第四单元 正比例和反比例（七个重难点突破）-2024-2025学年六年级下册数学重难点专题突破（人教版）

第四单元 正比例和反比例 一、正比例的意义和辨识 二、反比例的意义和辨识 三、正比例的图像 四、正比例的应用 五、反比例的应用 六、运用正比例解决复杂问题 七、运用反比例解决复杂问题 知识点正比例和反比例 1、正比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为（一定）。 2、正比例图像的特点。 正比例图像是一条从原点出发的射线。从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。 3、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k（一定）。 重难点一 正比例的意义和辨识 【典例1】用数学的眼光看成语“立竿见影”是应用了比例的相关知识，即同一时间，同一地点，杆高和影长成（ ）（填“正”或“反”）比例。如果某一时刻一根竹竿高4米，影长2.6米，那么身高1.4米的明明同学在同一时刻，同一地点的影长是（ ）米。 【变式1-1】圆锥的底面积一定，体积与高成（ ）比例关系。如果把一个圆锥的底面半径增加25%，要使体积不变，则高要减少（ ）%。 【变式1-2】已知5＝（、均不为0），∶＝（ ），和成（ ）比例。 【变式1-3】x、y是两个相关联的量，如果，则x和y成（ ）比例。 重难点二 反比例的意义和辨识 【典例2】某杂志的单价一定，订阅费用与订阅数量成（ ）比例。圆周率一定，圆的半径和面积（ ）比例。 【变式2-1】工作总量一定时，工作效率和工作时间成（ ）比例；如果x＝6y，（x、y≠0），则x与y成（ ）比例。 【变式2-2】若a－b＝0，（a、b均不为0），a与b成（ ）比例关系；煤的数量一定，使用天数与平均每天的用煤量成（ ）比例关系。 【变式2-3】从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成（ ）比例关系，比值一定，比的前项和后项成（ ）比例关系。（均选填“正”或“反”） 重难点三 正比例的图像 【典例3】如图表示的是某款汽车行驶路程和耗油量之间的变化情况。根据图像判断，汽车行驶路程和耗油量成（ ）关系；5升汽油可以行驶（ ）千米。 【变式3-1】下边的图像表示一个水龙头打开后出水量与时间的关系。这个水龙头打开后的出水量和时间成（ ）比例，出水8升要用（ ）秒。 【变式3-2】下图是出租车所行的路程和时间图象。图中反映了当（ ）一定时，所行路程和时间成（ ）比例。照这样计算，这辆汽车8小时行（ ）千米。 【变式3-3】下图是一个水龙头打开后出水量情况统计图。 （1）根据下边的图象，这个水龙头打开的时间和出水量成（ ）比例。 （2）根据图象判断，35秒能出水（ ）升；出水9升要用（ ）秒。 重难点四正比例的应用 【典例4】在同一时刻和同一地点，量得身高180cm的张叔叔的影子长30cm，一棵树的影子长270cm。这棵树高（ ）m。 【变式4-1】李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯（ ）米。 【变式4-2】宁宁发现学校有一个漏水的水龙头，他记录了这个水龙头的滴水情况。 滴水量/毫升 … 时间/分 … （1）滴水量和时间成（ ）比例。 （2）宁宁在这个水龙头的下方放一个水桶，1小时可以接水（ ）升。 【变式4-3】如图，一个长方形被分成了四个小长方形，其中三个的面积为20、25和30（单位：平方厘米）。第四个小长方形的面积是（ ）平方厘米。 重难点五反比例的应用 【典例5】下表中，若和成正比例，则※代表的数是（ ），若和成反比例，则※代表的数是（ ）。 2 3 5 ※ 【变式5-1】同学们通过《有趣的平衡》研究了“杠杆原理”，我们发现，如果左边在刻度4上放3个棋子，那么右边刻度数和所放棋子数的乘积等于（ ）才能保证平衡。 【变式5-2】某两个城市间高铁的平均行驶速度与驶完全程所需时间如下表。 平均速度/（千米/时） 230 240 250 260 270 280 … 时间/时 6.25 6 … （1）这两个城市间高铁铁路全长（ ）千米。 （2）如果用v表示高铁的平均速度，t表示驶完全程所需时间。t与v成（ ）比例关系，写出这个关系式是（ ）。 【变式5-3】小丁去买笔和作业本，笔1元/支，作业本0.5元/本。第一次他买笔花的钱与买作业本花的钱相同，第二次他买笔的数量与买作业本的数量相同，若他第一次与第二次花的钱一样多，则他每次至少花 元。 重难点六运用正比例解决复杂问题 【典例6】东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 （1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成（    ）比例关系。 （2）当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？（用比例解答） 【变式6-1】如图表示的是一根水管不停地向水箱注水，水箱内水的体积的变化情况。 （1）看图填表。 注水时间/分 5 8 13 水的体积/Ｌ 10 20 46 （2）当22分钟时，水箱内有水（    ）升。 （3）图中的A点表示（    ）分钟时，注入水箱内水的体积是（    ）升；B点表示（                          ）。 【变式6-2】今年暑假，小明一家三口准备驾车从郑州到南阳游玩。下面的图像表示的是爸爸驾车所行驶路程和耗油量的情况。 （1）汽车的耗油量与所行驶路程成什么比例关系？为什么？ （2）根据下图估一估，汽车行驶65千米的耗油量大约是（    ）升。如果耗油8升，大约行驶（    ）千米。 （3）如果爸爸驾驶这辆车沿着高德地图规划的路线，从郑州到南阳大约行驶400千米，需要耗油多少升？    重难点七运用反比例解决复杂问题 【典例7】某两个城市间火车的平均行驶速度与驶完全程所需时间如下表。 平均速度/（千米/时） 270 260 250 200 180 150 … 时间/时 5 5.2 6.5 … （1）这两个城市间铁路全长多少千米？ （2）如果用v表示火车的平均速度，t表示驶完全程所需时间。t与v成什么比例关系？你能写出这个关系式吗？ （3）如果火车的平均速度为325千米/时，驶完全程需要多长时间？ 【变式7-1】下图是长方形相邻两条边长与宽的变化情况。 （1）根据上图，填写下表。 长/厘米 12 宽/厘米 4 （2）如果用a、b分别表示长方形的长与宽，根据上图，用字母表示出它们之间的关系是（    ），长方形的长与宽成（    ）比例关系。 （3）如果长方形的长是15厘米，那么长方形的宽是多少厘米？ 【变式7-2】给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下。 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 … 所需地砖的数量/块 300 150 100 60 50 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量有什么关系？ （2）如果每块地砖的面积是0.4平方米，铺这一地面需要多少块地砖？ （3）铺这一地面用了200块地砖，所用的地砖每块面积是多大？ 一、填空题 1．如果y＝5x，那么x和y成（ ）比例，如果＝，那么x和y成（ ）比例。 2．（a、b、c都是不等于0），当b一定时，a与c成（ ）比例，当a一定时，b与c成（ ）比例。 3．把相同体积的水倒入底面积不同的长方体容器中，变化情况如下表： 底面积/cm2 10 15 20 25 … 水高度/cm 45 30 22.5 18 … 如果长方体容器底面积用S表示，水的高度用h表示，S和h成（ ）比例；如果底面积30cm2，水高度是（ ）cm。 4．如表中m和n是两个相关联的量。 （1）当时，m与n成（ ）比例关系。 m 6 x n 3 （2）当x＝（ ）时，m与n成反比例关系。 5．下图中，如果A与B成正比例，则＝（ ）；如果A与B成反比例，则＝（ ）。 A B 20 6．下面表中，若x和y成正比例，则※代表的数是（ ），若x和y成反比例，则※代表的数是（ ）。 