专题16 平行四边形的性质和判定的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（华东师大版）

专题16 平行四边形的性质和判定的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 2 类型二、利用平行四边形的性质求面积 5 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 9 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 15 类型五、利用平行四边形的性质证明 21 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 25 压轴能力测评（18题） 30 解题知识必备 1. 平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“▱”表示，平行四边形ABCD表示为“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 2. 平行四边形的性质 平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形： 性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC 性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD 注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD； ②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO. 性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形. 3. 平行四边形的判定定理 平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD： （1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC. （2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC. （3）判定方法3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC. （4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC. （5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO. 注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）； ②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边相等，是无法判定为平行四边形的. 压轴题型讲练 类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段 例题1：（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则 度． 例题2：（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是中点，连接并延长交的延长线于点． 若，，的度数= ． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，．若，，，则的长为 ． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平行四边形中，，，与分别为和的平分线，则的长为 ． 类型二、利用平行四边形的性质求面积 例题：（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图是一个平行四边形，已知，F是中点，的面积是，那么四边形的面积为 2．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，为平行四边形边上一点，、分别为、上的点，且，，、、的面积分别记为、、．若，则 ． 3．（23-24八年级下·浙江金华·期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）．记①，②，③，④的面积分别为，，，，已知． （1） ．； （2）若的周长比长方形③的周长大18，则为 ． 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 例题：（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为 ．    3．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，中，轴，．点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是与轴的交点，点是边上不与点，重合的一个动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点，将沿直线翻折，当点的对应点落在坐标轴上时，点的坐标为 ． 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 例题：（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点，在对角线上，连接，，，．若点，满足以下条件中的一个：①；②；③；④，．则能判定四边形是平行四边形的条件的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 类型五、利用平行四边形的性质证明 例题：（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接． (1)求证：． (2)若，且，，求的长． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在中，、分别平分、，交于点、． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积． 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期末）已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 3．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，以的三边为边，在的同一侧分别作等边三角形，等边三角形，等边三角形，连接． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)若，求的度数． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 4．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（   ）    A．是的中线 B．四边形是平行四边形 C． D．平分 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 7．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，的对角线交于点平分交于点E，，，连结．下列结论正确的是 ． ①；②平分；③；④． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当 时，四边形为平行四边形． 三、解答题 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； (2)如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 14．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 ， 两点作 ，，垂足分别为 ，，延长 ， 分别交 ， 于点 ，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 ， 时，求 的长． 16．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F， (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)、交于点O， 在满足（2）的条件下，已知，求的长． 17．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 学科网（北京）股份有限公司1 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例题1：（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，在中，对角线、相交于点，若，，，则 度． 【答案】90 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关性质进行求解． 根据平行四边形的性质得出，，再由勾股定理逆定理即可得出结果． 【详解】解：∵中，，， ∴，， ∵，即， ∴， 故答案为：90． 例题2：（24-25八年级下·河南洛阳·期中）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于两点；分别以点为圆心，大于的一半长为半径画弧，两弧交于点；画射线交于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由作图可知平分，得到，根据平行四边形的性质得到，得出，继而得到，得到，得出． 【详解】解：由作图可知平分， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·辽宁·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是中点，连接并延长交的延长线于点． 若，，的度数= ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质得，又点是中点，则，即，所以，再通过，得到，由等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，．若，，，则的长为 ． 【答案】//11.2 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质以及等面积法的应用，解题的关键是利用平行四边形面积的两种不同表示方法建立等式求解． 先根据平行四边形面积公式，以为底、为高求出平行四边形的面积，再以为底、为高表示出面积，然后通过面积相等建立方程求解． 【详解】根据平行四边形面积公式，已知，则 ， 根据平行四边形面积公式，此时底为，高为， ， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）如图，在平行四边形中，，，与分别为和的平分线，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边．由平行四边形的性质得到，角平分线的定义可得，则．同理可得．根据，求解作答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：． 类型二、利用平行四边形的性质求面积 例题：（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】15 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图是一个平行四边形，已知，F是中点，的面积是，那么四边形的面积为 【答案】7 【知识点】根据三角形中线求面积、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质．连接，根据平行四边形的性质得到，根据，的面积是，得到的面积为，则，根据是的中点即可得到的面积，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，的面积是， ∴的面积为， ∴， ∵是的中点， ∴， 即四边形的面积为， 故答案为：7． 2．（23-24八年级下·山东东营·期末）如图，为平行四边形边上一点，、分别为、上的点，且，，、、的面积分别记为、、．若，则 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的性质及三角形面积的计算，正确得出，是解题关键．连接，根据平行四边形的性质得出，进而得出，根据，得出，，得出即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵为平行四边形边上一点， ∴， ∵、、的面积分别记为、、，若， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为： 3．