5.2 5.2.2 概率的运算-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（湘教版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.2.2 概率的运算 丽课园新法(教师独具内容) 课程标准:通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则 教学重点:随机事件概率的运算法则 教学难点:利用随机事件概率的运算法则解题 核心素养:通过具体实例抽象出概率的性质,掌握概率的运算方法,发展数学抽象和数学运 算素养. 核概掌握 -HE XIN GAI NIAN ZHANG WO 知识导学 知识点 概率的运算 1. 概率加法公式:如果o中的事件A,B互斥,则P(AUB)一supl(01)P(A)+P(B) 把概率加法公式反映的性质称为概率的可加性,可加的前提是两个事件互斥。 如果事件A,A.A,.,A.两两互斥,那么事件A.UAUAU..UA.发生(是指A,A,A,. ,A.中至少有一个发生)的概率,等于这n个事件的概率的和,即 P(A.UAU..UA)=P(A)+P(A)+..+P(A) 2. 如果A是样本空间o的事件,则P()一wpl(02)1一P(A) 3. 一般概率加法公式 P(AUB)-P(A)+P(B)-P(AOB). i新知拓展 1. 如何应用互厅事件的概率加法公式 (1)将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件,分别求出各个事件的概率,然后利用互斥 事件的概率加法公式求出结果 (2)运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个 事件分拆为几个互斥事件,且做到不重不漏 (3)常用步骤:①确定各事件彼此互斥;②求各个事件分别发生的概率,再求其和. 2. 对立事件与P(A)+P(B)一1的关系 (1若A,B是对立事件,则P(A)+P(B)=1. (2)若P(A)十P(B)一1,则事件A和B不一定对立,例如:掷一枚均匀的殷子,记事件A为出 现偶数点,事件B为出现1点或2点或3点,则P(4)+P(B)=12+12=1,显然事件A与事 件B不互斥,也不对立. _ 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 评价自测 1. 判一判(正确的打“”,错误的打“×”) (1)在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(AUB)=P(A)+P(B).( _~ (2)对于互斥事件A与B,一定有P(A)+P(B)=1.( (3)若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B一定是对立事件。( 。 答案(1)×(2)×(3)X 2. 做一做 (1)若A,B为互斥事件,则( A. P(A)+P(B)>1 B. P(A)+P(B)1 C. P(A)+P(B)-1 D. P(A)+P(B)1 (2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为0 _ A.56 B.25 C.16 D.13 (3)一种计算机芯片可以正常使用的概率为0,904,则它不能正常使用的概率是 A. 0.994 B. 0.006 C.0 D.1 答案(1)D(2A(3)B 核素养形成 题型一 互斥事件概率公式的应用 例1 某医院要派医生下乡义诊,派出医生的人数及其概率如下表所示: 人数 01234 大于等于5 概率 0.10.160.30.20.2 0. 04 (1)求派出医生至多2人的概率; (2)求派出医生至少2人的概率 [解] 设“不派出医生”为事件A,“派出1名医生”为事件B,“派出2名医生”为事件C “派出3名医生”为事件D,“派出4名医生”为事件E,“派出5名及5名以上医生”为事 件F,事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,且P(A)=0. 1,P(B)=0. 16,P(C)=0. 3,P (D)=0.2,P(E)=0.2,P(F=0. 04. (1)“派出医生至多2人”的概率为P(4UBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0 .56. (2)解法一:“派出医生至少2人”的概率为P(CUDUEUF=P(C)+P(D)+P(E)+P(F)=0 3+0.2+0.2+0.04=0.74. 解法二:事件“派出医生至少2人”的对立事件为“派出医生至多1人”,“派出医生至多1 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 B.zxxkCom 您身边的互联网+教辅专家 人”的概率为P(4UB)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故“派出医生至少2人”的概 率为1-0.26-0.74. 感悟提升 运用互斥事件的概率加法公式解题的步骤 (1)确定题中哪些事件彼此互斥; (2)将待求事件拆分为几个互斥事件的和 (3)先求各互斥事件分别发生的概率,再求和. [跟踪训练1] 一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球,从 中随机取出1球,求: (1)取出1球是红球或黑球的概率 (2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率。 解 记事件A=(任取1球为红球),A2-(任取1球为黑球),A-(任取1球为白球),A4-任 取1球为绿球, 则P(A -512,P(A)-13,P(A)-16,P(A)-112 根据题意,知事件A,A,A,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为 P(AUA)-P(A )+P(A)-512+13-34 (②)解法一:取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A.UAUA)-P(A)+P(A)+P(A)-512 +13+16-1712. 