x 2 y 5 ※ 7．王老师带了一些钱去购买体育器材，如果买现价56元的篮球，正好可以买6个。如果买现价24元的足球，能买（ ）个。该题目中（ ）是一定的，两种相关联的量是（ ）和（ ），它们成（ ）关系。 8．把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水的高度关系的图像如下图： （1）杯子的底面积和水的高度成（ ）比例关系。 （2）杯子的底面积是15平方厘米时水的高度是（ ）厘米；水的高度是5厘米时杯子的底面积是（ ）平方厘米。 （3）杯子的底面积是50平方厘米时水的高度是（ ）厘米；水的高度是50厘米时杯子的底面积是（ ）平方厘米。 二、选择题 9．下列说法（    ）个。 ①一条彩带，减去的一段和剩下的一段成反比例。 ②由8个棱长1dm的小正方体拼成一个大正方体，表面积是。 ③一个等腰三角形，其中两个角的度数比为，这个三角形按角分一定是直角三角形。 ④三个同学去打靶，小明打了99环，小华打了90环，小龙比小华成绩好，但不超过93环。估计这三人的平均成绩在93到99环之间。 A．1 B．2 C．3 D．4 10．下面x和y（均不为0）不成正比例的有（    ）。 A． B． C． 11．下面两个量成正比例关系的是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长。 B．从甲地到乙地，汽车行驶的速度与时间。 C．订阅《数学报》的份数与所花钱数。 D．圆的面积和它的半径。 12．下面说法正确的是（    ）。 A．正方形的周长和边长成正比例。 B．个位是3、6、9的数都是3的倍数。 C．b（b＞1）的所有因数都小于b。 D．圆柱的体积等于圆锥体积的。 13．收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值，那么波长和频率的比例关系是什么？（    ） 波长/m 300 500 600 1000 频率/kHz 1000 600 500 300 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 14．有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是（    ）。 A．货物总量一定，每天运送的吨数和所需天数 B．数量一定，总价和单价 C．修一条路，已修的路和未修的路 D．平行四边形的面积一定，它的底和高 15．在计算器上按下面的程序操作：任意输入一个数（x）按键显示计算结果（y），每次输入的数x与相应的计算结果y（    ）。 A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法判断是否成比例 16．人的下肢长与身高之比满足黄金比时，更具美感。小红的妈妈身高是170cm，下肢长100cm，她的妈妈想买一双高跟鞋，你认为高跟鞋鞋跟的最佳高度应是多少厘米？列式正确的是（    ）。（x为高跟鞋鞋跟的高度） A． B． C． D． 三、解答题 17．聪聪读一本故事书，前3天一共读了72页，照这样的速度，读完这本故事书一共需要15天，这本故事书一共有多少页？（用比例解） 18．工程队修一条水渠，原计划6人12天完成；后来要求提前3天完成。如果每人工作效率不变，需要增派多少人才能按时完成任务？（用比例知识解） 19．学校组织春游活动，原计划每小时走3.25千米，3小时到达目的地。实际2.5小时就走完了原定路程。实际每小时走多少千米？（用比例知识解答） 20．六年级同学做广播操，如果每行站25人，正好站16行，如果每行站20人，那么需要站多少行？（列方程解答） 21．给一个房间地面铺地砖，用面积9平方分米的地砖要96块，如果改用面积是4平方分米的地砖，需要多少块？（用比例解） 22．王老师要将一段5GB的视频拷贝到盘中（GB表示文件大小的单位）。她有两个盘：白色盘总容量16GB，已用；黑色盘总容量32GB，已用容量占总容量的。 （1）王老师应将视频拷贝到哪个盘里？请用计算说明。 （2）拷贝时前5分钟拷贝了2GB。照这样的速度，拷贝这份文件还需要多少分钟？（用比例解） 23．张阳打字的字数和所用时间如下表。 时间/分 2 4 6 8 10 12 字数/个 100 200 300 400 500 600 （1）在下图中描出表示字数和相对应的时间的点，然后把它们按顺序连起来。 （2）表中的两个量成（    ）比例，原因是_____。 24．在交通日益发达的今天，货物运输的方式也多种多样，我国自行研制的“运－8”飞机运载量大，性能优越。下表是某架“运－8”飞机的运输时间和飞行距离情况。 运输时间/时 1 2 3 4 5 6 飞行距离/千米 600 1200 1800 2400 3000 3600 （1）“运－8”飞机的运输时间和飞行距离成（    ）比例。 （2）根据上表，把运输时间和飞行距离所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）“运－8”飞机连续飞行时间最长可达10小时30分，达到世界领先水平。如果飞机早上6时从基地出发，中途不休息，最远能飞多少千米？（速度不变） 25．小红想了解更多有关低碳生活的知识，她从网上找到一些资料：开小汽车出行时，油耗数与产生的二氧化碳排放量情况如下表： 油耗数/升 1 2 3 4 5 … 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 （    ） … （1）上面表格填写完整。 （2）把油耗数与二氧化碳排放量的点在图上描出来，并连线。 （3）小汽车的油耗数和产生的二氧化碳排放量成（    ）比例。请你估算一下，如果汽车产生32.4千克的二氧化碳，大约耗油（    ）升。 26．如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的。 （1）王亮研究了下图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表。 每分钟漏沙的体积/cm3 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间/分 3 4 5 ①这个沙漏里共有（    ）立方厘米的沙子。 ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成（    ）比例关系。 ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏（    ）立方厘米的沙子。 （2）如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四单元 正比例和反比例 一、正比例的意义和辨识 二、反比例的意义和辨识 三、正比例的图像 四、正比例的应用 五、反比例的应用 六、运用正比例解决复杂问题 七、运用反比例解决复杂问题 知识点正比例和反比例 1、正比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作整理比关系。如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比例（一定），那么正比例关系用式子表示为（一定）。 2、正比例图像的特点。 正比例图像是一条从原点出发的射线。从图像中可以直观地看到两种量地变化情况，可以不用计算，由一个量的值就能直接找到相对应的另一个量的值。 3、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），那么反比例关系可以表示为xy=k（一定）。 重难点一 正比例的意义和辨识 【典例1】用数学的眼光看成语“立竿见影”是应用了比例的相关知识，即同一时间，同一地点，杆高和影长成（ ）（填“正”或“反”）比例。如果某一时刻一根竹竿高4米，影长2.6米，那么身高1.4米的明明同学在同一时刻，同一地点的影长是（ ）米。 【答案】正 0.91 【解题思路】在同一时间，同一地点，太阳光线与地面的夹角相同，因此杆高和影长成正比例，即杆高与影长的比值固定；设明明的影长为x米，根据竹竿高∶影长＝明明的身高∶他的影长，列出关于x的比例式，求出x的值。 【规范解答】解：设明明的影长为x米。 