高二数学第三次月考卷（上海专用，测试范围：沪教版2020选择性必修第一册）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1 ． ____________________ 2 ． ____________________ 3． ____________________ 4 ． ____________________ 5． __ __________________ 6 ． ____________________ 7． ____________________ 8 ． ____________________ 9． ____________________ 10 ． ____________________ 11． ____________________ 12 ． ____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第1 3-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 1 3 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17． （14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21．（18分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高二数学下学期第三次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、 21 题每题 18 分.) 17．（14 分） 18．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18 分） 21．（18 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册（数列占50%）。 5．难度系数：0.72。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．空间向量的单位向量的坐标是 ． 2．已知数列为等差数列，，，则公差 . 3．若直线 ，则直线的倾斜角是 4．与的等差中项是 ． 5．以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 6．直线与直线的夹角大小为 7．设等差数列，的前项和分别为，，且，则 8．正项等比数列中，，则的值是 . 9．已知数列满足：且，则 ． 10．某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H.图乙中线段OH卷后形成圆弧（图甲），通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式：则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为 . 11．已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为 . 12．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 14．数列，满足，，则 的前项之和等于（    ） A． B． C． D． 15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 16．已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（    ） A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．棱锥中，平面平面，，，是棱的中点. (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 18．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 19．树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围． 20．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 21．若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 21．已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列； 记，（，2，3…，），若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列. (1)已知无穷数列的通项公式为，，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由； (2)已知首项为，公比为实数q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围； (3)已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册（数列占50%）。 5．难度系数：0.72。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．空间向量的单位向量的坐标是 ． 2．已知数列为等差数列，，，则公差 . 3．若直线 ，则直线的倾斜角是 4．与的等差中项是 ． 5．以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 6．直线与直线的夹角大小为 7．设等差数列，的前项和分别为，，且，则 8．正项等比数列中，，则的值是 . 9．已知数列满足：且，则 ． 10．某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H.图乙中线段OH卷后形成圆弧（图甲），通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式：则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为 . 11．已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为 . 12．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 14．数列，满足，，则 的前项之和等于（    ） A． B． C． D． 15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 16．已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（    ） A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．棱锥中，平面平面，，，是棱的中点. (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 18．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 19．树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围． 20．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 21．若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 21．已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列； 记，（，2，3…，），若存在，使得对任意，，恒成立，则称为有界变差数列. (1)已知无穷数列的通项公式为，，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由； (2)已知首项为，公比为实数q的等比数列为有界变差数列，求q的取值范围； (3)已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第一册（数列占50%）。 