解法二:取出1球是红球或黑球或白球的概率为1一P(A)-1-112-1112 题型二 对立事件概率公式的应用 例2 一名射手在某次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0. 23. 0. 25,0. 28,计算这个射手在这次射击中 (1)射中10环或7环的概率 (2)射中的环数低于7环的概率. [解](1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在这次射击中,事件A与 事件B不可能同时发生,故事件A与事件B是互斥事件,“射中10环或7环”的事件为AL B. 所以P(4UB)=P(A)+P(B)-0.21+0.28-0. 49. 所以射中10环或7环的概率为0.49. (2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5环,4环,3环,2环,1环,0 环,但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,“低于7环”的反面是“大 于或等于7环”,即7环,8环,9环,10环,由于这两个事件必有一个发生,故是对立事 tr .学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.zxxk.Com 您身边的互联网+教辅专家 件,故可用对立事件的方法处理,设“低于7环”为事件E,则事件为“射中7环或8环 或9环或10环”,由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥 故P( )-0. 21+0.23+0.25+0.28=0.97, 从而P(E=1-P( )-1-0.97=0.03. 所以射中的环数低于7环的概率为0. 03 感悟提开 当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,可先转化为求其对立事件的 概率,再利用公式P()一1一P(A)求得符合条件的事件的概率 [跟踪训练21某学校的篮球队、羽毛球队、乒兵球队各有10名队员,某些队员不止参加了 一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求 球队 兵兵球 (1)该队员只属于一支球队的概率; (2)该队员最多属于两支球队的概率. 解 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒兵球队”为事件A,B,C.由图知 3支球队共有球员20名 则P(A)-520,P(B)-320,P(C)-420. (1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D. 则D=AUBUC,因为事件A,B,C两两互斥,所以P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P (C)-520+320+420-35 (2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E,则为“抽取一名队员,该队 员属于3支球队”,所以P(E)=1-P()-1-220=910 题型三 一般概率加法公式的应用 例3 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为14.求甲跑第一 棒或乙跑第四棒的概率。 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解] 设事件A一“甲跑第一棒”,事件B一“乙跑第四棒”, 则P(A)=14,P(B)-14 记甲跑第x棒,乙跑第y棒为(x,v). 则共有可能结果12种,样本空间0-(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3 1.(3,2):(3,4,(4,1),(4,2),(4,3). 甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种结果,即(1,4),故P(AOB)一112 所以,甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率 PAUB)=P(A)+P(B)-P(AOB)=14+14-112=512 感语提升 (1)一般概率加法公式与互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别:在公式P(AUB)一P (A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件;在公式P(AUB)一P(A)+P(B)一P(AOB)中,事件A,B 可以是互下事件,也可以不是互斥事件,可借助图形理解, (2)利用一般概率加法公式P(4UB)一P(A)+P(B)一P(AOB)求解的关键在于理解两个事件A B的交事件A口B的含义,准确求出其概率 [跟踪训练3] 甲、乙两人各射击一次,命中率分别为0.8和0.5,两人都命中的概率为0 4, 求甲、乙两人至少有一人命中的概率 解 至少有一人命中,可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件,设事件A为“甲 命中”,事件B为“乙命中”,则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件AUB,所以P(A UB-P(A)+P(B)-P(4OB)=0.8+0.5-0.4-0.9. 随堂水平达标 1. 盒子中有若干个红球和黄球,已知从盒子中取出2个球都是红球的概率为328,从盒子中 取出2个球都是黄球的概率是514,则从盒子中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( _ A. 1328 B.57 C.1528 D.37 答案 A 解析设A一“从中取出2个球都是红球”,B一“从中取出2个球都是黄球”,C一“任意 取出2个球恰好是同一颜色”,则C=AUB,且事件A与B互斥,所以P(C)一P(A)+P(B 一328+514-1328,即任意取出2个球恰好是同一颜色的概率为1328.故选A. 2. 