江西省抚州市金溪县第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

用前 江西省2024一2025学年第二学期期中统一检测 高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 1.考查范因：选择性心必修第一册第一章至第五章占20%，第六章、第七章占20%，选择性必修第 注意事项： 二册第一章至第二章第三节占60%。 2答卷前，考生务心将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用根皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知f'(1)=1,则1im 1+2Ax)-1) 0 △x B.1 C.2 D.4 1 2.已知数列1a,满足a1=a,=1,若a2= 一-1，则a4= a+aa+l A片 1 C.1 D.2 (2n+1)(2n+3)则其前10项和为 2 3.已知数列{a,}满足a, 号 820 D.20 39 C 9 4.物理学上定义线密度为单位长度上的质量.某直鱼竿的总长度为6米，设x为鱼竿上一点到鱼钩 的距离（单位：米）(x)=4x2表示该点到鱼钩这一整段鱼竿的质量（单位：克），则该鱼竿在x=4 处的线密度为 A.8克每米 B.16克每米 C.24克每米 D.32克每米 5.某超市有3种足量的水果，现某一买家想要买5个水果，且每种水果至少1个，则不同的买 法种数为 A.3 B.6 C.12 D.15 6.细胞在适宜环境下的繁殖通常符合y=c,©”类型的模型，假设某种细胞的初始数量为©1，在理想 条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过x个单位时间后，细胞总数y(万个)会呈指数增 长.设z=ny,变换后得到线性回归方程=0.206x+à，已知该回归方程的样本中心为(4,1.42)、 则c,= A.ea s B.0.596 C.ea 20 D.0.206 高二数学第1页（共4页） Page 1 of 4 7.已知随机变量X-B(4,P),p∈(0,1)，且2P(X=2)=3P(X=1),则D[E(X)]+E[D(X)]= A.3 B.2 C.1 D.0 8.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率大于0的直线1交C于A,B两点（点A在第一象限 内)，若x轴上存在三点D,E,H满足AF|=|ADl,BE⊥EF,∠EBH=∠EFB,则|EH|·|DF= A.4 B.8 C.12 D.16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.电动汽车产业是我国的优势新型产业之一，某款电动汽车在一次上路测试中，速度（单位：千米 每小时)关于运行时间（单位：分钟）的关系可以用函数()=2-81+40(0≤1≤8)表示，则 A.该车速度在前8分钟内的平均变化率为0 B.该车速度的瞬时变化率逐渐减小 C.该车速度在第3分钟的瞬时变化率为2 D.