4∶2.6＝1.4∶x 4x＝2.6×1.4 4x＝3.64 4x÷4＝3.64÷4 x＝0.91 因此同一时间，同一地点，杆高和影长成正比例；明明同学在同一时刻，同一地点的影长是0.91米。 【变式1-1】圆锥的底面积一定，体积与高成（ ）比例关系。如果把一个圆锥的底面半径增加25%，要使体积不变，则高要减少（ ）%。 【答案】正 36 【解题思路】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 根据题意，设原来圆锥的底面半径是1，高是6；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出原来圆锥的体积； 已知圆锥的底面半径增加25%，把原来圆锥的底面半径看作单位“1”，则现在圆锥的底面半径是原来的（1＋25%），单位“1”已知，用原来圆锥的底面半径乘（1＋25%），求出现在圆锥的底面半径；根据圆的面积公式S＝πr2，求出现在圆锥的底面积； 体积不变，根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，求出现在圆锥的高； 求高要减少百分之几，就是求现在的高比原来的高减少百分之几，先用减法求出高的差值，再除以原来的高即可。 【规范解答】由圆锥的体积＝×底面积×高，可知圆锥的体积÷高＝×底面积（一定），商一定，则体积与高成正比例关系。 设原来圆锥的底面半径是1，高是6； 体积是：×π×12×6＝2π 现在圆锥的底面半径是： 1×（1＋25%） ＝1×（1＋） ＝1× ＝ 现在圆锥的底面积是： π×（）2＝π 体积不变，则现在圆锥的高是： 2π×3÷π ＝6÷ ＝6× ＝ 高要减少： （6－）÷6×100% ＝÷6×100% ＝××100% ＝0.36×100% ＝36% 填空如下： 圆锥的底面积一定，体积与高成（正）比例关系。如果把一个圆锥的底面半径增加25%，要使体积不变，则高要减少（36）%。 【变式1-2】已知5＝（、均不为0），∶＝（ ），和成（ ）比例。 【答案】/0.05 正 【解题思路】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 先根据比例的基本性质把5＝改写成比例式∶＝∶5，再根据求比值的方法求出∶的比值。因为和的比值一定，根据正比例意义的辨识方法，得出和成正比例。 正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 【规范解答】由5＝可得： ∶＝∶5＝÷5＝×＝ 比值一定，则和成正比例。 填空如下： 已知5＝（、均不为0），∶＝（），和成（正）比例。 【变式1-3】x、y是两个相关联的量，如果，则x和y成（ ）比例。 【答案】正 【解题思路】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】如果，那么x÷y＝，比值一定，所以y和x成正比例。 重难点二 反比例的意义和辨识 【典例2】某杂志的单价一定，订阅费用与订阅数量成（ ）比例。圆周率一定，圆的半径和面积（ ）比例。 【答案】正 不成 【解题思路】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】订阅费用÷订阅数量＝某杂志的单价（一定），比值一定，所以成正比例 因为S＝πr2，S÷r＝πr，圆周率是定值，r是个变量，即比值不一定，所以圆的半径和面积不成比例。 【变式2-1】工作总量一定时，工作效率和工作时间成（ ）比例；如果x＝6y，（x、y≠0），则x与y成（ ）比例。 【答案】反 正 【解题思路】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此解答即可。 【规范解答】因为工作效率×工作时间＝工作总量（一定），工作总量一定时，工作效率和工作时间的乘积一定，所以工作效率和工作时间成反比例。 如果x＝6y，（x、y≠0），则x÷y＝6，x与y的商一定，所以x与y成正比例。 【变式2-2】若a－b＝0，（a、b均不为0），a与b成（ ）比例关系；煤的数量一定，使用天数与平均每天的用煤量成（ ）比例关系。 【答案】正 反 【解题思路】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【规范解答】（1）由a－b＝0可得：a＝b，a∶b＝1（一定），比值一定，则a与b成正比例关系； （2）平均每天的用煤量×使用天数＝煤的数量（一定），乘积一定，则使用天数与平均每天的用煤量成反比例关系。 填空如下： 若a－b＝0，（a、b均不为0），a与b成（正）比例关系；煤的数量一定，使用天数与平均每天的用煤量成（反）比例关系。 【变式2-3】从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成（ ）比例关系，比值一定，比的前项和后项成（ ）比例关系。（均选填“正”或“反”） 【答案】反 正 【解题思路】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。 【规范解答】从家到学校的路程不变，车轮的直径××转动的圈数＝从家到学校的距离，则车轮的直径×转动的圈数＝从家到学校的距离÷（一定），因为乘积一定，所以从家骑自行车到学校，车轮的直径和转动的圈数成反比例关系；前项∶后项＝比值（一定），所以比值一定，比的前项和后项成正比例关系。 重难点三 正比例的图像 【典例3】如图表示的是某款汽车行驶路程和耗油量之间的变化情况。根据图像判断，汽车行驶路程和耗油量成（ ）关系；5升汽油可以行驶（ ）千米。 【答案】正 37.5 【解题思路】由于正比例的图像是一条直线，通过观察图像可知：汽车耗油量与所行路程成正比例关系；2升汽油可以行驶15千米，用2÷15即可求出每千米消耗的油量；进而求出5升汽油可以行驶的千米数。 【规范解答】由于正比例的图像是一条直线，通过观察图像可知：汽车行驶路程和耗油量成正关系。 5÷（2÷15） ＝5÷ ＝5× ＝37.5（千米） 5升汽油可以行驶37.5千米。 【变式3-1】下边的图像表示一个水龙头打开后出水量与时间的关系。这个水龙头打开后的出水量和时间成（ ）比例，出水8升要用（ ）秒。 【答案】正 40 【解题思路】图像成一条直线，出水量和时间的比值一定，说明出水量和时间成正比例关系。 观察统计图可知，图像的横轴代表时间，纵轴代表出水量，找出这个水龙头出水8升所对应的时间，由图可知出水8升需要40秒。 【规范解答】由分析可知，图像成一条直线，这个水龙头打开后的出水量和时间成正比例关系。出水8升要用40秒。 【变式3-2】下图是出租车所行的路程和时间图象。图中反映了当（ ）一定时，所行路程和时间成（ ）比例。照这样计算，这辆汽车8小时行（ ）千米。 【答案】速度 正 640 【解题思路】根据正比例图象可知，两种相关联的量如果成正比例，则两种量会是一条经过原点的直线，则表示两个相关联的量成正比例关系，因此行驶的路程与时间成正比例，即速度一定；80÷1＝80（千米），160÷2＝80（千米），240÷3＝80（千米），因此这辆汽车每小时行驶的速度是80千米；根据路程＝时间×速度，即可求出这辆汽车8小时行驶的路程。 【规范解答】这辆汽车每小时行驶的速度是80千米，速度一定，它行驶的路程和时间成正比例； 8小时行驶的路程为：80×8＝640千米 因此这辆汽车8小时行驶640千米。 【点评】明确正比例图象是一条经过原点的直线是解题的关键。 【变式3-3】下图是一个水龙头打开后出水量情况统计图。 （1）根据下边的图象，这个水龙头打开的时间和出水量成（ ）比例。 （2）根据图象判断，35秒能出水（ ）升；出水9升要用（ ）秒。 【答案】正 7 45 【解题思路】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。从图中可以简单计算出4∶20＝8∶40，所以这两个量成正比例。 （2）从图中可以看出20秒出水4升，那么1秒出水4÷20＝0.2（升），进而可以算出35秒的出水量；出4升水需要20秒，那么出1升水需要20÷4＝5（秒），进而可求得9升水所需时间。 