精品解析：云南省宣威市第七中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

云南省宣威市第七中学2024-2025学年上学期期中考试 高二 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两个向量，，且，则值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ） A B. C. D. 3. 在平行六面体中，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 6. 已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，为椭圆上动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. 点B到平面的距离是2 C. 异面直线与所成角的余弦值 D. 点O到直线的距离是 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点，则（ ） A. 的标准方程为 B. C. 四边形的周长随的变化而变化 D. 当不与的上、下顶点重合时，直线的斜率之积为 11. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 的最小值为5 C. 当时，则抛物线在点处的切线方程为 D. 过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，则的取值范围是______. 13. 在三棱锥中，在线段上，满足是平面内任意一点，，则实数__________. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于______. 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中点，作于点F．求证： （1）平面EDB； （2）平面EFD． 16 已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 17. 已知圆C：和定点，直线l：（）. （1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长； （2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 18. 已知动点到直线距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为． （1）求曲线、的方程； （2）经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程． 19. 已知椭圆过点，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）直线：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省宣威市第七中学2024-2025学年上学期期中考试 高二 数学 注意事项: 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可求得，进而得到结果. 【详解】，，，，. 故选：C. 2. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可. 【详解】. 故选：B. 3. 在平行六面体中，为的中点，若，则（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，由空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解 【详解】由题意可作出平行六面体，如图， 则， 即，故A正确. 故选：A. 4. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性质结合题意求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为， 故选：A 5. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率公式和倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】解：因为直线经过， 所以经过该两点的直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 故选：D 6. 已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所过点以及倾斜角直接写出直线方程. 【详解】因为直线过点，且倾斜角是，所以，即， 故选：C. 7. 已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出点M，点N是两个圆的公共点，所以将两圆直接作差即可得到公共弦所在直线方程. 【详解】由题得，，设，∵，∴点M在圆：上． ∵，∴，整理得， ∴点M也在圆：上，同理点N也在这两个圆上， ∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为， 故选：A． 8. 已知，为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用点差法可得，因为点为直线与圆的切点，所以，可求解. 【详解】设， 设直线，且， 则，作差得：， 由，所以，① 因为点为直线与圆的切点，所以，② 由①②消去可得，解得. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用点差法解决圆锥曲线中点弦有关问题，以及圆的切线有关性质的灵活运用. 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在空间直角坐标系中，，则（ ） A. B. 点B到平面的距离是2 C. 异面直线与所成角的余弦值 D. 点O到直线的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知，选项A，可以通过三点的坐标，直接计算即可验证；选项B，可先求解平面的法向量，然后再利用点到平面距离公式即可求解；选项C，分别表示出异面直线与的方向向量，然后利用向量数量积计算夹角即可；选项D，先计算在上的投影，然后再计算点到直线的距离. 【详解】因为，所以，A错误． 在空间直角坐标系中，结合A与C两点的坐标可知y轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点B到平面的距离是，B正确． 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误． 因为，所以，所以点O到直线的距离是．D正确． 故选：BD. 10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点，则（ ） A. 的标准方程为 B. C. 四边形的周长随的变化而变化 D. 当不与的上、下顶点重合时，直线的斜率之积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意求出即可判断A；根据椭圆的定义结合基本不等式即可判断B；根据椭圆的定义即可判断C；设，结合在椭圆上化简即可判断D. 【详解】对于A，由题意知，解得， 故的标准方程为，A正确； 对于B，因为关于原点对称，且也关于原点对称， 所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； 对于C，， 故四边形的周长为，为定值，C错误； 对于D，设， 则， 因为在上，所以，整理得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 11. 已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 的最小值为5 C. 当时，则抛物线在点处的切线方程为 D. 