（23-24八年级下·浙江金华·期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）．记①，②，③，④的面积分别为，，，，已知． （1） ．； （2）若的周长比长方形③的周长大18，则为 ． 【答案】 （或） 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查图形的拼剪，平行四边形的性质，矩形，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． （1）由题意设，则，，，分别求出和，即可得到答案； （2）根据平行四边形的周长比长方形③的周长大18，构建方程求出即可． 【详解】（1）如图， 由题意设，则，，， ∴，， ∴， 故答案为： （2）如图，由勾股定理可得，， ，， 又平行四边形的周长比长方形③的周长大18， ， ， ． 故答案为：． 类型三、利用平行四边形的性质求动点问题 例题：（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 【答案】 1 10 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；即可求解． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E，    ∴， ∴， 在中，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴， ∴， 故答案为∶1；10． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，E是的中点，已知，，，，点P是线段上的一个动点，当的长为 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】1或9 【知识点】坐标与图形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的判定，根据四个点的坐标求出，，，，根据平行四边形的判定得出当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 当时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况： ①当点P在点E的左侧时，； ②当点P在点E的右侧时，； 综上所述，当的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：1或9． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知直线与轴，轴分别交于点，，点是射线上的动点，点在第一象限，四边形是平行四边形．若点关于直线的对称点恰好落在轴上，则点的坐标为 ．    【答案】或． 【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】先根据题意求得，，，分点在第二象限和第一象限两种情况讨论，根据点关于直线的对称点恰好落在轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一象限时候，证明是等边三角形，在第二象限时候证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，分别求得点的坐标． 【详解】与轴，轴分别交于点，， 令，，， 令，，， ， ， ， ，， ， ①如图，当点在第二象限时，设交轴于点，交于点，交轴于点，   四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点关于直线的对称点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 点为的中点， ，， ， ②如图，当点在第二象限时，延长交轴于点， 则，   点关于直线的对称点为点 ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ． 综合①②可知C的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，中，轴，．点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是与轴的交点，点是边上不与点，重合的一个动点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们相交于点，将沿直线翻折，当点的对应点落在坐标轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、折叠问题、一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】先求出直线的解析式为，则可求，设，则，可求，，分两种情况讨论：当在轴负半轴时，由折叠可知，在△中，由勾股定理可求，在△中，，，可求，所以，解得，则；当在轴正半轴时，同理可得，，解得，求得． 【详解】解：设直线解析式为，与x轴交于N， 将，代入可得，， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ， 点是边上，轴， ∴可设， 轴， ， ，， 当在轴负半轴时，如图，    由折叠可知，， 在中，由勾股定理， 在中，设，， ， ， 解得， ； 当在轴正半轴时，如图， 同理可得，， 解得， ，； 综上所述：点坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数与几何综合， 解题的关键在于求出点G的坐标，进而分点在x正半轴和负半轴两种情况讨论求解． 类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题） 例题：（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可判断结论①正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论②和④正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论③正确． 【详解】解：∵，， ∴和都是直角三角形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，即，结论①正确； 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，结论②和④都正确； 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，结论③正确； 综上，结论正确的个数有4个， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，连接．下列结论：①；②；③平分；④若，则平行四边形的面积为24．其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解、两直线平行内错角相等 【分析】根据平行四边形性质得出，，，，根据，得出，即可判断②正确；取的中点N，连接，证明四边形为平行四边形，得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，，求出，即可判断①正确；根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，即可判断③正确；求出，根据平行四边形的性质得出，判断④错误． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴，故②正确； 取的中点N，连接，如图所示： 则， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，故④错误； 综上分析可知：正确的有3个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行四边形的判定和性质． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点，在对角线上，连接，，，．若点，满足以下条件中的一个：①；②；③；④，．则能判定四边形是平行四边形的条件的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；连接，设，相交于点O，根据全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质分别推理论证，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，设，相交于点O， ①∵四边形是平行四边形， ，，，，， ， ， 即， ∴结合，有四边形是平行四边形，故①符合题意； ②，不能判定， ∴无法证明， 则无法证明， 不能判定四边形是平行四边形； ③在和中， ， ， ， ∵， ， 又， ∴四边形是平行四边形； ④∵，， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 又， ∴四边形是平行四边形； 一定能判定四边形是平行四边形的是①③④，即有3个满足条件， 故选：C． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的对角线，过点作交于点，垂足为，过点作交于点，垂足为，连接、．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用上述性质逐一判断即可解答，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形，故②正确； ， 而不一定等于，故③错误； ，， ， 故平分的周长，故④正确； 如图，过点作，并延长交于点， ， ， 则， ， ，故⑤正确， 故正确的有４个， 故选；C． 类型五、利用平行四边形的性质证明 例题：（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出； （2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由折叠可得，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、三角形角平分线的定义、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的各个性质是解题关键． （1）由平行四边形的性质结合角平分线的定义证得，即可求解； （2）由平行四边形的性质结合角平分线的定义可得，再求出，即可求解的长． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，，， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点分别为的中点，连接． (1)求证：． (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键． （1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ． （2）解：根据题意得 ∴， ∵平行四边形， ， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， ， 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在中，、分别平分、，交于点、． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质和角平分线的性质证明即可； （2）过点作于点，利用角平分线的性质得到，利用三角形面积公式列式运算即可． 【详解】（1）证明：∵，分别平分，，交于点、， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于点，如图所示： ∵分别平分，于点， ∴， ∵，，且平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是192． 类型六、利用平行四边形的判定和性质求解 例题：（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)216 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作 设 ∵ ∴在 在 则 解得 ∴ 则四边形的面积 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定： （1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论； （2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 2．