抛掷一枚质地均匀的毂子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是16,记事件A为“向 上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则概率P(4UB一( ) A.12 B. 13 C.23 D.56 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案C 解析.抛掷一枚质地均匀的毂子,向上的一面出现任意一种点数的概率都是16,,P(4) $3$ =12,PB)=36=12,PAOB =26=13,P(AUB=P(A) +PB)-P(A B)=12+12- 3= 23. 故选C. 3. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,所选3人中至少有一名女生的概率为45 ,那么所选3人中都是男生的概率为 答案15 解析 ·所选3人中没有女生即都是男生与至少有一名女生为对立事件,.'.所选3人中都是 男生的概率P-1-45-15 4. 如图所示,靴子由一个中心圆面I和两个同心圆环II、II构成,射手命中1、II、III的概 率分别为0.35,0.30,0. 25,则射手命中圆环II或III的概率为 ,不命中的概 率是 答案 0. 55 0.10 解析 射手命中II或III的概率为P-0.30+0.25-0.55.记射手命中圆面I为事件A,命 中圆环II为事件B,命中圆环III为事件C,不中靴为事件D,则A,B,C互斥,故射手中靴 的概率为P(4UBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=0. 35+0. 30+0. 25=0. 90. 因为中靴和不中 是对立事件,故不命中靴的概率为P(D)-1-P(4UBUC)=1一0.90-0.10. 5. 某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0. 4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率: (2)求他不乘轮船去的概率. 解(1)记“他乘火车”为事件A,“他乘轮船”为事件B,“他乘汽车”为事件C,“他乘飞机 ”为事件D,这四个事件两两不可能同时发生,故它们彼此互斥, 所以P(4UD)-P(A)+P(D)-0.3+0. 4-0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为P,则P-1-P(B)-1-0.2-0.8. 所以他不乘轮船去的概率为0. 8. 课后课时精练 A级“四基”巩固训练 一,选择题 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1. 甲、乙两队举行足球比赛,若甲队获胜的概率为13,则乙队不输的概率为 ) A.56 B. 34 C.23 D.73 答案C 解析 因为“甲队获胜”与“乙队不输”两事件为对立事件,所以乙队不输的概率为1-13 -23. 2. 从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量不超过4. 85g 的概率为0. 32,那么质量在[4. 8,4. 85]范围内的概率是( ) A.0.62 B. 0.38 C.0. 02 D.0. 68 答案C 解析 设质量小于4.8g为事件A,不超过4. 85g为事件B,在[4.8,4. 85]范围内为事 件C,则AUC=B,又A与C互斥,所以P(AUC)=P(A)+P(C)=P(B),即0.3+P(C)=0 32,所以P(C)一0.02. 3. 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0. 45,既用现金支付也用非现金支付的概率为 0. 15,则不用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 答案 B 解析 设事件A为只用现金支付,事件B为只用非现金支付,事件C为既用现金支付也用非 现金支付,则P(A)+P(B)+P(C)=1,因为P(A)=0.45,P(C)-0.15,所以P(B)=0.4. 故 选B. 4. 已知随机事件A,B.C中,4与B互斥:B与C对立,且P(4)=0.3,P(C)=0.6,则 P(AUB)-( A.0.3 B.0.6 C.0. 7 D.0:9 答案C 解析 ·.随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,P(A)=0.3,P(C)-0.6. P (B=1-P(C)=0. 4,P(AUB)=P(A)+P(B)=0.7. 选C 5.(多选)下列说法中错误的是( ) A. 对立事件一定是互斥事件 B. 若A:B为随机事件,则P(AUB)一P(4)+P(B C. 若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)-1 _ 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxkcom 您身边的互联网+教辅专家 D. 若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件 答案 BCD 解析 A说法显然正确:B说法错误,当事件A,B能同时发生时,不满足P(4UB)一P(A) +P(B);C说法错误,P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,还可能小于1;D说法错误,例如: 袋中有除颜色外其余均相同的红球、黄球、黑球、绿球各1个,从袋中任意摸1个球,设事 件A一!摸到红球或黄球 ,事件B一!摸到黄球或黑球),显然事件A与B不是对立事件,但 P(A)+P(B)-12+12=1 故选BCD. 二、填空题 6. 某同学的数学成绩及格的概率为0. 85,语文成绩及格的概率为0.74,数学和语文成绩 同时及格的概率为0.63,则数学和语文至少一科成绩及格的概率是 答案0.96 解析设事件A为“数学成绩及格”,事件B为“语文成绩及格”,则“数学和语文至少一 科成缔及格”为事件AUB.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AOB)=0.85+0.74-0.63=0.9G 7. 