过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接由抛物线标准方程即可判断；对于B，由抛物线定义结合三角形三边关系即可判断；对于C，设出切线方程（斜率为参数），联立抛物线方程由判别式为0即可验算；对于D，联立方程和抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可判断. 【详解】对于A，由题意抛物线：的准线方程为，故A正确； 对于B，如图所示： 过点向准线作垂线，设垂足为点，过点向准线作垂线，设垂足为点， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，点为与抛物线的交点，故B正确； 对于C，切点为，且切线斜率存在，所以设切线方程为， 联立抛物线方程得， 所以，解得， 所以当时，则抛物线在点处的切线方程为，故C错误； 对于D，由题意，所以， 所以直线，即，联立抛物线方程得， 所以，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知实数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 13. 在三棱锥中，在线段上，满足是平面内任意一点，，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量运算、四点共面等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 则 ， 由于四点共面，所以. 故答案为： 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上的点，若，，则椭圆的离心率等于______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义求出，由余弦定理求出方程，求出离心率. 详解】由椭圆定义可得，又， 故， 由余弦定理得， 故，故， 解得，故离心率为 故答案为： 四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，，E是PC的中点，作于点F．求证： （1）平面EDB； （2）平面EFD． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设，连接AC交BD于点G，连接EG，求得向量和，结合和线面平行的判定定理，即可证得平面． （2）由（1）求得，得到，根据，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面EFD． 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，设，连接AC交BD于点G，连接EG， 可得，，，， 因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为，所以， 又因为，所以，所以． 而平面，且平面，所以平面． 【小问2详解】 解：由（1）得，所以，， 可得，所以，即． 又由，且，所以平面EFD． 16. 已知点和点关于直线：对称． （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程； （2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】根据对称先求出B点坐标（1）过点B到点A距离最大的直线与直线AB垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C到直线AB的距离，又点C在直线上，可设出C点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C，又直线过点A，利用两点A、C即可求出直线的方程. 【详解】解：设点 则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为 （1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即. （2）由条件可知：，的面积为2，则的高为， 又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为. 直线方程为，设，则有，即或 又，解得： 或 则直线为：或 【点睛】本题考查求点关于直线的对称点，考查直线与直线相交的综合应用.. 方法点睛：（1）设出交点坐标 （2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组； （3）解出点坐标. 17. 已知圆C：和定点，直线l：（）. （1）当时，求直线l被圆C所截得的弦长； （2）若直线l上存在点M，过点M作圆C的切线，切点为B，满足，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式、勾股定理以及圆的几何性质求得弦长. （2）先求得点的轨迹方程，根据直线与圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 圆C：，圆心，半径， 当时，直线l的方程为， 所以圆心C到直线l的距离， 故弦长为. 【小问2详解】 设，则， 由，，得. 化简得， 所以点M的轨迹是以为圆心，8为半径的圆. 又因为点M在直线l：上，所以与圆D有公共点， 所以， 解得， 所以m的取值范围是. 18. 已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为． （1）求曲线、的方程； （2）经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）分析可知，曲线为抛物线，确定该抛物线的焦点坐标与准线方程，可得出曲线的方程，求出、的值，结合焦点位置可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程分别与曲线、的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理以及弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：由题意知，点到直线的距离等于， 所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为. 因为椭圆的长轴长，为椭圆的一个焦点，则，， 所以，，所以，曲线的方程为. 【小问2详解】 解：若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线的斜率必存在，则直线的方程为 由，整理得，则， 设、，则，， 所以，，则， 由，整理得， 则， 设、，则，， 所以， ， 因为，即，可得，解得， 所以，直线的方程为. 19. 已知椭圆过点，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）直线：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1）； （2）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及之间关系，列出等式进行求解即可； （2）将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，得到直线和的方程，推出两点的坐标，列出等式再进行验证即可. 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为，得，解得， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 则消去并整理得， 此时，即，设， 则， 直线的方程为，令，得点的纵坐标， 即点，同理得点， 由，得，即， 于是，整理得， 则，化简得， 解得或， 当时，直线的方程为，即，直线过定点，不符合题意； 当时，直线方程为，即，直线过定点， 所以直线经过定点. 【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$