9.1.2 9.1.3 分层随机 抽样 获取数据的途径-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教A版2019）

第九章　统计 9.1　随机抽样　 9.1.2　分层随机抽样 9.1.3　获取数据的途径 课程标准：1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围.2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值.4.在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题.5.知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、普查和抽样、互联网、试验设计等． 教学重点：理解并掌握分层随机抽样． 教学难点：分层随机抽样的样本均值对总体均值的估计意义． 核心素养：1.通过学习分层随机抽样概念的过程培养数学抽象素养.2.通过学习分层随机抽样的步骤和获取数据的途径培养数据分析素养和数学建模素养． (教师独具内容) 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　分层随机抽样及其相关概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成_____________，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行_____________，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为__________，这样的抽样方法称为分层随机抽样． (1)层：每一个__________称为层． (2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成______，那么称这种样本量的分配方式为__________． [提示]　当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用比例分配的分层随机抽样的方法． 若干个子总体 简单随机抽样 总样本 子总体 比例 比例分配 核心概念掌握 5 知识点二　分层随机抽样中的样本平均数与总体平均数 1．在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则各层个体及样本特征可由下表表示出来： 核心概念掌握 6 核心概念掌握 7 核心概念掌握 8 知识点三　获取数据的途径 统计学是通过_________和__________来认识未知现象的．获取数据的一些基本途径有： ___________________、 __________________、 ___________________、 __________________． 收集数据 分析数据 通过调查获取数据 通过试验获取数据 通过观察获取数据 通过查询获得数据 核心概念掌握 9 1．(获取数据的途径)要得到某乡镇的贫困人口数据，应采取的方法是(　　) A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据 核心概念掌握 10 2．(分层随机抽样)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个样本量为100的样本．获取样本时适宜采用___________________抽样． 3．(分层随机抽样)一个班共有54人，其中男女人数比为5∶4，用分层随机抽样的方法抽取9人参加教改调查会，若样本按比例分配，则应抽取男同学___人． 4．(分层随机抽样中的样本平均数与总体平均数)某校高一年级共有学生500人，其中男生300人，按男、女生比例进行分层随机抽样，样本量为50，进行身高测量(单位：cm)，男生样本的身高平均数为170.6 cm，女生样本的身高平均数为160.6 cm，则可估计该校高一年级学生的平均身高为________ cm. 比例分配的分层随机 5 166.6 核心概念掌握 11 核心素养形成 题型一　分层随机抽样的概念 例1　(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，最合适的方法是(　　) A．抽签法 B．简单随机抽样法 C．比例分配的分层随机抽样法 D．随机数法 解析　总体由差异明显的三部分构成，应选用比例分配的分层随机抽样法． 核心素养形成 13 (2)分层随机抽样又称类型随机抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，若分层随机抽样要保证每个个体等可能抽样，必须进行(　　) A．每层等可能抽样 B．每层可以不等可能抽样 C．所有层按同一抽样比等可能抽样 D．所有层抽取个体数量相同 解析　保证每个个体等可能的被抽取是简单随机抽样和比例分配的分层随机抽样的共同特征，为了保证这一点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取． 核心素养形成 14 【感悟提升】　使用比例分配的分层随机抽样的原则 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则． (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，使每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比． 核心素养形成 15 【跟踪训练】 1．下列问题中，最适合用比例分配的分层随机抽样方法抽样的是(　　) A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查 C．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 解析：A的个体没有呈现出较大差异，不适合用比例分配的分层随机抽样法；B和D的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用比例分配的分层随机抽样方法． 核心素养形成 16 解　用比例分配的分层随机抽样来抽取样本，步骤如下： (1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工． 