4.3.2.2 直线与平面平行的性质定理 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修（第二册）学习笔记（湘教版2019）

第2课时　 直线与平面平行的性质定理 第4章　4.3.2　空间中直线与平面的位置关系 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的性质定理，并加以证明. 2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间中简单的线面关系. 学习目标 导语 上一节课我们学习了直线与平面平行的判定定理，可以简单描述为“线线平行，则线面平行”，自然而然有同学会问，线面平行能否得出线线平行，让我们一起走进今天的课堂——直线与平面平行的性质定理. 内容索引 一、直线与平面平行的性质定理 二、与线面平行性质定理有关的计算 课时对点练 三、直线与平面平行判定和性质定理的综合应用 随堂演练 直线与平面平行的性质定理 一 问题1　将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，那么每页纸和桌面的交线与书脊有什么样的位置关系？ 提示　平行. 问题2　如图，直线l∥平面α，直线a⊂平面α，直线l与直线a一定平行吗？ 提示　不一定. 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 平行. 符号语言 若a∥α， ，则a∥b 图形语言   平行 交线 a⊂β，α∩β＝b 知识梳理 7 注意点： 性质定理的实质是：线面平行⇒线线平行，其中一条线是平面外的线，另一条线是过这条线的平面与已知平面的交线. 知识梳理 8 例1　如图所示，已知两条异面直线AB与CD，平面MNPQ与AB，CD都平行，且点M，N，P，Q依次在线段AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形. ∵AB∥平面MNPQ，且过AB的平面ABC交平面MNPQ于MN，∴AB∥MN. 又过AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ，∴AB∥PQ，∴MN∥PQ. 同理可证NP∥MQ. ∴四边形MNPQ为平行四边形. 9 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤 (2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行. 反思感悟 10 如图所示，连接MO. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点. 又∵M是PC的中点，∴AP∥OM. 又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM. 又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH. 跟踪训练1　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 与线面平行性质定理有关的计算 二 例2　如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4， CF＝4，AF＝5，则EG＝_____. A∉a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD. 因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG， 13 利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点 (1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系. (2)利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系. (3)利用所得关系计算求值. 反思感悟 14 跟踪训练2　如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m， BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝______. 15 ∵AC∥平面EFGH，AC⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF， ∴EF∥AC， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵四边形EFGH是菱形， 16 直线与平面平行判定和性质定理的综合应用 三 例3　如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l，则： (1)l与BC是否平行？说明理由； 平行，理由如下： 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以BC∥AD， 又BC⊄平面PAD， AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD. 又平面PBC∩平面PAD＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l. 18 (2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论. 19 平行.证明如下： 如图所示， 取PD的中点E， 连接AE，NE， 可以证得NE∥AM且NE＝AM. 所以四边形AMNE是平行四边形， 所以MN∥AE. 又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. (2)应用线面平行判定定理，关键找或作平行线；应用线面平行性质，关键找(或作)过线的平面. 反思感悟 21 跟踪训练3　如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 22 直线l∥平面PAC，证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点， 所以EF∥AC. 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF⊂平面BEF， 且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以l∥平面PAC. 1.知识清单： (1)直线与平面平行的性质定理. (2)性质定理与判定定理的综合应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：在应用线面平行的性质解题时，易忽略“交线”这个条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线 A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.没有 √ 1 2 3 4 2.如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则 A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 √ MN∥平面PAD，平面PAD∩平面PAC＝PA，且MN⊂平面PAC，故MN∥PA. 1 2 3 4 3.如图所示，在空间四边形ABCD中，F，G分别是BC，CD的中点，EH∥平面CBD，则EH与FG的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 √ 因为EH∥平面CBD，平面CBD∩平面ABD＝BD，EH⊂平面ABD， 所以EH∥BD，又FG∥BD，所以EH∥FG. 1 2 3 4 4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝ _____. 根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC. 又E是AD的中点，所以F是CD的中点. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为 A.都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点 √ 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 √ 由长方体性质知EF∥平面ABCD， ∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH， ∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论中正确的是 A.E，F，G，H一定是各边的中点 B.G，H一定是CD，DA的中点 C.BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC D.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC √ 由于BD∥平面EFGH，由线面平行的性质定理，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是 A.如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α B.如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交 C.如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n D.