10.2 事件的相互独立性-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案word（人教A版2019）

享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 第十章概率 10.2事件的相互独立性 斋课标新学法教师独具内容 课程标准：1结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义2.结合古典概型，利用独 立性计算概率， 教学重点：相互独立事件的含义和相互独立事件同时发生的概率公式， 教学难点：对事件独立性的判定，以及能正确地将复杂的概率问趣转化为几类基本概率模型， 核心素养：1通过相互独立事件的概念的学习发展数学抽象素养2通过相互独立事件概率的 计算提升数学运算素养. 核心概念掌握 知识点一相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B,如果P(4B)=splO1P4OPB成立，则称事件A与事件B相互独 立，简称为独立， 知识点二相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立，那么A与，与B,与也都相互独立. [拓展]对于n个事件41,42，…，Am,如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是 否发生的影响，则称n个事件41，A2,…,An相互独立，则P(442A)=P(A1P(42少…P 4n). 评价自测 1.(相互独立事件的判断)一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全 相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示“第一次摸到白球”，4A2表示“第二次摸到白球” ,则A1与A2是() A.相互独立事件 B.不相互独立事件 1 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2Xk.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 C.互斥事件 D.对立事件 答案：A 2.(独立事件概率的计算)一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那 么其中恰有一次通过的概率是( A.14 B.13 C.12 D.34 答案：C 3.(独立事件概率的计算)在某道路A,B,C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿 灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概 率为 答案：35192 核心素养形成 小组 题型一事件独立性的判断 例1判断下列事件是否为相互独立事件. ()甲组3名男生，2名女生：乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参 加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球” 与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的是白球” [解（①）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一 事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件. (②)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩 下的7个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为47：若前一事件没有发生，则后一事 件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不 是相互独立事件. 【感悟提升】两个事件是否相互独立的判断 2 享学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (直接法》 由事件本身的性质直接判定两个事件发 生是否相互影响 如果事件A,B同时发生的概率等于事 定义法 件A发生的概率与事件B发生的概率的 积，则事件A,B为相互独立事件 【跟踪训练】 1.(I)下列各组事件中，A,B是相互独立事件的是() A.一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面”，B=“第二次为反面” B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次 摸到白球” C.掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数” D.A=“一个节能灯泡能用1000小时”，B=“一个节能灯泡能用2000小时” 答案：A 解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故A 中事件A,B是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立：对 于C,事件A,B应为互斥事件，不相互独立：D中事件B受事件A的影响，故选A (2)甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A=“甲击中目标”，事件B=“乙击中目 标”，则事件A与事件B() A.相互独立但不互斥 B.互斥但不相互独立 C.相互独立且互斥 D.既不相互独立也不互斥 答案：A 解析：对同一目标射击，甲、乙两射击手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B 相互独立：对同一目标射击，甲、乙两射击手可能同时击中目标，也就是说事件A与事件B 可能同时发生，所以事件A与事件B不是互斥事件，故选A 小组 题型二相互独立事件概率的计算研习 例2根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购 买甲、乙两种保险相互独立，各车主间相互独立 3 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ()求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率： (2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率. [解]记事件A=“购买甲种保险”，事件B=“购买乙种保险”，则由题意，得A与B,A 与，与B,与都是相互独立事件，且P4)=0.5,PB)=0.6 (I)记事件C=“同时购买甲、乙两种保险”，则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)PB)=0.5 ×0.6=0.3 (2)记事件D=“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D=B,所以PD)=P(B)=P() P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3 【感悟提升】求相互独立事件同时发生概率的步骤 ()①首先确定各事件之间是相互独立的： ②确定这些事件可以同时发生： ③求出每个事件的概率，再求积。 (②)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相 互独立的，而且它们同时发生， 【跟踪训练】 2.(2024广东中山一中高一下月考)某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、 乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为25,34,13，若对 这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求： ()三人都合格的概率： (2)三人都不合格的概率： (③)三人中恰有两人合格的概率， 解：设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独 立，且P(A)=25,P(B)=34,P(C=13 设恰有k人合格的概率为P(k=0,1,2,3). (1)三人都合格的概率P3=PABC)=P(A)P(B)P(C)=25×34×13=110 (2)三人都不合格的概率P。=P()=P()P()P()=35×14×23=110 (3)三人中恰有两人合格的概率P2=P(AB)+P(4C)十P(BC)=25×34×23+25×14X13 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 +35×34×13=2360 题型三相互独立事件概率的综合应用器 例3三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,34,34，将它们中的某两个元件并联 后再和第三个元件串联接入电路， ()如图所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？ (2)三个元件连成怎样的电路，才能使电路不发生故障的概率最大？ [解]记“三个元件T1,T2,T正常工作”分别为事件A1,A2:A 则P(41)=12,P(42)=34,P(4)=34 (I)电路不发生故障的事件为(A2UA341, 所以电路不发生故障的概率为P=P[(42UA)4]=P(A2UA)PA1)=[1-P()·P(3P(A) =avs4 alcol(1-f114)×12=1532 (2)把T2与T1的位置互换，则电路不发生故障的事件为(41UA3)42, 所以电路不发生故障的概率为P=P[(A1UA3)4]=P(41UA)PA2)=[1一P(1)P(3]PA2)= als4alcol(1-\f(114)X 34=2132 因为T2和T3正常工作的概率是相同的，所以T3与T1互换与上述情况相同.又P~P,所以 把T2或T,与T1的位置互换，即T1与T(T)并联后再与T3(T2)串联，这样能使电路不发生故 障的概率最大 【感悟提升】求较为复杂事件的概率的方法 (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示， (②)理清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立，或者是相互独立），列出关系式， (③)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算， (4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出 符合条件的事件的概率， 【跟踪训练】 5 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b2xXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 3.(2024浙江宁波慈溪市高一下期末)为了纪念中国古代数学家祖冲之在圆周率上的贡献，联 合国教科文组织第四十届大会上把每年的3月14日定为“国际数学日”2024年3月14日， 某学校举行数学文化节活动，其中一项活动是数独比赛（注：数独是源自18世纪瑞士的一种 数学游戏，又称九宫格)，甲、乙两位同学进入了最后决赛，进行数独王的争夺.决赛规则如 下：进行两轮数独比赛，每人每轮比赛在规定时间内做对得1分，没做对得0分，两轮结束 总得分高的为数独王，得分相同则进行加赛，根据以往成绩分析，已知甲每轮做对的概率为 0.8,乙每轮做对的概率为0.75，且每轮比赛中甲、乙是否做对互不影响，各轮比赛甲、乙是 否做对也互不影响。 (1)求两轮比赛结束，乙得分为1分的概率； (2)求不进行加赛甲就获得数独王的概率. 解：设A,=“甲第i轮做对”=1,2)，B,=“乙第i轮做对”(=1,2)，C,=“两轮比赛甲 得1分”1=0,1,2)，D,=“两轮比赛乙得1分”(=0,1,2) (1)PD)=PB1zU1B2)=PB12)+P(B)=PB)P(2)+P(P(B2)=34×14+14×34 =38, 所以两轮比赛结束，乙得分为1分的概率为38. (2)设E=“不进行加赛甲就获得数独王” PD)=P(12) =P()P() =14×14=116, P(C)=P(A12U4) =P(A1)+P(42) =P41)P2)+P()P42) =45×15+15×45=825, P(C2)=P(A42)=P(41)P42)=45×45=1625, P(E)=P(C2D]U C2DoU CiDo)=P(C2D )P(C2Do)+P(C Do)=P(C2)P(D)+P(C2)P(Do)+ P(C1)P(D)=1625×38+1625×116+825×116=310, 所以不进行加赛甲就获得数独王的概率为310 6 草学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 随堂水平达标 1.若P(4B=19,P()=23,PB=13,则事件A与B的关系是() A.事件A与B互斥 B.事件A与B互为对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又独立 答案：C 解析：，P(4)=1-P()=1-23=13,∴P(AB=P(A)P(B),∴.事件A与B相互独立 2.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同 时中靶的概率是() A.1425 B.1225 C.34 D.35 答案：A 解析：由题意，知P甲=810=45，P乙=710，由于甲、乙中靶是相互独立事件，所以P时时 中和=P甲P乙=1425.故选A 3.