可以用该车运行5分钟到5.01分钟之间的平均速度估算该车在1=5时的瞬时速度 10.化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度pH值时会 造成一定的误差，甲组的实验数据误差X和乙组的实验数据误差Y均符合正态分布，其中 X~(0.3,0.0001),Y-N(0.28,0.0004),已知正态分布密度函数(x)= 1罗，记x和Y √2r0 所对应的正态分布密度函数分别为(x)(x),则 A.∫(0.3)>f(0.28) B.甲组的实验数据误差相对于乙组更集中 C.P(X<0.28)+P(X≤0.32)=1 D.P(Y<0.31)<P(X<0.31) a 记S为数列Q,的前n项和，且为等差数列，为等比数列，4=1，则 Aa,=n(n+1) 2" B.不存在正整数m,对于任意的正整数r≠m,均有a,<am 7 C.S,216 D.对于任意的正整数n,均有S。<8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等比数列{a}中，a1,a4是方程x2-9x+8=0的两个根，则a2a,= 13.记Sn为数列1an}的前n项和，已知a,=3,且{Sn+a.}为公差为2的等差数列，则an= 14.已知数列{an}满足an=2(n=1,2,3,…,2025),现从{a。}中随机抽取两个不同项，则这两项之 和为3的倍数的概率为 高二数学第2页（共4页） Page 2 of 4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 5(13分)尼知西数)=-1 (1)求(x)的导函数f'(x): (2)求)在：=号处的切线方程 16.(15分)某高中开设“四季农耕"的劳动教育课程，课程包括播种和田间管理.学校对选择了这两 类课程的学生人数分布进行了统计，相关数据记录在如下表格中，但其中有几项缺失，已知有亏 的男生选择了播种课，统计表格如下， 性别 课程 合计 男生 女生 播种 160 田间管理 120 合计 400 (1)补全表格，并判断是否有99.9%的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关： (2)学校为了调研学生课程完成率是否存在与平均完成率偏差过大的情况，需计算偏差系数 (m),现给出以下两种数据处理方式.①(a)=三x-,②a(a)=月名x-,已知 随机调查了6名同学课程的完成率如下表，用两种处理方式分别计算学生任务完成率的偏 差系数()，并指出哪一种数据处理方式对大偏差数据的存在体现更明显.（数据处理方式 的偏差系数越大，对大偏差数据的存在体现越明显) 学生编号 1 2 3 5 6 完成率x% 50 70 60 66 72 84 附X2= n(ad-bc)2 (a+c)(b+d)(a+b)(c+d),n=a+b+c+d. P(x2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001 ko 2.706 3.841 6.635 10.828 高二数学第3页（共4页） Page 3 of 4 17.(15分)已知正项数列1a,1的前n项和S。满足a,S.