5．难度系数：0.72。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．空间向量的单位向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】单位向量只需根据即可求出. 【解析】，，. 故答案为： 2．已知数列为等差数列，，，则公差 . 【答案】2 【分析】由等差数列的通项公式列方程组直接计算即可. 【解析】由数列为等差数列,则有，解得. 故答案为：. 3．若直线 ，则直线的倾斜角是 【答案】/ 【分析】根据直线的方程即可求解. 【解析】由可得， 故直线的倾斜角为， 故答案为： 4．与的等差中项是 ． 【答案】8 【分析】根据等差中项的定义求解即可. 【解析】设与的等差中项是， 则， . 故答案为：8 5．以为圆心且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【解析】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 6．直线与直线的夹角大小为 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的倾斜角为，进而得到两直线的夹角的大小. 【解析】如图所示，直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得，所以， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：.    7．设等差数列，的前项和分别为，，且，则 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【解析】由题知，等差数列的前n项和分别为，，且， 因为， 故答案为：. 8．正项等比数列中，，则的值是 . 【答案】20 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【解析】在等比数列中，， ， 故答案为:20. 9．已知数列满足：且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据递推式判断数列的周期性，利用周期性求目标项. 【解析】由题设，则，，，， 由上，是周期为3的数列，则. 故答案为： 10．某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以O为原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为H.图乙中线段OH卷后形成圆弧（图甲），通过同学们的计算发现y与x之间满足关系式：则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】结合题意，利用函数的周期，求出圆柱底面圆半径，继而求得椭圆短轴长，结合函数的最大值求得椭圆的长轴长，结合椭圆的离心率定义，即可求得答案. 【解析】函数的最小正周期为， 图乙中虚线即为函数的一个周期的图象， 则， 所以相应圆柱的底面圆的周长即为，故其直径为6， 故根据题意可知该椭圆的短轴长为，即； 又的最大值为6， 故椭圆的长轴长为，故， 则， 故椭圆的离心率为. 故答案为：. 11．已知数列满足设表示的前项和，则使得成立的最小的正整数的值为 . 【答案】 【分析】先通过递推式得当为偶数时，数列是以为首项，以为公比的等比数列，即可求出数列的通项公式，根据通项公式观察到数列为递减数列，故求出后，以为基础，通过一定的估算可得到答案. 【解析】当，且为偶数时，， 得，又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即， 当，且为奇数时，， 所以 明显数列从第二项起，故数列为递减数列， 当为偶数时， ， 对于，由于， 当时，， 当时，， 又当时，， 故使得成立的最小的正整数的值为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于通过奇偶来的分段数列，可分奇偶来研究数列的通项公式，先求出偶数项的通项公式后，奇数项的通项公式就好求了. 12．已知点P在正方体的表面上，P到三个平面ABCD、、中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为 ． 【答案】 【分析】确定在平面上，根据得到的轨迹为平面内的一条抛物线，建立坐标系确定抛物线方程，计算交点得到答案. 【解析】若P到平面ABCD、距离相等，根据对称性知在平面上， 平面，平面，故平面平面， 故到平面的距离即到的距离， 设正方体的中心为，即，故的轨迹为平面内的一条抛物线， 不妨取正方体边长为，中点为，以所在的直线为轴， 以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 抛物线方程为，时，，故抛物线与棱和相交， 故共有个点满足条件. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何，抛物线的轨迹方程，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中根据题意得到动点的轨迹方程是解题的关键， 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知直线与，则下列说法不正确的是（ ） A．若时，则 B．若时，则与重合 C．若时，则 D．若时，则与交于点 【答案】B 【分析】根据两直线平行和垂直的充要条件，结合选项逐项计算判断即可. 【解析】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得，所以与交于点，故D正确. 故选：B. 14．数列，满足，，则 的前项之和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用裂项相消法求和. 【解析】∵, ∴， ∴, 故选:B． 15．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案. 【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误； 对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底， 则由能推出， 对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面， 则当无法推出，故D错误. 故选：C． 16．已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（    ） A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】A 【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列的单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数. 【解析】对于①，时，，， 时，；时，，也有，故①为真命题. 对于②，时，，， 当时，，，不严格递减； 当时，，，不严格递减； 当时，， 若，则， 同理当时，， 则存在，使得， 则，，不严格递减. 综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．棱锥中，平面平面，，，是棱的中点. (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由结合面面垂直的性质定理即可得证 （2）先求证两两垂直，接着建立适当的空间直角坐标，求出平面和平面的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可计算得解. 