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目 标的概率为) A.0.64 B.0.32 C.0.56 D.0.48 答案：B 解析：设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,则“两人各射击一次，恰好有 一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（即A),另一种是甲未击中、乙击 中（即B),根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互 斥的，所以所求概率为P=P(4)+P(B)=P(4)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8) ×0.8=0.32.故选B 4.加工某零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170,169,168，且 各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 草学科网书城 品牌书店，知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 答案：370 解析：加工出来的零件的正品率为lavs4 alcol(1-f170)×lavs4 alcol(1一fl69)X1 avs4a1co1(1-168)=6770,所以次品率为1-6770=370. 5.在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种 植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45,56,23，且三个项目是否成功相互独 立 (1)求恰有两个项目成功的概率： (2)求至少有一个项目成功的概率。 解：设事件A=“投资农产品加工项目成功”，事件B=“投资绿色蔬菜种植项目成功”， 事件C=“投资水果种植项目成功”，则P(4)=45,P(B)=56,P(C=23 (1)恰有两个项目成功的概率为P(AB)+P(AC)+P(BC)=45×56×alws41aco1(1一 f23)+45×aws4aco1(1-56×23+as4 alcol1-f45)×56×23=1945 (2),P )=lavs4alco1(1-y45》×aws4alco1(1-y56)×lavs4 alcol(1-f23)= 190, .至少有一个项目成功的概率为1一P()=1一190=8990. 课后课时精练 基础题（占比606中档题（占比30% 拔高题（占比10%） 题号 2 5 6 7 9 难度 ★ ★ ★ 羊 ★ ★ 相互独 相互独 相互独 相互独 相互独 相互独 相互独 相互独 立事件 相互独 立事件 立事件 立事件 立事件 立事件 立事件 立事件 对点 的性质 立事件 概率的 概率的 的性质 概率的 概率的 概率的 概率的 及概案 的定义 综合应 综合应 及概率 计算 计算 计算 计算 计算 用 用 计算 题号 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 相互独 相互独 相互独 根据相互独立事 相互独 相互独 相互独立事件概 8 令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 立事件 立事件 立事件 件的定义求参数 立事件 立事件 率的综合应用 概率的 概率的 概率的 的值 概率的 概率的 综合应 综合应 计算 综合应 计算及 用 用 用 判断 A级“四基”巩固训练 一、选择题 1.若A,B是相互独立事件，且P4)=14,P(B)=23,则P(4)=() A.112 B.16 C.14 D.12 答案：A 解析：，A,B是相互独立事件，且P(4)=14,P(B)=23,则A与也是相互独立事件，∴P (4)=P(4)P()=14×13=112.故选A 2.己知A,B是两个相互独立事件，P4),PB)分别表示它们发生的概率，则1一P4)PB) 表示() A.事件A,B同时发生的概率 B.事件A,B至少有一个发生的概率 C.事件A,B至多有一个发生的概率 D.事件A,B都不发生的概率 答案：C 解析：P(4)P(B)是指A,B同时发生的概率，1一P(4)PB)是指A,B不同时发生的概率，即至 多有一个发生的概率，故选C 3.某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙两人同时从A站上车，准备在B站、 D站和G站中的来个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、 乙两人在不同站点下车的概率为() A.14 B.13 C.23 D.34 答案：C 9 亨学科网书城 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：两人在相同站点下的概率为13×13×3=13，所以甲、乙两人在不同站点下车的概率 为P=1-13=23故选C 4.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两 局才能获得冠军。若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为() A.34 B.23 C.35 D.12 答案：A 解析：问题等价为两类：第一类，只需比赛1局，甲赢，其概率P1=12:第二类，需比赛2 局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P=12×12=14故甲队获得冠军的概率为P1十P2= 34.故选A 5,(多选)小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互 不影响，文学社面试成功的概率为13，话制社面试成功的概率为12，辩论社面试成功的概率 为23，则() A.文学社和话制社均面试成功的概率为56 B.话剧社与辩论社均面试成功的概率为13 C.有且只有辩论社面试成功的概率为29 D.三个社团至少一个面试成功的概率为9 答案：BCD 解析：对于A,根据题意，文学社和话剧社均面试成功的概率为P1=13×12=16,所以A不 正确：对于B,根据题意，话剧社与辩论社均面试成功的概率为P2=12×23=13,所以B正 确：对于C,根据题意，有且只有辩论社面试成功的概率为P,=las4acol(1一f13)× avs4 alcol(1一12)×23=29，所以C正确；对于D,三个社团面试都不成功的概率为P4 =23×12×13=19,所以三个社团至少一个面试成功的概率为P=1一P4=89,所以D正确.故 选BCD 二、填空题 6.某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门.一次该人碎酒回家，每次从8 把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是 答案：40512 10