=(n+1)a (1)求，的通项公式： (2)求数列1a。·a,1的前n项和T 18.(I7分)如I图，三棱锥P-ABC中，PA⊥PC,AB⊥BC,AB=BC=PA,M为棱PB的中点，点N满足 AC=3AN. (1)证明：平面PAB⊥平而MAC: (2)当MN⊥MC时 PM ()求1C的值： (i)求平面PAC与平面ABC夹角的余弦值， 19.(17分)已知数列1an}满足a1=1,a1=nan (1)求{a.}的通项公式： (2)现固定n的值且≥2，以k为变量（≤n且长eN),设数列6=，a,求6： axGa+1- (3)在第(2)问的基础上，设数列7= ~b始，au,固定n的值且满足4a+1=(2+1,teN, 求k取何值时，T取得最大值.（结果用含1的表达式表达） 高二数学第4页（共4页） Page 4 of 4书 高二数学　第１　页（共６页） 江西省２０２４—２０２５学年第二学期期中统一检测 高二数学参考答案及评分细则 １．【答案】Ｃ 【解析】ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（１＋２Δｘ）－ｆ（１） Δｘ ＝２ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（１＋２Δｘ）－ｆ（１） ２Δｘ ＝２ｆ′（１）＝２．故选Ｃ． ２．【答案】Ｃ 【解析】令ｎ＝１可得，ａ３＝ １ ａ１＋ａ２ －１＝－ １ ２ ；令ｎ＝２可得，ａ４＝ １ ａ２＋ａ３ －１＝１．故选Ｃ． ３．【答案】Ｄ 【解析】由题意可得ａｎ＝ ２ （２ｎ＋１）（２ｎ＋３） ＝ １ ２ｎ＋１ － １ ２ｎ＋３ ，故 ａ１＋ａ２＋…＋ａ１０＝ １ ３ －１ ５( ) ＋ １５－１７( ) ＋…＋ １２１－１２３( ) ＝１３－ １ ２３ ＝２０ ６９ ．故选Ｄ． ４．【答案】Ｄ 【解析】根据题设，可知鱼竿在ｘ处的线密度为ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ） Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ ４（ｘ＋Δｘ）２－４ｘ２ Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ （８ｘ＋４Δｘ）＝ ８ｘ，所以鱼竿在ｘ＝４处的线密度为ｆ′（４）＝８×４＝３２．故选Ｄ． ５．【答案】Ｂ 【解析】若３种水果按３，１，１分配，有３种买法；若３种水果按２，２，１分配，有３种买法，故共有６种买法．故选Ｂ． ６．【答案】Ａ 【解析】由题意得１．４２＝０．２０６×４＋^ａ，解得 ａ^＝０．５９６，因此 ｚ^＝０．２０６ｘ＋０．５９６，由ｙ＝ｃ１ｅ ｃ２ｘ两边取对数，得ｌｎｙ＝ｃ２ｘ＋ ｌｎｃ１，又ｚ＝ｌｎｙ，所以ｌｎｃ１＝０．５９６，即ｃ１＝ｅ ０．５９６．故选Ａ． ７．