题型二　比例分配的分层随机抽样的应用 例2　一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，若职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 核心素养形成 17 核心素养形成 18 【感悟提升】　利用比例分配的分层随机抽样抽取样本的操作步骤 核心素养形成 19 【跟踪训练】 2．某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000，其中持各种态度的人数如下表所示： 电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？ 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2435 4567 3926 1072 核心素养形成 20 核心素养形成 21 题型三　分层随机抽样的样本平均数与总体平均数 例3　(2024·山东烟台一中高一下月考)某地区有高中生7200人，初中生11800人，小学生12000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学生的近视率分别为80%、70%、36%. (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率(精确到1%)； (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为60，100和150，那么在这种情况下，抽取的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少(精确到1%)? 核心素养形成 22 核心素养形成 23 核心素养形成 24 【跟踪训练】 3．(1)(2024·湖北宜昌一中高一下阶段考试)某校有男教师160人，女教师140人，为了调查教师的运动量的平均值(通过微信步数)，按性别比例分配进行分层随机抽样，通过对样本的计算，得出男教师平均微信步数为12500，女教师平均微信步数为8600，则该校教师平均微信步数为(　　) A．12500 B．10680 C．8600 D．10550 核心素养形成 25 (2)有4万个大于70的两位数，用比例分配的分层随机抽样方法从中随机抽取了3000个数，统计如下表： 请根据表格中的信息，估计这4万个数的平均数约为________． 数据x 70<x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99 个数 800 1300 900 平均数 78.1 85 91.9 85.23 核心素养形成 26 题型四　获取数据的途径 例4　(1)为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是(　　) A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据 解析　因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据． 核心素养形成 27 (2)简单设计一份问卷，调查学生对高一各学科的态度． 核心素养形成 28 【感悟提升】　 1．选择获取数据的途径的依据 选择获取数据的途径主要是根据所要研究问题的类型，以及获取数据的难易程度．有的数据可以有多种获取途径，有的数据只能通过一种途径获取，选择合适的方法和途径能够更好地提高数据的可靠性． 2．调查问卷中问题设计的要求 (1)问卷中的问题必须设计详细，以便被调查者顺利回答． (2)把比较容易的，不涉及个人的问题排在比较靠前的位置，较难的、涉及个人的问题放在后面． 核心素养形成 29 【跟踪训练】 4．(1)“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜(Five­hundred­meter Aperture Spherical radio Telescope，简称FAST)，是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜．建造“中国天眼”的目的是(　　) A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据 C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据 解析　 “中国天眼”主要是通过观察获取数据． 核心素养形成 30 (2)为调查小区平均每户居民的月用水量，下面是三名同学设计的方案： 学生甲：我把这个用水量调查表放在互联网上，只要登录网站的人就可以看到这张表，他们填的表可以很快地反馈到我的电脑中，这样就可以很快估算出小区平均每户居民的月用水量； 学生乙：我给我们居民小区的每一个住户发一张用水调查表，只要一两天就可以统计出小区平均每户居民的月用水量； 学生丙：我在小区的电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给这些住户打电话，问一下他们的月用水量，然后就可以估算出小区平均每户居民的月用水量． 请问：这三位同学设计的方案中哪一个较合理？你有何建议？ 核心素养形成 31 解: 学生甲的方法得到的样本只能够反映上网居民的用水情况，它是一种方便样本，所得到的样本代表性差，不能很准确地获得平均每户居民的月用水量． 学生乙的方法实际上是普查，花费的人力、物力更多一些，但是如果统计过程不出错，就可以准确地得到平均每户居民的月用水量． 学生丙的方法是一种随机抽样的方法，所在小区的每户居民都装有电话的情况下，建议用随机抽样方法获得数据，用学生丙的方法，既节省人力、物力，又可以得到比较精确的结果． 核心素养形成 32 随堂水平达标 1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是(　　) A．简单随机抽样 B．抽签法 C．随机数法 D．比例分配的分层随机抽样 解析：从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是比例分配的分层随机抽样． 随堂水平达标 34 2．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生(　　) A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人 C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人 随堂水平达标 35 3．