件发生的可能性大小 6 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxkcom 您身边的互联网+教辅专家 B. 做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率mn就是事件的概率 C. 百分率是频率,但不是概率 D. 频率是不能脱离具体的n次的试验值,而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值 答案AD 解析 由频率与概率的定义及关系可知A,D正确,B,C错误,故选AD 4. 从一堆苹果中任取了20个,并得到它们的质量(单位:克)数据分布如下表; 分组 [90,100) [100,110) [110,120) 频数 2 分组 [120.130) [130,140) [140,150] 频数 10 3 则这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 答案70% 解析 计算出样本中质量不小于120克的苹果的频率,来估计这堆苹果中质量不小于120克 的苹果所占的比例,实质上也是用频率估计概率,由题意知10+3十120三0. 7三70% 5. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定:顾客购物10元以上就能获 得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是 活动进行中的一组统计数据 铅笔 可 100 150 200 500 转动转盘的次数n 800 1000 68 111 136 345 564 落在“铅笔”区域的次数m 701 落在“铅笔”区域的频率m (1)计算并完成表格; (2)请估计,当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近多少? (3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少? 解(1) 100 150 200 500 转动转盘的次数n 800 1000 68 111 136 564 落在“铅笔”区域的次数n 345 701 , 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 0. 68 0. 74 0. 68 0. 69 0. 705 落在“铅笔”区域的频率m 0. 701 (2)当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7. (3)获得铅笔的概率约是0.7. 课后课时精练 KE HOU KE SHIJING LIA A级“四基”巩固训练 一、选择题 1. 掷一枚质地均匀的正方体般子(六个面上分别写有1,2,3,4.5,,若前3次连续掷到 “6点朝上”,则对于第4次抛掷结果的预测,下列说法中正确的是( ) A.一定出现“6点朝上” B. 出现“6点朝上”的概率大于16 C. 出现“6点朝上”的概率等于16 D. 无法预测“6点朝上”的概率 答案 C 解析 随机事件具有不确定性,与前面的试验结果无关,由于正方体毂子的质地是均匀的, 所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的. 2. 下列结论正确的是( A. 事件A的概率为P(4);必有0<P(4)>1 B. 事件A的概率P(A)一0. 999,则事件A是必然事件 C. 用某种药物对患有冒清痛的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃 渍痛的病人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为76% D. 某奖券的中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖 答案C 解析A不正确,因为0<P(A)<1;若A是必然事件,则P(A)一1,故B不正确;对于D 奖券的中奖率为50%,若某人购买此奖卷10张,则可能会有5张中奖,所以D不正确,故 选C. 3. 随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,欲了解消费者对网上购物的满意情况 ,某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结 果如表: 不满意 满意情况 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2100 1000 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com. 您身边的互联网+教辅专家 是( A. 715 B. 25 C.1115 D.7315 答案C 解析由题意,n一4500-200-2100-1000-1200,所以对网上购物“比较满意”或“满意” 的人数为1200十2100一3300,所以在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或 “满意”的概率为33004500一1115.故选C. 4. 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研 发新产品的结果如下:(a,b),(a,),(a,),(,b),(,).(a,b),(a,b),(a ).( ,b),(a,),( ,),(a,b),(a,),(,b),(a,b).其中a,分别表示甲 组研发成功和失败;b,分别表示乙组研发成功和失败,若该企业安排甲、乙两组各自研发 一种新产品,将频率视为概率,试估算恰有一组研发成功的概率为 ) A.415 B.815 C.730 D.715 答案B 解析 在抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果有8个,故在所抽取的样本中恰有一 组研发成功的频率为815,将频率视为概率,即得恰有一组研发成功的概率约为815 5.(多选)在一个实验中,一种血清被注射到500只豚鼠体内,最初,这些豚鼠中150只有圆 形细胞,250只有圆形细胞,100只有不规则形态细胞,被注射这种血清之后,没有一个具 有圆形细胞的豚鼠被感染,具有树圆形细胞的豚鼠有50只被感染,具有不规则形态细胞的豚 鼠全部被感染,根据上述实验结果,下列估计正确的是( - A. 豚鼠被感染的概率为0.3 B. 圆形细胞的豚鼠被感染的概率为( C. 圆形细胞的豚鼠被感染的概率为0.1 D. 不规则形态细胞的豚鼠被感染的概率为1 答案 ABD 解析 记“豚凰被感染”为事件A,则由题意可知,P(A)一50+100500-0.3,A正确;记 “具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B,则由题意可知,P(B)一0,B正确;记“具有圆 形细胞的豚鼠被感染”为事件C,则由题意得P(C)一50250=15一0.2,C错误;记“具有 不规则形态细胞的豚鼠被感染”为事件D,则由题意可知,P(D)一1,D正确,故选ABD 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.Com 您身边的互联网+教辅专家 二、填空题 6. 某人进行打靴练习,共射击10次,其中有2次10环,3次9环,4次8环,1次脱靴,在 这次练习中,这个人中靴的频率是 __,中9环的频率是 答案0.9 0.3 解析 打靴10次,9次中靴,1次脱靴,所以中靴的频率为910一0.9:其中有3次中9环 所以中9环的频率是310-0.3. 7. 对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下表所示。 抽查件数 100 200 300 500 合格件数 92 192 285 478 根据表中所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品,大约需抽查 件产品. 答案 1000 解析 由表中数据知,抽查5次,产品合格的频率依次为0.94,0.92,0. 96,0.95,0. 956,可见频率在0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设 大约需抽查n件产品,则950n~0.95,所以n~1000. 8. 样本容量为200的样本的频率分布直方图如图所示,根据样本的频率分布直方图,计算样 本数据落在[6,10)内的频数为 ,估计数据落在[2,10)内的概率约为 率/组距 0 0 0 2 6 10 1418 22样本数掘 答案640.4 解析 样本数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4=64,样本数据落在[2,10)内的频率 为(0.02十0.08)×4-0.4,由频率估计概率,知所求概率约为0.4. 三、解答题 9. 某制造商今年3月生产了一批乒乓球,随机抽取100个进行检查,测得每个球的直径(单 位:mm),将数据分组如下: 分组 频数 频率 [39.95,39.97) 10 [39.97,39.99) 20 [39.99,40.01) 50 10