【答案】Ｃ 【解析】易得 Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ２４ｐ ２（１－ｐ）２，Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｃ１４ｐ（１－ｐ） ３，由 ２Ｐ（Ｘ＝２）＝３Ｐ（Ｘ＝１），得 １２ｐ２（１－ｐ）２＝ １２ｐ（１－ｐ）３，即ｐ（１－ｐ）２（２ｐ－１）＝０，由 ｐ∈（０，１）知 ｐ＝ １ ２ ，故 Ｘ～Ｂ４， １ ２( )，Ｅ（Ｘ）＝４×１２＝２，Ｄ（Ｘ）＝４×１２× １－ １ ２( ) ＝１，而Ｅ（１）＝Ｅ（０·Ｘ＋１）＝１，Ｄ（２）＝Ｄ（０·Ｘ＋２）＝０，故 Ｄ［Ｅ（Ｘ）］＋Ｅ［Ｄ（Ｘ）］＝Ｄ（２）＋Ｅ（１）＝１．故 选Ｃ． ８．【答案】Ｂ 【解析】如图，设ｌ：ｘ＝ｍｙ＋１，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），联立 ｙ２＝４ｘ， ｘ＝ｍｙ＋１{ 得ｙ２－４ｍｙ－４＝０，所以ｙ１ｙ２＝－４，ｙ１＋ｙ２＝４ｍ，所以 ｘ１ｘ２＝ （ｙ１ｙ２） ２ １６ ＝１，依题意，△ＦＥＢ∽△ＢＥＨ，所以 ＥＨ ＢＥ ＝ ＢＥ ＥＦ ，而 ＥＦ ＝１－ｘ２，ＢＥ ＝－ｙ２，所以 ＥＨ ＝ ｙ２２ １－ｘ２ ＝ 高二数学　第２　页（共６页） ４ｘ２ １－ｘ２ ，因为Ｆ（１，０），Ａ（ｘ１，ｙ１），所以Ｄ（２ｘ１－１，０），则 ＤＦ＝２ｘ１－２，所以 ＥＨ· ＤＦ＝ ４ｘ２ １－ｘ２ （２ｘ１－２）＝ ８－８ｘ２ １－ｘ２ ＝８． 故选Ｂ． ! " # $ % & ' ( ) ９．【答案】ＡＤ（每选对１个得３分） 【解析】函数ｖ（ｔ）＝ｔ２－８ｔ＋４０在［０，８］上的平均变化率为 ｖ（８）－ｖ（０） ８－０ ＝６４ －６４＋４０－４０ ８ ＝０，故Ａ正确；该车速度的瞬 时变化率即ｖ′（ｔ）＝ｌｉｍ Δｔ→０ ｖ（ｔ＋Δｔ）－ｖ（ｔ） Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （ｔ＋Δｔ）２－８（ｔ＋Δｔ）＋４０－ｔ２＋８ｔ－４０ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （２ｔ－８＋Δｔ）＝２ｔ－８，所以该车速 度的瞬时变化率逐渐增大，故Ｂ错误；由ｖ′（ｔ）＝２ｔ－８，故当 ｔ＝３时，ｖ′（ｔ）＝２×３－８＝－２，故 Ｃ错误；函数 ｖ（ｔ）在 ｔ＝５时的瞬时速度为ｌｉｍ Δｔ→０ ｖ（５＋Δｔ）－ｖ（５） Δｔ ，在现实生活中，可以用很小的 Δｔ近似替代，而 Ｄ中 Δｔ＝０．０１，符合条 件，可以用该车运行５分钟到５．０１分钟之间的平均速度估算该车在ｔ＝５时的瞬时速度，故Ｄ正确．故选ＡＤ． １０．【答案】ＡＢＣ（每选对１个得２分） 【解析】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标准差越 大，数据越分散，峰值越小，对于两个小组的误差，甲组的标准差 σ１＝ ０．槡 ０００１＝０．０１，乙组的标准差 σ２＝ ０．槡 ０００４＝０．０２，显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据误差相对乙组更集中，故Ａ，Ｂ正确；Ｐ（Ｘ＜０．２８）＝ Ｐ（Ｘ＜μ－２σ１）＝Ｐ（Ｘ＞μ＋２σ１），Ｐ（Ｘ≤０．３２）＝Ｐ（Ｘ≤μ＋２σ１），Ｐ（Ｘ＜０．２８）＋Ｐ（Ｘ≤０．３２）＝Ｐ（Ｘ＞μ＋２σ１）＋Ｐ（Ｘ≤ μ＋２σ１）＝１，故Ｃ正确；Ｐ（Ｙ＜０．