(多选)影响获取数据可靠程度的因素包括(　　) A．获取方法设计 B．所用专业测量设备的精度 C．调查人员的认真程度 D．数据的大小 解析：数据的大小不影响获取数据的可靠程度，其他三项均影响获取数据的可靠程度． 随堂水平达标 36 4．某分层随机抽样中，有关数据如下： 此样本的平均数为________． 5.75 样本量 平均数 第1层 45 4 第2层 35 8 随堂水平达标 37 5．(2024·山东济宁月考)第33届夏季奥运会于2024年7月27日开幕，某高中为了解本校学生收看开幕式的平均时长(单位：分钟)，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，分别抽取了男生60人、女生40人，其平均收看时长分别为120分钟和160分钟，据此估计本校全体学生的平均收看时长． 随堂水平达标 38 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 分层随机抽样中每个个体被抽取的可能性 分层随机抽样的相关计算 分层随机抽样的相关计算 分层随机抽样的样本平均数与总体平均数 分层随机抽样的相关计算 分层随机抽样的相关计算 获取数据的途径 分层随机抽样的相关计算 题号 9 10 11 12 13 14 15 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 分层随机抽样的样本平均数 分层随机抽样的相关计算 分层随机抽样的相关计算 分层随机抽样的相关 计算 分层随机抽样的样本平均数与总体平均数 分层随机抽样；简单随机抽样 分层随机抽样的相关 计算 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 2．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层随机抽样调查，若抽取的样本量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取的个数为(　　) A．12，6，3 B．12，3，6 C．3，6，12 D．3，12，6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 3．(2024·河北邢台月考)每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监督局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽检54家，则粮食加工品店需要被抽检(　　) A．30家 B．35家 C．40家 D．45家 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 4．某房地产公司为了解小区业主对平层户型与复式户型的满意度，采取分层随机抽样(样本量按比例分配)的方法对该小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9.则用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为(　　) A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 二、填空题 6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取一个样本量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件． 1800 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 7．研究下列问题： ①某城市元旦前后的气温；②某种新型电路元件使用寿命的测定；③电视台想知道某一个节目的收视率；④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞． 一般通过试验获取数据的是________． 解析：①通过观察获取数据，③④通过调查获取数据，只有②通过试验获取数据． ② 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 8．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n的值为________． 100 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 三、解答题 9．(2024·福建泉州月考)为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照比例分配的分层随机抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况．现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测．经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表： 分组 人数 平均成绩 正科级干部组 a 80 副科级干部组 b 70 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 a b c 剪纸 x y z 11．(2024·广东东莞实验中学高一下月考)某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 6 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 12．某大型企业针对改善员工福利的A，B，C三种方案进行了问卷调查，调查结果如下： (1)从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取n人，已知从支持A方案的人中抽取了6人，求n的值； (2)从支持B方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是多少？年龄在35岁以下的人数是多少？ 支持A方案 支持B方案 支持C方案 35岁以下的人数 200 400 800 35岁及以上的人数 100 100 400 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 13．(2024·河北石家庄期中)某校在全校开展党史学习教育活动的问卷测试，已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生960人，高三年级有学生840人．