【规范解答】（1）从图中得到两组数比值相等：4∶20＝8∶40，所以水龙头打开的时间和出水量成正比例； （2）1秒出水：4÷20＝0.2（升）    35秒出水：0.2×35＝7（升） 出1升水所需时间：20÷4＝5（秒）    出9升水所需时间：5×9＝45（秒） 【点评】掌握理解正比例概念是解题的关键，要学会看图，从中抓住关键的信息。 重难点四正比例的应用 【典例4】在同一时刻和同一地点，量得身高180cm的张叔叔的影子长30cm，一棵树的影子长270cm。这棵树高（ ）m。 【答案】16.2 【解题思路】在同一时刻和同一地点，物体高度和影长成正比，据此设这棵树高xcm，列比例解答即可。 【规范解答】解：设这棵树高xcm。 180∶30＝x∶270 30x＝180×270 x＝ x＝1620 1620cm＝16.2m 所以这棵树高16.2m。 【变式4-1】李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯（ ）米。 【答案】/ 【解题思路】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 【规范解答】解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15） 100∶（100－x）＝90∶85 90×（100－x）＝100×85 90×（100－x）＝8500 90×（100－x）÷90＝8500÷90 100－x＝ x＝100－ x＝ 当杨洋跑到终点时会领先张雯米。 【点评】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 【变式4-2】宁宁发现学校有一个漏水的水龙头，他记录了这个水龙头的滴水情况。 滴水量/毫升 … 时间/分 … （1）滴水量和时间成（ ）比例。 （2）宁宁在这个水龙头的下方放一个水桶，1小时可以接水（ ）升。 【答案】（1）正 （2） 【解题思路】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）1小时＝60分钟，用60乘1分钟的滴水量即可得解。 【规范解答】（1）滴水量∶时间＝15∶1＝30∶2＝45∶3＝60∶4＝75∶5＝15 所以滴水量和时间是比值一定，滴水量和时间成正比例。 （2）1时＝60分 60×15＝900（毫升） 900毫升＝0.9升 1小时可以接水0.9升。 【变式4-3】如图，一个长方形被分成了四个小长方形，其中三个的面积为20、25和30（单位：平方厘米）。第四个小长方形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】37.5 【解题思路】根据长方形的面积公式：长×宽，20平方厘米和30平方厘米的长相等，两个宽的比等于面积比，即30∶20；25平方厘米和第四个小长方形的长相等，所以它们的面积比也是两个宽的比，由于20平方厘米和25平方厘米的两个三角形宽相等；30平方厘米和第四个长方形的宽相等，所以下面长方形和上面长方形的比值相同，成正比例关系，据此即可列比例。 【规范解答】解：设第四个小长方形的面积是x平方厘米。 ＝ 20x＝30×25 20x＝750 x＝750÷20 x＝37.5 一个长方形被分成了四个小长方形，其中三个的面积为20、25和30（单位：cm2）。第四个小长方形的面积是37.5平方厘米。 重难点五反比例的应用 【典例5】下表中，若和成正比例，则※代表的数是（ ），若和成反比例，则※代表的数是（ ）。 2 3 5 ※ 【答案】//7.5 / 【解题思路】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 如果和成正比例，则∶＝2∶5；把＝3代入式子中，求出的值。 如果和成反比例，则＝2×5；把＝3代入式子中，求出的值。 【规范解答】（1）3∶＝2∶5 解：2＝3×5 2＝15 ＝15÷2 ＝ （2）3＝2×5 解：3＝10 ＝10÷3 ＝ 若和成正比例，则※代表的数是（），若和成反比例，则※代表的数是（）。 【变式5-1】同学们通过《有趣的平衡》研究了“杠杆原理”，我们发现，如果左边在刻度4上放3个棋子，那么右边刻度数和所放棋子数的乘积等于（ ）才能保证平衡。 【答案】12 【解题思路】由杠杆原理可知，平衡时，每边放的棋子个数与对应刻度的乘积是一定的，所以左边刻度数与所放棋子数成反比例；左边刻度数与所放棋子数的乘积等于右边刻度数和所放棋子数的乘积，据此求出左边刻度数与所放棋子数的乘积，即可解答。 【规范解答】4×3＝12 同学们通过《有趣的平衡》研究了“杠杆原理”，我们发现，如果左边在刻度4上放3个棋子，那么右边刻度数和所放棋子数的乘积等于12才能保证平衡。 【变式5-2】某两个城市间高铁的平均行驶速度与驶完全程所需时间如下表。 平均速度/（千米/时） 230 240 250 260 270 280 … 时间/时 6.25 6 … （1）这两个城市间高铁铁路全长（ ）千米。 （2）如果用v表示高铁的平均速度，t表示驶完全程所需时间。t与v成（ ）比例关系，写出这个关系式是（ ）。 【答案】（1）1500 （2）反 【解题思路】（1）根据路程＝速度×时间，代入一组对应的平均速度和时间，即可计算出这两个城市间高铁铁路全长。 （2）千米，因为这两个城市间高铁铁路全长一定，所以高铁的平均速度和驶完全程所需时间的乘积是定值，即，根据正反比例的意义，两个相关联的量，当它们的比值（商）一定时，这两个量成正比例；当它们的乘积一定时，这两个量成反比例，所以t与v成反比例关系，据此解答。 【规范解答】（1）（千米） 即这两个城市间高铁铁路全长1500千米。 （2）（千米） 所以，如果用v表示高铁的平均速度，t表示驶完全程所需时间。t与v成反比例关系，写出这个关系式是。 【变式5-3】小丁去买笔和作业本，笔1元/支，作业本0.5元/本。第一次他买笔花的钱与买作业本花的钱相同，第二次他买笔的数量与买作业本的数量相同，若他第一次与第二次花的钱一样多，则他每次至少花 元。 【答案】6 【解题思路】根据总价＝单价×数量，如果第一次他买笔花的钱与买作业本花的钱相同，说明他们的单价比等于数量的反比，也就是笔和作业本的数量比为0.5∶1，也就是1∶2；假设第一次买笔a支，买作业本2a本；第二次买笔b支，买作业本b本，所以a＋0.5×2a＝b＋0.5b，也就是2a＝1.5b，因为a和b为整数，要使a和b最小，则b最小为4，a最小为3，代入2a或1.5b可知，最少花的钱数。 【规范解答】总价相等，他们的单价比等于数量的反比； 笔和作业本的数量比为 0.5∶1 ＝（0.5×2）∶（1×2） ＝1∶2 假设第一次买笔a支，买作业本2a本；第二次买笔b支，买作业本b本，可得 a＋0.5×2a＝b＋0.5b a＋a＝b＋0.5b 2a＝1.5b 因为a和b为整数，要使a和b最小，则b最小为4，a最小为3； 2×3＝6（元） 他每次至少花6元。 【点评】解答本题的关键是找到第一次购买笔和作业本的数量关系。 重难点六运用正比例解决复杂问题 【典例6】东东记录了某国产品牌电动汽车的仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下： 行驶路程（千米） 100 120 130 140 150 耗电量（千瓦时） 15 18 19.5 21 22.5 （1）观察上表中的数据，电动汽车的行驶路程与耗电量成（    ）比例关系。 （2）当电动汽车行驶了600千米时，电动汽车将消耗多少千瓦时的电？（用比例解答） 【答案】（1）正 （2）90千瓦时 【解题思路】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 （2）已知行驶路程与耗电量成正比例关系。设行驶 600千米时消耗x千瓦时的电。因为两者成正比例，所以它们的比值相等。即＝，这个比例方程可以求出消耗的电量的值。 【规范解答】（1）观察表格中行驶路程和耗电量的数据。计算它们的比值： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 可以看出，无论行驶路程和耗电量如何变化，其比值始终为，保持恒定。根据正比例关系的定义，当两个相关联的量比值一定时，这两个量成正比例关系。所以，电动汽车的行驶路程与耗电量成正比例关系。 （2）解：设电动汽车将消耗x千瓦时的电。 ＝ 解：100x＝15×600 100x＝9000 100x＝9000 100x÷100＝9000÷100 x＝90 答：电动汽车将消耗90千瓦时的电。 【变式6-1】如图表示的是一根水管不停地向水箱注水，水箱内水的体积的变化情况。 （1）看图填表。 注水时间/分 5 8 13 水的体积/Ｌ 10 20 46 （2）当22分钟时，水箱内有水（    ）升。 （3）图中的A点表示（    ）分钟时，注入水箱内水的体积是（    ）升；B点表示（                          ）。 【答案】（1）10；23；16；26 （2）44 （3）10；20；20分钟时注入40升水 【解题思路】（1）根据图中的数据，用水的体积∶注水时间＝每分钟注水的体积，发现这个比值一定，则水的体积和注水时间成正比例关系，据此求出表格中缺少的数据，并填表。 （2）由“水的体积∶注水时间＝每分钟注水的体积”可知，“注水体积＝每分钟注水的体积×注水时间”，据此求出22分钟时水箱内水的体积。 （3）从图中可知，A点对应的注水时间是10分钟，注水体积是20升；B点对应的注水时间是20分钟，注水体积是40升；据此解答。 【规范解答】（1）＝＝＝…＝2（一定） 即每分钟注水2升。 20÷2＝10（分） 46÷2＝23（分） 2×8＝16（升） 2×13＝26（升） 如下表： 注水时间/分 5 8 10 13 23 水的体积/Ｌ 10 16 20 26 46 （2）2×22＝44（升） 当22分钟时，水箱内有水44升。 （3）图中的A点表示10分钟时，注入水箱内水的体积是20升；B点表示20分钟注入40升水。 【变式6-2】今年暑假，小明一家三口准备驾车从郑州到南阳游玩。下面的图像表示的是爸爸驾车所行驶路程和耗油量的情况。 （1）汽车的耗油量与所行驶路程成什么比例关系？为什么？ （2）根据下图估一估，汽车行驶65千米的耗油量大约是（    ）升。如果耗油8升，大约行驶（    ）千米。 （3）如果爸爸驾驶这辆车沿着高德地图规划的路线，从郑州到南阳大约行驶400千米，需要耗油多少升？    【答案】（1）正比例关系；耗油量与路程的比值一定 （2）5.2；100    （3）32升 【解题思路】（1）横轴表示路程、纵轴表示汽车的耗油量，可计算出几组相对应的耗油量与所行路程的比值，如果比值一定，则汽车的耗油量与所行路程成正比例关系； （2）因为每一组耗油量与行驶的路程的数值是一一对应的，所以先在图像上找到这样一点，它对应的横轴数据为65千米，再找到这个点所对应的纵轴的数据，位于4.8和5.6中间，大约是5.2升； 再找到这样一个点，它对应的纵轴数据为8升，且横轴对应着数据100，则如果耗油8升，大约行驶100千米； （3）由小问（1）可知：汽车的耗油量与所行驶的路程成正比例关系，则可利用正比例关系解决，设需要耗油x升，可得比例0.8∶10＝x∶400，解这个比例即可。 【规范解答】（1）0.8∶10＝0.08 1.6∶20＝0.08 2.4∶30＝0.08 即：0.8∶10＝1.6∶20＝2.4∶30＝0.08，汽车的耗油量与所行路程成正比例关系，是因为耗油量与路程的比值一定。 （2）结合图示可知：汽车行驶65千米的耗油量大约是5.2升。如果耗油8升，大约行驶100千米。 （3）解：设需要耗油x升， 0.8∶10＝x∶400 10x＝400×0.8 10x＝320 x＝320÷10 x＝32 答：从郑州到南阳大约行驶400千米，需要耗油32升。 【点评】本题综合考查了有关正比例的知识点，需要明确判定比例关系的依据，同时能够灵活运用比例解决生活中的实际问题。 重难点七运用反比例解决复杂问题 【典例7】某两个城市间火车的平均行驶速度与驶完全程所需时间如下表。 平均速度/（千米/时） 270 260 250 200 180 150 … 时间/时 5 5.2 6.5 … （1）这两个城市间铁路全长多少千米？ （2）如果用v表示火车的平均速度，t表示驶完全程所需时间。t与v成什么比例关系？你能写出这个关系式吗？ （3）如果火车的平均速度为325千米/时，驶完全程需要多长时间？ 【答案】（1）1300千米 （2）因为速度×时间＝路程（一定），所以v与t成反比例关系。关系式：vt＝1300 （3）4小时 【解题思路】（1）根据路程＝速度×时间，应用一组对应的平均速度和时间，计算出铁路全长； （2）各组数据中平均速度与时间的乘积是定值1300千米，速度×时间＝路程，根据反比例的概念解答； （3）vt＝1300，当v＝325时，计算出t，据此解答。 【规范解答】（1）（千米） 答：这两个城市间铁路全长1300千米。 （2）（千米） （千米） （千米） …… 因为速度×时间＝路程（一定），所以v与t成反比例关系。关系式：vt＝1300。 （3）（小时） 答：如果火车的平均速度为325千米/时，驶完全程需要4小时。 【变式7-1】下图是长方形相邻两条边长与宽的变化情况。 （1）根据上图，填写下表。 长/厘米 12 宽/厘米 4 （2）如果用a、b分别表示长方形的长与宽，根据上图，用字母表示出它们之间的关系是（    ），长方形的长与宽成（    ）比例关系。 （3）如果长方形的长是15厘米，那么长方形的宽是多少厘米？ 【答案】（1）6；2 （2）ab＝24；反 （3）1.6厘米 【解题思路】（1）根据长与宽的变化情况图，找到宽是4厘米时的对应长，长是12厘米时的对应宽，填空即可。 （2）看图可知，长和宽的乘积一定，xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此确定比例关系。 （3）设长方形的宽是x厘米，根据长×宽＝面积（一定），列出反比例算式解答即可。 【规范解答】（1） 长/厘米 12 6 宽/厘米 2 4 （2）12×2＝24、6×4＝24、8×3＝24，如果用a、b分别表示长方形的长与宽，根据上图，用字母表示出它们之间的关系是ab＝24，长方形的长与宽成反比例关系。 （3）解：设长方形的宽是x厘米。 15x＝24 15x÷15＝24÷15 x＝1.6 答：长方形的宽是1.6厘米。 【变式7-2】给一间教室铺地砖，每块地砖的面积与所需地砖的数量如下。 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 … 所需地砖的数量/块 300 150 100 60 50 … （1）每块地砖的面积和所需地砖的数量有什么关系？ （2）如果每块地砖的面积是0.4平方米，铺这一地面需要多少块地砖？ （3）铺这一地面用了200块地砖，所用的地砖每块面积是多大？ 【答案】（1）反比例；（2）75块；（3）0.15平方米 【解题思路】（1）根据题意可知，每块地砖的面积×所需地砖的数量＝总面积（一定），每块地砖的面积和所需地砖的数量的乘积一定，则它们成反比例关系； （2）根据总面积÷每块地砖的面积＝所需地砖的数量，用总面积除以0.4平方米，即可求出所需地砖的块数； （3）根据总面积÷所需地砖的数量＝每块地砖的面积，用总面积除以200块，即可求出每块地砖的面积。 【规范解答】（1）0.1×300＝30（平方米） 0.2×150＝30（平方米） 0.3×100＝30（平方米） 0.5×60＝30（平方米） 0.6×50＝30（平方米） 每块地砖的面积和所需地砖的数量的乘积一定，则它们成反比例关系； （2）30÷0.4＝75（块） 答：如果每块地砖的面积是0.4平方米，铺这一地面需要75块地砖。 （3）300÷200＝1.5（平方米） 答：铺这一地面用了200块地砖，所用的地砖每块面积是1.5平方米。 【点评】本题考查了反比例的意义和应用，判断相关量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 一、填空题 1．如果y＝5x，那么x和y成（ ）比例，如果＝，那么x和y成（ ）比例。 【答案】正 反 【解题思路】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此解答。 【规范解答】因为y＝5x，所以＝5，x和y的比值一定，成正比例关系； 因为＝，所以xy＝4×20＝80，x和y乘积一定，成反比例关系。 如果y＝5x，那么x和y成正比例，如果＝，那么x和y成反比例。 2．（a、b、c都是不等于0），当b一定时，a与c成（ ）比例，当a一定时，b与c成（ ）比例。 