３１）＝ＰＹ＜μ２＋ ３ ２σ２( ) ＞Ｐ（Ｙ＜μ２＋σ２）＝１２＋１２Ｐ（μ２－σ２＜Ｙ＜μ２＋σ２），Ｐ（Ｘ＜０．３１）＝ Ｐ（Ｘ＜μ１＋σ１）＝ １ ２ ＋１ ２ Ｐ（μ１－σ１＜Ｘ＜μ１＋σ１），而对于任何正态分布都有 Ｐ（μ１－σ１＜Ｘ＜μ１＋σ１）＝Ｐ（μ２－σ２＜Ｙ＜μ２＋ σ２），故Ｐ（Ｙ＜０．３１）＞Ｐ（Ｘ＜０．３１），故Ｄ错误．故选ＡＢＣ． １１．【答案】ＡＢＤ（每选对１个得２分） 【解析】对于Ａ，因为｛ ２ｎａｎ ｎ ｝为等差数列，取前３项知２，２ａ２， ８ ３ ａ３成等差数列，即４ａ２＝ ８ ３ ａ３＋２，因为｛ ａｎ ｎ（ｎ＋１） ｝为 等比数列，取前３项知 １ ２ ， ａ２ ６ ， ａ３ １２ 成等比数列，即２ａ２２＝３ａ３．代入４ａ２＝ ８ ３ ａ３＋２得４ａ２＝ １６ ９ ａ２２＋２，等价于８ａ ２ ２－１８ａ２＋ ９＝０，也即（２ａ２－３）（４ａ２－３）＝０，所以 ａ２＝ ３ ４ 或 ３ ２ ．若 ａ２＝ ３ ４ ，那么 ２ｎａｎ ｎ ＝５ －ｎ ２ ，所以 ａｎ＝ ｎ（５－ｎ） ２ｎ＋１ ，但 ａｎ ｎ（ｎ＋１） ＝ ５－ｎ （ｎ＋１）２ｎ＋１ 不为等比数列，所以假设不成立，则ａ２＝ ３ ２ ，得ａｎ＝ ｎ（ｎ＋１） ２ｎ ，检验得｛ ２ｎａｎ ｎ ｝为等差数列，｛ ａｎ ｎ（ｎ＋１） ｝为 高二数学　第３　页（共６页） 等比数列，故Ａ正确；对于Ｂ，也就是验证数列｛ａｎ｝是否存在唯一的最大值，令ａｎ＜ａｎ＋１，解得ｎ＜２，令ａｎ＞ａｎ＋１，解 得ｎ＞２，当ｎ＝２时，ａｎ＝ａ２＝ ３ ２ ，ａｎ＋１＝ａ３＝ ３ ２ ．所以ａ１＜ａ２＝ａ３＞ａ４＞ａ５＞…，也即最大值不唯一，因此不存在符合题 意的正整数ｍ，故Ｂ正确；对于 ＣＤ，因为 ａｎ＝ ｎ（ｎ＋１） ２ｎ ＝（２ｎ ２＋６ｎ＋８）－（ｎ２＋５ｎ＋８） ２ｎ ＝２· ｎ２＋３ｎ＋４ ２ｎ －２· ｎ２＋５ｎ＋８ ２ｎ＋１ ． 记ｂｎ＝２· ｎ２＋３ｎ＋４ ２ｎ ，注意到ｂｎ＋１＝２· ｎ２＋２ｎ＋１＋３ｎ＋３＋４ ２ｎ＋１ ＝２· ｎ２＋５ｎ＋８ ２ｎ＋１ ．所以ａｎ＝ｂｎ－ｂｎ＋１．于是Ｓｎ＝（ｂ１－ｂ２）＋（ｂ２－ ｂ３）＋…＋（ｂｎ－ｂｎ＋１）＝ｂ１－ｂｎ＋１＝８－ ｎ２＋５ｎ＋８ ２ｎ ，故 Ｓ５＝８－ ２５＋２５＋８ ２５ ＝９９ １６ ，故 Ｃ错误；因此对于任意的正整数 ｎ，均有 Ｓｎ＝８－ ｎ２＋５ｎ＋８ ２ｎ ＜８，故Ｄ正确．故选ＡＢＤ． １２．【答案】８ 【解析】由韦达定理可得ａ１ａ４＝８，由等比中项性质可得ａ２ａ３＝ａ１ａ４＝８． １３．【答案】２＋ １ ２ｎ－１ 写成 ２ｎ＋１ ２ｎ－１ 或２＋ １ ２( ) ｎ－１ 也正确( ) 【解析】由题意可得Ｓｎ＋１＋ａｎ＋１－Ｓｎ－ａｎ＝２ａｎ＋１－ａｎ＝２，故２ａｎ＋１－４＝２（ａｎ＋１－２）＝ａｎ－２，则｛ａｎ－２｝是公比为 １ ２ 、首项为 ａ１－２＝１的等比数列，故ａｎ－２＝ １ ２ｎ－１ ，即ａｎ＝２＋ １ ２ｎ－１ ． １４．【答案】 １０１３ ２０２５ 【解析】由题意可得ａｎ＝２ ｎ．