5.2.2 概率的运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦概率的运算，涵盖概率的可加性、一般加法公式及互斥事件、对立事件的概率计算，通过掷骰子、抽奖等实例导入，衔接概率基本概念，搭建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于以问题情境驱动探究，结合合作探究中的典例分析（如储蓄所排队、抽奖游戏）和分层练习（随堂评价、课时分层），培养数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养。学生能在实例中深化理解，教师可依托系统资源提升教学效率。

5.2.2　概率的运算 　 第5章　5.2　概率及运算 学习目标 1.通过实例，理解概率的基本性质，提升数学抽象核心素养. 2.在问题情境中掌握概率的基本性质，并能通过这些性质来进行概率的计算，培养和发展逻辑推理、数学抽象和数学运算核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　概率的运算 1.概率的可加性 如果Ω中的事件A，B互斥，则P(A∪B)＝________________. 推广：如果A是样本空间Ω的事件，则 P()＝___________. 2.一般概率加法公式 P(A∪B)＝________________________. 特别地，若A∩B＝⌀，则有 P(A∪B)＝_____________. 知识梳理 P(A)＋P(B) 1－P(A) P(A)＋P(B)－P(A∩B) P(A)＋P(B) 点拨　(1)当A与B互斥(即AB＝⌀)时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式； (2)一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)； (3)P(A)＋P()＝1. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B). (　　) (2)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1. (　　) (3)事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件. (　　) (4)如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1. (　　) 自主检测 × × × √ 2.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5 或6的概率是 A. B. C. D.1 √ 事件“向上的数字是5 ”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是，所以“向上的数字是5 或6”的概率是＋＝. 3.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)内的概率是 A.0.62 B.0.38 C.0.70 D.0.68 √ 利用对立事件的概率公式，可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38. 4.如果事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________. 0.16 设事件A发生的概率为P(A)，则P(B)＝3P(A)， 又事件A与B是互斥事件，且事件A∪B发生的概率是0.64，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋3P(A)＝4P(A)＝0.64.所以P(A)＝0.16. 返回 合作探究 返回 探究点一　互斥事件、对立事件的概率 袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是. (1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率； 解：从12个球中任取一个， 记事件A＝ “得到红球”，事件B＝ “得到黑球”，事件C＝ “得到黄球”，事件D＝ “得到绿球”， 则事件A，B，C，D两两互斥， 典例 1 由题意有： 即 解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝， 故得到黑球、黄球、绿球的概率分别为，，. (2)从中任取一球，求得到的不是“红球或绿球”的概率. 解：事件“得到红球或绿球”可表示为事件A＋D， 由(1)得P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝＋＝， 故得到的不是红球或绿球的概率P＝1－P(A＋D)＝1－＝. 　　公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A，B两事件互斥时才能使用，如果A，B不互斥，就不能应用这一公式. 规律方法 对点练1.经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下： 求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？ 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥. 记“至多2人排队等候”为事件G， 则G＝A∪B∪C， 所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (2)至少3人排队等候的概率是多少？ 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥. 方法一：记“至少3人排队等候”为事件H， 则H＝D∪E∪F， 所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 方法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 探究点二　互斥事件与对立事件的综合问题 某次联欢会上设有一个抽奖游戏，抽奖箱中共有16个四种不同颜色且形状大小完全相同的小球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种奖项.其中红球代表一等奖且只有1个，黄球代表三等奖.从中任取一个小球，若中二等奖或三等奖的概率是.小华同学获得一次抽奖机会. (1)求他不能中奖的概率； 解：设小华同学任取一个小球，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A，B，C，D， 它们彼此是互斥事件，由题意得P(A)＝，P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，由对立事件的概率公式得P(D)＝1－P(A＋B＋C) ＝1－P(B＋C)－P(A)＝1－－＝， 所以不能中奖的概率为. 典例 2 (2)若该同学中一等奖或二等奖的概率是，试计算黄球的个数. 解：因为P(A＋B)＝，又P(A＋B)＝P(A)＋P(B)， 所以P(B)＝－＝， 因为P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝， 所以P(C)＝－＝， 所以中三等奖的概率为， 所以黄球个数为16×＝4(个). 　　对于较复杂事件的概率在求解时通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率. 规律方法 对点练2.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如表： (1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x的值； 解：由题意知派出医生不超过2人的概率为0.56， 从表格中可以看出派出医生不超过2人包括三部分， 所以0.1＋0.16＋x＝0.56， 所以x＝0.3. 医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z (2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值. 解：由派出医生最多4人的概率为0.96， 得0.96＋z＝1， 所以z＝0.04. 由派出医生最少3人的概率为0.44， 得y＋0.2＋z＝0.44， 所以y＝0.44－0.2－0.04＝0.2. 所以z＝0.04；y＝0.2. 医生人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z 返回 随堂评价 返回 1.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为 A.0.40 B.0.30 C.0.60 D.0.90 √ 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A. 2.某市场一摊位的卖菜员发现顾客来此摊位买菜后选择只用现金支付的概率为0.2，选择既用现金支付又用非现金支付的概率为0.1，且买菜后无赊账行为，则选择只用非现金支付的概率为 A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 √ 设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付又用非现金支付，事件D为买菜后支付， 则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1， 因为P(A)＝0.2，P(C)＝0.1， 所以P(B)＝0.7. 故选C. 3.投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件A为“出现奇数点”，事件B为“向上的点数不超过3”，则P(A∪B)＝______. 因为P(A)＝＋＋＝＝，P(B)＝＋＋＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝. 