【答案】反 正 【解题思路】正比例关系：两种量对应的数的比值一定，则这两种量成正比例关系；反比例关系：两种量对应的数乘积一定，则这两种量成反比例关系。据此可得出答案。 【规范解答】当b一定时，可变换为：，即a和c的乘积一定，a和c成反比例；当a一定时，可转换为，即b和c的比值一定，b和c成正比例。 3．把相同体积的水倒入底面积不同的长方体容器中，变化情况如下表： 底面积/cm2 10 15 20 25 … 水高度/cm 45 30 22.5 18 … 如果长方体容器底面积用S表示，水的高度用h表示，S和h成（ ）比例；如果底面积30cm2，水高度是（ ）cm。 【答案】反 15 【解题思路】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 先从表格中任意选取一组数据，根据V＝Sh求出水的体积，再根据h＝V÷S，求出底面积是30cm2时水的高度。 【规范解答】V＝Sh，体积一定，即乘积一定，则底面积S与高h成反比例； 10×45÷30 ＝450÷30 ＝15（cm） 如果长方体容器底面积用S表示，水的高度用h表示，S和h成反比例；如果底面积30cm2，水高度是15cm。 4．如表中m和n是两个相关联的量。 （1）当时，m与n成（ ）比例关系。 m 6 x n 3 （2）当x＝（ ）时，m与n成反比例关系。 【答案】（1）正 （2）72 【解题思路】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】（1）当时， ，比值一定，m与n成正比例。 所以，当时，m与n成正比例。 （2）m与n成反比例，那么m与n的乘积一定， 解： 当x＝72时，m与n成反比例关系。 5．下图中，如果A与B成正比例，则＝（ ）；如果A与B成反比例，则＝（ ）。 A B 20 【答案】16 25 【解题思路】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。如果A和B成正比例，则A∶B＝∶20；把A＝代入比例式，解比例求出B的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。如果A和B成反比例，则AB＝×20；把A＝代入比例式，解比例求出B的值。 【规范解答】如果A与B成正比例，那么： ∶＝∶20 解：＝20× ＝4 ＝4÷ ＝4×4 ＝16 如果A与B成反比例，那么： ＝×20 ＝5 ＝5÷ ＝5×5 ＝25 6．下面表中，若x和y成正比例，则※代表的数是（ ），若x和y成反比例，则※代表的数是（ ）。 x 2 y 5 ※ 【答案】 50 【解题思路】根据题意，若x和y成正比例，则2∶5＝∶※，进而求出※的值； 若x和y成反比例，则2×5＝×※，进而求出※的值。 【规范解答】若x和y成正比例： 2∶5＝∶※ 2※＝5× 2※＝1 ※＝1÷2 ※＝ 如x和y成反比例： 2×5＝※ ※＝10 ※＝10÷ ※＝10×5 ※＝50 若x和y成正比例，则※代表的数是，若x和y成反比例，则※代表的数是50。 7．王老师带了一些钱去购买体育器材，如果买现价56元的篮球，正好可以买6个。如果买现价24元的足球，能买（ ）个。该题目中（ ）是一定的，两种相关联的量是（ ）和（ ），它们成（ ）关系。 【答案】14 总价 单价 数量 反比例 【解题思路】首先根据单价×数量=总价，用足球的单价×数量求出王老师带钱的数量，然后根据总价÷单价=数量，用所带的钱数除以篮球的单价；判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。因为王老师的钱数一定，所以总价一定，单价和数量成反比例关系，据此解答即可。 【规范解答】足球数量： （个） 如果买现价24元的足球，能买14个。该题目中总价是一定的，两种相关联的量是单价和数量，它们成反比例关系。 【点评】本题考查比例，解答本题的关键是掌握反比例的概念。 8．把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形杯子中，杯子的底面积和杯中水的高度关系的图像如下图： （1）杯子的底面积和水的高度成（ ）比例关系。 （2）杯子的底面积是15平方厘米时水的高度是（ ）厘米；水的高度是5厘米时杯子的底面积是（ ）平方厘米。 （3）杯子的底面积是50平方厘米时水的高度是（ ）厘米；水的高度是50厘米时杯子的底面积是（ ）平方厘米。 【答案】（1）反 （2）20 60 （3）6 6 【解题思路】（1）在圆柱形杯子中，杯子中的水体积＝底面积×水面高度，此时杯子中的水体积相等，即杯子底面积和水面高度的乘积一定，符合反比例的定义，据此可得出答案； （2）观察折线统计图，横轴表示底面积，纵轴表示水面高度，可找出底面积是15的折线点，对应的纵轴是多少；找出纵轴上的折线点，对应的横轴是多少，据此可得出答案； （3）根据底面积×水面高度可计算得出杯子中水的体积，据此可得出答案。 【规范解答】（1）杯子中的水体积＝底面积×水面高度，且杯子中水的体积一定，即杯子底面积和水面高度的乘积一定。故杯子的底面积和水的高度成反比例关系。 （2）根据折线统计图可知，杯子的底面积是15平方厘米时水的高度是20厘米；水面高度是5厘米时杯子的底面积是60平方厘米。 （3）杯子中的水体积为：（平方厘米），则杯子的底面积是50平方厘米时水的高度是：（厘米）；水面高度是50厘米时杯子的底面积是：（平方厘米）。 二、选择题 9．下列说法（    ）个。 ①一条彩带，减去的一段和剩下的一段成反比例。 ②由8个棱长1dm的小正方体拼成一个大正方体，表面积是。 ③一个等腰三角形，其中两个角的度数比为，这个三角形按角分一定是直角三角形。 ④三个同学去打靶，小明打了99环，小华打了90环，小龙比小华成绩好，但不超过93环。估计这三人的平均成绩在93到99环之间。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】①判断两个相关联的量之间成反比例，就看这两个量是对应的乘积一定；如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 ②8个小正方体拼成一个大正方形，大正方体的棱长为2分米，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出大正方体表面积，再进行判断。 ③如果三个角的度数比是1∶1∶2，求出最大角；如果三个角的度数比是1∶2∶2，求出最大的角，进而判断三角形的形状。 ④小龙的成绩比小华好，但不超过93环，则小龙的成绩是91环或92环；再根据平均数＝总数÷数据个数，代入数据计算，求出平均数，再进行解答。 【规范解答】①减去的一段＋剩下的一段＝彩带的长度（一定），减去的一段与剩下的一段不成比例，原题干说法错误。 ②拼成的大正方体的棱长为：1×2＝2（dm）。 2×2×6 ＝4×6 ＝24（dm2） 由8个棱长1dm的小正方体拼成一个大正方体，表面积是24dm2，原题干说法正确。 ③如果三个角的度数比是1∶1∶2 180°× ＝180°× ＝90° 如果三个角度数比是1∶1∶2，三角形的直角三角形； 如果三个角度数比是1∶2∶2 180°× ＝180°× ＝72° 如果三角形的度数比是1∶1∶2，这个三角形不是直角三角形； 一个等腰三角形，其中两个角的度数比为1∶2，这个三角形按角分不一定是直角三角形，原题干说法错误。 ④根据题意可知，小龙成绩是91环或92环。 如果是91环： （99＋91＋90）÷3 ＝（190＋90）÷3 ＝280÷3 ≈93.33（环） 如果是92环： （99＋92＋90）÷3 ＝（191＋90）÷3 ＝281÷3 ≈93.67（环） 三个同学去打靶，小明打了99环，小华打了90环，小龙比小华成绩好，但不超过93环。估计这三人的平均成绩在93到99环之间，原题干说法正确。 ②和④说法正确，一共有2个。 故答案为：B 10．下面x和y（均不为0）不成正比例的有（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【解题思路】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此判断。 【规范解答】A．因为＝4（一定），比值一定，所以x和y（均不为0）成正比例； B．