记抽到的两项为ａｍ，ａｍ＋ｋ（ｋ∈Ｎ），则ａｍ＋ａｍ＋ｋ＝２ ｍ＋２ｍ＋ｋ＝２ｍ（２ｋ＋１）＝２ｍ［（３－１）ｋ＋１］＝ ２ｍ（３ｔ＋（－１）ｋ＋１），其中ｔ＝３ｋ－１＋Ｃ１ｋ·３ ｋ－２·（－１）１＋…＋Ｃｋ－１ｋ ·（－１） ｋ－１，为整数，当 ｋ为奇数时，ａｍ＋ａｍ＋ｋ＝２ ｍ·３ｔ， 此时二者之和为３的倍数；当ｋ为偶数时，ａｍ＋ａｍ＋ｋ＝２ ｍ（３ｔ＋２），此时二者之和不为３的倍数．下面讨论 ｍ，当 ｍ 为奇数时，共有 ２０２５－ｍ ２ 个 ｋ符合要求，则符合要求的可能共有 ２０２５－１ ２ ＋２０２５ －３ ２ ＋…＋ ２０２５－２０２５ ２ ＝ １０１２×１０１３ ２ 种，当ｍ为偶数时，共有 ２０２６－ｍ ２ 个 ｋ符合要求，则符合要求的可能共有 ２０２６－２ ２ ＋２０２６ －４ ２ ＋…＋ ２０２６－２０２４ ２ ＝１０１２ ×１０１３ ２ 种，故总数为１０１２×１０１３种，故所求概率Ｐ＝ １０１２×１０１３ Ｃ２２０２５ ＝１０１３ ２０２５ ． １５．解：（１）Δｙ＝ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）＝ ９ ４ （ｘ＋Δｘ）２－１－ ９ ４ ｘ２＋１＝ ９ ２ ｘΔｘ＋ ９ ４ （Δｘ）２，（２分） Δｙ Δｘ ＝ ９ ２ ｘΔｘ＋ ９ ４ （Δｘ）２ Δｘ ＝９ ２ ｘ＋ ９ ４Δ ｘ，（４分） 当Δｘ趋于０时，得到导函数ｆ′（ｘ）＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ） Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ ９ ２ ｘ＋ ９ ４Δ ｘ( ) ＝９２ｘ．（６分） （２）由（１）可知ｆ（ｘ）在ｘ＝ ２ ３ 处的导数为ｆ′ ２ ３( ) ＝９２×２３＝３，（８分） 高二数学　第４　页（共６页） 又因为ｆ ２ ３( ) ＝０，（１０分） 故ｆ（ｘ）在ｘ＝ ２ ３ 处的切线方程为ｙ＝３ｘ－２，整理得３ｘ－ｙ－２＝０．（１３分） 【评分细则】 本题直接求导，若过程结果无误不扣分． １６．解：（１）设男生有ｘ人，则 ４ ５ ·ｘ＝１６０，解得ｘ＝２００，所以选择田间管理课的男生人数为４０，（１分） 从而女生有２００人，女生中选择播种课的人数为８０人，（２分） 完善表格如图， 课程 性别 男生 女生 合计 播种 １６０ ８０ ２４０ 田间管理 ４０ １２０ １６０ 合计 ２００ ２００ ４００ （４分） χ２＝４００ ×（１６０×１２０－８０×４０）２ ２４０×１６０×２００２ ＝２００ ３ ＞１０．８２８，（６分） 故有９９．９％的把握认为不同劳动教育课程的选择与性别有关．（７分） （２）珋ｘ＝ ５０＋７０＋６０＋６６＋７２＋８４ ６ ＝６７，（９分） 根据①的计算公式计算：ｗ（６）＝ １ ６∑ ６ ｉ＝１ ｘｉ－珋ｘ＝ ５０ ６ ＝２５ ３ ；（１１分） 根据②的计算公式计算：ｗ（６）＝ １ ６∑ ６ ｉ＝１ （ｘｉ－珋ｘ）槡 ２＝ ３３１ ３槡 ＞ ２５ ３ ，（１３分） 因此方式②的偏差系数更大，从而方式②对大偏差数据的体现更加明显．（１５分） 【评分细则】 如有其他解法酌情给分． １７．