在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演 节目,若选中男教师的概率为920,则参加联欢会的教师共有 , 答案 120 解析 设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教师中选一人,“选中男教师”和“选中女 教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1一920一1120.再由题意,知 1120n-920n-12,解得n-120. 8. 一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为 0. 58,摸出红球或黑球的概率为0. 62,那么摸出的不是红球的概率为 答案 0.80 解析 设A-{摸出红球{,B-(摸出白球),C-(摸出黑球},则A,B,C两两互斥,A与 为对立事件,因为P(AUB)=P(A)+P(B)=0. 58,P(AUC)=P(A)+P(C)=0.62,P(AUB UC)=P(A)+P(B)+P(C)-1,所以P(C)=0. 42,P(B)-0. 38.P(4)=0. 20,所以P( ) -1-P(A)=1-0.20=0.80. 三、解答题 9. 在数学考试中,小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18,在80~89分(包括89 分)的概率是0.51,在70~79分(包括79分)的概率是0.15,在60~69分(包括69分)的概 率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算; 2 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率; (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率. 解小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“在70~79分”“在80~89分”“不低于90 分”的并事件,小明数学考试及格可以看作互斥事件“在60~69分”“在70~79分”“在 80~89分”“不低于90分”的并事件,又可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对 立事件。 于是分别记小明的成绩“不低于90分”“在80~89分”“在70~79分”“在60~69分” 为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥 (1)小明的成续不低于70分的概率是P(BUCUD)=P(B)+P(C)+P(D)-0.18+0.51+0 15-0.84. (2)解法一:小明数学考试及格的概率是P(BUCUDUE)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18 +0. 51+0.15+0.09=0.93. 解法二:小明数学考试不及格的概率是0.07,所以小明数学考试及格的概率是1一0.07-0 .93. 10. 一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4. 先从袋中随 机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 n,求nn十2的概率. 解 先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n,其一切可能的结果(m,n)有(l,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(② 4).(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,这16个结 果出现的可能性是相等的。 又满足条件n三m+2的有(1,3),(1,4),(2,4),共3个 所以满足条件nm十2的事件的概率为P-316 故满足条件n~m+2的事件的概率为1-P-1-316-1316. B级“四能”提升训练 1. 从1~20这20个整数中随机选择一个数,设事件A表示“选到的数能被2整除”,事件 B表示“选到的数能被3整除”,求下列事件的概率 (1)这个数既能被2整除也能被3整除 (2)这个数能被2整除或能被3整除: (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除。 解 显然从1~20这20个整数中随机选择一个数,样本点总数为20.其中这20个整数中能 被2整除的有10个,能被3整除的有6个,所以P(4)-1020-12,P(B)-620-310 (1)“这个数既能被2整除也能被3整除”即事件AB,因为1~20这20个整数中既能被2整 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 D.zxxkcom 您身边的互联网+教辅专家 除也能被3整除的有3个,所以P(AB)一320 (2)“这个数能被2整除或能被3整除”即事件AUB,由分析得P(AUB)一P(A)+P(B)-P(A 0B)-12+310-320-1320 (3)由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”(即事件0)与事件“这个数能被 2整除或能被3整除”(即事件AUB)为对立事件,所以P( D )-1-P(AUB)=1-1320 720. 2. 某校在元旦联欢会上设有一个抽奖游戏,抽奖箱中共有12张纸条,分别设置一等奖、二 等奖、三等奖、无奖,从中任取一张,不中奖的概率为12,中二等奖或三等奖的概率是512. (1)任取一张,求中一等奖的概率; (2)若任取一张,中一等奖或二等奖的概率是14,求中三等奖的概率。 解(1)设事件A一“任取一张,中一等奖”,事件B一“任取一张,中二等奖”,事件C= “任取一张,中三等奖”,事件D-“任取一张,不中奖”,则A,B,C,D是互斥事件. 由条件可得P(D)-12,P(BUC)-P(B)+P(C)-512 由对立事件的概率公式知 P(A)=1-P(BUCUD)=1-P(BUC)-P(D)=1-512-I2=112 所以任取一张,中一等奖的概率为112. (②)因为P(AUB-P(A)+P(B)=I4,且P(A)=I12 所以P(B)-14-112-16 又P(BUC)-P(B)+P(C)-512 所以P(C)-14. 所以任取一张,中三等奖的概率为14 10