xy＝10（一定），乘积一定，所以x和y成反比例； C．因为2y＝x，所以x÷y＝2（一定），商一定，所以x和y成正比例。 故答案为：B 11．下面两个量成正比例关系的是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长。 B．从甲地到乙地，汽车行驶的速度与时间。 C．订阅《数学报》的份数与所花钱数。 D．圆的面积和它的半径。 【答案】C 【解题思路】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系。 【规范解答】A．正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体表面积÷棱长＝棱长×6（不定量），正方体的表面积和它的棱长不成比例关系。 B．速度×时间＝路程，从甲地到乙地，汽车行驶的速度与时间成反比例关系。 C．所花钱数÷订阅份数＝单价，订阅《数学报》的份数与所花钱数成正比例关系。 D．圆的面积＝圆周率×半径的平方，圆的面积÷半径＝圆周率×半径（不定量），圆的面积和它的半径不成比例关系。 两个量成正比例关系的是订阅《数学报》的份数与所花钱数。 故答案为：C 12．下面说法正确的是（    ）。 A．正方形的周长和边长成正比例。 B．个位是3、6、9的数都是3的倍数。 C．b（b＞1）的所有因数都小于b。 D．圆柱的体积等于圆锥体积的。 【答案】A 【解题思路】根据正方形的周长＝4×边长；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；根据一个数的因数特征和圆柱的体积和圆锥的体积关系，逐项进行分析，据此解答。 【规范解答】A．正方形的周长＝边长×4，可以改写为：正方形的周长÷边长＝4，即正方形的周长与边长的商是定值，因此正方形的周长和边长成正比例，该选项的说法是正确的，符合题意。 B．各个数位上的数字之和是3的倍数，这样的数就是3的倍数；例如个位是3的数有43，43不是3的倍数，因此该选项的说法是错误的，不符合题意。 C．一个非0的整数，最小的因数是1，最大的因数是它本身，因此该选项的说法是错误的，不符合题意。 D．等底等高圆锥的体积等于圆柱体积的，因此该选项的说法是错误的，不符合题意。 故答案为：A 13．收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的。下面是一些对应的数值，那么波长和频率的比例关系是什么？（    ） 波长/m 300 500 600 1000 频率/kHz 1000 600 500 300 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 【答案】B 【解题思路】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。通过计算判断。 【规范解答】 可知，波长和频率的比值不一定，不成正比例关系。 波长×频率＝300000（一定），所以波长和频率的比例关系是反比例关系。 故答案为：B 14．有两个相关联的量，它们的关系如图所示。这两个量可能是（    ）。 A．货物总量一定，每天运送的吨数和所需天数 B．数量一定，总价和单价 C．修一条路，已修的路和未修的路 D．平行四边形的面积一定，它的底和高 【答案】B 【解题思路】两种相关联的量，如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就成正比例；如果这两种量中相对应的两个数乘积一定，这两种量就成反比例，根据图象可知，图形中两种相关联的量是正比例，逐项分析各选项，进行解答。 【规范解答】A．因为每天运送的吨数×所需天数＝货物总量（一定），每天运送的吨数和所需天数的乘积一定，则每天运送的吨数和所需天数成反比例，不符合题意； B．数量（一定）＝总价÷单价，所以比值一定，单价和总价成正比例，符合题意； C．已修的路＋未修的路＝这段路的总长（一定），是对应的两个量的和一定，所以修一段路，已经修的与未修的不成比例，不符合题意； D．底×高＝平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以它的底和高成反比例关系，不符合题意。 故答案为：B 15．在计算器上按下面的程序操作：任意输入一个数（x）按键显示计算结果（y），每次输入的数x与相应的计算结果y（    ）。 A．不成比例 B．成正比例 C．成反比例 D．无法判断是否成比例 【答案】B 【解题思路】两个相关联的量，一个量变化另一个量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系，据此分析。 【规范解答】计算器上输入一个数后，按÷，再按5，然后按“＝”，表示这个数除以5等于几，即x÷5＝y，根据除数＝被除数÷商，可得x÷y＝5，因此每次输入的数x与相应的计算结果y成正比例。 故答案为：B 16．人的下肢长与身高之比满足黄金比时，更具美感。小红的妈妈身高是170cm，下肢长100cm，她的妈妈想买一双高跟鞋，你认为高跟鞋鞋跟的最佳高度应是多少厘米？列式正确的是（    ）。（x为高跟鞋鞋跟的高度） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】当人的下肢长与身高之比满足黄金比＝0.618时，即人的下肢长与身高之比的比值一定时，更具美感，因为比值一定，所以更具美感时，人的下肢长与身高成正比例关系，据此设高跟鞋鞋跟的最佳高度应是xcm，列正比例解答即可。 【规范解答】解：设高跟鞋鞋跟的最佳高度应是xcm。 （x＋100）∶（x＋170）＝0.618∶1 （x＋170）×0.618＝x＋100 0.618x＋170×0.618＝x＋100 0.618x＋105.06＝x＋100 0.618x＋105.06－0.618x＝x＋100－0.618x 105.06＝0.382x＋100 105.06－100＝0.382x＋100－100 0.382x＝5.06 0.382x÷0.382＝5.06÷0.382 x≈13.25 所以正确的列式是：（x＋100）∶（x＋170）＝0.618∶1。 故答案为：C 三、解答题 17．聪聪读一本故事书，前3天一共读了72页，照这样的速度，读完这本故事书一共需要15天，这本故事书一共有多少页？（用比例解） 【答案】360页 【解题思路】设这本故事书一共有页，由题意可知，聪聪读故事书的速度不变，则读的页数与读的天数成正比例，据此列比例并求解即可。 【规范解答】解：设这本故事书一共有页。 答：这本故事书一共有360页。 18．工程队修一条水渠，原计划6人12天完成；后来要求提前3天完成。如果每人工作效率不变，需要增派多少人才能按时完成任务？（用比例知识解） 【答案】2人 【解题思路】根据题意可知，修这条水渠的工作总量不变，即工作效率×工作时间＝工作总量（一定），乘积一定，那么工作效率与工作时间成反比例关系，（原计划的人数＋增加的人数）×（计划的天数－提前的天数）＝原计划的人数×计划的天数，据此列出反比例方程，并求解即可。 【规范解答】解：设应增加人才能按时完成任务， （12－3）×（6＋）＝12×6 9×（6＋）＝12×6 9×（6＋）＝72 6＋＝72÷9 6＋＝8 ＝8－6 ＝2 答：应增加2人才能按时完成。 19．学校组织春游活动，原计划每小时走3.25千米，3小时到达目的地。实际2.5小时就走完了原定路程。实际每小时走多少千米？（用比例知识解答） 【答案】3.9千米 【解题思路】由题意可知：春游的路程是一定的，即每小时走路的速度与时间的乘积是一定的，则每小时走路的速度与时间成反比例，据此即可列比例求解。 【规范解答】解：实际每小时走x千米， 3.25×3＝2.5x 9.75＝2.5x 2.5x÷2.5＝9.75÷2.5 x＝3.9 答：实际每小时走3.9千米。 20．六年级同学做广播操，如果每行站25人，正好站16行，如果每行站20人，那么需要站多少行？（列方程解答） 【答案】20行 【解题思路】根据题意知道，六年级同学的总人数一定，每行站的人数和行数成反比例，设如果每行站20人，需要站x行，列比例：20x＝25×16，解比例，即可解答。 【规范解答】解：设如果每行站20人，需要站x行。 