4.某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率； 解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种.令D表示“此人被评为优秀”的事件，E表示“此人被评为良好”的事件，F表示“此人被评为良好及以上”的事件. D事件发生的情况有1种，(123)，故P(D)＝. (2)求此人被评为良好及以上的概率. 解：将5杯饮料编号为1，2，3，4，5，编号1，2，3表示A饮料，编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种.令D表示“此人被评为优秀”的事件，E表示“此人被评为良好”的事件，F表示“此人被评为良好及以上”的事件. E事件发生的情况有(124)，(125)，(134)，(135)，(234)，(235)，共有6种，故P(E)＝＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝. 返回 课时分层 返回 1.某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是 A.0.14 B.0.20 C.0.40 D.0.60 √ 由于成绩为A的有23人，故抽到C的概率为1－－0.4＝0.14.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.若事件A与B是互斥事件，且事件A∪B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为 A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 √ 由已知得，P(A)＋P(B)＝0.8，又P(A)＝3P(B)，于是P(A)＝0.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.15，0.20，0.45，则不中靶的概率是 A.0.20 B.0.25 C.0.15 D.0.30 √ 设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C互斥，故射手中靶的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.15＋0.20＋0.45＝0.80.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.80＝0.20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且分别为P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. √ 因为随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0， 且分别为P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5， 所以，即， 解得＜a≤，即a∈.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)下列结论正确的是 A.若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则P(B)＝0 B.若事件A，B，C两两互斥，则事件A与B∪C互斥 C.若事件A与B对立，则P(A∪B)＝1 D.若事件A与B互斥，则它们的对立事件也互斥 √ √ √ 若A，B互为对立事件，P(A)＝1，则A为必然事件，故B为不可能事件，则P(B)＝0，故A正确；若事件A，B，C两两互斥，则事件A，B，C不能同时发生，则事件A与B∪C也不可能同时发生，则事件A与B∪C互斥，故B正确；若事件A与B对立，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，故C正确；若事件A，B互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为_______. 0.99 因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有______个. 15 因为口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球， 在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的， 摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28， 所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3， 因为红球有21个， 所以黑球有0.3×＝15个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知，是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋＝0.则甲射击一次，不中靶的概率为_______；乙射击一次，不中靶的概率为_______. 由P1满足方程x2－x＋＝0知，－P1＋＝0，解得P1＝； 因为，是方程x2－5x＋6＝0的根，所以·＝6，解得P2＝. 因此甲射击一次，不中靶的概率为1－＝，乙射击一次，不中靶的概率为1－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，连续取两次. (1)设(i，j)表示先后两次所取到的球，试写出所有可能的抽取结果； 解：连续取两次所包含的基本事件有： (红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)； (白1，红)(白1，白1)(白1，白2)，(白1，黑)； (白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)； (黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)， 所以基本事件的总数为16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求连续两次都取到白球的概率； 解：设事件A：连续取两次都是白球，则事件A所包含的基本事件有： (白1，白1)(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)共4个， 所以P(A)＝＝. (3)若取到红球记2分，取到白球记1分，取到黑球记0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率. 解：设事件B：连续取两次分数之和为3分， 则事件B所包含的基本事件有： (红，白1)，(红，白2)，(白1，红)，(白2，红)， 则P(B)＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设事件C：连续取两次分数之和为4分， 则事件C所包含的基本事件有：(红，红)， 则P(C)＝， 设事件D：连续取两次分数之和大于2分， 则P(D)＝P(B)＋P(C)＝. 故连续两次取球所得分数之和大于2分的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时. (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率； 解：记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车超过1小时，不超过2小时”为事件B，“一次停车超过2小时，不超过3小时”为事件C，“一次停车超过3小时，不超过4小时”为事件D. 由已知得P(B)＝，P(C＋D)＝. 又事件A，B，C，D互斥， 所以P(A)＝1－－＝. 所以甲的停车费为6元的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率. 解：易知甲、乙停车时间的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，这16种情况发生的可能性是相等的，而“停车费之和为28元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3个.所以所求概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.若A，B为一对对立事件，其概率分别为P(A)＝，P(B)＝，则x＋y的最小值为 A.9 B.10 C.6 D.8 √ 由已知得＋＝1(x＞0，y＞0)， 所以x＋y＝(x＋y)(＋) ＝5＋(＋)≥5＋2 ＝9. 当且仅当＝时等号成立，即x＝2y，x＝6，y＝3.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(多选)张明与李华两人做游戏，有以下规则可供选择，其中游戏规则中公平的是 A.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜 B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜 D.张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；选项B中，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，故游戏规则不公平，B不符合题意；选项C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；选项D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意.故选ACD. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 5.2.2　概率的运算 返回 $