为了解全校学生问卷测试成绩的情况，按年级用比例分配的分层随机抽样的方法得到容量为100的样本．如果样本中高一、高二、高三年级问卷测试成绩的平均分分别为85分、80分、90分，试用样本平均数估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 59 14．(2024·浙江宁波高一检测)某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中作问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估． (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？ (2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个样本量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 (2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．如果用抽签法，要作3000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，步骤如下： ①编号：将3000份答卷编号为1，2，3，…，3000； ②在电子表格软件的任一单元格中，输入“＝RANDBETWEEN(1，3000)”，生成一个1～3000范围内的整数随机数； ③利用电子表格软件的自动填充功能得到多个随机数，如果生成的随机数重复，则跳过去不读，直到产生48个没有重复的随机数为止； ④与这48个号码相对应的48份初中生的答卷就是要抽取的样本． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 62 15．(2024·山东聊城一中高一下阶段测试)某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场．已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示： 记该校高一、高二、高三年级学生占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本． (1)求x∶y∶z的值； (2)若抽到的B会场的高二学生有150人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数． 高一 高二 高三 A会场 50% 40% 10% B会场 40% 50% 10% 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 63 解： (1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c， 则去A会场的学生总数为0.25(a＋b＋c)，去B会场的学生总数为0.75(a＋b＋c)， 则对应人数如下表所示： 则x∶y∶z＝[0.425(a＋b＋c)]∶[0.475(a＋b＋c)]∶[0.1(a＋b＋c)]＝17∶19∶4. A会场 B会场 高一 0.125(a＋b＋c) 0.3(a＋b＋c) 高二 0.1(a＋b＋c) 0.375(a＋b＋c) 高三 0.025(a＋b＋c) 0.075(a＋b＋c) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 (2)依题意，n×0.75×0.5＝150，解得n＝400，则抽到的A会场的学生总数为100， 所以抽到的A会场高一年级的人数为100×50%＝50，高二年级的人数为100×40%＝40，高三年级的人数为100×10%＝10. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 65 　　　　　　　　　　　　　 R eq \f(1,N) eq \o(∑,\s\up16(N),\s\do14(i＝1))Yi 项目 层数 个体数 样本量 总体平均数 样本平均数 第1层 M m eq \o(X,\s\up16(－))＝________________＝______ eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(x1＋x2＋…＋xm,m)＝eq \f(1,m) eq \o(∑,\s\up16(m),\s\do14(i＝1))xi 第2层 N n eq \o(Y,\s\up16(－))＝________________＝_______ eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq \f(1,n) eq \o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))yi eq \f(X1＋X2＋…＋XM,M) eq \f(1,M) eq \o(∑,\s\up16(M),\s\do14(i＝1))Xi eq \f(Y1＋Y2＋…＋YN,N) eq \f(m,m＋n) eq \o(x,\s\up6(－))＋eq \f(n,m＋n) eq \o(y,\s\up6(－)) 2.总体平均数eq \o(W,\s\up16(－))＝_______________，样本平均数eq \o(w,\s\up6(－))＝_____________． 3．在比例分配的分层随机抽样中，总体平均数eq \o(W,\s\up16(－))可由样本平均数eq \o(w,\s\up6(－))来估计． eq \o(W,\s\up16(－))＝______________________＝________________________＝eq \o(w,\s\up6(－)). [注意]　在实际操作时，应先计算抽样比k＝eq \f(样本量,总体个数)，然后再计算每层需要抽取的个数：抽样比×该层个体数目＝eq \f(样本量,总体个数)×该层个体数目． eq \f(\o(∑,\s\up16(M),\s\do14(i＝1))Xi＋\o(∑,\s\up16(N),\s\do14(i＝1))Yi,M＋N) eq \f(\o(∑,\s\up16(m),\s\do14(i＝1))xi＋\o(∑,\s\up16(n),\s\do14(i＝1))yi,m＋n) eq \f(M,M＋N) eq \o(x,\s\up6(－))＋eq \f(N,M＋N) eq \o(y,\s\up6(－)) (2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为eq \f(100,500)＝eq \f(1,5)，则在不到35岁的职工中抽取125×eq \f(1,5)＝25(人)； 在35岁至49岁的职工中抽取280×eq \f(1,5)＝56(人)； 在50岁及50岁以上的职工中抽取95×eq \f(1,5)＝19(人)． (3)在各层分别按随机数法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本． 