解：（１）令ｎ＝１得ａ２１＝２ａ１，解得ａ１＝２，（１分） 故２Ｓｎ＝（ｎ＋１）ａｎ，２Ｓｎ＋１＝（ｎ＋２）ａｎ＋１，（２分） 两式相减得到２ａｎ＋１＝（ｎ＋２）ａｎ＋１－（ｎ＋１）ａｎ，（３分） 即ｎａｎ＋１＝（ｎ＋１）ａｎ，（４分） 故 ａｎ＋１ ｎ＋１ ＝ ａｎ ｎ ，于是｛ ａｎ ｎ ｝是常数列，（６分） 故 ａｎ ｎ ＝ ａ１ １ ＝２，故ａｎ＝２ｎ．（７分） （２）由（１）可得ａｎ·ａ２ｎ＝２ｎ·２×２ ｎ＝ｎ·２ｎ＋２，（９分） 故Ｔｎ＝１×２ ３＋２×２４＋…＋ｎ·２ｎ＋２，（１０分） ２Ｔｎ＝１×２ ４＋２×２５＋…＋（ｎ－１）·２ｎ＋２＋ｎ·２ｎ＋３，（１２分） 两式相减得到Ｔｎ＝ｎ·２ ｎ＋３－（２３＋…＋２ｎ＋２）＝ｎ·２ｎ＋３－ ２３－２ｎ＋３ １－２ ＝（ｎ－１）·２ｎ＋３＋８．（１５分） 高二数学　第５　页（共６页） 【评分细则】 １．第一问求解通项公式时也可以通过累乘法来求解，只要最终答案正确均给分； ２．第二问若最终考生答案不是最简形式扣１分． １８．（１）证明：由ＰＡ⊥ＰＣ，ＡＢ⊥ＢＣ可知ＡＣ２＝ＰＡ２＋ＰＣ２＝ＢＡ２＋ＢＣ２，由ＡＢ＝ＢＣ＝ＰＡ可知ＰＣ＝ＢＣ，（２分） 而点Ｍ为棱ＰＢ的中点，故ＣＭ⊥ＰＢ，同理可得ＡＭ⊥ＰＢ，（３分） 由ＭＡ平面ＭＡＣ，ＭＣ平面ＭＡＣ，ＭＡ∩ＭＣ＝Ｍ，可知ＰＢ⊥平面ＭＡＣ，（４分） 又因为ＰＢ平面ＰＡＢ，故平面ＰＡＢ⊥平面ＭＡＣ．（５分） （２）（ｉ）解：由题易知 ＭＣ，ＭＮ，ＭＰ两两垂直，以 Ｍ为坐标原点，ＭＣ，ＭＮ，ＭＰ所在直线分别为 ｘ，ｙ，ｚ轴，建立如 图所示的空间直角坐标系Ｍ－ｘｙｚ，（６分） 则Ｍ（０，０，０），记Ｃ（ｘ，０，０），Ｎ（０，ｙ，０），Ｐ（０，０，ｚ），ｘ，ｙ，ｚ＞０， ! " # $ % & ' ( ) 则Ｂ（０，０，－ｚ），Ａ－ ｘ ２ ， ３ｙ ２ ，０( )，（７分） ＰＡ→ ＝－ ｘ ２ ， ３ｙ ２ ，－ｚ( )，ＰＣ→ ＝（ｘ，０，－ｚ）， 由ＰＡ＝ＰＣ可知 － ｘ ２( ) ２ ＋３ｙ ２( ) ２ ＋（－ｚ）２＝ｘ２＋（－ｚ）２，解得ｘ＝槡３ｙ，（８分） 由ＰＡ⊥ＰＣ知ＰＡ→ ·ＰＣ→ ＝－ ｘ２ ２ ＋ｚ２＝０，解得ｚ＝槡 ２ ２ ｘ，（９分） 故 ＰＭ ＭＣ ＝ｚ ｘ ＝槡２ ２ ．（１０分） （ｉ）解：不妨设ｙ＝槡２，则ｘ＝槡６，ｚ＝槡３，于是Ａ－槡 ６ ２ ，槡 ３２ ２ ，０( )，Ｂ（０，０，－槡３），Ｐ（０，０，槡３），Ｃ（槡６，０，０）， ＣＡ→ ＝－槡３６ ２ ，槡 ３２ ２ ，０( )，ＣＢ→ ＝（－槡６，０，－槡３），ＣＰ→ ＝（－槡６，０，槡３）．（１１分） 设平面ＰＡＣ的法向量ｎ１＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），平面ＡＢＣ的法向量ｎ２＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）， 则 ＣＡ→ ·ｎ１＝０， ＣＰ→ ·ｎ１＝０，{ 即 －槡３６ ２ ｘ１＋ 槡３２ ２ ｙ１＝０， －槡６ｘ１＋槡３ｚ１＝０， { 可取ｎ１＝（１，槡３，槡２），（１３分） 由 ＣＡ→ ·ｎ２＝０， ＣＢ→ ·ｎ２＝０，{ 即 －槡３６ ２ ｘ２＋ 槡３２ ２ ｙ２＝０， －槡６ｘ２－槡３ｚ２＝０， { 可取ｎ２＝（１，槡３，－槡２），（１４分） 记平面ＰＡＣ与平面ＡＢＣ的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝ ｎ１·ｎ２ ｎ１ ｎ２ ＝ １ ＋３－２ １２＋（槡３） ２＋（槡２） ２ ＝１ ３ ，（１６分） 故平面ＰＡＣ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为 １ ３ ．