【解析】（1）证明：因为，是棱的中点， 所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，是棱的中点， 所以，所以两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以， 所以， 由上可知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，故，取，则， 所以， 所以由图可知二面角的余弦值为. 18．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差，利用题意得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2），利用分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式得到答案. 【解析】（1）根据为等差数列，设公差为. ，即①， ，，成等比数列 ∴，②， 由①②解得：， 数列的通项公式为. （2）由， 数列的前n项和 . 19．树林的边界是直线（如图所在直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于的垂线上的点点点处，米，若兔子沿方向以4米每秒的速度向树林逃跑，同时狼沿线段方向以2米每秒的速度进行追击，若狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，狼就会吃掉兔子． (1)求兔子被狼吃掉的点的区域面积； (2)若兔子要想不被狼吃掉，求锐角的取值范围． 【答案】(1)平方米； (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立直角坐标系，由时间关系求得的坐标满足的关系即可求出. （2）求出直线的方程，利用直线与圆的位置关系列出不等式求得的范围. 【解析】（1）以点为原点，射线分别为轴的非负半轴建立平面直角坐标系， 则，设， 由狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，得，即， 则4，整理得， 因此M在以为圆心，为半径的圆及内部， 所以兔子被狼吃掉的点的区域面积平方米. （2）依题意，直线的斜率满足，直线的方程为， 由兔子要想不被狼吃掉，得直线与圆相离， 则，解得，因此，而，解得， 所以锐角的取值范围是. 20．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线上，直线交轴于点（点在点的右侧）． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)若点，且，求点的坐标； (3)若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)的最小值为 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【解析】（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 21．若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 【答案】(1)是周期为的周期数列，理由见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设定义，利用的周期，即可得出结果； （2）分与两种情况讨论，当，易得到是周期为1的周期数列，当时，构造，则，利用导数与函数单调性间的关系，可得出是严格增（或减）数列，从而可得出结果； （3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果. 【解析】（1）因为， 所以是周期为的周期数列． （2）①当时，，， 所以当时，是周期为1的周期数列， ②当时，记，则， ，当且仅当时等号成立， 即，所以在上严格增， 若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列； 同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列． 综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列． （3）必要性： 若存在，使得是周期数列，设的周期为， 则，所以是周期为的周期数列， 充分性： 若是周期数列，设它的周期为，记，则 ，是关于x的连续函数； ，是关于x的连续函数； … ，是关于x的连续函数； ， 令，则是连续函数， 且，， 所以存在零点，于是， 取，则， 从而， ， …… 一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列． （说明：关于函数连续性的说明不作要求） 【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件. 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2．2 3．/ 4．8 5． 6． 7． 8．20 9．/ 10．/ 11． 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 B B C A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（1）证明：因为，是棱的中点， 所以， (2分) 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. (6分) （2）因为平面，平面，所以， 因为，是棱的中点， 所以，所以两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以， 所以， (8分) 由上可知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，故，取，则， (10分) 所以， 所以由图可知二面角的余弦值为. (14分) 18．（1）根据为等差数列，设公差为. ，即①， ，，成等比数列 ∴，②， 由①②解得：， 数列的通项公式为. (6分) （2）由， (7分) 数列的前n项和 . (14分) 19．（1）以点为原点，射线分别为轴的非负半轴建立平面直角坐标系， 则，设， 由狼到达处的时间不多于兔子到达处的时间，得，即， 则4，整理得， 因此M在以为圆心，为半径的圆及内部， 所以兔子被狼吃掉的点的区域面积平方米. (6分) （2）依题意，直线的斜率满足，直线的方程为， 由兔子要想不被狼吃掉，得直线与圆相离， (8分) 则，解得， (10分) 因此，而，解得， 所以锐角的取值范围是. (14分) 20．（1）已知双曲线，则，所以双曲线方程为； (4分) （2）双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； (10分) （3）设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. (18分) 21．（1）因为， 所以是周期为的周期数列． (4分) （2）①当时，，， 所以当时，是周期为1的周期数列， ②当时，记，则， ，当且仅当时等号成立， 即，所以在上严格增， 若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列； 同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列． 综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列． (10分) （3）必要性： 若存在，使得是周期数列，设的周期为， 则，所以是周期为的周期数列， 充分性： 若是周期数列，设它的周期为，记，则 ，是关于x的连续函数； ，是关于x的连续函数； … ，是关于x的连续函数； ， 令，则是连续函数， 且，， 所以存在零点，于是， 取，则， 从而， ， …… 一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列． (18分) （说明：关于函数连续性的说明不作要求） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$