解：采用比例分配的分层随机抽样的方法，抽样比为eq \f(60,12000)＝eq \f(1,200). “很喜爱”的有2435人，应抽取2435×eq \f(1,200)≈12(人)； “喜爱”的有4567人，应抽取4567×eq \f(1,200)≈23(人)； “一般”的有3926人，应抽取3926×eq \f(1,200)≈20(人)； “不喜爱”的有1072人，应抽取1072×eq \f(1,200)≈5(人)． 因此，采用比例分配的分层随机抽样方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”的人中应分别抽取12人、23人、20人、5人． 解　(1)分配比例为eq \f(310,7200＋11800＋12000)＝eq \f(1,100)，所以在高中生、初中生、小学生中分别抽取了7200×eq \f(1,100)＝72(人)，11800×eq \f(1,100)＝118(人)，12000×eq \f(1,100)＝120(人)．总样本量为310的学生的近视率为eq \f(72,310)×80%＋eq \f(118,310)×70%＋eq \f(120,310)×36%≈59%.在比例分配的分层随机抽样中，我们直接用样本平均数估计总体平均数，所以可以估计该地区全体中小学生的近视率为59%. (2)抽取的样本的近视率是eq \f(1,60＋100＋150)×(60×80%＋100×70%＋150×36%)≈55%. 用各层的样本平均数估计该层的总体平均数，由总体中的个体数为7200＋11800＋12000＝31000，得总体平均数为eq \f(7200,31000)×80%＋eq \f(11800,31000)×70%＋eq \f(12000,31000)×36%≈59%，即该地区全体中小学生的近视率约为59%. 【感悟提升】　 (1)在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的总体平均数分别为eq \o(X,\s\up16(－))和eq \o(Y,\s\up16(－))，样本平均数分别为eq \o(x,\s\up6(－))和eq \o(y,\s\up6(－))，则总体平均数为eq \f(M\o(X,\s\up16(－))＋N\o(Y,\s\up16(－)),M＋N)，样本平均数为eq \f(m\o(x,\s\up6(－))＋n\o(y,\s\up6(－)),m＋n). (2)在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总体平均数． 解析：因为分层随机抽样是按比例分配，所以根据公式得该校教师平均微信步数为eq \f(160,160＋140)×12500＋eq \f(140,160＋140)×8600＝10680.故选B. 解析：这3000个数的平均数为eq \f(78.1×800＋85×1300＋91.9×900,3000)＝85.23，用样本平均数去估计总体平均数，则这4万个数的平均数约为85.23. 请按自己的感受把下面这些学科的序号填在表格里． ①语文　②数学　③外语　④物理　⑤化学　⑥生物　⑦历史　⑧地理　⑨政治　⑩体育　⑪艺术(音乐、美术)　⑫技术 我喜欢的学科 我感觉压力最大的学科 我不喜欢的学科 我觉得有用的学科 我觉得内容多的学科 我觉得内容少的学科 解析：先求抽样比eq \f(n,N)＝eq \f(90,3600＋5400＋1800)＝eq \f(1,120)，再各层按抽样比分别抽取，则甲校抽取3600×eq \f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq \f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq \f(1,120)＝15(人)．故选B. 解析：样本的平均数eq \o(w,\s\up6(－))＝eq \f(45,45＋35)×4＋eq \f(35,45＋35)×8＝5.75. 解：由题意可得，抽取的样本量为60＋40＝100，则估计本校全体学生的平均收看时长为120×eq \f(60,100)＋160×eq \f(40,100)＝136(分钟)． 一、选择题 1．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是(　　) A．eq \f(1,24) B．eq \f(1,36) C．eq \f(1,60) D．eq \f(1,6) 解析：在比例分配的分层随机抽样方法中，每个个体被抽取的可能性都相等，且为eq \f(样本量,总量)，所以每个个体被抽取的可能性是eq \f(20,120)＝eq \f(1,6). 解析：由比例分配的分层随机抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取的个数为21×eq \f(1,7)＝3，21×eq \f(2,7)＝6，21×eq \f(4,7)＝12.故选C. 解析：根据比例分配的分层随机抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检54×eq \f(100,20＋100＋15)＝40(家)． 解析：估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为eq \f(20,20＋30)×8＋eq \f(30,20＋30)×9＝8.6.故选C. 5．(多选)比例分配的分层随机抽样是将总体分成若干个互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法正确的是(　　) A．甲应付51eq \f(41,109)钱 B．乙应付32eq \f(24,109)钱 C．丙应付16eq \f(56,109)钱 D．