（24-25八年级下·广东深圳·期末）已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）连接交于O，根据，得，，继可证得，即可由平行四边形的判定定理得出结论． （2）先由，，得出，，再证，得，从而证得四边形是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得． 【详解】（1）证明：连接交于O，      ∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，以的三边为边，在的同一侧分别作等边三角形，等边三角形，等边三角形，连接． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)若，求的度数． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见详解 (2) 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质推出，求出，证，推出，同理得出，即可得出结论． （2）先根据等边三角形的性质，得出，结合周角概念列式，得出，根据平行四边形的性质，即可作答． 此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，证明如下： 、、都是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， 同理， 四边形是平行四边形． （2）解：∵都是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形． ∴． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形中，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 2.（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【知识点】根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 4．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，点是线段的中点，分别以为边作等腰和等腰，，连接，且相交于点，交于点，则下列说法中，不正确的是（   ）    A．是的中线 B．四边形是平行四边形 C． D．平分 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、证明四边形是平行四边形 【分析】此题主要考查平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题，根据平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质，逐一判定即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴ ∵等腰和等腰，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形，故B选项正确； 在和中， ∴ ∴，故C选项正确； ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是的中线，故A选项正确； ∵， ∴， ∴不可能平分，故D选项错误； 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O．已知两条对角线长的和为，长为．则的周长为 ． 【答案】/15厘米 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 的周长为， 故答案为∶． 7．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，点分别在的延长线上，且满足．若，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定． 根据平行四边形的性质得出，通过证明出四边形是平行四边形，以及，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，的对角线交于点平分交于点E，，，连结．下列结论正确的是 ． ①；②平分；③；④． 【答案】①③④ 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求面积、利用平行四边形的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】先求出是等边三角形，可以判断③；结合，可以判断②，利用等边对等角与三角形内角和定理可以判断①，利用中线平分三角形面积可以判断④． 【详解】解：∵中对边平行， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵平行四边形中， ， ∴，故③正确； 又∵， ∴， ∴， 由与平行可知， ∴，故②错误； ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵与平行， ∴，故①正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为： ①③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、中线平分三角形面积、角平分线的定义、三角形的内角和等知识，解题关键是牢记相关概念，并能灵活运用边角之间的关系进行转化． 10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当 时，四边形为平行四边形． 【答案】或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的判定可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、为顶点组成平行四边形， ， 分为以下情况： ①点的运动路线是，方程为， 此时方程，此时不符合题意； ②点的运动路线是，方程为， 解得：； ③点的运动路线是，方程为， 解得：； ④点的运动路线是，方程为， 解得：； 综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：或或 三、解答题 11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合，证明即可； （2）全等的性质得到，角平分线结合平行线的性质，推出，进而求出的长，再根据平行四边形的对边相等，求出周长即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴（） （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长． 12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图1，在中，E是边上一点，在边上画点F，使； (2)如图2，在中，E是边上一点，且，画的平分线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】无刻度直尺作图、根据等边对等角证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】此题考查了作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，交于点O，连接并延长交于点F即为所求； （2）连接，交于点O，连接并延长交于点F，连接即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求作．            ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：如图2中，线段即为所求作． ∵四边形是平行四边形 ∴， 由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 14．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． （1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形； （2）依据是等腰直角三角形，即可得到的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果． 【详解】（1）证明：∵，交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积=， 平行四边形面积． 15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 ， 两点作 ，，垂足分别为 ，，延长 ， 分别交 ， 于点 ，． (1)求证：四边形 是平行四边形； (2)当 ， 时，求 的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键； （1）只要证明，即可． （2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ∴， 在和中， ， ， 在中， ，，， ， ． 16．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F， (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)、交于点O， 在满足（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得到，同理可得，即可得到，进而得到结论； （2）根据（1）中结论，利用线段的和差解题即可； （3）先根据角平分线的定义得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，即； （2）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）由（1）可得：，， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，勾股定理，等角对等边，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形中，对角线交于点O． (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，将对角线绕点O顺时针旋转一个角度，分别交于点（如图2），求证：四边形是平行四边形； (3)如图3，若，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)的最小值是13 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）利用内错角相等证得，即可根据一组对边平行且相等得到结论； （2）证明，推出，由此证得结论； （3）过点D作，连接得到四边形是平行四边形，由此得到，利用勾股定理求出，即可得到． 【详解】（1）证明∶， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可得四边形是平行四边形， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形． （3）解∶如图，过点D作，连接 四边形是平行四边形， ． 又， ， ， ． ， 的最小值是13． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并应用解决问题是解题的关键． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 【答案】(1)2 (2)12 (3)见解析 (4)1 【知识点】三角形角平分线的定义、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边求边长 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答； （2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长； （3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出； （4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答． 本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． （3）证明：∵在中，， ． 又∵是的平分线 ∴， 同理可得 ∵ ； （4）解：由（3）可得，． ∵ 故答案为1． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$