（１７分） 【评分细则】 １．第二问用几何法求解，步骤结果无误给满分． ２．本题第二问建系方式可以多样化，只要最终答案正确均给分． 高二数学　第６　页（共６页） １９．解：（１）由题意得 ａｎ＋１ ａｎ ＝ｎ， ａｎ ａｎ－１ ＝ｎ－１，…， ａ２ ａ１ ＝１，（１分） 故ａｎ＝ａ１· ａ２ ａ１ · ａ３ ａ２ ·…· ａｎ ａｎ－１ ＝１×１×２×３×…×（ｎ－１）＝（ｎ－１）！，ｎ≥２，（３分） 将ａ１＝０！＝１代入也同样满足， 故｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝（ｎ－１）！．（４分） （２）因为ｋ≤ｎ，由题意可得ｂｋｎ＝ ａｎ ａｋａｎ＋１－ｋ ＝ （ｎ －１）！ （ｋ－１）！（ｎ－ｋ）！ ＝Ｃｋ－１ｎ－１，（６分） 故∑ ｎ ｋ＝１ ｂｋｎ＝Ｃ ０ ｎ－１＋Ｃ １ ｎ－１＋…＋Ｃ ｎ－１ ｎ－１＝２ ｎ－１，（８分） 故∑ ｎ ｋ＝１ ｂｋｎ＝２ ｎ－１．（９分） （３）因为４ｎ＋１＝（２ｔ＋１）２，ｔ∈Ｎ，可得ｎ≥２， 由题意得Ｔｋｎ＝ ｋ·ｂｋ＋１ｎ＋１·ａｋ＋１ ｎｋ＋１ ＝ ｋ·Ｃｋｎ·ｋ！ ｎｋ＋１ ＝ ｋ·ｎ！ｋ！ ｎｋ＋１·ｋ！（ｎ－ｋ）！ ＝ｋ（ｎ －１）！ ｎｋ（ｎ－ｋ）！ ，（１０分） 当ｋ＝１时，Ｔ１ｎ＝ １ ｎ ，当ｋ＝ｎ时，Ｔｎｎ＝ （ｎ－１）！ ｎｎ－１ ，（１１分） 当ｋ≥２时，要让Ｔｋｎ取得最大值，则有Ｔ ｋ ｎ≥Ｔ ｋ－１ ｎ ，Ｔ ｋ ｎ≥Ｔ ｋ＋１ ｎ ，即 Ｔｋｎ Ｔｋ－１ｎ ≥１， Ｔｋｎ Ｔｋ＋１ｎ ≥１，（１２分） 即 Ｔｋｎ Ｔｋ－１ｎ ＝ ｋ·（ｎ－１）！ ｎｋ·（ｎ－ｋ）！ （ｋ－１）·（ｎ－１）！ ｎｋ－１·（ｎ－ｋ＋１）！ ＝ｋ（ｎ －ｋ＋１） （ｋ－１）ｎ≥ １， Ｔｋｎ Ｔｋ＋１ｎ ＝ ｋ·（ｎ－１）！ ｎｋ·（ｎ－ｋ）！ （ｋ＋１）·（ｎ－１）！ ｎｋ＋１·（ｎ－ｋ－１）！ ＝ ｎｋ （ｋ＋１）（ｎ－ｋ）≥ １，（１４分） 当ｋ＝ｎ时，由于ｋ≤ｎ，不存在Ｔｋ＋１ｎ ，故分母不可能为０，即 －ｋ２＋ｋ＋ｎ≥０，① －ｋ２－ｋ＋ｎ≤０，②{ （１５分） 对于①，有Δ＝ １＋４槡 ｎ＞１，分析可得当ｋ≤ １＋４槡 ｎ＋１ ２ 时，Ｔｋｎ≥Ｔ ｋ－１ ｎ ≥…≥Ｔ ２ ｎ， 而 Ｔ２ｎ Ｔ１ｎ ＝２（ｎ －１） ｎ ≥ １，故在此之前数列一直递增， 对于②当ｋ≥ １＋４槡 ｎ－１ ２ 时，Ｔｋｎ≥Ｔ ｋ＋１ ｎ ≥…≥Ｔ ｎ－１ ｎ ， 而 Ｔｎ－１ｎ Ｔｎｎ ＝ｎ－１≥１，故在此之后数列一直递减， 即 １＋４槡 ｎ－１ ２ ≤ ｋ≤ １＋４槡 ｎ＋１ ２ ，（１６分） 又题干中ｎ满足４ｎ＋１＝（２ｔ＋１）２，ｔ∈Ｎ，故ｔ≤ｋ≤ｔ＋１， 因此，当ｋ＝ｔ或ｋ＝ｔ＋１时，Ｔｋｎ取得最大值．（１７分） 【评分细则】 第一问若考生未检验扣１分．