三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 解析：由比例分配的分层随机抽样方法可知，抽样比为eq \f(100,560＋350＋180)＝eq \f(10,109)，则甲应付eq \f(10,109)×560＝51eq \f(41,109)(钱)，乙应付eq \f(10,109)×350＝32eq \f(12,109)(钱)，丙应付eq \f(10,109)×180＝16eq \f(56,109)(钱)．故选ACD. 解析：设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4800－x)件．由题意，得eq \f(50,80)＝eq \f(4800－x,4800)，解得x＝1800. 解析：解法一：由题意可得eq \f(70,n－70)＝eq \f(3500,1500)，解得n＝100. 解法二：由题意，抽样比为eq \f(70,3500)＝eq \f(1,50)，总体的个体数为3500＋1500＝5000，故n＝5000×eq \f(1,50)＝100. (1)求a，b； (2)求这40名科级干部预测成绩的平均分eq \o(x,\s\up6(－)). 解：(1)样本量与总体的个体数的比为eq \f(40,320＋1280)＝eq \f(1,40)，则抽取的正科级干部的人数为a＝320×eq \f(1,40)＝8，副科级干部的人数为b＝1280×eq \f(1,40)＝32. (2)这40名科级干部预测成绩的平均分为eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(80×8＋70×32,40)＝72. 10．某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 女生 487 x y 男生 513 560 z 已知高二年级女生的人数占全校学生人数的eq \f(9,50). (1)问高二年级有多少名女生？ (2)现对各年级用比例分配的分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？ 解：(1)由eq \f(x,3000)＝eq \f(9,50)得x＝540， 所以高二年级有540名女生． (2)高三年级人数为y＋z＝3000－(487＋513＋540＋560)＝900，所以eq \f(300,3000)×900＝90，故应从高三年级抽取90名学生． 其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的eq \f(3,5)，为了了解各个年级的学生对两个社团活动的满意程度，采取分层随机抽样(样本量按比例分配)的方法，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人． 解析：解法一：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的eq \f(3,5)，故“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的eq \f(2,5)，所以“剪纸”社团的人数为800×eq \f(2,5)＝320.因为“剪纸”社团中高二年级人数的比例为eq \f(y,x＋y＋z)＝eq \f(3,2＋3＋5)＝eq \f(3,10)，所以“剪纸”社团中高二年级的人数为320×eq \f(3,10)＝96.由题意，知抽样比为eq \f(50,800)＝eq \f(1,16)，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×eq \f(1,16)＝6. 解法二：因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的eq \f(3,5)，故“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的eq \f(2,5)，所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团的人数为50×eq \f(2,5)＝20.又“剪纸”社团中高二年级人数的比例为eq \f(y,x＋y＋z)＝eq \f(3,2＋3＋5)＝eq \f(3,10)，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×eq \f(3,10)＝6. 解：(1)由题意，得 eq \f(6,100＋200)＝eq \f(n,200＋400＋800＋100＋100＋400)， 解得n＝40. (2)年龄在35岁及以上的人数为eq \f(5,500)×100＝1，年龄在35岁以下的人数为eq \f(5,500)×400＝4. 解：该校共有学生1200＋960＋840＝3000(人)，抽样比为eq \f(100,3000)＝eq \f(1,30)， 高一年级应抽取1200×eq \f(1,30)＝40(人)， 高二年级应抽取960×eq \f(1,30)＝32(人)， 高三年级应抽取840×eq \f(1,30)＝28(人)． 估计该校全体学生本次问卷测试成绩的平均分为eq \f(40,100)×85＋eq \f(32,100)×80＋eq \f(28,100)×90＝84.8(分)． 解：(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应采用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样． 因为样本量为120，总体个数为500＋3000＋4000＝7500，则抽样比为eq \f(120,7500)＝eq \f(2,125)，所以有500×eq \f(2,125)＝8，3000×eq \f(2,125)＝48，4000×eq \f(2,125)＝64，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64. 比例分配的分层随机抽样的步骤： ①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层； ②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64； ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本； ④综合每层抽样，组成样本． 这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论． $$