如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n √ 由线面平行的性质定理知C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，则直线a与直线b A.相交 　　　B.平行　　　 C.异面 　　　D.不确定 √ 因为直线a∥平面α，直线a∥平面β， 所以在α，β中均可找到一条直线与直线a平行. 设m在平面α内，n在平面β内，且m∥a，n∥a， 所以m∥n. 又因为m不在平面β内，n在平面β内，所以m∥β. 又因为α∩β＝b，m⊂α，所以m∥b. 又因为m∥a，所以a∥b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F(异于A，B，C)，则 A.MF∥NE B.四边形MNEF为梯形 C.四边形MNEF为平行四边形 D.A1B1∥NE √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易得MN∥AB，MN＝AB. ∵MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴MN∥平面ABC. 又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF， ∴MN∥EF，∴EF∥AB. 显然在△ABC中，EF≠AB，∴EF≠MN， ∴四边形MNEF为梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝_____. 因为AB∥平面α，AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN， 所以AB∥MN， 又点M是AD的中点，AB∥CD， 所以MN是梯形ABCD的中位线， 故MN＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵四边形ABCD为矩形， ∴BC∥AD. ∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE， ∴BC∥EF. ∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF， ∴四边形BCFE是梯形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，点M在侧棱PC上，且PM＝tPC，若PA∥平面MQB，试确定实数t的值. 如图，连接BD，AC，AC交BQ于点N，交BD于点O，连接MN， 则O为BD的中点. ∵BQ为△ABD中AD边上的中线， ∴N为正三角形ABD的中心. ∵PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB＝MN， ∴PA∥MN， ∴PM∶PC＝AN∶AC＝1∶3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)在四面体ABCD中，E，P分别为AC，AB的中点，截面PQMN是正方形，下列命题中正确的是 A.AC∥截面PQMN B.AC≠BD C.∠APN＝∠EQM D.△APE≌△EQC √ √ √ ∵截面PQMN为正方形，∴PN∥QM，PQ∥MN， 又∵MN⊂平面ADC，PQ⊄平面ADC，∴PQ∥平面ADC. 又∵PQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面ADC＝AC， ∴PQ∥AC，即MN∥AC. ∵MN⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN，∴AC∥截面PQMN，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴AP∥EQ，PN∥QM， ∴∠APN＝∠EQM，故C正确； 显然△APE≌△EQC也成立，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图，在底面边长为8 cm，高为6 cm的正三棱柱ABC－A1B1C1中，若D为棱A1B1的中点，则过BC和点D的截面面积等于________ cm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点D作DE∥B1C1，交A1C1于点E，连接CE，则四边形BCED即为过BC和点D的截面， 因为D为棱A1B1的中点，DE∥B1C1，所以E为A1C1的中点， 所以DE是△A1B1C1的中位线， 又因为B1C1∥BC，所以DE∥BC， 所以四边形BCED是梯形； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 过点D作DF⊥BC于点F， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别为线段PC，PB上一点，若PM∶MC＝3∶1，且AN∥平面BDM，则PN∶NB的值为_____. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点G，连接OG. 由AN∥平面BDM，AN⊂平面ANCO，平面ANCO∩平面BDM＝OG，得AN∥OG. ∵OA＝OC，∴CG＝NG， ∴G为CN的中点. 作NH∥BM，交PC于点H， ∴CM＝HM. ∵PM∶MC＝3∶1，∴PH＝HC， ∴PN∶NB＝PH∶HM＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形.E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8.P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝_____. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AC交BD于点O，连接PO， 过点C作CQ∥OP交AA1于点Q， ∵EF∥平面PBD，EF⊂平面EACF， 平面EACF∩平面PBD＝PO， ∴EF∥PO. 又∵CQ∥OP， ∴EF∥QC， ∴四边形EFCQ是平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴QE＝CF， ∵四边形ABCD是正方形，CQ∥OP， ∴PQ＝AP＝2. ∵AE＋CF＝AP＋PQ＋QE＋CF ＝2＋2＋CF＋CF＝8， ∴CF＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 (1)若E是BC的中点，则m的值为______； 1 如图，设平面ADE与直线B1C相交于点G，连接DG，GE. 因为AE∥平面DB1C，AE⊂平面ADE，平面ADE∩平面DB1C＝DG， 所以AE∥DG. 又AD∥BB1，所以AD∥平面CBB1C1， 又AD⊂平面ADE，平面ADE∩平面CBB1C1＝EG， 所以AD∥EG， 则四边形DAEG是平行四边形. 故DA＝GE，所以G是CB1的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为_____. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设平面ADE与直线B1C相交于点H， 连接DH，HE. 因为AE∥平面DB1C，AE⊂平面ADE，平面ADE∩平面DB1C＝DH， 所以AE∥DH，又AD∥BB1， 所以AD∥平面CBB1C1， 又AD⊂平面ADE， 平面ADE∩平面CBB1C1＝EH， 所以AD∥EH， 故四边形DAEH是平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则AD＝EH，且EH∥BB1， 16.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若MB∥平面AEF，如图，过F，B，M的平面交AE于点N，连接MN，NF. 因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN， 所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN， 所以MB∥FN， 所以四边形FBMN是平行四边形， 所以MN∥BF，MN＝BF＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故MN是△ACE的中位线. 所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 而EC∥FB，EC＝2FB＝2， 于是EG＝＝＝. 所以a∥EG，即BD∥EG，所以＝. 即＝，所以＝， ∴AE∶EB＝m∶n＝. ∴＝，可得EF＝m，同理可得HG∥AC，∴EF∥HG， 同理可得EH∥FG，EH＝n， ∴EF＝EH，即m＝n， (1)线线平行线面平行. 所以DE＝DF＝1，故EF＝. 由EF∥平面BCC1B1可知，平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6. 4＋6 设菱形ABCD的边长为a，则AN＝a，AC＝a. 即PM＝PC，则t＝. 同理PN∥平面BCD，PN∥BD，又∵P为AB的中点，∴N为AD的中点，同理Q，M也分别是BC，CD的中点，PN綊BD，PQ綊AC，又∵PN＝PQ，∴AC＝BD，故B错误； 又∵E为AC的中点，PE綊BC，EQ綊AB， 24 所以DE＝B1C1＝4 cm， 则DF＝＝4(cm)， 所以截面BCED的面积S＝×(4＋8)×4＝24(cm2). 15.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1上的动点，且＝m，AE∥平面DB1C. 故AD＝DA1，即＝1，即m＝1. 所以＝＝， 所以＝＝， 则＝2，即m＝2. 所以MN∥EC，MN＝EC＝1， $$