20x＝25×16 20x＝400 20x＝400÷20 x＝20 答：需要站20行。 21．给一个房间地面铺地砖，用面积9平方分米的地砖要96块，如果改用面积是4平方分米的地砖，需要多少块？（用比例解） 【答案】216块 【解题思路】根据题意可知：每块地砖的面积地砖的数量房间地面的面积，房间地面的面积一定，则“每块地砖的面积”和“地砖的数量”成反比例关系，设如果改用面积是4平方分米的地砖，需要块，据此列比例解答。 【规范解答】解：设如果改用面积是4平方分米的地砖，需要块。 4x÷4＝864÷4 答：如果改用面积是4平方分米的地砖，需要216块。 22．王老师要将一段5GB的视频拷贝到盘中（GB表示文件大小的单位）。她有两个盘：白色盘总容量16GB，已用；黑色盘总容量32GB，已用容量占总容量的。 （1）王老师应将视频拷贝到哪个盘里？请用计算说明。 （2）拷贝时前5分钟拷贝了2GB。照这样的速度，拷贝这份文件还需要多少分钟？（用比例解） 【答案】（1）黑色U盘；计算说明见详解 （2）7.5分钟 【解题思路】（1）白色U盘总容量16GB，已用70%，则未用空间占（1－70%），根据一个数乘分数的意义，求出白色U盘未用空间；同理求出黑色U盘的未用空间，然后和视频文件的容量进行比较，得出结论。 （2）“照这样的速度”，说明下载的速度一定，下载量和下载时间成正比例关系，即：前一部分的下载量∶前一部分的下载时间后一部分的下载量∶后一部分的下载时间，由此列出比例式求解。 【规范解答】（1）16×（1－70%） ＝16×30% ＝16×0.3 ＝4.8（GB） 32×（1－） ＝32× ＝6.4（GB） 4.8＜5＜6.4 答：王老师应将视频拷贝到黑色U盘里。 （2）解：设拷贝这份文件还需要x分钟。 2∶5＝（5－2）∶x 2∶5＝3∶x 2x＝5×3 2x÷2＝15÷2 x＝7.5 答：拷贝这份文件还需要7.5分钟。 23．张阳打字的字数和所用时间如下表。 时间/分 2 4 6 8 10 12 字数/个 100 200 300 400 500 600 （1）在下图中描出表示字数和相对应的时间的点，然后把它们按顺序连起来。 （2）表中的两个量成（    ）比例，原因是_____。 【答案】（1）见详解 （2）正；原因见详解 【解题思路】（1）根据统计表提供的数据，在统计图里描点，然后连线即可绘制统计图； （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】（1）如图： （2）100∶2＝50；200∶4＝50；300∶6＝50；400∶8＝50；500∶10＝50；600∶12＝50 100∶2＝200∶4＝300∶6＝400∶8＝500∶10＝600∶12＝50（一定），打字的字数与打字所用时间成正比例。 因为张阳打字的字数与所用时间的比值一定，也就是平均每分钟打字的字数一定。 24．在交通日益发达的今天，货物运输的方式也多种多样，我国自行研制的“运－8”飞机运载量大，性能优越。下表是某架“运－8”飞机的运输时间和飞行距离情况。 运输时间/时 1 2 3 4 5 6 飞行距离/千米 600 1200 1800 2400 3000 3600 （1）“运－8”飞机的运输时间和飞行距离成（    ）比例。 （2）根据上表，把运输时间和飞行距离所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）“运－8”飞机连续飞行时间最长可达10小时30分，达到世界领先水平。如果飞机早上6时从基地出发，中途不休息，最远能飞多少千米？（速度不变） 【答案】（1）正；（2）见详解；（3）6300千米 【解题思路】（1）判断两个相关联的量成什么比例，就要看这两个量是比值一定还是乘积一定，当比值一定时，这两个相关联的量成正比例，当乘积一定时，这两个相关联的量成反比例。据此解答。 （2）由图可知，横轴表示时间，一格代表1小时，纵轴表示飞行距离，一格代表600千米，根据表格中的数据先描点，再连线即可。 （3）由题可知，“运－8”飞机1小时可飞行600千米，连续飞行时间最长可达10小时30分，根据公式：路程＝速度×时间，即可求出最远可以飞行多少千米。 【规范解答】（1）由题可得：（千米/时）， 飞行距离和运输时间的比值一定，所以“运－8”飞机的运输时间和飞行距离成正比例。 （2）如图所示： （3）10时30分＝10.5时 600×10.5＝6300（千米） 答：最远能飞6300千米。 25．小红想了解更多有关低碳生活的知识，她从网上找到一些资料：开小汽车出行时，油耗数与产生的二氧化碳排放量情况如下表： 油耗数/升 1 2 3 4 5 … 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 （    ） … （1）上面表格填写完整。 （2）把油耗数与二氧化碳排放量的点在图上描出来，并连线。 （3）小汽车的油耗数和产生的二氧化碳排放量成（    ）比例。请你估算一下，如果汽车产生32.4千克的二氧化碳，大约耗油（    ）升。 【答案】（1）13.5 （2）见详解 （3）正；12 【解题思路】（1）观察统计表的数据可知，每升油产生的二氧化碳量是一定，为2.7千克，用油的升数乘每升油产生的二氧化碳量即可解答； （2）根据统计表中的数据，描点即可； （3）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。再根据所成比例进行解答。 【规范解答】（1）2.7÷1×5 ＝2.7×5 ＝13.5（千克） 油耗数/升 1 2 3 4 5 … 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 13.5 … （2）如图： （3）2.7∶1＝5.4∶2＝8.1∶3＝10.8∶4＝13.5∶5＝2.7（一定），小汽车的油耗数和产生的二氧化碳排放量成正比例。 32.4÷2.7＝12（升） 小汽车的油耗数和产生的二氧化碳排放量成正比例。请你估算一下，如果汽车产生32.4千克的二氧化碳，大约耗油12升。 26．如图是我国古代的一种计量时间的仪器沙漏（又称沙钟），它分上下两部分，是根据流沙从上面的容器漏到下面的容器的数量来计量时间的。 （1）王亮研究了下图沙漏漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间如下表。 每分钟漏沙的体积/cm3 4.5 3.375 2.7 漏完所用的时间/分 3 4 5 ①这个沙漏里共有（    ）立方厘米的沙子。 ②在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成（    ）比例关系。 ③如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏（    ）立方厘米的沙子。 （2）如图中所示，沙漏上部剩余的沙子的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）①13.5；②反；③6.75 （2）3.14立方厘米 【解题思路】（1）①这个沙漏里共有沙子的体积＝每分钟漏沙的体积×漏完所用的时间，据此解答。 ②判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 ③首先求出沙漏里面沙子的体积，然后用沙漏里面沙子的体积除以漏完所用时间即可。 （2）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出沙漏上部剩余的沙子的体积。 【规范解答】（1）①4.5×3＝13.5（立方厘米） 这个沙漏里共有13.5立方厘米的沙子。 ②因为每分钟漏沙的体积×漏完所用的时间＝沙漏里沙子的体积（一定），乘积一定，所以在一个沙漏里漏口每分钟漏沙的体积和漏完沙子所用时间成反比例关系。 ③4.5×3÷2 ＝13.5÷2 ＝6.75（立方厘米） 如果让沙漏正好2分钟漏完，每分钟应漏6.75立方厘米的沙子。 （2）×3.14×（2÷2）2×3 ＝×3.14×12×3 ＝×3.14×1×3 ＝3.14（立方厘米） 答：沙漏上部剩余的沙子的体积是3.14立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $$